精品解析：江苏省苏州市振华中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期初三年级阶段性测试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A. ﹣2 B. 4 C. 4或﹣2 D. 4或3 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 D. 若直线和圆有公共点，则直线和圆相交 3. 如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是（　　） A. 4cm B. 8cm C. cm D. cm 4. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A. 56° B. 62° C. 68° D. 78° 6. 如图，是的切线，为切点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 8. 如图，内接于，半径，连接CO并延长交于点D，过点O作半径交BC于点E，连接AE，以下结论：①；②；③；④四边形AOCE为菱形．其中一定正确的结论的序号为（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（共8小题，每题3分） 9. 如图，的顶点A、B、C均在上，若，则的大小是_____． 10. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积为________． 11. 已知中， ，则弦和的大小关系是___________． 12. 如图，、、、四个点均在上，，，则的度数为___________． 13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠B＝25º，则∠C的度数是_______． 14. 如图，为的直径，点在上，且，过点作的切线交的延长线于点．若，连接，则的长为__________． 15. 如图，正方形的边长为4，是的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为___________． 16. 如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 ____ ． 三、解答题（共11小题，共82分） 17. 已知关于的函数． （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？ 18. 一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 19. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 20. 如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积． 21. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，求的长． 22. 如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 23. 如图，、是的切线，切于点，的周长为12，． （1）求的长； （2）求的度数． 24. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（）的条件下，若，求阴影部分的面积． 25. 【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算的长和扇形的面积（取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ 26. 如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 27. 如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC； （2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； （4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三年级阶段性测试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分） 1. 若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A. ﹣2 B. 4 C. 4或﹣2 D. 4或3 【答案】B 【解析】 【详解】解：函数 是二次函数， 可得，解得a=4或a=-2， 又因为图像开口向上，所以a=4， 故选：B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等 C. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 D. 若直线和圆有公共点，则直线和圆相交 【答案】C 【解析】 【分析】由垂径定理得出选项A错误；由圆心角、弧、弦的关系得出选项B错误；由圆周角定理得出选项C正确；由直线和圆的位置关系得出选项D错误；即可得出结论． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A不正确； B．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B不正确； C．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故C正确； D．若直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交，故D不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、直线和圆的位置关系；熟记有关定理和性质是解决问题的关键． 3. 如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是（　　） A. 4cm B. 8cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出． 【详解】∵正六边形的边长是4cm， ∴正六边形的半径是4cm， ∴这个圆形纸片的最小半径是4cm． 故选：A． 4. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确； D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A. 56° B. 62° C. 68° D. 78° 【答案】C 【解析】 【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 6. 如图，是的切线，为切点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握上述性质与定理．先利用切线的性质证明，，再利用垂直的意义得出，，然后四边形的内角和为360度得出，再利用圆周角定理求出，即可求得． 【详解】解：连接、，如图， 、是切线， ，， ， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】确定点C的运动路径是:以D为圆心,以为半径的圆,当O、C、D共线时, OC的长最小,先求D的半径为1 ,说明D是AB的中点, 根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=,所以OC的最小值是. 【详解】当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点, 是的中点， 当点P在线段AB上时, 是中点,取的中点为D， 点C的运动路径是以D为圆心,以D为半径的圆(CA: PA=1 : 2 ,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆) , 当O、C、D共线时, OC的长最小，设线段AB交B于Q， 中，OA=3,OB=3, . 半径为2, 是的中点, 是的中点, 即半径为1, 故选D. 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键, 也是本题的难点 8. 如图，内接于，半径，连接CO并延长交于点D，过点O作半径交BC于点E，连接AE，以下结论：①；②；③；④四边形AOCE为菱形．其中一定正确的结论的序号为（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可． 【详解】令交于点， 由题意得：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ， ， ， ， 故四边形为菱形，选项④正确； ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ， ∴，②正确； ，③错误； 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题3分） 9. 如图，的顶点A、B、C均在上，若，则的大小是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得出，然后结合已知求解即可．． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用圆锥的底面半径为4，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】依题意知母线长=6，底面半径r=4， 则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×4×6=24π， 故答案为24π. 【点睛】考查圆锥侧面积的计算，熟记计算公式是解题的关键. 11. 已知中， ，则弦和的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，、、、四个点均在上，，，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】首先连接，由、、、四个点均在上，，，可求得与的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠B＝25º，则∠C的度数是_______． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据圆周角定理得，因为AC是⊙O的切线，得，即可求得． 【详解】∵AC是⊙O的切线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴∠C=40° 故答案为：40° 【点睛】本题考查圆的切线性质和圆周角定理，属于常考知识点． 14. 如图，为的直径，点在上，且，过点作的切线交的延长线于点．若，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，，则，，由可求得，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：连接，如图， ∵为圆的切线，且点为切点， ∴， 即； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， 即， ∴， 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，已知切线，连接过切点的半径是常作的辅助线． 15. 如图，正方形的边长为4，是的中点，是边上的动点，连接，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 分两种情形分别求解：当与直线相切时，在中，，然后利用勾股定理求解即可；当与直线相切时．设切点为，连接，则，那么四边形是矩形，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1中，当与直线相切时，设． 正方形的边长为4，是的中点， ，， 在中，， ， ， ， ． 如图2中，当与直线相切时．设切点为，连接，则，那么四边形是矩形． ， ， ， 在中，． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 16. 如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 ____ ． 【答案】. 【解析】 【分析】连接OG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG=OF=r，进而求出圆的半径，再证明△OFQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案． 【详解】解：连接OG，过O点作OH⊥BC于H点，设圆O与BC交于Q点，如下图所示： 设圆的半径为r， ∵CD是圆的切线， ∴OG⊥CD， ∴△DOG∽△DFC， ∴，由翻折前后对应的线段相等可得DF=DA=4， ∵F是BC的中点，∴CF=BF=2，代入数据： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴∠ODG=30°，∴∠DFC=60°， 且OF=OQ，∴△OFQ是等边三角形， ∴∠DOQ=180°-60°=120°， 同理△OGQ也为等边三角形， ∴OH=，且S扇形OGQ=S扇形OQF ∴ . 故答案为：. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键． 三、解答题（共11小题，共82分） 17. 已知关于的函数． （1）当为何值时，此函数是二次函数？ （2）当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由二次函数的概念可得 解得且； 【小问2详解】 解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 18. 一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． （1）求该多边形的边数； （2）若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. 【小问2详解】 解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 19. 如图，在坐标系中，、、． （1）在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】（1） （2） （3）外 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【小问1详解】 解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 20. 如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，准确做出辅助线求解是解题的关键． 连接，，，，，，，，根据已知条件求出，再计算4个三角形面积即可； 【详解】如图，连接，，，，，，，， 圆与四边形各边相切， ，，，， ， ，，， ， 又圆与四边形各边相切， ，，，， 圆的半径为2， ， ． 故答案． 21. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．先根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 23. 如图，、是的切线，切于点，的周长为12，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理． （1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论，即可求出的长； （2）根据三角形的内角和求出和的度数和，然后根据切线长定理，得出和的度数和，再根据三角形的内角和求出的度数． 【小问1详解】 解：，都是圆的切线， ， 同理，， 三角形的周长， 即的长为6； 【小问2详解】 解：， ， ， ，是圆的切线， ； 同理：， ， ． 24. 如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，，连接交于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（）的条件下，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）连接，如图，利用垂径定理的推论得到，再利用得到 ，然后利用角度的代换可证明，则，从而根据切线的判定定理得到结论； （）设的半径为，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （）利用圆周角定理得到，则，接着在 中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积； 本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，圆周角定理，扇形面积的求法和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 在中，， 解得 ， （舍去）， 即的半径为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ． 25. 【主题】利用圆形纸片制作立体图形 【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水； 【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）； 活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）； 活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形； 【实践探究】 （1）计算的长和扇形的面积（取3）； （2）求圆锥的高； （3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？ 【答案】（1），扇形的面积约为； （2）圆锥的高为； （3）最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【解析】 【分析】（1）连接，，先证明是等边三角形，利用垂径定理结合三角函数的知识求得，即可求得，再利用扇形的面积公式求解即可； （2）先求得圆锥的底面半径，过点作垂直于底面，连接，在中，利用勾股定理求解即可； （3）根据每个圆形纸片可制作的扇形纸片3张，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：连接，，记与交于点， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴扇形的面积； 【小问2详解】 解：设圆锥的底面半径为，， 由题意得， ∴， 过点作垂直于底面，连接， 在中，， 即圆锥的高为； 【小问3详解】 解：每个圆形纸片制作的扇形纸片： （个） 制作20个这样的立体图形，需要的扇形纸片： （个） ， 答：最少需要准备个半径为的圆形纸片． 【点睛】本题考查了扇形的面积，圆锥的相关计算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26. 如图，是的外接圆，是的切线，且，作射线交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）作平分，交于点，． ①判断与的数量关系，并求的值； ②若，，则的半径为_________． 【答案】（1） 证明：连接交于H， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）连接交于H，根据切线的性质和平行线的性质可得出，故垂径定理得出，然后根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）①根据弧、弦的关系以及圆周角定理得出，根据角平分线的定义得出，结合三角形的外角的性质可得出，最后根据等角对等边可判断出；设，则，，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可求解； ②证明，根据相似三角形的性质求出，，由①知，则可求，，，，证明，根据相似三角形的性质求出，则，，根据勾股定理求出，连接，在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， 由①知， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 连接， 在中， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确找出相似三角形的解题的关键． 27. 如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）． （1）求x为何值时，PQ⊥AC； （2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式； （3）当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； （4）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）． 【答案】（1）45，165； （2）； （3）证明：当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°； ∴NC=x， ∴BP=NC， ∵BD=CD， ∴DP=DN； ∵AD⊥BC，QN⊥BC， ∴AD∥QN， ∴OP=OQ， ∴S△PDO=S△DQO， ∴AD平分△PQD的面积； （4）当x=或时，以PQ为直径的圆与AC相切；当0≤x＜45或45＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交． 【解析】 【分析】（1）若使PQ⊥AC，则根据路程=速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解； （2）首先画出符合题意的图形，再根据路程=速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解； （3）根据三角形的面积公式，要证明AD平分△PQD的面积，只需证明O是PQ的中点．根据题意可以证明BP=CN，则PD=DN，再根据平行线等分线段定理即可证明； （4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论． 【详解】（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC， 当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x； ∵AB=BC=CA=4， ∴∠C=60°； 若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°， ∴PC=2CQ， ∴4-x=2×2x， ∴x=45； 当x=45（Q在AC上）时，PQ⊥AC； 当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=12x，AC+AQ=2x； ∵AC=4， ∴AQ=2x-4， ∴2x-4+12x=4， ∴x=165， 故x=165时PQ⊥AB； （2）y=， 当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N，如图； ∵∠C=60°，QC=2x， ∴QN=QC×sin60°=3x； ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=12BC=2， ∴DP=2-x， ∴y=12PD•QN=12（2-x）•3x=； （3）略 （4）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离， ①当点Q在AC上时，由（1）可知，当x＝时，以PQ为直径的圆与AC相切； ②当点Q在AB时，如图， 设以PQ为直径的圆与AC相切于点G，圆心为O′，连接O′G，则有O′G⊥AC， 过点Q作QE⊥AC于E，过点P作PF⊥AC于F，则QE∥O′G∥PF， ∵QO′＝PO′， ∴EG＝FG， ∴O′G＝（QE＋PF）， ∴PQ＝2O′G＝QE＋PF， 由题意可得，CP＝4−x，AQ＝2x−4， ∴QE＝AQ•sin60°＝，PF＝PC•sin60°＝， ∴PQ＝， 过点Q作QN⊥BC于N， 在Rt△BNQ中，QN＝BQ•sin60°＝，BN＝BQ•cos60°＝（8−2x）＝4−x， ∴PN＝x−（4−x）＝2x−4， 在Rt△QNP中，根据勾股定理可得：， 整理可得：25x2−160x＋256＝0， 解得：x1＝x2＝， 综上所述，当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切，当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、三角函数、切线的性质、平行线分线段成比例、中位线定理、勾股定理、解一元二次方程等知识，其中第（4）小题有一定难度，将三角函数与勾股定理相结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $