精品解析：天津市第一0二中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度高三12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（ ） A. 棉花纤维的长度的极差估计值大于 B. 棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 5. 已知，记，则（ ） A. B. C. D. 10 6. 已知直线与平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的最小正周期为，最小值为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 先将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到的图象 D. 先将向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得的图象 二、填空题 10. 的共轭复数是__________. 11. 在的展开式中，的系数是__________． 12. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 13. 举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望___________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是___________. 14. 如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则___________：若点为线段上的动点，则的取值范围为___________． 15. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是____________． 三、解答题 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求． 17. 如图，且且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 19. 已知等差数列与等比数列满足，，． （1）求，的通项公式； （2）记，为数列的前项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值． 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念运算即可. 【详解】因为集合， 所以． 故选：B. 2. 已知a为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，解不等式得或，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】，即， ，解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项； 又，所以排除A. 又C选项的图象满足函数的性质． 故选：C 4. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（ ） A. 棉花纤维的长度的极差估计值大于 B. 棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C. 棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D. 棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 【答案】C 【解析】 【分析】通过题目数据计算频数、极差、中位数、平均值，逐项分析即可. 【详解】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值不超过，选项A错误； 纤维长度低于的棉花纤维数占比为，选项B错误； 由于纤维长度小于200的纤维数量为130，纤维长度不低于250的纤维数量为150， 可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间，选项C正确； 400根棉花纤维的长度的平均值估计值为 ， 选项D错误. 故选：C 5. 已知，记，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设得到、，再由对数运算性质即可求解. 【详解】由得，由得， 则，， 因此， 因此，又因且， 故. 故选：C 6. 已知直线与平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量可判断ABD，利用条件可说明或可判断C. 【详解】因为 ，所以直线  的方向向量与平面  的法向量平行， 因为 ，所以直线  的方向向量与平面  的法向量垂直， 因此， 的方向向量与  的方向向量的数量积为零，即 ，故A正确； 因为 且  ，所以 ， 又因为 ，平行平面具有相同的法向量方向，因此 ，故B正确； 若 ，则或，故C错误； 因为  且 ，所以， 又 ，因此  同时垂直于  和 ， 两个平面有相同的法向量方向，故 ，故D正确. 故选：C 7. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过 “空间问题平面化（轴截面）”，利用几何性质与三角函数，将内切球参数转化为圆锥的高和底面半径，最终计算体积. 【详解】根据题意作图如下，点为内切球的圆心，点为圆锥底面圆的圆心，点为切点，由已知条件可知， 内切球的表面积为，即，而， 在中，，则圆锥的高， 在中，，则圆锥的底面半径， 所以圆锥的体积. 故选：B. 8. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 9. 已知函数的最小正周期为，最小值为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 先将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到的图象 D. 先将向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得的图象 【答案】C 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，根据周期与最值求出的值，即得函数解析式，根据正弦函数的图象对称性和平移伸缩变换的规律即可对各选项逐一判断. 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为，，则，解得， 又函数的最小值为，所以，因，则可得， 所以． 对于A，因为，即函数图象不关于直线对称，故A错误； 对于B，因为，即函数图象不关于点对称，故B错误； 对于C，将上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象， 再将图象向左平移个单位可得到即函数的图象，故C正确； 对于D，将向左平移个单位，可得的图象，再将图象上点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标不变，可得的图象，而不是函数的图象，故D错误. 故选：C． 二、填空题 10. 的共轭复数是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以的共轭复数是. 故答案为： 11. 在的展开式中，的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以的系数是. 故答案为： 12. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 13. 举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望___________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，再由条件概率的概率公式求出. 【详解】依题意随机变量的可能取值为、、， 则； ； ， 所以随机变量的概率分布为 1 2 3 所以随机变量的期望为. 记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件， 则， , 所以， 所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为. 故答案为：； 14. 如图，在平行四边形中，，，，点为中点，，点为边上的点．若点满足，且，则___________：若点为线段上的动点，则的取值范围为___________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】由题意得，从而；对于第二空，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意， 又， 所以，则， 设， 可得， 而， 得到 ， ， 设，对称轴是， 故在上单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】由得出关于对称，根据时的表达式结合对称性作出的图象，分，，三种情况讨论与的交点情况，并利用交点数恰好为得出对应的实数的范围，从而求解． 【详解】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线， 由时，，作出与的图象如下图所示， 当时，函数是过定点，开口向上的折线， 如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点， 设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为， 所以，解得，满足条件，所以； 当时，函数与的交点情况如下图所示， 所以时，函数与的图象有个交点，满足条件； 当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示， 此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件； 综上所述，实数的取值范围是或， 故答案为：或. 三、解答题 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 可得， 得到，即， 显然，则， 又，可得. 【小问2详解】 ， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， . 【小问3详解】 由正弦定理得，则， ，即，则，故为锐角， ， ，， . 17. 如图，且且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成的角为，求点到平面的距离． 【答案】（1）由平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 而，则， 又，则，显然， ， 设平面的法向量为，则，令，得， ，则，即，又直线平面， 所以平面． （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法分别求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为，则令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 设二面角的平面角为，显然为锐角， 则二面角的平面角的余弦值为， 所以二面角的平面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，其中，则，平面的一个法向量为， 由直线与平面所成的角为，则，解得， 则，由（1）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18. 已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）; （ii）. 【解析】 【分析】（1）由长半轴及离心率可计算得，进而得到椭圆方程； （2）（i）运用点差法可以得到弦所在直线的斜率与弦中点与坐标原点连线所在直线的斜率之积为定值，进而发现弦的中点在定直线上，再运用正弦定理得到两边之比不变； （ii）已知的大小，角的一边的斜率，可运用斜率夹角公式得到另一条边的斜率，再将直线与联立得到点坐标，代入椭圆方程确定参数，再联立弦所在直线与椭圆方程，根据韦达定理，求出点纵坐标，即可得到三角形面积. 【小问1详解】 由题可知，,因此,因此椭圆. 【小问2详解】 （i）设,则过点且斜率为1的直线可设为,设,且. 点都在椭圆上，因此有,两式相减，得, 两边同除,得： ,因此, 即点在定直线上，因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知,变形可得 故为定值. （ii） 由利用斜率夹角公式：设的斜率为,的斜率,则 ,因在第三象限，,解得,即,故. 又因为,联立得将其代入椭圆方程,得：,解得, 因为故. 联立直线与椭圆方程,得 由韦达定理可知，,因此. 故的面积为. 19. 已知等差数列与等比数列满足，，． （1）求，的通项公式； （2）记，为数列的前项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）把等差数列的通项公式与等比数列的通项公式代入到条件中，解方程即可. （2）（ⅰ）分类讨论，当为偶数时，错位相减法可求出；当为奇数时，利用可求出. （ⅱ）考虑可以构成三角形的情况，利用“三角形两边之和大于第三边”，分类讨论即可. 【小问1详解】 记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，． 【小问2详解】 （ⅰ）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是． （ⅱ）考虑可以构成三角形的情况． 当为奇数时，， ，， 于是， 故要能够以，，为三边构成一个三角形， 则只需即可． 则， 当时，，， 故此时； 当时，显然． 故由为奇数可知此时的最大值为3． 当为偶数时，， ，． 当时，，，，此时显然可构成三角形， 当时，易知， 故只需，即可构成三角形． 而 故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形． 综上，的最大值为3． 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3） 证明：，令，则， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以，当时， 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）等价变形给定不等式，再构造函数，利用导数求出恒成立的的范围即可； （3）利用导数分别求出函数在上的最大值、最小值即可推理得证． 【小问1详解】 函数，求导得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 对，， 令， 依题意，在上恒成立，且， 求导得， 令， 求导得， 函数在上单调递增，， 当，即时，， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，，符合题意， 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $