江苏 苏州市姑苏区振华中学2026-2027学年上学期九年级十月学情自测数学卷

2026－2027学年苏州市姑苏区振华中学校初三10月月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分） 1．下列函数，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．与轴交于点 C．对称轴是直线 D．时，随增大而增大 5．2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（ ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 二、填空题（共8小题，每题3分） 9．已知，则锐角________． 10．抛物线与轴只有一个交点，则________． 11．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，则当体积时，气体的密度为________． 12．将二次函数化为的形式，结果为________． 13．如图，在边长为1的小正方形网格中，B、C、D都在格点上，与相交于点，则________． 14．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于________米． 15．如图，正方形的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 16．如图，将一块长方形直尺与一块含角的直角三角形按如图所示位置放置，斜边与，交于点P，Q，直角边与，交于点M，N，若，，则的长是________． 三、解答题（共11小题，共82分） 17．（6分）计算：． 18．（6分）已知函数是关于x的二次函数，有最小值． ①求出此时m的值及二次函数的解析式； ②求出此函数与x轴的交点坐标． 19．（6分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 20．（8分）已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． _______ 2 ______ 2 -1 ．．． （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图象． （3）根据图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②当时，的取值范围是________． 21．（6分）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 22．（8分）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为________； （3）请直接写出不等式的解集为________． 23．（7分）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．（参考数据：，，，，，） （1）求的长； （2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 24．（7分）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴，垂足为D，将沿所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F． （1）求的值； （2）若点E的纵坐标为2，求k的值． 25．（8分）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． （1）________；________； （2）点C是线段上一点，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接，，，若四边形的面积，求点C的坐标； （3）将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点D的对应点的坐标． 26．（10分）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比。如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比。 （1）【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）抛物线关于轴的矢高是________，跨径是________，矢跨比是________； （2）【应用】如图3是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比。 27．（10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）将三角板绕点O旋转到图1所示位置，使得轴，且，则a的值是________； （2）在（1）的结论下，小明将三角板绕点O旋转到图2所示位置时，过B作轴于点F，若，求此时点A、B的坐标； （3）在（1）的结论下，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $