期中自编模拟卷2026-2027学年九年级数学上学期（广东省佛山市适用）

2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟卷 广东省佛山市适用 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程，叫做一元二次方程逐项进行判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、,是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，即可进行解答． 【详解】解：A．圆锥的左视图和主视图都是相同的等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不合题意； B．正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意； C．该三棱柱的主视图一个矩形，俯视图是一列两个相邻的矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意； D．圆柱的左视图和主视图都是相同的长方形，俯视图是圆，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图． 3．如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质，得，则，，根据相似三角形的判定和性质，则，得到相似比，根据面积比是相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 5．若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 6．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例得到，又由，即可得到答案． 【详解】解：∵两条直线和被三条平行线所截，，， ∴， ∴, 故选：A 7．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 8．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证，得，则平行四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理列出方程，得，由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起， 四边形是平行四边形，， 在和中， ， ， ， 平行四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对称中心重合．若这些菱形的边长为2，锐角为，则阴影部分的面积总和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的面积计算，关键是求出阴影菱形的边长和个数．先通过菱形的性质和等边三角形的判定及性质可知是等边三角形，可知为的中点，得，进而得一个阴影菱形的面积为，再计算2020个阴影菱形的面积总和便可． 【详解】解：根据题意知，将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2020个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致， 如图，由题意知，，，，，则，均为等边三角形， 则，，，， 由菱形的对角线平分一组对角可知， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，即为的中点， ∴， ∴一个阴影菱形的面积为：， ∴阴影菱形的面积总和为：， 故选：C． 10．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知，那么等于_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质和代数式求值，灵活运用比例的设参数方法和准确地进行代数式的化简求值是解题的关键． 利用比例性质设参数，，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 12．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______． 【答案】16 【分析】如图，先证明，得，进而求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知：A、H、G三点共线，， ∵3个矩形相同， ∴， ∴， ∴， 菱形中，， ∴， ∴， ∵每个矩形的周长为， ∴， ∴， ∴菱形的周长为： ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 13．规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______． 【答案】， 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，解题的关键是利用新定义得到方程．求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 14．已知，是一元二次方程的两根，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用根与系数的关系求出，，再将所求值代入代数式进行求解即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式求值，根与系数的关系，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解答本题的关键． 15．“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，取中点连接，利用直角三角形斜边中线定理及等腰三角形性质证得为“黄金三角形”；根据“黄金三角形”定义分点与重合、两种情况，结合等腰三角形判定与性质、相似三角形性质列方程求解． 【详解】解：在中，，， ， 取的中点，连接， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， 若是“黄金三角形”，分两种情况讨论： ①当点与点重合时，即为，符合题意， ； ②当为顶角时，即， ， ，， ，， ， 设，则， ，， ， ，即， 整理得，解得（负值舍去）， ； 综上所述，的长为或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ， ∵， ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法___________，乙同学的解法_________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确，不正确 (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：甲同学的解法不正确，第一步需因式分解为，再进行解答； 乙同学的解法不正确，值应为，判别式不是， 故答案为：不正确；不正确； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17．（本题满分8分）如图，是以为底的等腰三角形，． (1)尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明． 【答案】(1) 如图，射线即为所作， (2) 证明：，， ， 由作图可得：平分， ， ， ， 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线定义可得，根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．（本题满分8分）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2)10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 20．（本题满分9分）每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． (1)求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． (2)为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1) (2)2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为，得到，再解方程即可； （2）设每个玩偶降价为y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率， 则，即， 解得，（舍去）， 答：7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元时，当日总利润可达到5940元， 则此时售价为每个（元），可销售个， 则利润为， ， 化简得， ，解得或（舍去）， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 21．（本题满分9分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】(1)解：， ， ， ， ． (2)小陈同学还要测量； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为． （3）解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分）在学习完第一章《特殊的平行四边形》之后，数学兴趣小组打算开展“探究正方形内四边形特点”的有关课题．如图1所示，正方形的边长为2，分别在边上，且始终有，连接，其中交于点，交于点． (1)如图2，若为中点，求证四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并说明理由； (3)在（1）的条件下，连接，求线段与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明：∵正方形的边长为2， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2)四边形是平行四边形，理由如下： 如图，连接， 由（1）可知，，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； (3)，证明如下： 如图，连接，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∴，即． 【分析】（1）先根据正方形的性质，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形、是平行四边形，可知四边形是平行四边形；然后连接，易得四边形是矩形，从而由矩形的性质可知，进而由邻边相等的平行四边形是菱形证得结论； （2）由（1）可知，然后根据平行线的性质，利用证得，可知，从而推出结论； （3）连接，过点作于点，根据矩形的性质和勾股定理求得，从而求得，进而继续利用勾股定理可求得，再求得，结合四边形是菱形，可知，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P坐标为或 (3)存在，或或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定； （1）设直线的表达式为，先求出C点坐标，然后将C、D坐标代入解析式即可； （2）由折叠得，，①当时，，利用，得出直线解析式与直线的函数解析式值相同，求出直线的函数解析式再与直线解析式联立，即可求出的坐标，②当时，，利用翻折的性质可得点重合，将直线的函数解析式与直线解析式联立，即可求出的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形为矩形，①当为对角线时，、相交于点F，利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，先求出点F的坐标，利用可求出的坐标，进而求出的坐标，②当为对角线时，、相交于点F，此时点重合，利用F的坐标，求出的坐标，③当为对角线时，、相交于点F，此时共线，点N在直线上，利用F的坐标，求出的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ,, , 将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， , ∴, ， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为． （2）解：在直线上存在一点P，使得与相似，理由如下： 由折叠得，， ①当时，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为， ∵， ∴直线的函数解析式为， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴， ②当时，，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线的函数解析式为，直线解析式为， ∴， ∵， ∴关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点都在直线上， ∴点重合， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴． 综上：点P坐标为或． （3）解：当为对角线时，、相交于点F，如图所示： 由翻折可得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点为直线上一点， ∴设， ∴， 解得：或（舍去） ， ∴， ∵为中点， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， 又∵点为直线上一点， ∴点重合， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， ∴点N在直线上， 设， ∵点为直线上一点， 设， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴，解得：， ∴，即． 综上：若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，存在点或或，使以点、、、为顶点的四边形为矩形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中自编模拟卷 广东省佛山市适用 （本试卷共三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 5．若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 6．如图，两条直线和被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若，，则的长为（    ） A． B．5 C．6 D．8 7．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 8．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，．若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B． C． D．6 9．将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对称中心重合．若这些菱形的边长为2，锐角为，则阴影部分的面积总和等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．已知，那么等于_______． 12．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为_______． 13．规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为______． 14．已知，是一元二次方程的两根，则代数式的值为________． 15．“五星红旗你是我的骄傲”，五星红旗中包含着数学知识，五角星中每一个角都是顶角为的等腰三角形，这样的三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16．（本题满分8分）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ， ∵， ∴此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法___________，乙同学的解法_________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 17．（本题满分8分）如图，是以为底的等腰三角形，． (1)尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)证明． 18．（本题满分8分）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．（本题满分9分）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 20．（本题满分9分）每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． (1)求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． (2)为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 21．（本题满分9分）根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题12分，第23小题12分，共24分． 22．（本题满分12分）在学习完第一章《特殊的平行四边形》之后，数学兴趣小组打算开展“探究正方形内四边形特点”的有关课题．如图1所示，正方形的边长为2，分别在边上，且始终有，连接，其中交于点，交于点． (1)如图2，若为中点，求证四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并说明理由； (3)在（1）的条件下，连接，求线段与之间的数量关系，并加以证明． 23．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $