2026-2027学年高三上学期数学期中模拟考试卷（重庆适用）

2026-2027学年度高三数学期中模拟考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限、确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 2．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【详解】，， 则. 3．（本题5分）已知，则的共轭复数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、复数的乘方 【详解】因为，， 所以，故 . 4．（本题5分）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、抽象函数的定义域 【分析】根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 5．（本题5分）已知非零向量 满足 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知数量积求模、已知模求数量积、用定义求向量的数量积 【分析】利用得到，求出，再运用，求出与的夹角. 【详解】设，则，那么 ， , 因为与的夹角取值范围为，所以. 6．（本题5分）在中，角对应的边分别为，现已知，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】由下图可知，若三角形有两解，需满足， ，， 由得，由得，所以， 联立得，即的取值范围是. 7．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将正切条件转化为正、余弦乘积的关系，联立两角和的余弦公式求出与的值，最后代入两角差的余弦公式即可得出结果. 【详解】由题意得，即， ， 即， 代入得， 解得，进而， 则. 8．（本题5分）设函数，则（    ） A．2是的极小值点 B．方程有2个不同的实数解 C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求函数零点或方程根的个数、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断全称命题的真假、求已知函数的极值 【分析】先将含绝对值函数写成分段形式，求导分析单调性与极值；A：根据导数符号判断是极大还是极小值点；B：分段解方程，统计不同实数解个数；C：利用内函数单调性，转化比较自变量大小，判断存在性；D：代入区间检验，举出反例判断全称命题是否成立. 【详解】先去掉绝对值，写出函数表达式 当时，，在单调递增； 当时，，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 对于A，处左增右减，是极大值点，故A错误； 对于B：解方程， ①，由题意得，在上恒成立， 此时单调递增，，， 而，可得该区间存在个实根， ②，令， 可得根为，该区间内方程共有个不同实数解， 综上共个不同实根，故B错误； 对于C：，则， 由已知得在单调递增， 要判断是否存在，使得， 等价于存在，即， 解不等式，根为， 而，故存在这样的，故C正确； 对于D：，证明， 代入，， ， 得到，也就是不满足题意，故D错误. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】简单复合函数的导数、导数的加减法、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 10．（本题6分）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．8为的一个周期 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【知识点】由函数的周期性求函数值、求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】因为，令得可判断A正确；用代替，得，用替换，得可判断C正确；用替换，化简得，即12为的一个周期，可判断B错误；代入数值求出，再结合周期性即可求出. 【详解】对于，令，得， 又，则，故A正确； 用代替，得，即， 用替换，得， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 用替换，得，所以， 所以，所以，即， 所以，12为的一个周期，故B错误； ，，，，， 所以， 所以，故D错误. 11．（本题6分）记为中的较大值，则关于函数，有如下四个命题：其中真命题为（     ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个选项． 【详解】设，， 则 函数的图象如下所示： 对于A，由图知，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，由图知，为函数的对称轴，B正确； 对于C，，，由图知，函数的值域为，C错误； 对于D，由图知，函数在区间上单调递减，D错误． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若，，则的取值范围为______ 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用换元法，根据不等式的性质计算范围． 【详解】令， 则，解得；故， 因为，则； 因为，则； 故，故的取值范围为． 13．（本题5分）已知向量，且，则在上的投影向量是_______. 【答案】 【知识点】求投影向量、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用数量积公式求出， 由利用向量垂直的坐标公式得到关于的方程，计算出值，利用在上的投影向量的公式求解. 【详解】由向量，可得，且， 因为，所以， 解得，所以，可得，且， 所以在上的投影向量为. 14．（本题5分）函数，若方程恰有3个不等的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】确定函数的单调性，结合函数图象，即可求解. 【详解】当时，， 求导得：， 当时，，单调递增； ，当时，由指数函数的增长速度可判断，且 当时，，单调递减；此时， 当时，单调递增，且， 画出函数图象如下： 对于， 当时，的图象过二四象限，并经过坐标原点， 此时与只有一个交点， 即方程只有1个实数根，不符合题意； 当时，的图象过一三象限，并经过坐标原点， 下面计算与，相切时的取值， 设切点坐标为由， 可得，又， 联立解得，如上图，此时与有两个不同交点， 此时对的图象绕原点顺时针旋转，结合图象可知：当时，与有三个不同交点， 即方程恰有3个不等的实数根， 故实数的取值范围是. 四、解答题（共77分） 15．（本题15分）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【答案】(1) (2)的最大值是，， 【知识点】扇形中的最值问题、基本不等式求积的最大值、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用、弧长的有关计算 【分析】（1）由扇形的弧长计算公式计算弧长即可；（2）由周长为，可得，再由，，求二次函数最大值或直接利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由扇形的弧长计算公式 （2）方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 16．（本题13分）化简求值： (1)； (2)； (3)已知角的终边经过点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）原式， 因为角的终边经过点， 所以，所以原式. 17．（本题15分）已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，再保持图像上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1)函数的单调递增区间为 (2)当时，函数的值域为. 【知识点】周期变换及解析式特征、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、上下平移变换及解析式特征、辅助角公式 【分析】（1），结合二倍角公式，降幂公式以及辅助角公式，将函数化简成，再求它的单调递增区间即可；（2），将函数先向右平移再进行伸缩变换，得到，最后结合正弦函数的图象得到函数在给定区间的值域. 【详解】（1）， 解得，， 综上所述，函数的单调递增区间为. （2）由函数的图像向右平移个单位长度，可得 ， 再保持图像上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得， 由，可得， 则，故， 综上所述，当时，函数的值域为. 18．（本题17分）在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知． (1)求角 C 的大小； (2)若 c = 2，D 为边 AB 的中点，求中线 CD 长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，可得，根据角C的范围，即可得答案； （2）由题意得，两边同时平方，化简整理，结合余弦定理，可得，根据正弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式，可得的表达式，根据条件，可得角A的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 因为，所以，可得，即， 又，所以. （2）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为，则，所以， 则， 则， 故中线CD的长度的取值范围为. 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当，且时，求证：； (3)当时，若正实数满足，求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明：令，， 则， 令，则. 因为，，所以，，，所以， 则在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，则，所以. (3)证明：由（2）知，当且时，，故. 当时，， 由（1）知，，易得在上单调递增. 设，其中，且， 则，因此在上单调递增， 从而， 则. 因为为正实数，且满足，. 所以，所以， 综上，. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】（1）由函数求导，利用解不等式进行求解； （2），，通过二次求导得出函数的单调性进行求解； （3）由（2）知，当且时，，故.另一方面，设，其中，且，由导数求得，即可求解． 【详解】（1）当时，，. 令，则，解得， 若，则，解得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）略 （3）略 【点睛】第（3）问中，证明时，关键要构造函数，其中，且，证明，得即可得证． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学期中模拟考试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知，则的共轭复数（     ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知非零向量 满足 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在中，角对应的边分别为，现已知，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C．0 D． 8．（本题5分）设函数，则（    ） A．2是的极小值点 B．方程有2个不同的实数解 C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．8为的一个周期 C．为偶函数 D． 11．（本题6分）记为中的较大值，则关于函数，有如下四个命题：其中真命题为（     ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上单调递增 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若，，则的取值范围为______ 13．（本题5分）已知向量，且，则在上的投影向量是_______. 14．（本题5分）函数，若方程恰有3个不等的实数根，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（共77分） 15．（本题15分）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 16．（本题13分）化简求值： (1)； (2)； (3)已知角的终边经过点，求的值． 17．（本题15分）已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，再保持图像上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 18．（本题17分）在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知． (1)求角 C 的大小； (2)若 c = 2，D 为边 AB 的中点，求中线 CD 长的取值范围． 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当，且时，求证：； (3)当时，若正实数满足，求证：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $