专题07 圆锥曲线解答题（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

专题07 圆锥曲线解答题（高效培优专项训练） 数学新教材人教版高二上期 题型一 弦长问题 题型二 面积问题 题型三 中点弦问题 题型四 范围、最值问题 题型五 定点问题 题型六 定值问题 题型七 定直线问题 题型八 切线问题 题型九 向量共线问题 题型一 弦长问题 1.(25-26高二上·广东广州·期末)动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)；；(2). 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求双曲线中的弦长 【分析】(1)根据给定条件，列出方程化简即得. (2)求出直线的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【详解】(1)由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. (2)由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 2.(25-26高二上·广西贺州·期末)中心是原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】(1)设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； (2)设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【详解】(1)依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； (2)设，，由，消去整理得， 所以，解得或，又，， 所以， 即，解得(满足)， 所以. 3.(25-26高二上·湖北武汉·期末)设平面内动点到点、距离之差为. (1)若，过点且斜率为2的直线交点的轨迹于、两点，求线段的长. (2)若存在点到、轴的距离之比为，求的取值范围. 【答案】(1)30；(2). 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的弦长、双曲线中的参数及范围、求双曲线的轨迹方程 【分析】(1)根据双曲线的定义得到点的轨迹是双曲线的一支，并求出，，，得到点的轨迹方程，直线方程为，联立后得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到答案； (2)设点的坐标为，故，，可得， 点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故， 联立，解得，解得， 即的取值范围为. 【详解】(1)当时，. ∵，∴点的轨迹是双曲线的一支. 由题意得；，所以，， ∴点的轨迹方程为. 直线方程为，即. 设，.由，化简可得. 且， . (2)设点的坐标为，依题设得，即，. 因此，点、、三点不共线，得， ∵，∴，解得. 因此点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故. 将代入，并解得， 因为，，所以，解得， 即的取值范围为. 4.（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设.    (1)求椭圆的标准方程： (2)当取何值时，等于椭圆短轴的长； (3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)或时，等于椭圆短轴的长；(3)见详解 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由得椭圆方程； （2）当时，求得不合题意，时，设出直线的方程， ，直线方程代入椭圆方程化简后应用韦达定理得，代入弦长公式，求得后可得值； （3）当时，直接计算出，时，由（2）得，用代替得出，然后计算，从而完成证明． 【详解】（1）由题意，所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）当时，，因此， 设直线的方程为， ，椭圆短轴长为2， 由得， 恒成立且，， 所以， 由，解得，所以或；   （3）由（2）知当时，，此时，， 当时，记直线的斜率为，则，直线的斜率为，所以， 所以， 综上，为定值． 题型二 面积问题 1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 【答案】(1)；(2)或 【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据抛物线的定义和点的坐标列方程组，求解方程组即可； （2）设直线方程，联立方程，结合韦达定理可求面积表达式，结合面积的值可求答案. 【详解】（1）因为的准线方程为，由定义可得， 又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得， 所以的方程为. （2）由 （1）知焦点， 设直线 l 的方程为，与抛物线 联立得. 设 ，由韦达定理得：, △OAB 的面积为：, 解得，所以直线 l 的方程为：或. 2.(25-26高二上·广西玉林·期中)已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】双曲线中多边形的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知点到直线距离求参数 【分析】(1)由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； (2)由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【详解】(1)设 ，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； (2)设， 由(1)及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 3.（23-24高二上·山东烟台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 【答案】(1)；(2)或 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据三点共线时，线段的和最小，然后再结合两点间的距离公式求解； （2）将直线与抛物线方程联立，表示出弦长，然后根据的面积为，建立方程，解方程即可. 【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得，设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得，又知，， 所以， 由到直线l的距离为，所以， 即，得，解得或，经检验均满足， 所以的值为或 4.(25-26高二上·浙江杭州·期中)已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，为坐标原点， (i)若的斜率为，求的面积； (ii)求面积的最大值及取得最大值时的方程． 【答案】(1)；；(2)(i)，(ii)，. 【难度】0.46 【知识点】三角形面积公式及其应用、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、由导数求函数的最值(含参) 【分析】(1)由题意，列方程组，求出、即可； (2)(i)先写出直线的方程，与椭圆联立，可求得弦长，再根据点到直线距离公式求得的高，即可求得的面积； (ii)设直线的方程为，与椭圆联立，可求得弦长，再根据点到直线距离公式求得的高，根据三角形的面积公式，可得，通过换元，结合导数即可求得其最大值. 【详解】(1)由题意，椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 所以，解方程组，可得，，， 所以椭圆的方程为； (2)(i)由(1)得椭圆的方程为，，所以右焦点， 又直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 直线与椭圆交于两点，设，联立方程可得， 化简可得，则，， 所以， 以为底，的高为点到直线的距离， 即，所以； (ii)直线过右焦点，与椭圆交于两点， 设，直线的方程为， 代入椭圆方程，得，化简得， 则，，， 所以， 以为底，的高为点到直线的距离， 即， 所以； 令()，所以， 设，则， 因为，所以，所以单调递增， 所以，即， 此时，即，解得， 所以，此时， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 题型三 中点弦问题 1．(25-26高二上·湖南衡阳·期中)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】(1)利用抛物线的定义计算即可； (2)利用点差法结合点斜式计算即可. 【详解】(1)设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. (2)设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 2.(25-26高二上·江苏南通·期末)已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. (i)当时，求直线的方程； (ii)当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1)；(2)(i)；(ii)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】(1)根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； (2)(i)利用点差法可求得直线的方程； (ii)利用点差法推导出，再由斜率公式可得出，由此可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】(1)由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为. (2)(i)设点、，则，，所以，， 当时，则，， 若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得， 所以，即， 故直线的方程为，即； (ii)由(i)可知当时，直线的斜率存在， 由(i)可知， 因为，， 所以. 3.(25-26高二上·安徽·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (3)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】(1)的方程为；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题、求弦中点所在的直线方程或斜率、数量积的坐标表示、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】(1)由题意列关于的不等式组求出即可求解； (2)由点差法求出直线斜率即可由点斜式求解； (3)联立直线方程与双曲线方程求出韦达定理，由韦达定理结合弦长公式求出弦长，再由点到直线距离和面积求出参数k即可由数量积坐标运算分析计算求解. 【详解】(1)由题可得，所以的方程为； (2)设，则， 所以， 所以直线的方程为即； (3)由(1)得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以(舍去)或， 则，， 所以．    4.(25-26高二上·安徽宣城·期末)已知椭圆()过点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点． (i)当线段的中点坐标为时，求直线l的方程； (ii)当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值． 【答案】(1)；(2)(i)；(ii). 【难度】0.4 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、基本不等式求和的最小值、由弦中点求弦方程或斜率、求椭圆中的最值问题 【分析】(1)根据椭圆的离心率和经过的点建立方程，求出，即得椭圆方程； (2)(i)解法一：利用点差法利用弦的中点求出弦所在直线的斜率即得；解法二：设直线的方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理求出直线的斜率即得；(ii)设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，求直线的方程，令，求得，表示出的周长表达式，利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】(1)由题意得，解得：；椭圆C的标准方程是. (2)(i)解法一：设，，则，相减得：, 中点是，，，代入上式得：， 即l的斜率，的方程为，即. 解法二：当l的斜率不存在时，显然不合题意． 当l的斜率存在时，设方程为，代入得： ， 设，  则，解得： 的方程为，即. (ii)设直线()，令，得：， 设，，则， 联立直线l与椭圆方程消元得：， 由，得，则，, 直线的方程为， 令，得，, 的周长为 (当且仅当，等号成立)； 故的周长的最小值为. 题型四 范围、最值问题 1．(25-26高二上·辽宁·期中)动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【答案】(1)；(2)； 【难度】0.85 【知识点】轨迹方程、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、轨迹问题——椭圆、椭圆中的最值问题 【分析】(1)设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. (2)由(1)可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【详解】(1)设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. (2)由(1)知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 2.(25-26高二上·江苏常州·期末)在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中向量点乘问题 【分析】(1)根据直线和双曲线的位置关系，联立方程组，由直线和双曲线交点的个数，判断方程组解的个数，对参数进行讨论，求出参数值； (2)根据向量夹角是钝角时的余弦值性质，设出点的坐标，联立方程组，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】(1)由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意； (2)当时，有，解得，符合题意； 所以的值有共4个. 联立，消去并整理得， 显然，且，解得且， 设，， 则， 显然直线不过原点，即与不共线， 由为钝角，可得， 即，解得， 又且，于是得，解得， 所以的取值范围． 3.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)见详解 【难度】0.47 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质计算椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）先由椭圆的定义可得内切圆半径，再设直线方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数关系可得，再由对勾函数的单调性可得最大值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得， 过左焦点且垂直长轴的直线代入椭圆方程，得，解得， 因此该弦长为​，所以； 结合椭圆恒等式，将代入得​，即， 解得，所以，椭圆方程.因此椭圆标准方程为. （2）存在，最大值为 ， 设的内切圆半径为， 由椭圆的定义，​的周长 . 根据三角形内切圆面积公式，的面积，即. 由（1）得焦点，设过​的直线方程为， 代入椭圆方程整理得：，设， 由韦达定理得，， 所以 . 又因为的面积可表示为， 所以，令， 则，因为对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，函数有最小值，即， 所以，因此，的内切圆面积. 因此当时，的内切圆面积有最大值. 4.(25-26高二上·湖北武汉·期末)设抛物线：，是大于0的常数.抛物线的焦点为，过的垂直于轴的直线交抛物线于，两点(点在轴上方)，直线：与直线相交于点(异于，)，与抛物线相交于点(异于坐标原点)，直线交抛物线于另一点，直线与轴相交于点. (1)若，求的长； (2)若是的重心，求的值； (3)设直线与直线相交于点，，分别为线段，的中点.设的面积为，的面积为，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.15 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】(1)求得抛物线的方程和直线的方程，联立方程组，得到的坐标，即可求得的长； (2)联立方程组，分别求得和，设，由是的重心，求得，根据三点共线，得到，列出方程，即可求解； (3)根据题意，分别求得，，和，化简得到和的表达式，结合，列出不等式，得到，即可求得的取值范围. 【详解】(1)解：若，可得，所以焦点 因为垂直于轴，所以的方程为， 联立方程组，解得，此时两点坐标为， 所以. (2)由题意可得，，，直线的方程为， 由直线：与直线相交于点，可得； 联立方程组，整理得， 因为直线与抛物线相交于点(异于坐标原点)，可得， 设点坐标为，因为是的重心， 可得，解得，即， 又因为三点共线，因此存在实数满足， 因为，所以，解得， 因为，所以. (3)由，，可得；所以， 联立方程组，整理得，可得， 则，所以， 由，可得直线， 联立与，可得，， 所以，因为，分别为线段，的中点， 可得，即；，即； 由点和，可得，直线， 令，则，故，则， 设，，，则，，， 可得 ；因为， 可得， 所以， 可得， 所以， 可得， 整理得，即， 可得，所以， 又因，得，所以实数的取值范围为. 题型五 定点问题 1．(24-25高二上·山东临沂·期末)已知抛物线：()，是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线(不过坐标原点)交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点为 【难度】0.85 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】(1)由抛物线中的最小值为1，所以，即，即可得到方程. (2)联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，由得到，即可求得结果. 【详解】(1)因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 (2)显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得， 则， 因为，所以，解得(舍)，， 故的方程为：，故恒过点. 2.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知斜率存在的直线方程为：，其中，满足如下关系式： ，经过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 【答案】(1)；(2)（i）见详解；（ii）存在定点，使得为定值，且该定值为 【难度】0.5 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、轨迹问题——椭圆、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）判断圆与圆是内切还是外切再根据题目条件列方程求解即可得出答案； （2）（i）将化简求出关于的关系式，代入直线方程即可得出答案； （ii）证明点的轨迹以为直径的圆的一部分，根据圆心到圆的距离为的一半，是定值，判断为中点，即可得出答案. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为， 由题可得圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 因为，，所以圆内含于圆， 因为圆与圆相切且与圆内切，则此时圆与圆内切， 且，，，， 所以圆心的轨迹为椭圆，焦点为，， 有，，，所以的方程为. （2）（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在.理由如下：，，， 所以，点的轨迹是以为直径的圆的一部分， 故当点为的中点，即点为以为直径的圆的圆心，即时，，为定值， 所以，存在定点，使得为定值，且该定值为. 3.(25-26高二下·湖北襄阳·月考)已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点(在的左侧)，不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为． (1)求该曲线的标准方程； (2)若，求的值； (3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，定点 【难度】0.4 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线中的直线过定点问题、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】(1)利用双曲线定义可得，即可得出标准方程； (2)利用点在双曲线上可求得，代入即可求出的值； (3)设直线l的方程为，，联立双曲线与直线方程并结合韦达定理化简得出的表达式，可得，解得，可证明直线l过定点； 另解：由(2)中的计算可知，得，设直线l的方程为，，联立双曲线与直线方程，利用韦达定理可得，解得，因此直线l过定点. 【详解】(1)由双曲线的定义，易知该曲线是以为焦点的双曲线，其中； 故该曲线的标准方程为 (2)设，由题易得，且得， 代入可得，同理可得， 故，又， 可得； (3)由题知．设直线l的方程为，，如下图： 直线与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，，因此， 由，， ∴ ， 解得；所以直线的方程为过定点. 另解：由(2)中的计算可知，得， 则，即； 设直线l的方程为，； 与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，，因此， 又， 所以 ， 也即，解得.因此直线l过定点； 4.(25-26高二上·山东青岛·月考)已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； (3)过点作圆(圆在曲线E内部)的两条切线分别交曲线E于两点(异于点)，探究直线PQ是否过定点． 【答案】(1)；(2)；(3)直线恒过点． 【难度】0.15 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的直线过定点问题、求抛物线的轨迹方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】(1)依题意可知圆的圆心在x轴，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形，再根据直角三角形射影定理可知，即可得解； (2)设，，，利用点差法求出，再根据化简求出，再根据T在抛物线内部即可得解； (3)设过点D且斜率存在的直线方程为，直线DP，DQ的斜率分别设为，，根据直线与动圆相切可得，再化简，利用韦达定理求出，设PQ方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两根之和与积，再化简求出m，n的关系，即可得出结论. 【详解】(1)依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形， 且B点必在y轴右侧，即由直角三角形射影定理可知， 即，所以点的轨迹方程为； (2)设，，，则有 ， 由直线与圆相切可知，即， ，故， 由T在抛物线内部可知，故， 即T的纵坐标取值范围为； (3)设过点D且斜率存在的直线方程为，即， 由该直线与动圆相切可得，整理得，易知直线DP，DQ的斜率存在，分别设为，，则，是方程的两个不等实根， 则有，由于PQ的斜率不为0， 设，，设PQ方程为，与抛物线联立， 得，则由韦达定理可知，，， ， 整理得，即，， 即PQ方程为，此时直线恒过点．   题型六 定值问题 1．(25-26高二上·江苏扬州·期中)将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点(异于)，且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1)；(2)为定值 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】(1)利用相关点法求曲线的方程；(2)列出，化简即可. 【详解】(1)设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点，所以 . 即曲线的方程为：. (2)如图：设，则，且，， 所以 . 所以直线与直线斜率乘积为定值. 2.(2025高三·全国·专题练习)设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在点 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题、双曲线中的定值问题 【分析】(1)可设，，，联立直线方程与双曲线方程可得韦达定理，从而得出，然后根据题意得出的范围，从而解出面积的最小值； (2)假设存在满足题意，求出，由其为定值，可得，从而解出定点． 【详解】(1)如图所示，，易知直线的斜率不为零， 所以设，，． 联立方程组，化简得，， 则有，，则，． 又因为M、N都在双曲线的左支上，所以，解得． 又， 令，所以，即， 易知函数在上单调递减，所以，即面积的最小值为． (2)设存在满足题意，于是，， 故 ， 若为定值，则，即， 此时，所以存在点使得为定值． 3.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 【答案】(1)；(2)（i）见详解；（ii） 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、讨论椭圆与直线的位置关系、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，通过方程的根来证明直线为椭圆的切线； （ⅱ）由对称性可知，当时，；当时，，设，， 联立直线与直线，，利用化简转化， 再利用，最终化简证明. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为. （2）（i）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. （ii）设，易知，当时，由对称性可知，． 当时，不妨设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以， ， 故． 4.(25-26高二下·辽宁·开学考试)已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点． (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； (3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)证明见解析，；(3)存在， 【难度】0.25 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】(1)先设抛物线方程，代入点求出，得到抛物线方程与焦点；再利用双曲线与抛物线共焦点得到，通过双曲线定义或代入点求出，从而得到双曲线方程； (2)设，写出以为直径的圆的圆心与半径，设直线，利用勾股定理表示弦长平方，消去后令系数为，求出，得到弦长为定值； (3)先通过特殊点推测，再利用正切二倍角公式，代入双曲线方程化简，证明，从而得到. 【详解】(1)设抛物线的方程为， 将点代入抛物线方程，得，所以抛物线的方程为； 设双曲线的标准方程为， 因为抛物线的焦点坐标为，双曲线与抛物线在轴上有共同的焦点， 则双曲线的右焦点坐标为，则另一个焦点坐标，故， 又在双曲线上，所以 ， 所以，故双曲线的标准方程为． (2)由题意得的中点为，设的方程为， 以线段为直径的圆交于两点，的中点为，则； 设，则，且， 则， 因为为直角三角形，且，所以， 所以， 显然当时，，所以弦长为定值， 故存在垂直于轴的直线(即直线)，被圆截得的弦长为定值，直线的方程为． (3)已知双曲线方程为，其左顶点为，右焦点为，设 为第一象限内双曲线上任意一点()，满足，即； 当轴时，，代入双曲线方程：，此时点的坐标为； ，，故为等腰直角三角形，，， 因此，推测； 由点的坐标关系，可得：，， 当时，，，为锐角， 当时，，，为钝角， ，将代入，得， 将代入分母化简：， 因此：，故， 因为在第一象限，所以，故， 当时，，，两角同属正切函数的单调递增区间， 当 时：由，可知， 故 ，由渐近线斜率约束，可知， 综上，，与同属正切函数的单调递增区间， 在正切函数的同一单调区间内，若，则必有，因此：， 故存在常数，使得对第一象限内双曲线上任意一点恒成立. 题型七 定直线问题 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程； (2)过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (3)过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 【答案】(1)；(2)；(3)见详解 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定直线、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由几何关系得出点Q的轨迹符合椭圆定义，求解即可； （2）设直线MN的方程为，与椭圆方程联立，写出表达式，代入韦达定理化简即可得定值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出直线GS与HR的方程，利用韦达定理化简得定值，即可求得定直线. 【详解】（1）连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆. （2）由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得，， 由韦达定理得，， 则. （3）设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，，，，所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上. 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)见详解 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题、根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的定直线 【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程； （2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则， 则，所以，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不存在，理由如下：由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得，则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得， 则 ，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，， 假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 3.（25-26高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于P，Q两点， （i）证明：直线与的交点在定直线上； （ii）已知直线，记直线，与围成的三角形面积为，直线，与（i）中的定直线围成的三角形面积为，若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)（i）见详解；（ii）或 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）利用双曲线的性质及离心率求出，进而求出双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合直线交点的性质求出横坐标为定值，进而证明结论；设直线斜率，结合韦达定理及三角形几何性质求出，进而求出，得出相应方程． 【详解】（1），故，， 点在曲线上，，解得，故， 双曲线． （2）（i）双曲线的左右顶点为， 设过点的直线，与双曲线右支交于， 联立直线与双曲线方程，整理得， 方程的判别式， 由韦达定理得， 直线的方程为，直线的方程为， 设直线与直线的交点为，则， ，展开整理得， ， 直线与的交点在定直线上； （ii）设直线与的斜率为，则， 设与交点为，与交点为， 联立与，，解得，故，同理得， ， ， ， ， 定直线与的交点纵坐标为， 三角形顶点，到的距离， ，， ，解得，故， 当时，方程为， 当时，方程为， 直线的方程为或． 4.（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 【答案】(1)在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． (2)（i）；（ii）在定直线上． 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的定直线、双曲线中的动点在定直线上问题、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，由直线，的斜率之积的绝对值为2，可得轨迹的方程，，则可得轨迹； （2）（i）由题意，设直线，可得，设，将与的方程联立可得，，，由，利用坐标运算可得，即得； （ii）解法一：设直线，直线，分别与曲线的两个方程联立，可得，两点，，两点坐标，由对称性可得若在定直线上，则必在定直线上，利用坐标运算证得，即满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴，又由（i）知，故可得必在定直线上．设直线与曲线联立， 设与曲线联立，表示出，两点，，两点坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 【详解】（1）设，又，，则两直线，的斜率分别为，，， 因为，所以，即，，所以， 即在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． （2）（i）由题意，设直线，可得，则两直线关于轴对称， 又曲线的图形也关于轴对称， 则，关于轴对称；，关于轴对称，所以必在轴上，不妨设， 将与双曲线联立，得，解得，则； 同理将直线与椭圆联立，得．所以， 因为，，三点共线，所以， 其中，， 则，解得，故． （ii）（解法一）：由（1）得，曲线的方程为， 设直线，将与联立， 可得，解得， 代入直线方程可得，所以， 将直线与联立，可得． 同理，设直线，分别与，联立，其中可得，， 根据对称性可得若在定直线上，则该定直线必垂直于轴，又由（i）知， 则必在定直线上． 要证明：直线，的公共点在定直线上， 即证满足，，三点共线且，，三点共线， 即证：， 因为，； ，， 即证：， 即证：， 即证：，显然成立， 故无论直线的斜率如何变化，的横坐标恒为， 即在定直线上． （解法二）：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴， 又由（i）知，故可得必在定直线上． 由（1）知，可合并为， 设直线与曲线联立，得， 因为，所以得，即， 可得该方程的两根为，或，因为，故，， 同理设与曲线联立，得，， 故直线的斜率为， 所以直线， 同理， 要证明的公共点在定直线上， 只需要证明直线与的公共点与直线与的公共点重合， 将代入直线，得； 同理可得，故两点重合，本题得证． 题型八 切线问题 1.（24-25高二下·广东惠州·期中）已知椭圆 的离心率为，抛物线 的焦点是椭圆的顶点． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，求切线的方程． 【答案】(1)；(2)或. 【难度】0.65 【知识点】求抛物线的切线方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）由椭圆的离心率求参数，得椭圆方程，然后借助椭圆与抛物线的关系求解抛物线的方程； （2）设出直线方程，联立直线与抛物线，借助二次方程性质求解直线方程. 【详解】（1）椭圆 的离心率为，可得：，即， 由，可得，则椭圆 ，它的上顶点坐标， 抛物线 的焦点是椭圆的顶点，得，抛物线 ； （2）设过点作抛物线的切线 ， 则，整理得， ，解得或， 所求切线方程为：或． 2．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.55 【知识点】求抛物线的切线方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． 【详解】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得，，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 3.（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，． （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1 【难度】0.4 【知识点】双曲线的切线方程、双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解； （2）（i）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解； （ii）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解，当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解. 【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得；又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为， 代入双曲线中消去得：， 则由得：， 化简得：，则，为上述方程的两个根，故， 而，所以. （ii）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 设过点的切线方程为，代入双曲线方程， 由（i）得，又， 得，解得，代回化简得过点的切线方程为， 同理，过点的切线方程为，所以得，， 所以切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（i）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即. 综上，为定值1. 4.（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接. （i）求两点的坐标； （ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）见详解 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、求椭圆的切线方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）将代入椭圆方程，即可求解； （2）（i）易知直线BT的斜率为0，即可求坐标，设直线AT的方程为，联立椭圆方程，由判别式为0，求得，即可求解； （ii）先通过DG方程为：，猜测点，再通过证明即可求解. 【详解】（1）由题意得解得     所以椭圆的标准方程为. （2）（i）显然直线BT的斜率为0，点为，      直线AT的斜率存在且不为0，设直线AT的方程为， 联立得（＊）     则，解得或0（舍去）.     将代入（*）得，将代入，得， 又点在轴下方，；两点的坐标分别为.     （ii）由（i）可知直线AB的方程为，，则. 当直线CD经过原点时，直线CD的方程为， 联立解得或不妨设点在轴上方，则. 直线CE的方程为：，即；联立解得点. ；为CG的中点，点为. 又，∴直线DG为：，经过点. 猜想直线DG恒过定点，下证一般情况仍然成立： 要证直线DG过定点，即证， 设点，则直线CE的方程为， 联立得，则点为. . 即证，即证， 即证（＃）     显然，直线DT的斜率存在，设直线DT的方程为， 联立得，      即证； 显然成立，所以， 即直线DG恒过定点. 题型九 圆锥曲线中的向量共线、比例问题 1．(25-26高二上·江苏宿迁·月考)如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中向量共线比例问题 【分析】(1)根据椭圆的定义，结合对称性即可求解； (2)根据向量的坐标运算，求点的坐标，即可求出的坐标，从而求出直线的斜率； 【详解】(1)由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； (2)设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 2.(25-26高二上·河南开封·期末)已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点，且与点的轨迹相交于，两点(在第一象限)，若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、利用抛物线定义求动点轨迹、直线的点斜式方程及辨析 【分析】(1)根据题意得到点的距离等于它到直线：的距离，再结合抛物线的定义求解； (2)设直线方程为，联立抛物线方程得，结合，用坐标运算即可. 【详解】(1)由点到点的距离比它到直线：的距离大1， 则点到点的距离等于它到直线：的距离， 由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为． (2)直线过点，由已知直线的斜率不为0，故设直线的方程为， 联立方程组，整理得，则， 设，，所以，． 因为，可得，所以， 因为点在第一象限，所以，， 则，解得， 所以直线的方程为. 3.（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 【答案】(1)；(2)或． 【难度】0.56 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、椭圆中向量共线比例问题 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标． 【详解】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为，因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 4.（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． (1)若，，求曲线，的方程. (2)若，，证明：为定值. (3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 【答案】(1)的方程为（），的方程为（）；(2)见详解；(3)见详解 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、双曲线中的定值问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）设动点的坐标，利用斜率关系求出曲线的方程，再将代入即得. （2）设，由给定条件可得，再利用斜率坐标公式求出的表达式，然后利用点分别在曲线上推理计算得证. （3）设，确定直线的方程.通过联立椭圆方程得到、.进而可求证. 【详解】（1）设，.若，，则，，， 由，整理得（），即曲线的方程为（）. 同理，由，得（），即曲线的方程为（）. （2）设，则， 由，得，即， ， 由点在曲线上，得；由点在曲线上，得， 则，于是，即， 所以为定值. （3）证明：设，则由（2）可得（）①. 设，.因为，所以直线的方程为. 由消去，得， 结合①，消去，整理得， 则，代入直线的方程，可得，即. 同理可得直线的方程为， 由消去，并结合①，消去，整理得， 同理可得. 易知直线与轴垂直，且线段的中点的坐标为， 故，为定值. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆锥曲线解答题（高效培优专项训练） 数学新教材人教版高二上期 题型一 弦长问题 题型二 面积问题 题型三 中点弦问题 题型四 范围、最值问题 题型五 定点问题 题型六 定值问题 题型七 定直线问题 题型八 切线问题 题型九 向量共线问题 题型一 弦长问题 1.(25-26高二上·广东广州·期末)动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 2.(25-26高二上·广西贺州·期末)中心是原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 3.(25-26高二上·湖北武汉·期末)设平面内动点到点、距离之差为. (1)若，过点且斜率为2的直线交点的轨迹于、两点，求线段的长. (2)若存在点到、轴的距离之比为，求的取值范围. 4.（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，焦距为.如图，过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于两点，设. (1)求椭圆的标准方程： (2)当取何值时，等于椭圆短轴的长； (3)过点作一条与直线垂直的直线，交椭圆于两点，求证：为定值. 题型二 面积问题 1．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程. 2.(25-26高二上·广西玉林·期中)已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 3.（23-24高二上·山东烟台·阶段检测）已知抛物线的焦点为，，对于C上的点，的最小值为 (1)求抛物线C的标准方程； (2)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线与C交于两点，若的面积为，求的值. 4.(25-26高二上·浙江杭州·期中)已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，为坐标原点， (i)若的斜率为，求的面积； (ii)求面积的最大值及取得最大值时的方程． 题型三 中点弦问题 1．(25-26高二上·湖南衡阳·期中)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 2.(25-26高二上·江苏南通·期末)已知椭圆的离心率为，左顶点为. (1)求的标准方程； (2)设、两点在上，且线段的中点为. (i)当时，求直线的方程； (ii)当直线的斜率存在时，证明：直线与直线的斜率之积为定值. 3.(25-26高二上·安徽·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (3)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 4.(25-26高二上·安徽宣城·期末)已知椭圆()过点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点． (i)当线段的中点坐标为时，求直线l的方程； (ii)当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值． 题型四 范围、最值问题 1．(25-26高二上·辽宁·期中)动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 2.(25-26高二上·江苏常州·期末)在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 3.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 4.(25-26高二上·湖北武汉·期末)设抛物线：，是大于0的常数.抛物线的焦点为，过的垂直于轴的直线交抛物线于，两点(点在轴上方)，直线：与直线相交于点(异于，)，与抛物线相交于点(异于坐标原点)，直线交抛物线于另一点，直线与轴相交于点. (1)若，求的长； (2)若是的重心，求的值； (3)设直线与直线相交于点，，分别为线段，的中点.设的面积为，的面积为，若，求的取值范围. 题型五 定点问题 1．(24-25高二上·山东临沂·期末)已知抛物线：()，是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线(不过坐标原点)交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 2.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知斜率存在的直线方程为：，其中，满足如下关系式： ，经过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 3.(25-26高二下·湖北襄阳·月考)已知动点满足下列方程：；该方程的曲线与x轴的交点分别为两点(在的左侧)，不过的直线l与该曲线交于两点，记直线的斜率分别为；直线的斜率分别为． (1)求该曲线的标准方程； (2)若，求的值； (3)若，求证：直线l过定点，并求出定点坐标． 4.(25-26高二上·山东青岛·月考)已知圆心在x轴上移动的圆经过点，且与x轴，y轴分别交于，两个动点．记动点的轨迹为曲线E． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线l与曲线E相交于两点，与圆相切于点T，若T为的中点，求T的纵坐标取值范围； (3)过点作圆(圆在曲线E内部)的两条切线分别交曲线E于两点(异于点)，探究直线PQ是否过定点． 题型六 定值问题 1．(25-26高二上·江苏扬州·期中)将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点(异于)，且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 2.(2025高三·全国·专题练习)设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，.设与的面积分别为，. （i）证明直线与椭圆相切，并求出切点； （ii）比较与的大小. 4.(25-26高二下·辽宁·开学考试)已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点． (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； (3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型七 定直线问题 1．（25-26高二上·浙江·期中）如图1，圆C：，点，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点，记直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (3)过点作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点，，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上. 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 3.（25-26高二上·福建泉州·期末）已知双曲线的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于P，Q两点， （i）证明：直线与的交点在定直线上； （ii）已知直线，记直线，与围成的三角形面积为，直线，与（i）中的定直线围成的三角形面积为，若，求直线的方程． 4.（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 题型八 切线问题 1.（24-25高二下·广东惠州·期中）已知椭圆 的离心率为，抛物线 的焦点是椭圆的顶点． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的切线，求切线的方程． 2．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 3.（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，． （i）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值． 4.（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上的两点，点为椭圆外一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，其中点在轴下方，连接. （i）求两点的坐标； （ii）过点作椭圆的一条割线，交椭圆于两点（是四个不同的点），再过点作一条与直线平行的直线，该直线交直线于点，点满足，求证：直线DG恒过定点. 题型九 圆锥曲线中的向量共线、比例问题 1．(25-26高二上·江苏宿迁·月考)如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 2.(25-26高二上·河南开封·期末)已知点到点的距离比它到直线：的距离大1． (1)求点的轨迹方程； (2)直线过点，且与点的轨迹相交于，两点(在第一象限)，若，求直线的方程． 3.（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为.设直线：与交于，两点，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标． 4.（25-26高二上·河北·期末）已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． (1)若，，求曲线，的方程. (2)若，，证明：为定值. (3)若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆锥曲线解答题（高效培优专项训练） 数学新教材人教版高二上期 题型一 弦长问题 题型二 面积问题 题型三 中点弦问题 题型四 范围、最值问题 题型五 定点问题 题型六 定值问题 题型七 定直线问题 题型八 切线问题 题型九 向量共线问题 题型一 弦长问题 1.【详解】(1)由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. (2)由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 2.【详解】(1)依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； (2)设，，由，消去整理得， 所以，解得或，又，， 所以， 即，解得(满足)， 所以. 3.【详解】(1)当时，. ∵，∴点的轨迹是双曲线的一支. 由题意得；，所以，， ∴点的轨迹方程为. 直线方程为，即. 设，.由，化简可得. 且， . (2)设点的坐标为，依题设得，即，. 因此，点、、三点不共线，得， ∵，∴，解得. 因此点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故. 将代入，并解得， 因为，，所以，解得， 即的取值范围为. 4.【详解】（1）由题意，所以，所以， 所以椭圆方程为； （2）当时，，因此， 设直线的方程为， ，椭圆短轴长为2， 由得， 恒成立且，， 所以， 由，解得，所以或；   （3）由（2）知当时，，此时，， 当时，记直线的斜率为，则，直线的斜率为，所以， 所以， 综上，为定值． 题型二 面积问题 1．【详解】（1）因为的准线方程为，由定义可得， 又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得， 所以的方程为. （2）由 （1）知焦点， 设直线 l 的方程为，与抛物线 联立得. 设 ，由韦达定理得：, △OAB 的面积为：, 解得，所以直线 l 的方程为：或. 2.【详解】(1)设 ，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； (2)设， 由(1)及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 3.【详解】（1）由题意可得,当F，A，B三点共线时，取得最小值，有， 由两点间距离公式，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）把代入方程，可得，设，， 联立方程组，消去y可得， 由，解得，又知，， 所以， 由到直线l的距离为，所以， 即，得，解得或，经检验均满足， 所以的值为或 4.【详解】(1)由题意，椭圆的离心率为，且点在椭圆上， 所以，解方程组，可得，，， 所以椭圆的方程为； (2)(i)由(1)得椭圆的方程为，，所以右焦点， 又直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 直线与椭圆交于两点，设，联立方程可得， 化简可得，则，， 所以， 以为底，的高为点到直线的距离， 即，所以； (ii)直线过右焦点，与椭圆交于两点， 设，直线的方程为， 代入椭圆方程，得，化简得， 则，，， 所以， 以为底，的高为点到直线的距离， 即， 所以； 令()，所以， 设，则， 因为，所以，所以单调递增， 所以，即， 此时，即，解得， 所以，此时， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 题型三 中点弦问题 1．【详解】(1)设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. (2)设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 2.【详解】(1)由题意可得，所以，故椭圆的标准方程为. (2)(i)设点、，则，，所以，， 当时，则，， 若直线的斜率不存在，此时轴，则、关于轴对称，则的中点在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率存在，由，这两个等式作差得， 所以，即， 故直线的方程为，即； (ii)由(i)可知当时，直线的斜率存在， 由(i)可知， 因为，， 所以. 3.【详解】(1)由题可得，所以的方程为； (2)设，则， 所以， 所以直线的方程为即； (3)由(1)得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以(舍去)或， 则，， 所以．    4.【详解】(1)由题意得，解得：；椭圆C的标准方程是. (2)(i)解法一：设，，则，相减得：, 中点是，，，代入上式得：， 即l的斜率，的方程为，即. 解法二：当l的斜率不存在时，显然不合题意． 当l的斜率存在时，设方程为，代入得： ， 设，  则，解得： 的方程为，即. (ii)设直线()，令，得：， 设，，则， 联立直线l与椭圆方程消元得：， 由，得，则，, 直线的方程为， 令，得，, 的周长为 (当且仅当，等号成立)； 故的周长的最小值为. 题型四 范围、最值问题 1．【详解】(1)设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. (2)由(1)知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 2.【详解】(1)由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意； (2)当时，有，解得，符合题意； 所以的值有共4个. 联立，消去并整理得， 显然，且，解得且， 设，， 则， 显然直线不过原点，即与不共线， 由为钝角，可得， 即，解得， 又且，于是得，解得， 所以的取值范围． 3.【详解】（1）由椭圆的离心率为，得， 过左焦点且垂直长轴的直线代入椭圆方程，得，解得， 因此该弦长为​，所以； 结合椭圆恒等式，将代入得​，即， 解得，所以，椭圆方程.因此椭圆标准方程为. （2）存在，最大值为 ， 设的内切圆半径为， 由椭圆的定义，​的周长 . 根据三角形内切圆面积公式，的面积，即. 由（1）得焦点，设过​的直线方程为， 代入椭圆方程整理得：，设， 由韦达定理得，， 所以 . 又因为的面积可表示为， 所以，令， 则，因为对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，函数有最小值，即， 所以，因此，的内切圆面积. 因此当时，的内切圆面积有最大值. 4.【详解】(1)解：若，可得，所以焦点 因为垂直于轴，所以的方程为， 联立方程组，解得，此时两点坐标为， 所以. (2)由题意可得，，，直线的方程为， 由直线：与直线相交于点，可得； 联立方程组，整理得， 因为直线与抛物线相交于点(异于坐标原点)，可得， 设点坐标为，因为是的重心， 可得，解得，即， 又因为三点共线，因此存在实数满足， 因为，所以，解得， 因为，所以. (3)由，，可得；所以， 联立方程组，整理得，可得， 则，所以， 由，可得直线， 联立与，可得，， 所以，因为，分别为线段，的中点， 可得，即；，即； 由点和，可得，直线， 令，则，故，则， 设，，，则，，， 可得 ；因为， 可得， 所以， 可得， 所以， 可得， 整理得，即， 可得，所以， 又因，得，所以实数的取值范围为. 题型五 定点问题 1．【详解】(1)因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 (2)显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得， 则， 因为，所以，解得(舍)，， 故的方程为：，故恒过点. 2.【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为， 由题可得圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 因为，，所以圆内含于圆， 因为圆与圆相切且与圆内切，则此时圆与圆内切， 且，，，， 所以圆心的轨迹为椭圆，焦点为，， 有，，，所以的方程为. （2）（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在.理由如下：，，， 所以，点的轨迹是以为直径的圆的一部分， 故当点为的中点，即点为以为直径的圆的圆心，即时，，为定值， 所以，存在定点，使得为定值，且该定值为. 3.【详解】(1)由双曲线的定义，易知该曲线是以为焦点的双曲线，其中； 故该曲线的标准方程为 (2)设，由题易得，且得， 代入可得，同理可得， 故，又， 可得； (3)由题知．设直线l的方程为，，如下图： 直线与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，，因此， 由，， ∴ ， 解得；所以直线的方程为过定点. 另解：由(2)中的计算可知，得， 则，即； 设直线l的方程为，； 与双曲线联立得， 可得，因此且； 则可得，，因此， 又， 所以 ， 也即，解得.因此直线l过定点； 4.【详解】(1)依题意可知圆的圆心在x轴上，即圆关于x轴对称，三角形ABC是直角三角形， 且B点必在y轴右侧，即由直角三角形射影定理可知， 即，所以点的轨迹方程为； (2)设，，，则有 ， 由直线与圆相切可知，即， ，故， 由T在抛物线内部可知，故， 即T的纵坐标取值范围为； (3)设过点D且斜率存在的直线方程为，即， 由该直线与动圆相切可得，整理得，易知直线DP，DQ的斜率存在，分别设为，，则，是方程的两个不等实根， 则有，由于PQ的斜率不为0， 设，，设PQ方程为，与抛物线联立， 得，则由韦达定理可知，，， ， 整理得，即，， 即PQ方程为，此时直线恒过点． 题型六 定值问题 1．【详解】(1)设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点，所以 . 即曲线的方程为：. (2)如图：设，则，且，， 所以 . 所以直线与直线斜率乘积为定值. 2.【详解】(1)如图所示，，易知直线的斜率不为零， 所以设，，． 联立方程组，化简得，， 则有，，则，． 又因为M、N都在双曲线的左支上，所以，解得． 又， 令，所以，即， 易知函数在上单调递减，所以，即面积的最小值为． (2)设存在满足题意，于是，， 故 ， 若为定值，则，即， 此时，所以存在点使得为定值． 3.【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为. （2）（i）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. （ii）设，易知，当时，由对称性可知，． 当时，不妨设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以， ， 故． 4.【详解】(1)设抛物线的方程为， 将点代入抛物线方程，得，所以抛物线的方程为； 设双曲线的标准方程为， 因为抛物线的焦点坐标为，双曲线与抛物线在轴上有共同的焦点， 则双曲线的右焦点坐标为，则另一个焦点坐标，故， 又在双曲线上，所以 ， 所以，故双曲线的标准方程为． (2)由题意得的中点为，设的方程为， 以线段为直径的圆交于两点，的中点为，则； 设，则，且， 则， 因为为直角三角形，且，所以， 所以， 显然当时，，所以弦长为定值， 故存在垂直于轴的直线(即直线)，被圆截得的弦长为定值，直线的方程为． (3)已知双曲线方程为，其左顶点为，右焦点为，设 为第一象限内双曲线上任意一点()，满足，即； 当轴时，，代入双曲线方程：，此时点的坐标为； ，，故为等腰直角三角形，，， 因此，推测； 由点的坐标关系，可得：，， 当时，，，为锐角， 当时，，，为钝角， ，将代入，得， 将代入分母化简：， 因此：，故， 因为在第一象限，所以，故， 当时，，，两角同属正切函数的单调递增区间， 当 时：由，可知， 故 ，由渐近线斜率约束，可知， 综上，，与同属正切函数的单调递增区间， 在正切函数的同一单调区间内，若，则必有，因此：， 故存在常数，使得对第一象限内双曲线上任意一点恒成立. 题型七 定直线问题 1．【详解】（1）连接QA，由已知得.所以. 又因为点A在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C，A为焦点，2为长轴长的椭圆. （2）由，，设直线MN的方程为，，， 联立方程得，， 由韦达定理得，， 则. （3）设直线l的方程为，，， 将椭圆方程与直线方程联立可得， 时，，，，所以， ∴：，：， ∴，整理得， 所以动点T在定直线上. 2．【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则， 则，所以，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）不存在，理由如下：由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得，则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得， 则 ，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，， 假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 3.【详解】（1），故，， 点在曲线上，，解得，故， 双曲线． （2）（i）双曲线的左右顶点为， 设过点的直线，与双曲线右支交于， 联立直线与双曲线方程，整理得， 方程的判别式， 由韦达定理得， 直线的方程为，直线的方程为， 设直线与直线的交点为，则， ，展开整理得， ， 直线与的交点在定直线上； （ii）设直线与的斜率为，则， 设与交点为，与交点为， 联立与，，解得，故，同理得， ， ， ， ， 定直线与的交点纵坐标为， 三角形顶点，到的距离， ，， ，解得，故， 当时，方程为， 当时，方程为， 直线的方程为或． 4.【详解】（1）设，又，，则两直线，的斜率分别为，，， 因为，所以，即，，所以， 即在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． （2）（i）由题意，设直线，可得，则两直线关于轴对称， 又曲线的图形也关于轴对称， 则，关于轴对称；，关于轴对称，所以必在轴上，不妨设， 将与双曲线联立，得，解得，则； 同理将直线与椭圆联立，得．所以， 因为，，三点共线，所以， 其中，， 则，解得，故． （ii）（解法一）：由（1）得，曲线的方程为， 设直线，将与联立， 可得，解得， 代入直线方程可得，所以， 将直线与联立，可得． 同理，设直线，分别与，联立，其中可得，， 根据对称性可得若在定直线上，则该定直线必垂直于轴，又由（i）知， 则必在定直线上． 要证明：直线，的公共点在定直线上， 即证满足，，三点共线且，，三点共线， 即证：， 因为，； ，， 即证：， 即证：， 即证：，显然成立， 故无论直线的斜率如何变化，的横坐标恒为， 即在定直线上． （解法二）：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴， 又由（i）知，故可得必在定直线上． 由（1）知，可合并为， 设直线与曲线联立，得， 因为，所以得，即， 可得该方程的两根为，或，因为，故，， 同理设与曲线联立，得，， 故直线的斜率为， 所以直线， 同理， 要证明的公共点在定直线上， 只需要证明直线与的公共点与直线与的公共点重合， 将代入直线，得； 同理可得，故两点重合，本题得证． 题型八 切线问题 1.【详解】（1）椭圆 的离心率为，可得：，即， 由，可得，则椭圆 ，它的上顶点坐标， 抛物线 的焦点是椭圆的顶点，得，抛物线 ； （2）设过点作抛物线的切线 ， 则，整理得， ，解得或， 所求切线方程为：或． 2．【详解】（1）由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由，消去，整理得，，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 3.【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得；又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为， 代入双曲线中消去得：， 则由得：， 化简得：，则，为上述方程的两个根，故， 而，所以. （ii）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 设过点的切线方程为，代入双曲线方程， 由（i）得，又， 得，解得，代回化简得过点的切线方程为， 同理，过点的切线方程为，所以得，， 所以切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（i）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即. 综上，为定值1. 4.【详解】（1）由题意得解得     所以椭圆的标准方程为. （2）（i）显然直线BT的斜率为0，点为，      直线AT的斜率存在且不为0，设直线AT的方程为， 联立得（＊）     则，解得或0（舍去）.     将代入（*）得，将代入，得， 又点在轴下方，；两点的坐标分别为.     （ii）由（i）可知直线AB的方程为，，则. 当直线CD经过原点时，直线CD的方程为， 联立解得或不妨设点在轴上方，则. 直线CE的方程为：，即；联立解得点. ；为CG的中点，点为. 又，∴直线DG为：，经过点. 猜想直线DG恒过定点，下证一般情况仍然成立： 要证直线DG过定点，即证， 设点，则直线CE的方程为， 联立得，则点为. . 即证，即证， 即证（＃）     显然，直线DT的斜率存在，设直线DT的方程为， 联立得，      即证； 显然成立，所以， 即直线DG恒过定点. 题型九 圆锥曲线中的向量共线、比例问题 1．【详解】(1)由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； (2)设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 2.【详解】(1)由点到点的距离比它到直线：的距离大1， 则点到点的距离等于它到直线：的距离， 由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，以：为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为． (2)直线过点，由已知直线的斜率不为0，故设直线的方程为， 联立方程组，整理得，则， 设，，所以，． 因为，可得，所以， 因为点在第一象限，所以，， 则，解得， 所以直线的方程为. 3.【详解】（1）由已知得， 得，所以：． （2）由（1）可知，椭圆的上顶点坐标为，左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为，因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或． 4.【详解】（1）设，.若，，则，，， 由，整理得（），即曲线的方程为（）. 同理，由，得（），即曲线的方程为（）. （2）设，则， 由，得，即， ， 由点在曲线上，得；由点在曲线上，得， 则，于是，即， 所以为定值. （3）证明：设，则由（2）可得（）①. 设，.因为，所以直线的方程为. 由消去，得， 结合①，消去，整理得， 则，代入直线的方程，可得，即. 同理可得直线的方程为， 由消去，并结合①，消去，整理得， 同理可得. 易知直线与轴垂直，且线段的中点的坐标为， 故，为定值. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $