广东省广州市2026—2027学年人教版九年级数学上册期中考试常考题型重难点综合训练卷

广东省广州市期中考试常考题型重难点综合训练卷人教版2026—2027学年九年级数学上册 （测试范围：第25章一元二次方程到第28章旋转，全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．地铁作为城市公共交通的核心载体，其图标设计兼具辨识度与几何美感.下列地铁图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) A． B． C． D． 2．用配方法解方程 时，原方程变形为(　　) A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．据船山实验中学对某毕业班学生三年来获得市级荣誉情况的统计，七年级时有2人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时有10人次获奖，若设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，则下列所列方程正确的是 (　　) A．2(1+x)=10 B． C． D． 5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 6．已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点在双曲线上，轴于点，，则的值为（　　） A．1.5 B．3 C．18 D．6 9．如图，在中，，，点D为BC的中点，直角绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知开口向上的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则下列结论正确的有（　　） ①； ②函数的最小值为； ③若关于 x 的方程无实数根，则； ④代数式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为，点在轴上，点在反比例函数上的图象上，则的值为　 　． 12．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图像交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　 　． 13．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，，，则　 　． 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为　 　． 15．定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．若，求　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两根为　 　． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程 （1）； （2）． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． （1）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的 ； （2）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的 ； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为 ． 19．已知关于x的一元二次方程 （1）当方程有实数根时，求m的取值范围； （2）设方程的两个实根分别是，，且满足，求m的值． 20．已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限内交于点 ，其中一次函数的图象过点 和 . （1）求反比例函数的解析式； （2）请问在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点坐标； 若不存在，请说明理由. 21．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 22．已知双曲线与直线相交于、两点．第一象限上的点（在点左侧）是双曲线点上的动点，过点作轴交轴于点．过作轴交双曲线于点，交于点． （1）若点坐标是，求、两点坐标及的值． （2）若是的中点，四边形的面积为4，求直线的解析式． 23．已知抛物线． （1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式； （Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与线段AB交于点M，作轴于点K，与线段AB交于点N，求的最大值 （2）如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点D（，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围． 24．如图1，在平面直角坐标系 中，函数 （m为常数， ， ）的图象经过点 和 ，直线 与x轴、y轴分别交于C，D两点. （1）求 的度数； （2）如图2，连接 、 ，当 时，求此时m的值； （3）如图3，点A、点B分别是在x轴和y轴正半轴上的动点.再以 、 为邻边作矩形 .若点M恰好在函数 （m为常数， ， ）的图象上，且四边形 为平行四边形，求此时 、 的长度. 参考答案 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意， D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故答案为：C. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：， ， ∴， 故选：B. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：七年级获奖人次为2， 八年级获奖人次为，九年级获奖人次为， 又到九年级毕业时获奖人次为10， ． 故选：B． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：对于二次函数的图象的开口向上，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，顶点坐标为，则选项A、B、C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意． 故选：D． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为 ， 则点的对称点为 ， ∵ ， ∴当 时，y随x增大而减小， ∵ ， ∴ . 故选：C． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象会经过第一、三、四象限，故A错误；B、∵反比例函数图象分布在第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象会经过第二、三、四象限，故B错误； C、∵反比例函数图象分布在第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象会经过第二、三、四象限，故C正确； D、∵反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， ∴一次函数的图象会经过第一、三、四象限，故D错误； 故答案为：C． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意，得：， ∴， ∵图象在一、三象限， ∴， ∴； 故选：D． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°， ∵点D为BC中点， ∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°， ∴∠CAD=∠B，∠BDE+∠ADE=∠ADB=90° ∵∠MDN是直角， ∴∠ADF+∠ADE=90°， ∴∠ADF=∠BDE， 在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴DE=DF，BE=AF， ∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确； ∵AE=AB-BE，CF=AC-AF， ∴AE=CF，故②正确； ∵△BDE≌△ADF ∴ ∴ 故③正确； ∵BE+CF=AF+AE＞EF， ∴BE+CF＞EF， 故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故选：C. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 则①②③④正确， 故选：D． 11．【答案】-4 【解析】【解答】解：连接AC交OB于D，如图， ∵四边形ABCO为菱形， ∴AC⊥OB，， ∵CD⊥y轴， ∴， 即， 而k＜0， ∴k＝−4． 故答案为：−4． 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：根据题意，得，， ∴不等式的解集是：， 故答案为：. 13．【答案】2 【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴AC=CD，DE=AB=3 ∵AE=5，∠D=90°， ∴AD===4， ∴AC=AD=2. 故答案为：2. 14．【答案】2030 【解析】【解答】解：∵x=a是一元二次方程x2-2x-4=0的一个根， ∴a2-2a-4=0 ∴a2-2a=4， ∴a2-2a+2026=4+2026=2030 故答案为：2030. 15．【答案】或 【解析】【解答】解：∵，， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得， 故答案为：或． 16．【答案】， 17．【答案】（1）， （2）， 18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）． 【解析】【解答】（3）解：如图，由题意可得的坐标为，的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 19．【答案】（1）的取值范围为 （2）的值为 20．【答案】（1）解：一次函数 的图象过点 和 ，将点 代入得： ，即 ①； 将 代入得： ，即 ②， 由①②得： ， 反比例函数解析式为 ； （2）解：在 轴上存在点 ，使 为等腰三角形；现由如下： 反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ， 联立得： ， 整理得： ， 解得： ， 点 在第一象限， ， ， 如图， 以 为圆心，以 为半径画圆，交 轴于 ， ，即 、 为等腰三角形， 或 ， 以 为圆心，以 半径画圆，交 轴于 ， ，即 为等腰三角形， ， ， 过 作 轴，交 轴于 ， ， ，即 为等腰三角形， ， ， ， 综上所述，在 轴上存在点 ，使 为等腰三角形；所有符合条件的 点坐标为 ， . 21．【答案】解：（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元 22．【答案】解：（1）∵，∴点的横坐标为，代入中，得． ∴点坐标为． ∵、两点关于原点对称， ∴． ∴； （2）∵，是的中点，、、、四点均在双曲线上， ∴，，，． ，，， ∴． ∴． ∵在双曲线与直线上， ∴， 解得或（舍去） ∴，． 设直线的解析式是， 把和代入得：， 解得． ∴直线的解析式是 23．【答案】（1）解：（Ⅰ）由题意得， ， ∴， ∴； （Ⅱ）∵B（0，），A（3，0）， ∴直线AB的解析式为：， 设点P（m，），M（m，）， ∴ ∵B（0，），A（3，0）， ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴ ∴ ∴ ∴当时，有最大值，其最大值为 （2）解：如图1， ∵抛物线过点D（，0）， ∴， ∴， ∴， 把，代入得， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵四边形CDFE是菱形， ∴， ∴E（5，4）， 当时，即时， 当时，， ∴G（0，）， ∵该抛物线与线段CE没有交点， ∴， ∴， 当时， 当x=5时，， ∴H（5，）， ∵抛物线与CE没有交点， ∴， ∴， 综上所述：或． 24．【答案】（1）解：设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y=-x+m+1， 令x=0，得到y=m+1， ∴D（0，m+1）， 令y=0，得到x=m+1， ∴C（m+1，0）， ∴OC=OD， ∵∠COD=90°， ∴∠OCD=45°. （2）解：如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H， ∵P（m，1）和Q（1，m）， ∴MQ=PN=1，OM=ON=m， ∵∠OMQ=∠ONP=90°， ∴△OMQ≌△ONP（SAS）， ∴OQ=OP，∠DOQ=∠POC， ∵∠DOQ=∠OCD-∠POC，∠OCD=45°， ∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5°， ∴MQ=QH=PH=PN=1， ∵∠OCD=∠ODC=45°， ∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形， ∴DQ=PC= ， ∵OC=OD=m+1， ∴CD= OC= （m+1）， ∵CD=DQ+PQ+PC， ∴ （m+1）=2 +2， ∴m= +1； （3）解：如图3， ∵四边形BAPQ为平行四边形， ∴AB∥PQ，AB=PQ， ∴∠OAB=45°， ∵∠AOB=90°， ∴OA=OB， ∴矩形OAMB是正方形， ∵点M恰好在函数y= （m为常数，m＞1，x＞0）的图象上， ∴M（ ， ）， 即OA=OB= ， ∵AB=PQ， ∴ ， 解得： 或 （舍）， ∴ . 学科网（北京）股份有限公司 $