天津市第七中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

天津市第七中学2026-2027学年度高三年级10月考数学试卷 一、单选题(共9小题,每小题5分,共45分)》 1.已知集合A={x-x2+x+2>0,B={x∈Nx-1≤},则A∩B=() A.1 B.{0,1} C.{01,2} D.{-1,0,l,2} 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,则“Sn1=2Sn-Sn1+l(n≥2)”是“{an}为等差数列的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知函数f(x)的图象大致如下,则f(x)的解析式可能是() A.f)=- B.f(x)=3-x x2+1 C.f(x)=2-x2 D.f(x)=x-6x+8 29 4.在“世界杯”足球赛闭幕后,某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进 行调查,样本容量为50,将数据分组整理后,列表如下: 观看场数 0 2 4 5 6 观看人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% m% 12% 6% 2% 从表中可以得出正确的结论为() A.估计观看比赛场数的众数为4 B.估计观看比赛场数的极差为24% C.估计观看比赛场数的平均数为3.02 D.估计观看比赛场数的上四分位数为2 3 5.设a= 3)2 b=In1.5,c= 则a,b,c的大小顺序是() 4 A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 6.下列说法错误的是() A.若随机变量X服从正态分布XN(3, 2),且P(X≤4)=0.7,则P3<X<4)=02 B.对具有线性相关关系的变量x,y,利用最小二乘法得到的经验回归方程为)=03x-m,若样本点的 中心为(m,2.8),则实数m的值是-4 C.若决定系数R越大,则两个变量的相关性越强 试卷第1页(共4页) D.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到x2=3.712,根据=0.05的独立性检验 (P(x2≥3.841)=0.05),在犯错误的概率不超过0.05的条件下,认为X与Y有关 7.已知函数()=sx+)将)图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后,售向右平移 个单位,得到函数g()的图象.若函数g(x)在区间0, 上不单调,则m的取值范围为() 6 c( D 3'2 8.设双曲线C: 京尺=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,5,过F的直线1分别与双曲线左、 右两支交于M、N两点,且FM⊥FN、E,M=EW,则双曲线C的离心率为() A.3 B.6 C.3 9.在正三棱柱ABC-ABC中,D,E分别满足AD=2DA,BE=EB,点F在棱CC上,若平面DEF将该 CF 三棱柱分割成体积相等的两部分,则FC =() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 10.已知复数2=1+i(i为嘘数单位),则z-1的虚部为 11.已知随机变量X~N(3,o2),P(X≤-2a=P(X≥5a-3),则(ar-1) 展开式中x2项的系数为 12.直线:mx-2y-m+6=0与圆C:x2+(y-I)2=2相交于AB两点,则 ABC面积最大时,实数 m= 13.盒子中有4个红球,6个白球,从盒中每次取1个球,取出后将原球放回,再加入2个同色球,所有的 球除颜色外其它均相同,则第2次取到红球的概率为;在第2次取到红球的前提下,第3次取到白球 的概率为。 14.在边长为1的正方形ABCD中,CE=CD,F为线段BE上的动点,且C示=ACB+uCD,则+3的 最小值为:若MN是正方形的内切圆的一条弦,当弦MN的长度最大时,则FM FN的最大值为, 15.若关于x的方程ln2x+xlnx+x2+ax2+axinx=0有三个不等实数根x,x2,x.且0<x<1<x2<x3,则 实数a的取值范围是 +j+月 试卷第2页(共4页) 三、解答题 16.已知函数fw)=sin2ox+V3 sin wxcosx-( 2w>0. ①)当o=1时,求函数f)在0,上的值域: 02 (2)在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,C,AD为∠BAC的平分线,若f(x)的最小正周期是2 , f)=0a=,40-2 求 ABC的面积. 17.如图,在三棱柱ABC-A,B,C中,A4⊥平面ABC,D为AC的中点. (I)求证:AB,/1平面BDC: B B (2)若AB=BC=V5,AC=2,AA=3,求: ()直线AB与平面BDC所成角的正弦值: (i)点A,到平面BDC的距离. 18.椭圆C:+ :。+存=1(>b>0)的下顶点为4(0,),左焦点到A的距离为、5. (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方),点D关于x轴的对称点为E.过点D作与x轴 平行的直线交直线AE于点N.设 DEN与 ADE的面积分别为SADw与SDE,若S DN=2 SAADE,求直线AD 的斜率. 试卷第3页(共4页) 19.设{an}是公差不为零的等差数列,满足a=1,a。+a,=a3,设正项数列{bn}的前n项和为Sn,且 4Sn+2bn=3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式: (2)在b和b2之间插入1个数x,使b、1、b2成等差数列:在b2和b之间插入2个数x21、x2,使b2、x21、 x2、b3成等差数列;,在bn和b1之间插入n个数xl、2、、xm,使bn、Xn、x2、、xm、b+1成 等差数列,求Tn=1+x21+x2+…+Xn+xn2+…xm; 6对于(2)中求得的T,是否存在正整数m、,使得T,=,+'成立?若存在,求出所有的正整数对(m,): 2a. 若不存在,请说明理由。 20.已知函数f(x)=e“-x-1,其中aeR. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程: (2)求函数f(x)的单调区间: (3)若函数f(x)有2个不同的零点x,x2,且x2-x<1,求a的取值范围. 试卷第4页(共4页) 《天津市第七中学2026-2027学年度高三年级10月考数学试卷》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B 0 C C A 0 A B 1.B 【详解】由题意得,A={x2-x-2<0}=-{-1<x<2},B={xeNl0≤x≤2}={0,l,2}, .A∩B={0,}.故选:B. 2.D 【详解】由Sn1=2Sn-Sn1+1(n≥2)得(Sn1-Sn)-(Sn-Sn-)=1(n≥2),即an1-an=l(n≥2), 所以,从第2项起,数列{an}是公差为1的等差数列,但首项a与a2的关系不一定满足a2-a=1, 所以整个数列{an}不一定是等差数列,即Sn1=2Sn-Sn1+1(n≥2)不能推出“{an}为等差数列. 反之,{an}为等差数列,设公差为d,则a1-an=dn∈N), 所以Sn1-Sn=(Sn-Sn1)+d,当且仅当d=1时,才有Sn1=2Sn-Sn1+1(n≥2), 若公差d≠1,则不满足该式,所以“数列{an}为等差数列不能推出“Sn=2Sn-Sn1+1(n≥2)”, 故Sn1=2Sn-Sn1+l(n≥2)”是“{an}为等差数列既不充分又不必要条件. 3.C 【详解】由f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x)是偶函数, 对于A,()=+1 -1定义规为R,列=1=上1= (-x)}2+1x2+1 故()=-1为偶函数,但f0)=1与图象不吻合,A错误 x2+1 对于B,f(-x)=3-(-x)'≠3-x2=f(x),故f(x)=3-x2不为偶函数,B错误: 对于D,八对(仁6+8-6+8-了)=“+8不为俩函数,D错误: 2- 2 对于C,f(x)=2-x2定义域为R,且f(-x)=2-(-x)}2=2-x2=f(x), 故f(x)=2-x2为偶函数,且f(0)=1,故C满足要求: 4.C 【详解】m=100-8-10-20-26-12-6-2=16,所以观看场数为4的观看人数占调查人数的16%, 对于A,观看人数占调查人数的百分比中26%是最大的,应的观看比赛场数为3,所以观看比赛场数的众 答案第1页(共11页) 数为3,故A错误: 对于B,观看比赛场数中,最大值为7,最小值为0,7-0=7,所以观看比赛场数的极差为7,故B错误; 对于C,0 0.08+1 0.1+2 0.2+3 0.26+4 0.16+5 0.12+6 0.06+7 0.02=3.02,所以观看比赛场数的 平均数为3.02,故C正确 对于D,8+10=18,18+20=38,38+26=64,64+16=80>75,所以75%落在观看场数为4的这一组, 即观看比赛场数的上四分位数是4,故D错误: 5.A 【详解】因为a= -e-图-(》o名60. 又四为y=在Qo上单测指.所以(2(G片即a>e分 >s1可=q怕‘u四>≤四‘1庚于(o+0)丑x四=(k 区‘z3>。M‘3>c22b 综上:b<c<a.故选:A. 6.D 【详解】XW(3,o2),正态曲线关于x=3对称,P(X≤3)=0.5, P(3<X<4)=P(X≤4)-P(X≤3)=0.7-0.5=0.2,故A正确: 回归直线)=0.3x-m过样本中心(m,2.8),则2.8=0.3m-m,解得m=-4,故B正确: 决定系数R∈[0,,2越大,残差平方和越小,模型拟合效果越好,变量相关性越强,故C正确: 临界值Xs=3.841,已知计算得到x2=3.712,3.712<3.841,没有95%的把握认为X与Y有关,故D错 误. 7.D 【详解】由f八)=smx+君) 横坐标缩小为原来的,得y=s2x+ 6 向右平移m个单位,得:g()=sm2(-m)+=sm2x-2m+名) 当x引财,湘位0=2-2m+爱的葡园为:0食2n号2 6 6 g(,不单调台区间工-2m,元-2m]内存在正弦函数的最值点, 6 结合m引(低2m号2(引 答案第2页(共11页) 该范国内仅有的最值点为一受 因此要求: -2m<-元<刀-2m, 6 22 右半部分: <元-2m m< ,符合题设: 22 2 左半部分: -2m< m73 6 2 元 综上,m的取值范围是 3’2 8.A 【详解】设双曲线C的半焦距为c(c>O),M,N的中点为G,连接GE, V 因为FM⊥FN、EM=E,N,所以 MNF是等腰直角三角形,则GF2⊥GF, MF-MF=2a.① 设MF=m(m>O),根据双曲线的定义有 NE-WE=2a.②’ 并且N=M=m,MN=2m,GR=GM=)2m, 由0得M=m-2a,1N=M+N=m-2a+2m,由②得m-2a+2m-m=2a,a=2, m, 4 在c.-a46.e-(9j停。e-2oje-。 m, 4 6 六双曲线C的离心率e=S.4” =√3;故选:A. a 2 9.B 【详解】设三棱柱高为h,底面积为$,则体积为V=Sh, 平面DEF将三棱柱体积平分后每部分体积为)Sh,设FC=x,由已知x> 2 因为D,E分别满泥4D=2D,E=瓜,有D-点40-号么服=ER-分 过点DG⊥BB,垂足为G,过点D作DH⊥CC,垂足为H,连接GH, 将平面DEF下方的几何体体积'Ac-Dr拆分为三棱柱ABC-DGH和四棱锥D-EFHG, 答案第3页(共11页) 1 由题意'Mc-D=。'总=。Sh,设DI为四棱锥D-EFHG高, 2 2 可得m+%号场=写浙+兮 1 +x1h+2h-xxGHxDI-1h 3 3263 因为GHxD1=29,所以代入解得x=,因此=至-2 FC 1 h 3 B B 10. 【保】已知复数z=1.则-11合=110-司40-号. 1-i 7 因此2-1的虚部为3 3 2 11.135 【详解】已知随机变量X~N(3, 2),其正态密度曲线关于对称轴x=3对称 由P(X≤-2a=P(X≥5a-3),根据正态分布的对称性可得x=-2a与x=5a-3关于x=3对称, 即2a+5a-3=3整理得3a-3=6,解得a=3.将a=3代入得二项式为3x-1), 2 根据二项式定理,其展开式的通项为:T1=C6(3x)-(-1)=(-1)y 3-.C6x-(r=0l,2,,6), 令6-r=2,解得r=4.将r=4代入通项得x2项的系数为:(-1)32.C4=135 12.3 1.5 【详解】根据题意,圆C:x2+(y-I)2=2半径为√2,当∠ACB=90 时面积最大, -2-m+6-1,得m=2 3 此时圆心C(0,)到直线1的距离为1,则 Vm2+4 故答案为: 3 2 2 13 0.4 05 【详解】记事件A,=“第i次取到红球”, 答案第4页(共11页) 则4)=P4)P(4A)=合-专P(4)=P国r4国-品合-写 所以P(4)=P代44)+P(44)号,即第2次取到红球的概率为 P网列=P4国+P4可=P46P叫国4+4P川国4-店合+兮普- 1 所以P(44)= P么)2,即在第2次取到红球的前提下,第3次取到白球的概率为号 21 故答案为:52 14. 16 40,25 【详解】根据题意由F为线段BE上的动点,可知F,B,E三点共线, 又CF=CB+uCD,可得CF=CB+3CE, 因此元+34=1,且2>0,4>0, =1+34+32+9≥10+2, 34.32=16: 3 当且仅当元=“=4时,等号成立,即 +二的最小值为16: 取内切圆的圆心为O,连接FO,如图所示: 易知弦MN的长度最大时,MN为直径,此时OM= FM.FN=(FO+OM)FO+ON) =F0+oN)(o-owM)=0-0m=F0-4 显然当F网最大时,即F在点B处时,此时F网=?,网.网取得最大值, 答案第5页(共11页) 15. 【详解】己知方程n2x+xlnx+x2+ax2+axinx=0, 因为x>0,方程两边同时除以x2可得, (+1a* Inx =0, 令1=血x,则原方程可化为+1+a1+1+a)=0. 1 对1=x求导得(= .x-Inx 1-Inx x? 令t'=0,即一=0,解得x=e. 当0<x<e时,1-lnx>0,r>0,函数1=hx单调递增: 当x>e时,1-nx<0,<0,函数1=nx单调递减 x 所以x=e时,1取得最大值1=lnc- 当x 0时,1 -0:当x +0时,1 0,且10 因为关于x的方程ln2x+xlnr+x2+ax2+axnr=0有三个不等实数根x,x2,x3.且0<x<1<x2<x3, 所以1=血x有两个不同的值(负的1对应1个x<1,正的1对应2个x>1), 即关于的方程+0+o++a)=0有丙个不同的限4,且4e(@o4(0 f(0)=1+a<0 0=+0*o0小6得-+40*o小0 解得1- <a<-1 e(e+1) 于所+j++小-++%+ 因为4,2是方程2+(1+a)t+(1+a)=0的两个根, 根据韦达定理得+t2=-(1+a),化2=1+a 所以(4+1)(62+1)(62+1)=(42+4+42+1)=1. 6别 详解】D)=snor+3 sinxc0sor专-)0-cos2ox)+3n22 答案第6页(共11页) sin 2mx-7cos2ax=sin 2 3: 当m=1时.=sm2又x(0 又y=sinx在 1 62 2 62 故金数网在0引上的值蚊为(封 (2)由(D知,f八)=sm20x君),由其最小正周期为2, 彩=2,又>0,解得0则f)=m君引 可得2d B r到-0,即m台-君o.又4a小,可0含名(》则号&-0.甲 兀元 26 3 AD为∠BAC的平分线,故可得∠BAD=30 ,∠CAD=30 , 则n4c=号n∠BD-eAD+n∠CaD6D,即9e= ,125 4~3(b+c),b+c=bc: 在三角形ABC中由余弦定理可得cos4=公+c2-d,即!_?+c2-3_b+c-2bc-3, 2bc 2 2bc 2bc 将b+c= c代入上式可得:e=e-2k-3,即(3kc+236c-0=0. 2 解得bc=2,或bc=- 3 (舍去) 故 ABC的面积为,sinA-bc= *2⑤ 22 2 17.(1)证明:在三棱柱ABC-AB,C中,连接B,C,设BC与BC相交于点O,连接OD, 由四边形BCCB,是平行四边形,得点O为BC的中点, 又D为AC的中点,则OD/IAB,而ODC平面BDC,AB,文平面BDC,所以AB,/I平面BDC. (2)(i)3V2 10 5 【分析】(1)连接B,C,利用线面平行的判定推理得证. (2)()以点D为原点建立空间直角坐标系,求出平面BDC的法向量,利用线面角的向量法求解:( ) 利用点到平面的距离公式求解。 【详解】(1)略 (2)(i)由AB=BC=V5,D为AC的中点,得BD⊥AC,由A4⊥平面ABC, BD,ACC平面ABC,得AA⊥BD,AA4⊥AC,取AC,的中点E,连接DE, 答案第7页(共11页) 则DEIIAA,DE⊥BD,DE⊥AC,直线DA,DE,DB两两垂直, 以点D为原点,直线DA,DE,DB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, B AD=1,BD=2,则D(0,0,0),B(0,0,2),A1,0,0),C(-1,3,0), DC=(-1,3,0),DB=(0,0,2),AB=(-1,0,2), 设平面BDC,的法向量为n=(xy,z), 则 n.DC=-x+3y=0 ,取y=1,得n=(3,1,0), nDB=2z=0 设直线AB与平面BDC所成角为0,则sin0cos(AB,m上MB:m=一3=3V2 IABIIn 5.10 10' 所以直线AB与平面BDC,所成角的正弦值为3V2 10 (i)由(1)知4(1,3,0),C4=(2,0,0), 所以点A到平面BDG的距离d=IC4 n-6=310 Inl 10 5 18.0)+y=1:6 (2) 1 3 【详解)D设椭圆Ca+b21(a>b>0)的焦距为2c 则下顶点坐标为(0,-b),左焦点E(-c,0)到下顶点(0,-b)的距离为a, 因为椭圆C:x+y2 云+=1(a>6>0)的下顶点为A(0,-),左焦点到A的距离为5, 所以b=1,a=V3,c=√2, 所以椭圆C的方程为。+y=1: c2 6 离心率为e=二= a53 (2)由题意知,直线AD的斜率存在且不为零,设直线AD方程为y=x-I, 设椭圆的右顶点为C(3,0, 因为经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方), 所以小6日9放# >332-1>0, 答案第8页(共11页) (y=kx-1 联立方程 +1'得0+3x6c0,解得x=0或2万 x2 (3 所以xD= 3,代入y=-1得n=k,6k 6k 1=3k2-1 1+3k2 1+3k2 6k3k2-1 所以D 1+3k21+3k2 E 6k1-3k2) 1+3k21+3k2 1-3k2 所以k6=1+3-() 21 1 6k 1+3K20 6k 3k 所以直线AE的方程为y=3欢-山, 3k2-1 y= 因为DN的方程为y=32- 1+32,所以 1+3k2 1 得N 18k33k2-1 -1 1+3k2'1+3 因为5am-=2ae,Sa=DE-DN=号DE。-小,8m-2DE- 2 所以-a=2,即18k 6k =2 6k 1+3k21+3k2 1+3k2 整理得3k2-1=2,解得k2=1, 所以k=士1,即直线AD的斜率为 1. 11 33+2n 19.0a,=n:6,=2x(,aeN)(27。=44k3 (3)存在,所有的正整数对(m,n)为(9,2)及(3,3). 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,(d0),则由a6+a,=a3,得a+5d+a+6d=a+12d, 因为a=1,所以d=1,所以an=1+(n-1)=n; 由4Sn+2bn=3,① 当n≥2时,4Sn1+2bn1=3,② ①-②,得4bn+2bn-2b1=0, h-a≥2) 又当n=1时,46+26=3,解得:么=号+0, ∴}是首项为2,公比为的等比数列, ,(n∈N) (2)在bn和bn+1之间插入n个数x、xn2、、xm,使b。、xn1、xn2、、xm、bn+1成等差数列,设公差 为dn, 答案第9页(共11页) 00 1, (n+2)-1 n+1 3"(n+1) 则=女+越=目 3”(n+1) 12 3, n 小7=X1+1++无1+x2t+m=3+3+ 12 则)T2=2+3+++” +3”+3m,② 1 3”3 3-20-3)3 1- 33+2n .工,=44 3 (3)假设存在正整数m,,使,=+'成立, 2dm 7=3-,1-n=m+111 44 3"2 3"2m22m 2 3 23 -2n-3)+4n+6=2+ 4n+6 m=3-2n-3 3”-2n-3 -2n-31 当n=1时,m=2+10=-3不合题意, -2 14 当n=2时,m=2+ =9eN', 2 当n=3时,m=2+1=3eN, 下证,当n≥4(n∈N)时,有3”-2n-3>4n+6,即证3”-6n-9>0, 设f(x)=3-6x-9,x24,则f'(x)=3n3-6>3-6>0, ∴f(x)在[4,+∞)上单调递增, 故n≥4时,3"-6n-9>34-6 4-9=48>0, ∴.0< 4n+6<1, 3"-2n-3 .∴.n≥4时,m不是整数, ∴.所有的正整数对(m,n)为(9,2)及(3,3). 20.(1)y=0 (2)a≤0时,单调递减区间为(-o,+o),无增区间; 答案第10页(共11页) a>0时,单调递减区间为(-o,- 马,单调递增区间为(h口,+切. a a (3)n2,1)U(1,+o) 【详解】(1)当a=1时,f(x)=e*-x-1,f(0)=e -0-1=0,切点为(0,0), f'(x)=e-1,切线斜率k=f'(0)=1-1=0,因此切线方程为y=0. (2)f'(x)=aer-1, 当a≤0时,ae“r≤0,故f'(x)=ae“-1<0恒成立,因此f(x)在R上单调递减,无单调递增区间; 当a>0时,令f()=0,得ae“=l,解得x=-h0 a 当x<-n时,∫x)<0,f单调递减: a na时,f'(x)>0,f单调递增: 当x>- a 综上所述,a≤0时,单调递减区间为(-o,+∞),无增区间: a>0时,单调递减区间为(,-血4),单调递增区间为(n0,+∞) (3)由(2)可知当a≤0时f(x)单调递减,仅1个零点,不符合题意,故a>0: 当a>0时,由(2)知f)最小值为f(h马=1+na-a a a 令g@=1+na-a,g@)=1,令g@=0,解得a=1, 所以当a∈(0,1),g'(a)>0,g(a)单调递增; 当a∈(1,+∞),g'(a<0,g(a)单调递减, 所以g(amax=g(I)=0,故g(a)≤0, 故f(x)n≤0,要保证f(x)存在两个根,则f(x)min<0且f(x)min≠0,即a≠1. 注意到对任意a,f0)=e -0-1=0,即x=0恒为f(x)的一个零点, 因此f(x)有两个不同零点且x-x<1等价于存在另一个零点x2≠0,且|x,<1, 当0<x<1时,根据f)单调性可知,极小值点-C>0,且f)=e-2>0,解得1>a>1n2: a 当-1<名<0时,根据f(x)单调性可知,极小值点_na<0,且f(-)=e>0,解得a>1, a 综上a的取值范围是(n2,1)U(L,+o). 答案第11页(共11页)