精品解析：江西宜春市丰城市第九中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

丰城九中2026-2027学年上学期高二年级十月阶段性 数学检测 考试时间：10月14日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 直线与椭圆总有交点，则取值范围（ ） A. 且 B. C. D. 6. 若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 2 10. 已知动点满足，则（ ） A. x的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为1 11. 椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的周长为12 B. 存在点，使 C. 的最大值为12 D. 到的距离的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆：（）的离心率为，点在上，则________． 13. 已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 14. 椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 16. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 17. 已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 （1）求点P的轨迹E的方程; （2）设点，点，求的最大值; 18. 已知椭圆：（）过点，右焦点为，圆：，直线：（）与圆、椭圆分别相切于点，． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的方程； （3）求四边形的面积（为坐标原点）． 19. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2026-2027学年上学期高二年级十月阶段性 数学检测 考试时间：10月14日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，然后利用倾斜角与斜率的关系得到直线的倾斜角. 【详解】直线可化为. 于是设直线倾斜角为，则， 所以，即倾斜角为. 2. 过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 3. 一条过原点的直线与椭圆的一个交点为，则它被椭圆截得的弦长等于（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知直线与椭圆的一个交点为，可求得其与原点的距离，根据对称性可知，直线被椭圆截得的弦长为两交点分别与原点的距离之和，从而得出答案. 【详解】设过原点的直线的方程为：，直线与椭圆的一个两个交点分别设为， 则根据对称性可知两点关于原点对称，即， 而 直线被椭圆截得的弦长为,所以. 故选：B. 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5. 直线与椭圆总有交点，则取值范围（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 6. 若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即， 则半径的取值范围是. 7. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若是上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得出，与联立得出即可求出. 【详解】由题意可知，， 设，则，， 因为，所以 ，则， 联立，得， 则，即，则解得， 故椭圆离心率的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 10. 已知动点满足，则（ ） A. x的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 11. 椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的周长为12 B. 存在点，使 C. 的最大值为12 D. 到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为​，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆​，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，​到距离等于，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆：（）的离心率为，点在上，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为椭圆的离心率，即， 又点在上，得，整理可得， 所以，又，故． 13. 已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】 如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ， 则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 14. 椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 四、解答题：本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． 【小问2详解】 设是边的中点， 则，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 16. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的方程； （2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，再利用待定系数法求出，即可得解； （2）分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，结合弦长公式及点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 依题意，设圆的方程为， 则有，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由弦长公式知，解得， 即圆心到直线的距离为1， 当直线斜率不存在时，即符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 17. 已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 （1）求点P的轨迹E的方程; （2）设点，点，求的最大值; 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. 【小问2详解】 由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 18. 已知椭圆：（）过点，右焦点为，圆：，直线：（）与圆、椭圆分别相切于点，． （1）求椭圆的方程； （2）求直线的方程； （3）求四边形的面积（为坐标原点）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解斜率； （3）设直线与轴的交点为，切点，由直线与椭圆相切即可求得点的坐标，然后分别求出，即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线与圆相切，所以， 整理得，又，得， 所以直线的方程为； 【小问3详解】 设直线与轴的交点为，切点，则点的坐标为， 联立，消得，解得，即， 则， ， 所以． 19. 已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【小问1详解】 法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， 【小问3详解】 存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $