2.5.2 圆与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 教学目标： （1）理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义，能准确区分它们的几何特征。 （2）掌握用几何法（比较圆心距与半径的和差）判断圆与圆位置关系的方法，能熟练运用。 （3）掌握用代数法（联立方程、判别式）解决圆与圆相交时的公共弦方程与弦长问题。 （4）能解决简单与圆相关的运动最值问题、轨迹问题，感悟数形结合的数学思想，提升逻辑推理数学素养。 教学过程： 课程导入： 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生..观测日食时，把太阳轮廓看作一个大圆、月球轮廓看作一个小圆，两个圆形在天空中不断发生相对移动。请大家观察整个日食全过程，有几种位置关系？ 任务一 圆与圆的位置关系判断 探究1：类比直线与圆的公共点个数来确定不同位置关系，根据圆与圆的公共点个数来确定，有哪几种位置关系？ 探究2：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用两圆的半径和圆心距的关系判断圆与圆的位置关系？ 几何法：设两圆的半径分别为，(＞)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 探究3：探究2运用了几何法判断两圆的位置关系，如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 思考：代数法与几何法的区别与优势是什么？我们该如何应用？ 结论： （1）利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或只有一解时，无法判断两圆的位置关系. （2）在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. 【例1】已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 练习1、 （1）已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1和圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系为（ 　） A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 （2）圆O1：x2＋y2－6x－8y＋24＝0与圆O2：x2＋y2＝r2（r＞0）只有一个公共点，则r＝（ 　） A.4 B.5 C.6 D.4或6 任务二 两圆相交问题 探究4：将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？ 【例2】已知两圆C1：x2＋y2－4x＋2y－1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－17＝0，求它们的公共弦所在直线的方程并求弦长. 总结： （1）求两圆的公共弦所在的直线方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在的直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 练习2、已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B. （1）求弦AB所在的直线方程和圆C的方程； （2）若过点M（－4，1）的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程. 【变式探究】　在本典例条件下，求圆C1和圆C2的公共弦长. 任务三 两圆相切问题 【例3】　 （1） 以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 . （2）求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程. 总结： （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只说相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 练习3、已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4），若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程. 任务四 两圆相离问题 【例4】若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是 练习4、已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为___________ 任务五 与圆相关轨迹问题 【例5】平面直角坐标系中,,,点满足,求点的轨迹方程. 练习5、已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 总结：直接法求轨迹方程 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法. 补充练习：古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为______ 2.5.2 圆与圆的位置关系（答案） 教学目标： （1）理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的定义，能准确区分它们的几何特征。 （2）掌握用几何法（比较圆心距与半径的和差）判断圆与圆位置关系的方法，能熟练运用。 （3）掌握用代数法（联立方程、判别式）解决圆与圆相交时的公共弦方程与弦长问题。 （4）能解决简单与圆相关的运动最值问题、轨迹问题，感悟数形结合的数学思想，提升逻辑推理数学素养。 教学过程： 课程导入： 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生..观测日食时，把太阳轮廓看作一个大圆、月球轮廓看作一个小圆，两个圆形在天空中不断发生相对移动。请大家观察整个日食全过程，有几种位置关系？ 任务一 圆与圆的位置关系判断 探究1：类比直线与圆的公共点个数来确定不同位置关系，根据圆与圆的公共点个数来确定，有哪几种位置关系？ 探究2：类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用两圆的半径和圆心距的关系判断圆与圆的位置关系？ 几何法：设两圆的半径分别为，(＞)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2 的关系 　d＞r1　 　＋r2　 　d＝r1　 　＋r2　 　｜r1－r2｜　 　＜d＜r1　 　＋r2　 　d＝　 　｜r1－r2｜　 　0＜d＜　 　｜r1－r2｜　 探究3：探究2运用了几何法判断两圆的位置关系，如何利用代数法判断两圆的位置关系呢？ 代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 　2　 　1　 　0　 两圆的位置关系 　相交　 　内切或外切　 　外离或内含　 思考：代数法与几何法的区别与优势是什么？我们该如何应用 代数法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系． 结论： （1）利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或只有一解时，无法判断两圆的位置关系. （2）在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. 【例1】已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系． 解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组 ，得 ③ 由③，得 ． 把上式代入①，并整理，得 ④ 方程④的根的判别式 ， 所以，这两个圆相交． 解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径． 把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径，圆与圆的连心线的长为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即，所以圆与圆相交 练习1、 （1）已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1和圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系为（ 　） A.内含 B.外切 C.相交 D.外离 （1）由题意可知，圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1的圆心为C1（2，3），半径r＝1， 圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为C2（3，4），半径R＝4， 两圆心距离为＝＜R－r＝3， 所以圆C1与圆C2的位置关系为内含.故选A. （2）圆O1：x2＋y2－6x－8y＋24＝0与圆O2：x2＋y2＝r2（r＞0）只有一个公共点，则r＝（ 　） A.4 B.5 C.6 D.4或6 O1：（x－3）2＋（y－4）2＝1，则圆心O1（3，4）且半径r1＝1； O2：x2＋y2＝r2（r＞0），则圆心O2（0，0）且半径r2＝r. 连接O1O2，所以｜O1O2｜＝5，又两圆只有一个公共点，故两圆外切或内切. 当两圆外切时，r1＋r2＝1＋r＝5，则r＝4； 当两圆内切时，｜r1－r2｜＝｜1－r｜＝5， 则r＝6（负值舍去）. 所以r＝4或r＝6.故选D. 任务二 两圆相交问题 探究4：将☉C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与☉C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？ 两方程相减得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0（*）， 它代表两圆的公共弦所在的直线方程. 理由：设A（x1，y1），B（x2，y2）为两圆交点，则A，B坐标满足（*），上述等式表示一条过A，B的直线，即公共弦方程. 【例2】已知两圆C1：x2＋y2－4x＋2y－1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－17＝0，求它们的公共弦所在直线的方程并求弦长. 4x－3y－8＝0　. 弦长为 总结： （1）求两圆的公共弦所在的直线方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在的直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 练习2、已知圆C满足：圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点A，B. （1）求弦AB所在的直线方程和圆C的方程； （2）若过点M（－4，1）的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程. （1）已知圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得4x－8y＋16＝0，即x－2y＋4＝0，所以弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0. 联立解得或不妨令A（－4，0），B（0，2）.又圆心C在直线x＋y＝0上，设C（a，－a），那么它到两交点A，B的距离相等，故有（a＋4）2＋（－a）2＝（－a）2＋（2＋a）2，可得a＝－3，即圆心为（－3，3），半径r＝，故圆C的方程为（x＋3）2＋（y－3）2＝10. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k（x＋4），即kx－y＋1＋4k＝0，因为直线l被圆C截得的弦长为6，设圆心C到直线l的距离为d，则9＝r2－d2，所以d2＝1，即＝1，可得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋16＝0； 当斜率不存在时，直线l的方程为x＋4＝0.此时直线l被圆C截得的弦长为6，符合题意. 故所求直线l的方程为x＋4＝0或3x－4y＋16＝0. 【变式探究】　在本典例条件下，求圆C1和圆C2的公共弦长. 解：由典例3解析过程可知，A（－4，0），B（0，2），则圆C1和圆C2的公共弦长｜AB｜＝＝2. 任务三 两圆相切问题 【例3】　 （1）以（3，－4）为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为 . 解析：设所求圆的半径为r， 则＝｜8－r｜， 解得r＝3或r＝13，故所求圆的方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝9或（x－3）2＋（y＋4）2＝169. （2）求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程. 解：已知圆C的方程可化为（x－1）2＋y2＝1， 则圆心为C（1，0），半径为1. 设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）. 由题意，可得 解得或 所以所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36. 总结： （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只说相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）. 练习3、已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A（0，－4），若圆O2与圆O1相切于点B（2，2），求圆O2的方程. 解：因为圆O1的方程可以化为（x－4）2＋（y－4）2＝16， 所以圆心O1（4，4）， 因为圆O2与圆O1相切于点B（2，2）， 所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为（a，a）， 因为圆O2过点A（0，－4），所以圆O2与圆O1外切， 又圆O2过点B（2，2）， 所以a2＋（a＋4）2＝2（a－2）2， 解得a＝0， 所以圆O2的方程为x2＋y2＝16. 任务四 两圆相离问题 【例4】若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， ∴，所以两圆相离． 又A为圆上的动点，B为圆上的动点， ∴的最大值是， 故选：D． 练习4、已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为___________ 【分析】根据题意易求出点的轨迹为圆，轨迹方程为，再根据两圆的位置关系即可求出的最小值． 【详解】设，由可得，，化简得，，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为，点Q在圆上，两圆的圆心距为，所以两圆相离，故的最小值为． 故答案为：． 任务五 与圆相关轨迹问题 【例5】平面直角坐标系中,,,点满足,求点的轨迹方程. 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理． 【详解】∵，即 设，则，整理得 练习5、已知圆的直径，动点与点的距离是它与点的距离的倍． 试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系． 如图 2. 5-7， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．由，得，． 设点的坐标为，由，得， 化简，得，即． 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆（图 2.5-7)． 因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，， 又，所以点的轨迹与圆相交． 总结：直接法求轨迹方程 当动点直接与已知条件发生联系时,在设出曲线上动点的坐标为后,可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言,从而得到轨迹方程.这种求轨迹方程的方法称为直接法. 补充练习：吉希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为______ 【详解】设动点，由，得， 整理得，即点的轨迹方程为：， 又因为圆上有且仅有一个点满足， 所以两圆相切， 圆的圆心坐标为，半径为2， 圆C：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，，得 当两圆内切时，，，得． 故答案为：1或5 学科网（北京）股份有限公司 $