精品解析：江西省南昌市进贤县李渡中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学第一次月考卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线的一个方向向量为可得，又因为，所以. 3. 已知方程表示圆，则a的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 4. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 5. 已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 8. 已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中两点关于对称的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 11. 已知椭圆为的右焦点，点在上且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. 的最小值为 B. 为定值 C. D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，求出，结合为线段中点，及的最小值求解，判断选项A；设点，根据对称关系求出，进而求出，结合点在椭圆上得出，进而判断选项B；利用椭圆的定义判断选项C；利用中点的性质得出，再利用垂直关系结合构造方程求出，从而证明结论． 【详解】选项A：由题意得， 为线段中点， ， 的最小值为， 的最小值为，故A正确； 选项B：由题意右焦点，设点， 关于轴对称， ， ， 点在上， ，即，代入得到， 显然随着变化而变化，不为定值，故B错误； 选项C：设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性知且， 分别为线段的中点， ， 又， 由椭圆的定义知，故C正确； 选项D：分别为线段的中点， ， 若，则，即，此时， 由选项B，令，解得， 存在点，使得， 故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 13. 已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，在中根据得到，结合求出的范围，最后利用两点间距离公式建立不等式计算求解. 【详解】由题可知圆心，半径， 过点作于点，连接， 在中，，所以， 又，所以， 又在直线上，所以， 所以， 所以， 解得，所以的取值范围是. 14. 在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． 【小问2详解】 由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 16. 已知点满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最小值． 【答案】（1）40；10. （2）． 【解析】 【分析】（1）设，根据直线与圆有公共点结合点到直线的距离公式计算求解； （2）解法一：设，代入利用三角恒等变换化简计算求解即可；解法二：根据的几何意义，利用两点间距离公式计算求解. 【小问1详解】 表示以为圆心，为半径的圆， 设，直线与圆有公共点， ． ， 即的最大值为40，最小值为10. 【小问2详解】 解法一：设， 则， ∴其最小值为． 解法二：设是圆上的点，圆外一点， 则的几何意义是，而最小值是，即． 17. 已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 【答案】（1） （2）;或 【解析】 【分析】（1）由面积公式和离心率公式，解得，可得椭圆方程. （2）设出点坐标，将表示成关于纵坐标的二次函数，从而求解. 【小问1详解】 以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即. 由，得，则，即. 代入解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可设，且满足，即，. 而上顶点，则， .所以当时， 所以的最大值为.此时，， 所以点坐标为或. 18. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】（1），圆的方程为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【小问1详解】 将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求， 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 【小问3详解】 当切线斜率不存在时，直线方程为， 与圆，圆心到直线的距离为，显然相切， 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ， 即，由圆心到切线距离等于半径得， 整理得 ，解得 代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆． （1）判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）圆内含于圆， （2） （3）存在或或 【解析】 【分析】（1）求出圆心距后可判断两圆位置关系；是关于直线的对称点，两圆半径相等，求出圆心，进而求出圆的方程； （2）设，则，将表示成的函数求解范围； （3）若存在，使为定值，则由整理后的方程系数为求解． 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心距， ，故圆内含于圆； 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得，故圆方程为． 【小问2详解】 由相切，知，设，则， 故， 令，则在单增，故， 当时取等号， 的取值范围是． 【小问3详解】 由题设，满足方程， 若存在，使为定值， 而，， 整理得， 将代入，得：， 整理可得， 要使为定值， 则，解得或， 综上，存在或，使为定值，该定值对应为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第一次月考卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 2. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示圆，则a的值不可能为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中两点关于对称的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 11. 已知椭圆为的右焦点，点在上且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A. 的最小值为 B. 为定值 C. D. 存在点，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 13. 已知圆C：，点在直线上运动.若C上存在点Q，使，则的取值范围是___________. 14. 在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： （1）过点，且与直线平行的直线方程； （2）已知，，求线段的垂直平分线的方程． 16. 已知点满足，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最小值． 17. 已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标． 18. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和点P，且圆心在直线上． （1）求定点P的坐标与圆C的方程； （2）过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程． （3）过点引圆的切线，求切线方程． 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆． （1）判断圆与圆的位置关系，并求圆的方程； （2）设为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，求的取值范围； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $