江苏扬州市江都区仙城中学2027届高三上学期第二次阶段测试数学试题

扬州市仙城中学2027届高三上学期第二次阶段测试 高三数学 一、单选题 1.已知集合A={xx2+x≥0，B={xx-1<2},则A∩B=() A.{x<3} B.{x0≤x<3} C.{-1<x≤0y D.{x-2<x≤- 2.下列四个命题中，是假命题的为() A.3x>1x+1≥2 B.3x>-l, 4>2-x x+ C.Vx>2,Vx +22≥22 1<-2 D.x<0,x+ x 3.函数y= g+)的图象可能为(） cosx A.、3 3 B. 1 D. 5.已知a=l0g32×l0gs6,b=0.1o6,则“x>4”是“x>b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 6.已知f(x)=e-ax2存在两个不同极值点，则a的取值范围是() B.(e,+o) c.(s) D.(0,e) 7.在a1BC中，内角4，B,C的对边分别为a,b,c,若besinA=(c-b)sinC,则osC+2 的最小值 cosB 为() A.3 B.5v3 C. D.2V2 8.已知函数f(x)=x-xsin(x)+的零点分别为x,x,,x,（n∈N）,则X+x++x=() 4日 B.2 C.0 D.1 二、多选题 9.函数f(x)=Asin(ox+p)(A>0,o>0,0<p<π)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是 () A.函数f(x)的值域为[-2,2] B.该函数的解析式为f(x)=2sin + 。.(经0是西数()图象的一个对路中心 D.函数f(x)的减区间是 sir (k) 10.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足a=2V3,b2+c2=a2+bc,则下列说法 正确的有() A.△ABC外接圆面积是4π B.△ABC面积的最大值是3V3 C.△ABC周长的取值可以是12 D.△ABC内切圆半径的最大值是1 11.已知函数f(x)=2x-tanx,x∈ ππ 3'3 则() A.f(x)的图象关于原点对称 B. f(x)在 ππ 3’3 上单调递减 c.的最大值为号1 D.f(x)在 33 上有唯一零点 三、填空题 12.已知幂函数f)=(㎡2-5m+7)x在(0，+w）上单调递减，若正数a,h满足a+2b=m,则2+的 最小值为 3,已知fe)三)2，过原点作曲线y=∫四)的切线，则切点的横坐标为 14.在A4BC中，若am4+amA=3,则sin4的最大值为 tan B tanC 四、解答题 15.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=PC=PB=2,∠ABC=90°，E为AC的中点，PB⊥AC. (1)求证：平面PBE⊥平面ABC; (2)求点C到平面PAB的距离. 16. 已知函数f(x)= -cs2x+25os27xe0,d 2 (1)求函数f(x)的最值及相应的x值： (2)求函数f(x)的单调递增区间. 17.某高中举办体育知识竞答比赛，每位选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为)，若 甲自己没有把握答对，则可在规定时间内找本班同学（亲友团）寻求帮助，亲友团每道题能答对的概率为 P,假设每道题答对与否互不影响. (I)当p=一时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率. (2)当p=一时，甲答了3道题，记甲答对题目的个数为随机变量X,求随机变量X的数学期望E(X)和方 4 差D(X)(不必写出分布列). (3)乙答对每道题的概率为子（含亲友团），现甲乙两人各答两道题，若甲答对思目的个数比乙答对题日的个 、 数多的概率不低于)求甲的亲友团每道咫答对的概率P的最小值 18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,cos(A-B)=cOsB+cosC,B≠T (1)求A: (2)点D是BC的中点，延长AD至点E,连接BE,CE,a=23. (i)若CE/IAB,b=2,求CE的长度； (ii)若AD=2DE,求△BEC面积的最大值. 19.已知函数f(x)=xsinx,g(x)=x2-ax3,aeR. 讨论面数在区间（受引上的单润性 (2)已知h(0)=0,x0时，xh(x)=g(x)-f(x) (i)若函数h(x)在区间(0，π)上只有一个极值点，求a的取值范围： (m)当a时，若，无是函数()=大的两个根，出<，且，名（22证明：>-6 ππ π扬州市仙城中学2027届高三上学期第二次阶段测试 高三数学参考答案 2026.10 1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.D8.B9.AD10.ABD11.ACD v21 12.4 13.-2 14.5 15.(I):AB=BC,E为AC的中点，BE⊥AC,又PB⊥AC,且PB∩BE=B,PB,BEc平面PBE, 故AC⊥平面PBE.又ACC平面ABC,所以平面PBE⊥平面ABC…………6分 (2)在三角形ABC中：AB=BC=2,∠ABC=90°，.AC=2√2，BE=V2. 由(1)知AC⊥平面PBE.因PEC平面PBE,∴.AC⊥PE. 又E为AC的中点，则PE垂直平分AC,PC=2,.PE=√2，又PB=2, PB2=PE2+BE2,即PE⊥BE,.…....9分 又AC∩BE=E,AC,BEC平面ABC,故PE⊥平面ABC. 故可以E为坐标原点，分别以EA、EB、EP所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图。 则A2,0,0,B0,V2,0,P0,0,V2),C(-V2,0,0, AP=（-2,0,2),BP=(0,-V2,V2),PC=(-2,0,-2): n·AP=-V2x+V2z=0 设平面PAB的一个法向量为i=(x,y,2),则 :F=2y+22=0令z=1,得i=(1,1). 设点C到平面PAB的距离为d,则d= PCi_22_26 i33 16.(1)因为x∈[0，，所以sinx≥0，由f()V2 1-cos2x+23cos 2 1-(1-2sin2x) x2coin2im5 -》5,由e小则否[昏 ……6分 所以当+号红，即=时。画数f取最小值，且最小值为0：……S分 当x+肾受即x-时，函数f(取最大值，且最大位为2+5， ….9分 （2由2至5x+号≤2海+经keZ,则2a爱s≤2版+名keZ,12分 因为x∈0，可，所以函数f(x)的单调递增区间为0， 6 ……15分 17.(1)记事件A为甲答对了某道题”，事件B为“甲自己答对”， ……………2分 所以P(B|A)= P(AB)_2-4 P(A) ...4分 5 f (2)X可能取值为0,1,2,3， 血（①知甲答对某道题的概率P代4）令则X~43到 ...7分 所以X的数学期望E(x)=3×5=15 881 .8分 D(X)=3x5x345 8864 ……9分 (3)记事件A为“甲答对了i道题”，事件B,为“乙答对了i道题， 其中甲答对某道题的概率为2+2P-21+p)小， ………10分 则甲答错某道腿的概为1-+p）-p，…1分 则4)=cp)0-p小--p)P4)-[及+p可-+p, 由题盘知风)（得号Pa)=G×号×号 …………………………12分 所以甲答对题数比乙多的概率为：P(ABUA,B。UA,B)=P(AB)+P(A,B)+P(A,B) 0-p)+p旷号0+p号66p+0p+八 ………13分 令6p210p+列小产解得p≥号 2 …………………14分 以甲的亲友团每道题答对的概率P的最小值为………乃 18.(1)因为cos(A-B)=cosB+cosC,A+B+C=π， 所以CosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B),所以cos(A-B)=cosB-Cos(A+B), cos Acos B+sin Asin B=cosB-(cos Acos B-sin Asin B),2cos Acos B=cosB, 因为B子受所以cosB≠0，所以0sA=2放4-子5分 (2)(i)由余弦定理可得，在△ABC中，a2=b2+c2-2 becos A, 将a=25,b=2,4=号代入可得e2-2c-8=0,解得c=4(c>0)，5分 即AB=4,因为CEIIAB,点D是BC的中点，∠ABD=∠ECD,BD=DC,∠ADB=∠EDC, 所以△ABD三aECD,所以CE=AB=4.....11分 (i)因为AD=2DB,即)AD=DE,因此S胶=SE+S,ce=2SC, 1 a-2V3 在△ABC中，由正弦定理sinA sin刀 怎4，可得h=4sinB,c=4sinC,………3分 3 △ABC的面积为S.Ac=)besin=4V5 isin Bsin 2π B 2 3 2π 化简可得S。c=4V3 sin Bsin兰 2π cos B-cos sin B =6sin Bcos B+23 sin2 B, 3 3 S,40c =3sin2B+21-cos2B 2 =3sin 2B-3 cos 2B+3, 由辅助角公式可得，S,Mc=2V5 2 6 当2B-元时，即B=了Sc取得最大值，因此S= 3W3 621 2 ……17分 l9.(1)因为f(x)=xsinx,所以f'(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x), 因为xC(2引，所以cosx>0,又=amx+x在xc(2到单调递增，当x=0时，y=0, ππ 即x=0时，fo)=0,所以当xe0时，f()<0,当xe02时，>0. 所以函数()在0上单润递诚，在0， 上单调递增 ..5分 (2)(i)因为xh(x)=g(x)-f(x)=x2-ar-xsinx, 所以h(x)=x-ar2-sinx,则h(x)=1-cosx-2ar,令m(x)=h'(x),则m'(x)=sinx-2a, 若a≥，当xe(Q时，m()50,(x)单调递减，所以()<O)=0,)单调递减，不符合 若a≤0，当x∈(0，π)时，m(x)>0,h(x)单调递增，所以h'(x)>h(O)=0,h(x)单调递增，不符合 若0<a< 2,则sinx-2a=0在区间(0，π)上有两个解，不妨设为x,x(x<). 列表如下： (0x) (x,x2) X2 (x2,π) m'(x) 0 + 0 h(x) y 极小值 极大值 y 当0<x<x时，h(x)<h(O)=0,则h(x)在区间(0x)上没有零点. 要使h(x)在区间(0，π)上有且仅有1个极值点， 则h(x)在区间(x,π)上有且仅有一个变号零点，.….9分 则需要h()20,即h(π)=2-2am≥0，解得a< 又因为0<a<分，所以0<as当0<as时.()>（上≥0，M)k0, 由零点存在定理知，存在唯一零点x。∈(x,x2),使得1(x)=0,…………………10分 当x<x<x时，H(x)<0,h(x)为单调递减，当x<x<x时，h'(x)>0,h(x)为单调递增， 所以x为h(x)的极小值点.…………………………1分 综上所述，α的取值范围为0，- ………………12分 (i)证明：当a=是时，A()=x-sinx-,所以h)1-cosx-2x, 令p=(.则p国-血x是放p(到在区同受引上单润通始 又》-0120， 根据零点存在定理，存在唯一的气22使得p(化)=0……13分 当x(受时，()<0，)单调递减，当x(时，()>0，)单调造增， 1-会-0x(}1+经20，H0=1-10 π2 所以当x（乏0时.()>0，h()单调递增，当xe0时，()<0，h()单调递减 2 由于)-(.且-子<x<6<号 则子写<0<名受从面子5至 …14分 42 4 因为，5(0小所以即证<)小>（小.即证(）》>(-) 令p)-=A(-小.0} 则p)=1-cosx-2x+1-c0s(←x+2x=20-c0sx)>0,m15分 所以p(x)在0)上单调递增，所以p()>pO)=0, 所以p(:2)=h(x2)-h(-x)>0,即h(2)>h(-x2),………l6分 故X>-X………………17分