2026-2027学年浙教版八年级数学上册期中模拟卷

2026-2027学年浙教版八年级数学上册期中模拟卷（解析版） 测试范围:第1章三角形3章一元一次不等式 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，要使，不能添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的有（     ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．是自然数，且，若，那么，的最大值是（　　） A．2225 B．2226 C．2227 D．2228 10．如图，在中，，以为斜边向外作，且，连接，M，N分别是，的中点．若，则的长为（   ）． A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是________． 12．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 13．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ． 14．已知实数，，满足，．若，则的最大值为________． 15．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 16．如图，在中，、边上的垂直平分线、交于点，连接，点为的中点，连接．若的周长为30，，，则四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，在中． (1)求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长 18．（8分）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： (1)平分． (2)，求的面积． 19．（8分）列方程（组）或不等式解决下列问题： 2026外滩大会于9月9日至12日在上海黄浦世博园区举行，大会以“共创新经济”为主题，吸引全球超300家科技企业参展，国际参与度创历届新高．某科技公司展示了A、B两款机器人，且两台A款机器人的售价比一台B款机器人的售价多5万元，4台A款机器人和5台B款机器人共59万元． (1)A、B两款机器人每台售价分别是多少万元？ (2)因玩具消费市场热度高涨，多款产品持续热销，某玩具公司决定向该科技公司采购A、B两款机器人共30台，对现有生产线进行自动化升级改造．在该玩具公司生产线，一台A款机器人投入使用后，产能可达到300件/小时；一台B款机器人投入使用后，产能可达到350件/小时．若该生产线实行24小时连续生产模式，A、B两款机器人同时作业，整条生产线日产量不低于24万件，则最少要采购多少台B款机器人？ 20．（8分）等高三角形的定义：若两个或多个三角形有一条高相等，则称它们为等高三角形．等高三角形的面积比等于对应底边长的比． (1)如图1，点M在边上，连接，则把分成和．已知，求分别与，的面积比． (2)如图2，是的两条中线，与相交于点O，若，求四边形的面积． 21．（9分）一线三垂直问题： (1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________； (2)如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； (3)如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________． 22．（10分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发秒后，求的周长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 23．（10分）如果某个不等式（组）的解集中，至少包含一个方程（组）的解，则称该不等式（组）为这个方程（组）的“包容不等式（组）”． 例如：不等式是方程的“包容不等式”，因为包含在的解集中； 不等式组是方程组的“包容不等式组”，因为包含在的解集中，也包含在中． (1)下列不等式（组）中是方程的“包容不等式（组）”是_________（填序号）． ①；②；③ (2)已知整数，，关于的不等式组是方程的“包容不等式组”，且该不等式组有且只有4个整数解，求的最大值． (3)已知关于，的方程组的解满足，．若不等式组是该方程组的“包容不等式组”，求的取值范围． 24．（11分）【初步探索】（1）如图1，点、在直线的同侧，点在直线上，点到的距离，点到的距离，则的最小值为________； 【深入探究】（2）如图2，在中，，为内一点，且满足，求周长的最小值； 【拓展应用】（3）如图3，公园里有一块三角形区域，该区域的供水中心在边上，其中，，，．管理部门现计划修建一块四边形花圃，其中、在内部，满足，且花圃面积为，同时为了方便灌溉，决定铺设两条水渠、．为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满足条件的一点，使得最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版八年级数学上册期中模拟卷（解析版） 测试范围:第1章三角形3章一元一次不等式 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误. 2．如图，若与关于直线对称，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，和不一定平行， ∴不一定正确的是． 3．如图，已知，要使，不能添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，，， ∴； 添加后无法证明． 4．下列命题是真命题的有（     ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：①两直线平行时同位角才相等，故①是假命题； ②垂线段最短，故②是真命题； ③在同一平面内，经过直线上一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，命题缺少该前提，故③是假命题； ④的平方根与算术平方根都是，故④是真命题； ⑤的平方根是，是的一个平方根，故⑤是真命题； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故⑥是假命题； 综上，真命题共个． 5．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 6．已知，则下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； B、不等式两边先同时乘以，再减，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； C、不等式两边同时加，不等号不变，得到，选项结论错误，不合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号变号，得到，选项结论正确，符合题意. 7．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，由三线合一定理和三角形的面积公式求出的长，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵等腰三角形的底边的长为4，D为底边的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积为12， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交于点E，F， ∴， ∴的周长， ∴当A、D、M三点共线时，的周长有最小值，最小值为． 8．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，根据题意第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，得到两个解集端点的大小关系，列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得． ∵所有满足的都满足， ∴， 解得：． 9．是自然数，且，若，那么，的最大值是（　　） A．2225 B．2226 C．2227 D．2228 【答案】B 【分析】本题考查了自然数的性质，不等式的性质，解题关键是找出连续的100个自然数，使其和最接近7001．根据题意得出，求出，进而得出，当时，100个自然数的和等于6950最接近7001，此时，为了使前50个数和最大，应将个1分配给后51个数，此时有最大值，即可求解． 【详解】解：是自然数，且， 若， 则， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， 所以，当，，……，，，，……，时， 有最大值，最大值为， 故选：B 10．如图，在中，，以为斜边向外作，且，连接，M，N分别是，的中点．若，则的长为（   ）． A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的相关性质，灵活掌握这些性质是解题的关键． 连接、，推出是等腰三角形，再计算出，推出是等腰直角三角形，最后算出的长度． 【详解】解：连接、， 在中，，M是的中点，， ， 在中，，M是的中点，， ， ，， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， N是的中点， ，（等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，在的正方形网格中，，两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点也是该网格的格点，则点的个数是________． 【答案】4 【分析】当是等腰三角形时，有三种情况：①以为腰，且B为顶角顶点时，满足条件的点为点，②以为腰，且A为顶角顶点时，满足条件的点有：，③当为底边时，满足条件的点为点，所以一共有4个． 【详解】解：∵，如图所示： 符合条件的点C一共有4个． 12．已知a，b，c为的三边，且满足，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合已知条件表示出和，再根据三角形三边关系列出不等式，取解集的公共部分得到的取值范围． 【详解】解：∵，，为的三边，满足，， ∴联立两个等式相加得，即，两个等式相减得，即， 根据三角形任意两边之和大于第三边， 列出不等式，代入得，解得； 代入得，解得； 代入得，解得； 取三个不等式解集的公共部分，得． 13．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义推出，，再由三角形外角的性质可推出，则可证明，可得到规律（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得， ， ……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴． 14．已知实数，，满足，．若，则的最大值为________． 【答案】5 【分析】根据已知等式将和用表示，代入不等式得到的取值范围，再化简，根据的范围求最大值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，展开得，解得， ∵， 化简得， ∵， ∴， ∴的最大值为5． 15．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 16．如图，在中，、边上的垂直平分线、交于点，连接，点为的中点，连接．若的周长为30，，，则四边形的面积为______． 【答案】80 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，，结合的周长为30，可解得；证明，同理可得，由全等三角形的性质可得；证明为等腰三角形，进而可得，然后根据四边形的面积，进一步求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵、分别为、边上的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为30，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，同理可得， ∴， ∵，且点为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形的面积 ． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）如图，在中． (1)求作边的垂直平分线，与、分别交于D、E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为13，求的周长 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2) 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由的周长为，可求出，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长． 18．（8分）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： (1)平分． (2)，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，且点在内部， ∴平分． (2)24 【分析】（1）先证出，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）先得出，再求出的面积，然后根据三角形的中线性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵是的中点， ∴． 19．（8分）列方程（组）或不等式解决下列问题： 2026外滩大会于9月9日至12日在上海黄浦世博园区举行，大会以“共创新经济”为主题，吸引全球超300家科技企业参展，国际参与度创历届新高．某科技公司展示了A、B两款机器人，且两台A款机器人的售价比一台B款机器人的售价多5万元，4台A款机器人和5台B款机器人共59万元． (1)A、B两款机器人每台售价分别是多少万元？ (2)因玩具消费市场热度高涨，多款产品持续热销，某玩具公司决定向该科技公司采购A、B两款机器人共30台，对现有生产线进行自动化升级改造．在该玩具公司生产线，一台A款机器人投入使用后，产能可达到300件/小时；一台B款机器人投入使用后，产能可达到350件/小时．若该生产线实行24小时连续生产模式，A、B两款机器人同时作业，整条生产线日产量不低于24万件，则最少要采购多少台B款机器人？ 【答案】(1)A款机器人每台的售价为6万元，B款机器人每台的售价为7万元 (2)最少要采购20台B款机器人． 【分析】（1）分别设A款机器人每台的售价为万元，B款机器人每台的售价为万元，构造二元一次方程组求解即可； （2）设采购台B款机器人，构造不等式表示整条生产线日产量的不等关系求解即可 【详解】（1）解：设A款机器人每台的售价为万元，B款机器人每台的售价为万元， 则， 解得 答：A款机器人每台的售价为6万元，B款机器人每台的售价为7万元． （2）解：设采购台B款机器人， 由题得： 解得： 的最小值为20． 答：最少要采购20台B款机器人． 20．（8分）等高三角形的定义：若两个或多个三角形有一条高相等，则称它们为等高三角形．等高三角形的面积比等于对应底边长的比． (1)如图1，点M在边上，连接，则把分成和．已知，求分别与，的面积比． (2)如图2，是的两条中线，与相交于点O，若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据题意可得，再根据等高三角形的面积比等于对应底边之比解答； （2）先根据中线的定义及等高三角形的性质得，再根据重心的性质可得，进而求出，则此题可解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是等高三角形， ∴； （2）解：∵是的两条中线， ∴． ∵， ∴． ∵是的两条中线， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∴． 21．（9分）一线三垂直问题： (1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________； (2)如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； (3)如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明，则，即可解答． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 由（1）理可证，， ， ， ， ， ， ． 22．（10分）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发秒后，求的周长． (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)、、、 (3)或秒 【分析】(1)由勾股定理可得，由题意得出，则，由勾股定理求出，即可得解； (2)分四种情况：若点在上；若点在边上时，有三种情况： 当时，当时，当时，分别求解即可； (3)分两种情况：当在上，在上时，当在上，在上时，分别根据题意建立一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）如图1， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发2秒后，， ∴，， ∴的周长； （2）①如图2，若在边上时，， 此时用的时间为，为等腰三角形； ②若点在边上时，有三种情况： i）如图3，若使，此时，运动的路程为， 所以用的时间为，为等腰三角形； ii）如图4，若，过作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路程为，故用的时间为，为等腰三角形； ⅲ）如图5，当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路程为，故用的时间为，为等腰三角形； 综上所述，当t为、、、s时，为等腰三角形 （3）如图6， 当点在上，在上时，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 如图，当点在上，在上时，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当为或秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 23．（10分）如果某个不等式（组）的解集中，至少包含一个方程（组）的解，则称该不等式（组）为这个方程（组）的“包容不等式（组）”． 例如：不等式是方程的“包容不等式”，因为包含在的解集中； 不等式组是方程组的“包容不等式组”，因为包含在的解集中，也包含在中． (1)下列不等式（组）中是方程的“包容不等式（组）”是_________（填序号）． ①；②；③ (2)已知整数，，关于的不等式组是方程的“包容不等式组”，且该不等式组有且只有4个整数解，求的最大值． (3)已知关于，的方程组的解满足，．若不等式组是该方程组的“包容不等式组”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分别求出不等式组的解集和方程的解，根据不等式组的解集的情况确定的值，再由新定义确定的值，即可求解； （3）先解方程组可得，再由方程组的解满足，，得到，解得，然后可确定，则，再由定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得， ①，解得，由于在的解集中，故①是“包容不等式”； ②，解得，由于在的解集中，故②是“包容不等式”； ③，解不等式组得，由于不在的解集中，故③不是“包容不等式组”； （2）解：解不等式组可得，， ∵该不等式组有且只有4个整数解 ∴ 解得， 由于是整数，则或7或8， 解方程可得 ∵关于的不等式组是方程的“包容不等式组”， ∴， 由于是整数，则可以为， 要使得最大，则最大，取，最小，取 ∴的最大值为； （3）解：解方程组可得， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 由可得，，则， ∴， ∴，即， ∵不等式组是该方程组的“包容不等式组”， ∴让所有的都成立， ∴． 24．（11分）【初步探索】（1）如图1，点、在直线的同侧，点在直线上，点到的距离，点到的距离，则的最小值为________； 【深入探究】（2）如图2，在中，，为内一点，且满足，求周长的最小值； 【拓展应用】（3）如图3，公园里有一块三角形区域，该区域的供水中心在边上，其中，，，．管理部门现计划修建一块四边形花圃，其中、在内部，满足，且花圃面积为，同时为了方便灌溉，决定铺设两条水渠、．为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满足条件的一点，使得最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）25；（3） 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，延长，过点作于点，根据勾股定理求出，根据轴对称得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，且最小值为的长，即可得出答案； （2）根据，，得出点P到直线的距离为：，过点P作直线，直线l交于点D，则直线l与的距离为，点P在直线l上移动，在上取点，使，连接，交直线于点，连接，，根据垂直平分，得出，，根据两点之间线段最短，得出，从而得出当点P在点时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出的最小值，再根据为定值，得出此时的周长最小； （3）在上取点G，使，连接，，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得到，根据“”证明，得到，，从而，即当最小时，最小．求出．过点E作直线，过点G作于点H，则，根据的面积求出．在的延长线上取点K，且，连接，则，得到，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：（1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，连接，延长，过点作于点，如图所示： 则，四边形为长方形，， ∴，， ∴， ∴根据勾股定理得：， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为的长， ∴的最小值为5； （2）∵，， ∴点P到直线的距离为：， 如图，过点P作直线，直线l交于点D，则直线l与的距离为，点P在直线l上移动， ∵， ∴， ∴，， 如图，在上取点，使，连接，交直线于点，连接，， 则，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴当点P在点时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， 即的最小值为13， ∵为定值， ∴当的最小时，的周长最小， ∴的周长最小值为； （3）存在满足条件的一点，使得最小； 在上取点G，使，连接，，如图所示： ∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即当最小时，最小． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 过点E作直线，过点G作于点H，则 ∵，即， ∴， 在的延长线上取点K，且，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，为． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $