精品解析：北京市第十三中学2026-2027学年上学期高三十月月考数学试卷

北京市第十三中学2026~2027学年第一学期 高三数学十月测试 2026年10月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，答题纸第1页至第4页．共150分，考试时间120分钟．请在答题卡规定处书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列 的前项和为，且，则等于（ ） A. 14 B. 17 C. 23 D. 26 3. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，，，，，则（） A. B. C. D. 5. 一个底面直径为、高为的实心圆锥工件，沿平行于底面的平面，从顶端切下一个高为的小圆锥．将剩余部分熔铸成一个底面直径为的圆柱，不计损耗，则圆柱的高为（） A. B. C. D. 6. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F在线段上运动，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 随点E，F的位置变化 8. 在中，“”是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 函数的定义域为______． 12. 已知是第四象限角，且，则____________，____________. 13. 函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 14. 已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为_______． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点（含端点），，设．给出下列四个结论： ①平面； ②存在E，F，使直线，所成的角为； ③存在唯一的点E，使三棱锥的体积为； ④二面角正切值的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（作答需写出详细的运算过程和演算步骤，共6小题，满分85分） 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若是函数的一个零点，求的最小值. 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示. （1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率； （2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论） 20. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 21. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十三中学2026~2027学年第一学期 高三数学十月测试 2026年10月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第6页，答题纸第1页至第4页．共150分，考试时间120分钟．请在答题卡规定处书写班级、姓名、准考证号．考试结束后，将本试卷的答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 已知等差数列 的前项和为，且，则等于（ ） A. 14 B. 17 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，分别求出求得，或根据等差数列的前项公式求得. 【详解】设等差数列 的公差为，则由题可知，解得. 所以. 所以. 方法二：. 故选：B. 3. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，若和方向相同，得：  ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 4. 已知，，，，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数性质化简；由知指数函数单调递减，比较指数得；再由判断且，最终得大小关系. 【详解】已知，且，则， ， 因为底数，所以指数函数在定义域上是单调递减的， 因为，所以， 所以，即， 因为且，所以 而，因此 综上可得：. 5. 一个底面直径为、高为的实心圆锥工件，沿平行于底面的平面，从顶端切下一个高为的小圆锥．将剩余部分熔铸成一个底面直径为的圆柱，不计损耗，则圆柱的高为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式计算出大圆锥和切去的小圆锥的体积，从而得到剩余部分的体积，利用熔铸前后体积不变，结合圆柱体积公式列方程求解即可． 【详解】设大圆锥的底面半径为，高为，切去的小圆锥的底面半径为，高为， 圆柱的底面半径为，高为． 由题意可知，，，，，所以，． 因为小圆锥与大圆锥相似，所以，即，解得． 大圆锥的体积， 小圆锥的体积， 所以剩余部分的体积． 因为熔铸成圆柱后体积不变，所以圆柱的体积． 由，解得．故圆柱的高为． 6. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得. 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 7. 如图，棱长为2的正方体中，点E，F在线段上运动，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 随点E，F的位置变化 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知，正方体 的棱长为2 因为点 在线段 上，所以 所在的平面即为平面 . 在 中，底边长 因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， 即 为点 到直线 的距离. 因为 平面 ，所以 ，且， ， 所以 平面 .设 ， 则 的长度即为点 到平面 的距离 在正方形 中， ，所以 8. 在中，“”是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式结合充分，必要条件的定义，判断求解即可. 【详解】在中，若， 若，，此时满足， 而为钝角，则不为钝角； 反之：若为钝角，则， 在中，，则，即. 所以“”是“为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 10. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分离参数得到，构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系，结合有且只有一个负整数满足条件，列不等式组求解即可. 【详解】令，即. 因为，所以. 令，， 则. 令，则或（舍去，不满足）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又，为负整数，所以. 若唯一满足条件的是，则，无解. 若唯一满足条件的是，则，所以. 若唯一满足条件的是，即，此时，不满足唯一解. 同理，当时，不满足唯一解. 综上，的取值范围是. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知是第四象限角，且，则____________，____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由是第四象限角，得. 由，得. 又，解得. 所以. 13. 函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 【答案】 ①. 1 ②. 0 【解析】 【分析】由奇函数确定，再由最值确定. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得，经验证符合； 所以，又恒成立， 所以恒成立， 所以，即. 故答案为：1； 0 14. 已知函数的一条对称轴为，且函数在上具有单调性，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意求出解析式，进而求出对称中心，结合正弦函数性质与给定条件将表示出来，再求解最小值即可. 【详解】因为的一条对称轴为， 所以不妨设，代入解析式中，得到， 而，得到，则， 解得，令，得到， 则，令， 解得，则关于中心对称， 因为，且函数在上具有单调性， 所以由正弦函数性质得，解得， 故，当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为： 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点（含端点），，设．给出下列四个结论： ①平面； ②存在E，F，使直线，所成的角为； ③存在唯一的点E，使三棱锥的体积为； ④二面角正切值的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①建立空间直角坐标系，根据垂直关系的坐标表示及线面垂直的判定定理证明即可；②由①可知，，即直线，所成的角恒为，即可判断是否正确；③根据等体积法求解即可；④根据二面角的向量求法及同角的三角函数关系求出，结合换元法、导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】①以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，. ，，. 因为，所以，即. 因为，所以，即. 又平面，，所以平面，①正确. ②由①得，平面，因为平面，所以. 故对，恒成立，即夹角恒为，②错误. ③正方体中，点到平面的距离为， . 又，所以，即， 整理得，即，解得， 故存在唯一的点E，使三棱锥的体积为，③正确. ④平面，即平面的一个法向量为. ，. 设平面的法向量为. 则，即， 令，则，，所以. ， ， 设，则，所以，. 设二面角的平面角为， 则. 所以， 所以，. 令，则，所以， 所以，. 记，， 则，当且仅当时，取等号， 故在上单调递增. 当（，）时，取得最小值，为； 当（，或）时，取得最大值，为. 故. 所以，④正确. 综上，正确结论的序号是①③④. 三、解答题（作答需写出详细的运算过程和演算步骤，共6小题，满分85分） 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调增区间； （2）若是函数的一个零点，求的最小值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简函数，进而求得函数的最小正周期和单调增区间； （2）由条件可得，结合，求得答案. 【小问1详解】 由函数， 所以函数的最小正周期为. 由，， 得，， 所以函数的单调增区间为，. 【小问2详解】 因为是函数的一个零点， 可得，即， 所以，，即，， 又因为，所以的最小值为. 17. 在中，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：，； 条件②：，的周长为20； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1） （2）选条件②③时，最长边上的高为. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合辅助角公式可求； （2）条件①中三角形不唯一，若选条件②，则可以通过余弦定理求出两边，故可求最长边上的高；若选条件③，利用正弦定理可求边，再由余弦定理求得，故可求最长边上的高. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 所以，而， 故即. 【小问2详解】 若选①，则，，由余弦定理可得， 整理得到：，故或， 因为三角形不唯一，故舍； 若选②，则，的周长为20， 故，由余弦定理得，故， 故最长边为，该边上的高为； 若选③，则，，由正弦定理得， 故，由余弦定理可得， 解得或(舍)，以下同选条件②. 18. 如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）连接，证明点为的中点即可证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）结合题意，过作平面，以为原点，分别为轴的正方向，利用坐标法求解即可； （3）设，则，利用点满足即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 19. 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示. （1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率； （2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为，月平均期望薪资对应数据的方差为，判断与的大小（只需写出结论） 【答案】（1）； （2）分布列为： 0 1 2 ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案. （2）的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案. （3）根据数据的波动性得到答案. 【小问1详解】 根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故 【小问2详解】 的可能取值为，则 ；； 分布列为： 0 1 2 【小问3详解】 根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，方差，意在考查学生的综合应用能力. 20. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明如下： 由，得． 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 当时，，． 又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数存在极小值． （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出求，得到，然后利用点斜式写出切线方程； （2）求导得，令函数，则求导可得，则函数在递减，在上单调递增，再根据，，则可证明出函数在上有一个零点，可证明出函数在递减，在上递增，在处取得极小值； （3）当时，由（2）可知，即函数恒成立，恒成立，所以函数在上递增，故只需即可，解得；当时，由（2）可知存在，使得，函数在上递减，，不符合条件，综上可得. 【小问1详解】 当时，， 所以． 所以． 曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（2）得，所以． 所以在上单调递增， 所以的最小值为． 由，得，满足题意． ②当时，由（2）知，在上单调递减， 所以在上，不满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 【点睛】本题的难点在于函数极值点的判断、考查导数与不等式恒成立问题的求解，解答时注意以下几点： （1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围； （2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 21. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】（1），， （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【解析】 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为，， （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $