第二章 直线和圆的方程（12考点+4易错+易错训练）（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学第二章知识清单系统梳理了“直线和圆的方程”核心内容，涵盖直线的倾斜角、斜率、方程形式、位置关系，圆的标准与一般方程、位置关系等知识范畴，搭建了从基础概念到方程应用再到综合问题解决的递进式学习支架。 清单采用“知识点分层解析+易错点专项警示+对点训练巩固”的方式构建知识体系，如用表格对比直线平行垂直的斜率关系，标注“忽略斜率不存在”“截距为0”等易错点，培养学生的数学思维和推理能力。特别设计“方程形式适用条件”提示（如截距式不含过原点直线），不同基础学生可高效掌握，教师能据此精准设计教学，提升课堂实效。

第二章 直线和圆的方程 知识点一 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°． 【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°) (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等 知识点二 直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． 【注意】(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 4．两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 【注意】(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论． (2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件： ①l1与l2是不重合的两条直线．②斜率都存在． 知识点三 直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率为k时,直线的一个方向向量为(1,k); (2)当直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=1. 知识点四 两条垂直与斜率之间的关系 对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 【注意】(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在且不为0． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2． (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 直线平行与垂直的条件 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 知识点五 直线方程的几种形式 直线的点斜式方程 1．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2．当k＝0时(如图1)，过P0(x0，y0)的直线可以写成y＝y0；当k不存在时(如图2)，过P0(x0，y0)的直线可以写成x＝x0． 【注意】经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)． (2)斜率不存在的直线，方程为x＝x0． 直线的斜截式方程 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式：方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 【注意】(1)斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在． (2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零． 直线的两点式方程 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 【注意】两点式方程也可写成＝，需注意等号左、右两边的字母下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2． 直线的截距式方程 方程＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是 b． 【注意】(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点六 两条直线的位置关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 【注意】(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． 求与已知直线垂直的直线方程 1.一般地，与直线垂直的直线方程可设为 ；过点且与直线 垂直的直线方程可设为 . 2.利用垂直直线的斜率之积为-1求出斜率,再用点斜式写出直线方程 (针对两直线斜率均存在的情况). 求与已知直线平行的直线方程 1. 与直线 平行的直线方程可设为 . 当 时, 两直线重合. 2.一般地,经过点 且与直线 平行的直线方程可设为 . 3. 利用平行直线（斜率存在）的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程. 知识点七 两条直线的交点坐标 1. 两条直线的交点：已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 【注意】(1)解方程组时需注意消元法的使用，可用加减消元或代入消元． (2)图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确． 2. 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 解含参数的直线恒过定点问题 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 知识点八 距离公式 两点间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 【注意】(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况． (2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式． 平面内的中点坐标公式 若 ，则线段AB的中点的坐标计算公式为 ，即 . 经过两直线交点的直线方程 1. 求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出直线方程。 2. 经过两直线 , 的交点的直线方程为(除直线的方程外)，其中是待定系数. 五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)，关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x). 知识点九 圆的标准方程 1．圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 【注意】(1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 2．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【注意】(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 知识点十 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【注意】由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解． 知识点十一 直线与圆位置关系 1．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【注意】代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 2．圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 知识点十二 两圆位置关系 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r 2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d <r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 2．代数法：设两圆的一般方程为： C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【注意】判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． 3．两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 4．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)． ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 易错点1 忽略直线倾斜角的取值范围 易错提醒 1. 错误的认为直线的倾斜角的取值范围为0≤a≤90:要直线的倾斜角的取值范围为0≤a＜180。 【对点训练】1．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 2．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为， 令，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，    将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 3．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 4．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 易错点2 忽略斜率不存在或者两条直线重合 易错提醒 1. 判断两条直线是否垂直时，在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直。 【对点训练】5．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【详解】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 6．判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【详解】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 7．求满足下列条件的的值. (1)直线与直线平行； (2)直线与直线垂直； (3)已知两点，直线与线段有交点. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由平行性质计算即可得； （2）由垂直性质计算即可得； （3）求出直线所过定点后，分别计算、，结合直线斜率计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 当时，直线，符合； 当时，直线，符合； 故或； （2）由题意可得，解得； （3）直线过定点， 又，， 则或，解得或， 故的范围为或. 8．给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 易错点3 忽略了截距为0的情况 易错提醒 1.解决截距问题时，易忽略了直线的截距为0的情况，而直接使用了直线截距式方程求解。 【对点训练】9．直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 【答案】或 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或. 10．已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点斜式求解即可； （2）分直线在轴、轴截距为0和不为0进行分类讨论，不为0时利用截距式求解即可. 【详解】（1）因为直线过点，直线的斜率为2， 所以所求为， 即. （2）当直线在轴、轴上的截距都为0时， 所求为， 当直线在轴、轴上的截距都为时， 设所求为， 由题意，解得符合题意， 故所求为， 综上所述，符合题意的直线方程为或. 11．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为__________． 【答案】或 【分析】就截距是否为零分类计算后可得所求直线的斜截式方程. 【详解】若直线在两坐标轴上的截距均为零，则直线过原点，故此时直线的斜率为， 故此时直线的斜截式方程为：； 若直线在两坐标轴上的截距不为零，则设直线方程为：， 代入得即，故所求直线的斜截式方程为， 故答案为：或. 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，然后分别求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，此时直线方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，解得，此时直线方程为. 所以该直线方程为或. 故答案为：或 易错点4 忽略了二元二次方程表示圆的条件 易错提醒 1. 一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．。 【对点训练】13．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 14．方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由方程表示圆列出不等式，直接求解即可. 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 15．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 16．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 1．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 2．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 3．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 4．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 5．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 6．直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 7．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 8．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 9．（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 10．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 11．（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据截距式直线方程的定义进行求解即可. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD. 12．（多选）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 13．若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 14．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意设直线的方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 15．已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 16．（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）计算的斜率，根据两直线斜率相等，即可判断出结论； （2）计算出，的斜率，根据斜率之积即可判断出结论. 【详解】（1）的斜率为2，经过两点， 则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同， 故； （2）的倾斜角为45°，且斜率为1， 经过两点，则的斜率为， 即两直线斜率之积等于，故. 17．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可求解； （2）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得解出即可. 【详解】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 18．已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由可得t的取值范围； （2）设圆心坐标为，则，进行坐标替换即可得所满足的等式关系，即可得圆心的轨迹方程； （3）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而得符合的圆的方程. 【详解】（1）原方程可整理为. 则，解得. （2）设圆心坐标为，则，由得. 消去t可得，此即为圆心的轨迹方程， （3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大， 则，. 所以当时，的最大值为，此时圆的方程为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 知识点一 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴________与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为________． 【注意】(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°) (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等 知识点二 直线的斜率 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线，其方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)＝________，因此，当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k)． (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x，y)(x≠0)时，直线的斜率k＝． 【注意】(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 4．两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔________ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 【注意】(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论． (2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件： ①l1与l2是不重合的两条直线．②斜率都存在． 知识点三 直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率为k时,直线的一个方向向量为________; (2)当直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=________. 知识点四 两条垂直与斜率之间的关系 对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔________ l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 【注意】(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在且不为0． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2． (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 直线平行与垂直的条件 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； (2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 知识点五 直线方程的几种形式 直线的点斜式方程 1．方程________由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称________． 2．当k＝0时(如图1)，过P0(x0，y0)的直线可以写成________；当k不存在时(如图2)，过P0(x0，y0)的直线可以写成________． 【注意】经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)． (2)斜率不存在的直线，方程为x＝x0． 直线的斜截式方程 1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的________叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式：方程________由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称________． 【注意】(1)斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在． (2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零． 直线的两点式方程 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为，我们把它叫做直线的两点式方程，简称________． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2________于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 【注意】两点式方程也可写成＝，需注意等号左、右两边的字母下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2． 直线的截距式方程 方程＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a，0)的________叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的________． 【注意】(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 直线的一般式方程 关于x，y的二元一次方程________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 【注意】(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点六 两条直线的位置关系 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 【注意】(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． 求与已知直线垂直的直线方程 1.一般地，与直线垂直的直线方程可设为 ；过点且与直线 垂直的直线方程可设为 . 2.利用垂直直线的斜率之积为-1求出斜率,再用点斜式写出直线方程 (针对两直线斜率均存在的情况). 求与已知直线平行的直线方程 1. 与直线 平行的直线方程可设为 . 当 时, 两直线重合. 2.一般地,经过点 且与直线 平行的直线方程可设为________ . 3. 利用平行直线（斜率存在）的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程. 知识点七 两条直线的交点坐标 1. 两条直线的交点：已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 【注意】(1)解方程组时需注意消元法的使用，可用加减消元或代入消元． (2)图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确． 2. 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 解含参数的直线恒过定点问题 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 知识点八 距离公式 两点间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d=． 【注意】(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况． (2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式． 平面内的中点坐标公式 若 ，则线段AB的中点的坐标计算公式为 ，即 . 经过两直线交点的直线方程 1. 求出两直线的交点，作为待求直线上的已知点，再根据已知条件求出直线方程。 2. 经过两直线 , 的交点的直线方程为(除直线的方程外)，其中是待定系数. 五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)，关于点(a，b)的对称点为________． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为________． (3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为________． (4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为________． (5)点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为________. 知识点九 圆的标准方程 1．圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 【注意】(1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 2．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【注意】(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 知识点十 点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【注意】由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解． 知识点十一 直线与圆位置关系 1．直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【注意】代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 2．圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为________. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为________. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为________. (4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为________. 知识点十二 两圆位置关系 1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r 2的关系 ________ d＝________ ________ d＝________ d<|r1－r2| 2．代数法：设两圆的一般方程为： C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【注意】判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． 3．两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 ________条 ________条 ________条 ________条 无公切线 4．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时公共弦所在直线的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，① 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即________. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)． ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 易错点1 忽略直线倾斜角的取值范围 易错提醒 1. 错误的认为直线的倾斜角的取值范围为0≤a≤90:要直线的倾斜角的取值范围为0≤a＜180。 【对点训练】1．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 3．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 4．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 易错点2 忽略斜率不存在或者两条直线重合 易错提醒 1. 判断两条直线是否垂直时，在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直。 【对点训练】5．判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 6．判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 7．求满足下列条件的的值. (1)直线与直线平行； (2)直线与直线垂直； (3)已知两点，直线与线段有交点. 8．给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 易错点3 忽略了截距为0的情况 易错提醒 1.解决截距问题时，易忽略了直线的截距为0的情况，而直接使用了直线截距式方程求解。 【对点训练】9．直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 10．已知直线过点，根据下列条件分别求直线的方程： (1)直线的斜率为2； (2)直线在轴、轴上的截距相等． 11．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜截式方程为__________． 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 易错点4 忽略了二元二次方程表示圆的条件 易错提醒 1. 一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．。 【对点训练】13．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．方程表示圆，的取值范围为_____ 15．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 1．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 2．已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 5．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 7．直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 8．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 10．（多选）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 11．（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 13．若方程为圆的方程，则的值为______. 14．已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 15．已知两条直线：，：，若，则实数______. 16．（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 17．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 18．已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $