专题05 圆（高效培优专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

专题05 圆（高效培优专项训练）数学新教材人教版高二上期 题型一 圆的标准方程 题型二 圆的一般方程 题型三 定点到圆上点的距离的最值 题型四 直线与圆的位置关系 题型五 圆的切点弦 题型六 圆与圆的位置关系 题型一：圆的标准方程 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·全国·课后作业）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 6.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，1为半径的圆 7.（多选题）（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 8.（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为___________． 题型二：圆的一般方程 1．（26-27高二上·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 5.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 8.（25-26高二上·天津和平·期末）圆与圆交于A、B两点，则线段的垂直平分线方程为_______. 题型三：与圆有关的轨迹方程 1．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·山西太原·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，设动点的轨迹为，若过点的直线交于点，则下列说法正确的是（     ） A．的方程为 B．若点，则的最小值为 C．存在点和直线使得 D．若，则直线的方程为 8.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 题型四：定点到圆上点的距离的最值 1．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值的和为（   ） A．160 B．158 C． D． 2.（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·湖北·阶段检测）已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 4.（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 5.（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C．3 D．2 7.（多选题）（23-24高二上·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 8.（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 题型五：直线与圆的位置关系 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 2.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆 上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（26-27高二上·全国·期中）直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 5.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知函数，若为定值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线：上的动点，则（    ） A．若为线段中点，则 B．存在以为直径的圆与相切 C． D． 8.（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 题型六：直线与圆的相交弦 1．（25-26高二上·北京密云·期中）圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（ ） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，直线与交于两点，则数量积的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·海南海口·阶段检测）若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（     ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知直线：与圆：相交于，两点，则（     ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 8.（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 题型七：圆的切点弦 1．（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 2.（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高二上·山东济宁·期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）已知点，，圆，直线分别与圆相切，切点为.若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6.（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C．若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 8.（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 题型八：圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4.（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 5.（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）一个半径为的圆，周围环绕着个半径为的圆，如图所示，这个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切.此时可表示为的形式，其中、、均为整数.问是多少？（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 6.（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.（多选题）（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B． C．圆面积的最小值是 D．已知点，，则的最小值为5 8.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆（高效培优专项训练）数学新教材人教版高二上期 题型归纳 题型一圆的标准方程 题型二圆的一般方程 题型三定点到圆上点的距离的最值 题型四直线与圆的位置关系 题型五圆的切点弦 题型六圆与圆的位置关系 题型专练 题型一：圆的标准方程 1.【答案】A 【详解】因为P(0,-1),Q(2,1),且线段PQ是圆M的直径， 所以圆心为(1,0)，半径=-+1-0 2】 =√2，则圆M的方程为(x-1)2+y2=2. 2.【答案】C 【详解】设圆的标准方程为(x-a)2+(0-b)2=r2, (0-a)2+(2-b)2=r2 将0,2)，(4,0)，(2，-4)代入圆的方程中可得 (4-a)2+(0-b)2=r2，解得b=-1,a=1,r=V10, (2-a)2+(-4-b)2=r2 故圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=10 3.【答案】A 【详解】圆M:(x+1)2+(y+2)2=1的圆心为M(-1,-2),半径r=1. 设M(-1,-2)关于直线l:x-y+2=0的对称点为N(a,b). 由 器x11。→所以(-4w 1_2+2=0 2 2 所以圆M关于直线l:x-y+2=0对称的圆的方程为(x+42+(y-1)2=1. 4.【答案】B 【详解】已知A(-1,4,B(3,2),C(5,0),由中点坐标公式可得： AB中点D(1,3),BC中点E(4,1),AC中点F(2,2): 第1页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设△ABC的九点圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (10+D+3E+F=0 (D=-11 则17+4D+E+F=0,解得{E=-13, (8+2D+2E+F=0 (F=40 所以△ABC的九点圆方程为x2+y2-11x-13y+40=0, 由圆心为(-号，-)，半径r=VD2+B-4F可得： 圆心（号号），半径r=V-112+(-13)2-4×40= 即(x-)+6-)- 5.【答案】c 【详解】圆x2+y-1)2=1的圆心为(0,1)，半径为1. 设点(0,1)关于直线x-y=0的对称点为(m,n): 直线x-y=0的斜率为1，过点(0,1)且与该直线垂直的直线方程为y=一x+1. 联（任-”9解得交点为） 由中点坐标公式，四=京安岁-克得m=1,n=0, 对称圆的圆心为(1,0)，半径为1，方程为(x-1)2+y2=1. 故选：C 6.【答案】D 【详解】由题意有：当y≥0时，x2+(y-4)2=1,表示以(0,4)为圆心，半径为1的圆： 当y<0时，x2+(y+4)=1,表示以(0，-4)为圆心，半径为1的圆， 故选：D. 7.【答案】ACD 【详解】当x≥0，y≥0时方程为(x-2)2+y+2)2=8:当x≥0，y<0时方程为(x-2)2+y-2)2=8: 当x<0,y≥0时方程为(x+2)2+y+2)2=8:当x<0,y<0时方程为(x+2)2+y-2)2=8, 对于A,在方程x2+y2=4x-4y川中，用-x换x或用-y换y该方程均不变， 因此曲线C关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称，A正确： 对于B,曲线C交x轴正半轴于Q(4,0),曲线C在第一象限部分图形是以(2，-2)为圆心， r=2V2为半径，所对的圆心角为的0Q,圆心(2，-2)到x轴的距离d=2, 因此曲线C在第一象限围成图形面积S=(2V2)2·-·4·2=2m-4, 由对称性得总面积为4S=8π-16，B错误： 对于C,由选项B得，OQ的长度为2√2·严=√2m,由对称性得曲线C的周长为4W2π，C正确： 对于D,曲线C交x轴负半轴于P(-4,0),曲线C上任意两点间距离的最大值为PQ|=8,D正确. 故选：ACD 第2页共23页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.【答案】(x-3)2+y-1)2=10 【详解】由已知得AB=(2,-4),AC=(4,2), 故AB·AC=0,所以AB L AC,则△ABC的外接圆是以线段BC为直径的圆. 因为BC1=√(4-2)2+(4+2)7=2V10 设线段BC的中点为D,则D的坐标为(3,1)，r=BC1=0, 所以该圆的标准方程为(x-3)+(y-1)2=10. 故答案为：(x-3)2+y-1)2=10 题型二：圆的一般方程 1.【答案】D 【详解】因方程x2+y2+mx+my+m=0表示圆，故m2+m2-4m>0,解得m<0或m>2, 则D项正确 2.【答案】A 【详解】将方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-a-2=0配方，整理得(x+a)2+0y-2a)2=a+2, 要使方程表示圆需满足a+2>0,解得a>-2,因此实数a的取值范围为(-2，+oo). 3.【答案】B 【详解】圆C:x2+y2+2x-4y-4=0,即(x+1)2+y-2)2=9, 圆心为C(-1,2),半径为3， 10C1=√0+1)2+(0-2)2=V5<3,所以点0在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为3-√5 4.【答案】c 【详解】设点P(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点Q(a,b), b-1二-1 g+10 a-2 解得a=0,b=3. 因为Q(0,3)在圆c外，所以9+m>0,可得m>-9 第3页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且x2+y2+2x+m=0表示圆可得4+0-4m>0,即得m<1 综上可得-9<m<1. 5.【答案】B 【详解】对x2+y2-4x-2y+4=0进行配方，得(x-2)2+y-1)2=1, 因此圆C的圆心为C(2,1),半径为1， 圆心C(2,1)到直线l:mx+2y-2m-1=0的距离为d=2m+2x1-2m-= 1 √m2+22 √m2+4 由于m∈R,故m2≥0，因此√m2+4≥√4=2，当且仅当m=0时等号成立， 因此d≤，即圆心到直线1的距离的最大值为 6.【答案】B 【详解】将2+y2-ax+02-2=0化为标准方程，(x-)+y2=2-a2, 要使方程表示一个圆，则2-a2>0,即a2<4,解得-2<a<2① 所以圆的圆心（0），半径为2-2 因为点1,1)在圆(x-)+y2=2-a2外， 所以(1-)+1>2-a2,即a2-a>0,所以(a-)a>0,解得a>或a<0② 综合①②，得-2<a<0或<a<2. 因此实数a的取值范围为(-2,0)u(佳，2) 7.【答案】BCD 【详解】直线AB的方程为y-1= c+4到.即x-3y+7=0, △ABC内心(6,1)到直线AB的距离为6-3x1+=V10,故△ABC的内切圆的半径为V0,故A错误： √12+(-3)2 当直线AC斜率不存在时，直线AC方程为x=一4， 此时(6,1)到直线AC的距离为10，不符合△ABC的内切圆的半径为V10, 当直线AC斜率存在时，设直线AC方程为y-1=k1(x+4),即k1x-y+4k1+1=0, 则4出=而，解得k=-域对 经+1 其中k1=时，表示的是直线AB,舍去 所以直线AC方程为y-1=-x+4),即x+3y+1=0,故B正确： 当直线BC斜率不存在时，直线BC方程为x=8, 此时(6,1)到直线BC的距离为2，不符合△ABC的内切圆的半径为V10, 当直线BC斜率存在时，设直线BC方程为y-5=k2(x-8),即k2x-y-8k2+5=0, 第4页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则62182+51=V0,解得k2=-3或3 V3+1 其中k2=时，表示的是直线AB,舍去， 所以直线BC方程为y-5=-3(x-8),即3x+y-29=0,故C正确： 联牛y十0解配-4所以C01-0。 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), (16+1-4D+E+F=0 (D=-7 所以64+25+8D+5E+F=0,解得E=3, 121+16+11D-4E+F=0 (F=-48 所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x+3y-48=0,故D正确. 8.【答案】x+2y-2=0 【详解】圆x2+y2-4x=0的圆心C(2,0),圆x2+y2+4x-4y=1的圆心D(-2,2), 因为两圆相交于A、B两点，所以线段AB的垂直平分线就是两圆的连心线， 即经过两圆圆心C(2,0)和D(-2,2)的直线， 根据直线的两点式方程为品=品，化简得x+2y-2=0 则线段AB的垂直平分线方程为x+2y-2=0. 故答案为：x+2y-2=0 题型三：与圆有关的轨迹方程 1.【答案】A 【详解】设动点P(x,y), 由动点P与两个定点00)，A0,0的距离之比为1：3，即9-青 所以IPA1=3引P0L,即，x2+0-4)2=3√x2+y, 整理得2+y2+y-2=0,即x2+(0+)}= 所以动点P的轨迹方程为r+0+)-号 2.【答案】B 【详解】如图，连接CB,CM,则CM1AB,且ICB=6,|BM=引AB|=3V5, 在Rt△CMB中，ICM=VCB2-BM2=3,因C3,5), 故AB的中点M的轨迹为以点C为圆心，半径为3的圆， 第5页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其方程为(cx-3)2+y-5)2=9. 3.【答案】B 【详解】直线l1:mx+y+3m=0过定点A(-3,0),直线l2:x-my+3m-1=0过定点B(1,3), 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点P的轨迹是以AB为直径的圆M,且M(-1,)为圆心，半径r=圆=V伞+3-号如下图所示： 净 (-3,3) M(-1, 02,) 由于l1不包含直线x=-3,12不包含直线y=3,所以P点轨迹不经过点(-3,3)， 圆M上的点到点Q(么)距离最大值为MQ1+r=3+号号 此时点P的位置不在(-3,3)处，满足题意，故PQ1的最大值为 故选：B. 4.【答案】B 【详解】对于直线l:ax+y-2=0,令x=0,得y=2,故定点P(0,2), 对于直线m:x-ay+2=0,令y=0,得x=-2,故定点Q(-2,0), 由a·1+1·(-a)=0,可知直线l1m,即∠PMQ=90°， 所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆（去掉原点）， PQ中点为圆心C(-1,1),半径r=1PQ1=√0+2)2+(2-0)2=V2, 设点A(1,1),14C1=√(1+1)2+1-1)2=2， 点M到A(1,1)距离的最大值列AC1+r=2+√2 5.【答案】A 【详解】因为PA=√2IPB|,所以2PBI+√2IPCI=√2IPA+IPCD≥√2ACl, 当且仅当点P在线段AC上时，等号成立 设P(x,y).因为PA=√2IPBL,所以PA2=2PB2, 所以(x+1)2+y2=2[(x-1)+y2],即x2+y2-6x+1=0. 因为A(-1,0),C(2,-1),所以直线AC的方程为y=-x+1) y=-+1) 得 x= x2+y2-6x+1=0y=- 因为P在线段AC上，所以x<2,则P的坐标为（传，-） 故选：A 第6页共23页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 6.【答案】D 【详解】点集(x,yx-a≤1，y-bl≤1表示以(a,b)为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的 正方形及其内部 曲线x2+y2-6x-4y+9=0即(x-3)2+0y-2)2=4,是圆心为(3,2)，半径为2的圆. 当b≥1时，Qp为正方形左下顶点， a=xgp+1 (b=yop+1' 代入(x-3)2+y-2)2=4得(x0.-2)2+0y0。-1)2=4,y0p≥0， Qp轨迹为图中加粗的优弧AB: VA B 当b<1时，Qp为正方形左侧边与x轴的交点，Qp轨迹为图中x轴上加粗线段AB 最终可得Qp轨迹为如图优弧AB与弦AB组成，其中圆心C(2,1),T=2, VA O OAL B 取AB中点D,可得CD=1,CD1AB,AD=V3, 则AB=2W3,os∠ACD=克所以∠ACD=京∠ACB=5优弧AB=誓×2=售 最终Qp轨迹长为g+2V3, 故选：D 7.【答案】ABD 【详解】对于A,设P(x,y),由PA=2PB1,则x+2)2+y2=2c-1)2+y2, 化简得(x-2)+y2=4,所以点P的轨迹C的方程为(x-2)2+y2=4,A正确： 第7页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,由题意知IPA=2PBI,则IPA+2IPDI=2IPBI+IPDD, 结合图象知PB|+IPD1≥IBDI=√5，则PA+2PD的最小值为2V5,B正确： 对于C,由圆的性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”， 设圆心E(2,0),则∠MEN=至此时1MW=V2r=2W2, 而直线与圆C相交的弦长最小时与直径垂直，最小值为2√r2-|BE平=2V3>2√2， 即不存在直线使得MN=2V2,所以不存在直线使得2MPN=C错误： 对于D,由阿氏圆的定义知2MB|=4|NB即IMB|=2NB, (法一：几何法)设NB=a,则MBl=2a,MNI=3a, 作EG1MN,则NG=,IBG=? 在Rt△EBG中，BG2+|EG2=|BE2,即()2+|EG=1, 在Rt△ENG中，NG+EG2-IWEI2,即(g)2+IEG2-4, 联立解得a=只所以MN=3a=乎 由C选项知当直线1斜率不存在时，IMW1=2V5≠6（舍去）： 2 当直线斜率存在时，设直线l:y=k(x-1),即kx-y-k=0, 令24-（乎-普解得k=士变即直线上y-+华c-).D正确， (法二：几何法2)由相交弦定理，知MB·NB=IOB·IFB=1×3=3, 可解得WB=三，IMB=V6,则IMN=5,后续同法一 (法三：几何法3)设NB=a,则IMB|=2a,INA=2a,MA=4a, =哥=2，得AB为∠MAN的角平分线， 则A2=MA·NA-MBNB卧，即32=6a,故a=5,所以MN=3a=35,后续同法一 21 2 (法四：代数法)当直线斜率为0时，MB=3NB引，不符题意： 当直线斜率不为0时，设直线l:x=y+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 第8页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由|MB|=2NB|,得y1=-2y2① (x-2)'+y2-=4得m2+1)y2-2my-3=0,由韦达定理得 y1+y2= 2m② 联立 m2+1 x=y+1 y1y2=- m241…③ 3 联立①②知2=-代入国武得-2(-架2= 3 m2+1 即5m2=3,解得m=±， 则直线：x=土要y+1,即y=土平c-1),D正确 8【答案】号 【详解】将圆C的方程x2+y2-2x=0化为标准形式：(x-1)2+y2=1,得圆心C(1,0),半径r=1, 设弦中点P(x,y),由垂径定理可知：CP1MN,又点A(-1,O)在直线MN上， 故CP1AP,即CP,AP=0,CP=(x-1,y),AP=x+1,y), 于是，x-1)(x+1)+y·y=0,即x2-1+y2=0→x2+y2=1, 因为点P是圆C内的弦中点，所以P的轨迹是圆x2+y2=1在圆C:(x-1)2+y2=1内部的一段圆弧， x2+y2=1 x-1y+2=1:两式相减：c-12-2=0→x=克 代入2+y2=1,得y=±兽，即两圆交点为B怎，罗)，D(很-身 在圆x2+y2=1中，圆心为原点0(0,0)，半径R=1, 向量o丽=（传，9）o币=（传-》 设∠B0D=a,cosa=0丽.o而=x+9×(9)=-克 0<a<m,a=5 由弧长公式l=Rc,所以l=1×号=号 题型四：定点到圆上点的距离的最值 1.【答案】A 【详解】不妨设Px,y),则x2+y2=4,y∈[-2,2] 且IPA2+IPB2+IPC=(x+2)2+y+2)2+(x+2)2+0y-6)2+(x-4)2+0y+2) =3x2+3y2-4y+68=3(x2+y2)-4y+68=3×4-4y+68=80-4ye[72,88], 显然最大值和最小值的和为72+88=160. 故选：A 2.【答案】C 【详解】因为圆C:(x-1)2+0y+1)2=1,得圆心C(1,-1),半径r=1, 又点P(2,0),则1PC1=J1-2)2+(-1-0)2=V2, 又点Q在圆上，所以PQ|≤IPC|+r=√2+1， 第9页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以PQ的最大值为V2+1. 故选：C 3.【答案】c 【详解】由题，圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-2)2+y2=25, 所以圆M的圆心为(-1,0)，半径为r1=1,圆W的圆心为(2,0)：半径为r2=5, 作图如下，因为PA=JIPM-IAM2=IPM-1, MO N 由几何性质可知，当P的坐标为(7,0)时，PM川有最大值为7+1=8， 此时PA最大，最大值为PAmx=V⑧2-1=√， 故选：C 4.【答案】C 【详解】3PA+PB-（2IPA+IPB,可在x轴上找一点C(4,0), 此时g=2,|PA=VGx-1)2+y=√x2+1-2x+y=V5-2x, 1PC1=√x-4)2+y2=√x2+16-8x+y2=V20-8x=2W5-2x, 所以2PA|=IPCL, 同理因为=，可在y轴上找一点D(o,)使得品=子 1PB|=√x2+y-3)2=√x2+y2+9-6y=√13-6y, 1P1=2+0-)=2+y+号-要=号-号--6 所以IPB=IPD, 由此知3PA+|PB1=(2IPA+号引Pa）=PC1+lPDD≥cD1=x-2V而 故选：C 5.【答案】A 【详解】如图，设光线由点P出发，经过直线上的点F后反射后与圆C交于点G, ∴.光线经过的路程为PF+FG设P'(a,b)是点P关于直线的对称点， 5-D×1=-1 兰a828=7即p(. 3-a √12+12√12+12 第10页共23页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C. 由对称性可知，IPFI=PF,即IPFI+IFG=Pf+IEG=PG 显然当P,F,G,c四点共线时，PG最小， 此时pG=|p'C-1cc=8+2-3=2v7-3 故选：A 6.【答案】B 【详解】因P(x,y)是圆C:x-2)2+y2=1上任意一点， 由t=√x2+y2-10x+8y+41-a可得a+t=√x2+y2-10x+8y+41=√x-5)2+y+92, 将其理解为圆上点P(x,y)与点A(5,-4)的距离，其最小值为1CA-T=√(5-2)2+(-4)严-1=4， 依题意，可得a+b=4,即(a-1)+(b-2)=1,又a>1,b>2, 片+六2+92=2+8+4 a-1 b-2 当且仅当a=b=时，取得等号，即当a=b=别，二+的最小值为4 故选：B 7.【答案】ABC 【详解】设P,).因为=2，所以哥-2整理得到c-62+=16, PBI 故点P的轨迹方程为(x-6)+y2=16, 对于A,点P的轨迹是以(6,0)为圆心，4为半径的圆，故A正确： 对于B,因为圆的半径为4且|AB|=|4-(-2)川=6，当△PAB的底边AB上的高最大， 即高为半径4时，面积最大，即△PAB面积的最大值是二×6×4=12，故B正确： 对于C,由思知，点M的坐标为(20，当AB,P不共线时，因为=2= 由角平分线定理的逆定理知：射线PM是∠APB的平分线，故C正确： 对于D,因为=2，即2IPB1=IPA,则2PB1+|PQI=PA1+IPQ1,又P在圆上，如图所示， PBI B 由图知，当P,Q,A三点共线且点P在线段AQ上时，2PB|+IPQ1取最小值， 第11页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时(2PB+IPQ)mn=|AQ|=√(5+2)2+(-1-0)7=5V2,故D错误， 故选：ABC. 8.【答案】8 【详解】圆C1的方程为x2+0y-4)2=4,其圆心C1(0,④，半径r1=2 设P(0,t),IOM=2PM,根据两点间距离公式IOM=√x2+y,IPM=√x2+y-t)2,由IOM1=2PM 可得：√x2+y2=2Vx2+y-t), 两边平方整理得3x2+3y2-8ty+4t2=0, 因为M(x,y)在圆C1:x2+0y-4)2=4(即x2+y2-8y+12=0)上， 将x2+y2=8y-12代入3x2+3y2-8ty+4t2=0得：3(8y-12)-8ty+4t2=0, 即(24-8t)y-36+4t2=0. 由于该式对圆C1上所有M(x,y)成立， 所以24-8t=0且-36+4t2=0,解得t=3,即点P(0,3),且满足I0M川=21PM. 所以IOM+2IMN|=2IPM+2MNI, 而lPM+IMN|≥IPN≥lPC2l-1=4,所以IMO+2MN|≥8. 题型五：直线与圆的位置关系 1.【答案】A 【详解】圆x2+y2-6x-8y=0的标准方程为(x-3)2+y-4)2=25,圆心是(3,4，半径为r=5, 圆心6)到直线3x+4y+1=0的距离：d--华>5=r, V32+42 故直线与圆相离. 2.【答案】B 【详解】与直线x+V3y-2=0平行的直线可表示为x+V3y+C=0, 两平行直线相距为1时，器=1，解得C=0或-4， 所以与已知直线平行且相距为1的直线是l1:x+√3y=0和l2:x+V3y-4=0. 要使圆x2+y2=r2上到直线x+V3y-2=0的距离为1的点有且仅有3个， 即圆x2+y2=r2与l1和l2的交点数总和为3， 圆2+y2=2的圆心到直线的距离d1=器=0，所以直线l与圆必相交，交点有2个， 因此圆x2+y2=r2与直线l2只能有一个交点，即圆心到直线L2的距离为r, 第12页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以晨=解得r=2 3.【答案】B 【详解】圆心O(0,0)到直线1的距离d= /12+(-1)2 2 所以14B1=2VF2-d=24-23-m. 4.【答案】c 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为C(4,0),圆的半径r=√2， 假设直线与圆的切点为A,易知：AP⊥AC 则在△PAC中有1PA2+IAC2=IPC2,即IPA2=PCI2-IACI2=IPC-r2=IPCI-2. 由此可得：当PC最小时，IPA取得最小值 因为，当cP1时，PC最小，此时PG=4o+=3V2,可得：1PA=-18-2=16, √1+1 所以IPA的最小值为4. 5.【答案】B 【详解】圆x2+y+1)2=r2的圆心为C(0,-1),半径r>0, 圆心C(0,-1)到直线x-2y-4=0的距离d=+24=25<5 5 5 若圆上到直线x-2y-4=0的距离为的点有且仅有2个， 则-<d叩-<5，解得<r< 5 所以半径r的取值范国是（停，） 6.【答案】A 【详解】由y=V-x2+6x-5可得x2+y2-6x+5=0y≥0)即(x-3)+y2=4y≥0)， 设P(x,y),那么点P在半圆(x-3)2+y2=40y≥0)上运动， x+2y-81-x+2y-m=V5(t9-+2）相当于点P到两条平行线x+2y-8=0与x+2y m=0距离之差的√5倍， 作出图象如下： 由图象可知当直线x+2y-m=0与半圆(x-3)2+y2=4y≥0)相切时，m取最小值， 第13页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 那么d=m=2,解得m=3+2√5，或m=3-25(舍去)， √1+22 所以m的最小值为3+2√5.故选A. 7.【答案】ACD 【详解】圆x2+y2=1的圆心为0(0,0)，半径为r1=1,圆x2+y2=10的圆心为0(0,0)，半径为r2=√10， y林 对于选项A,当M为线段AB中点时，OM1AB,即M为直线L1与圆x2+y2=1的切点， 可知圆心0(0,0)到直线，的距离为=5，所以MP1血=5-1=4，所以选项A正确： √32+42 对于选项B,可知IOA=√10，所以IMA=V10-1=3,即IMA|<|MPlmin? 即不存在以AB为直径的圆与，相切，所以选项B错误： 对于选项C,可知AP,PB=(AM+MP(MB+PM: 因为AM=MB,所以4P.PB=AM-|MF=9-MP, 因为MPI≥4，所以AP.PB≤9-16=-7，所以选项C正确： 对于选项D,可知AP+PB=AB,所以(4P+PB=(42, 即IPAI2+IPB2+2AP·PB=IAB2,即IPA2+IPB2=IAB-2AP·PB=36-2AP,PB, 因为AP,PB≤-7，所以PA2+|PB2=36-2AP,PB≥50，所以选项D正确 8.【答案】(4,6] 【详解】过A作AD,AE,分别与圆M相切于D,E两点，连接AM,BM,CM,∠BAC=∠BAM+∠CAM, 在△BAM中，由正弦定理得，<BA-AaM→sinzBAM= BM AM AM sin/ABM 当点A相对固定时，BM,AM均为定值，要使得∠BAM最大， 则需要sinABM最大.当∠ABM=90时，即AB与圆M相切时，∠BAM最大， 即为∠DAM,所以∠BAM≤∠DAM,同理，∠CAM≤∠EAM,故∠BAM+∠CAM≤∠DAM+∠EAM, 即∠BAC≤∠DAE,所以要使圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°，只需要∠DAE≥60°， :AM平分∠DAE,∴.只需要30°≤∠DAM<90°. 只需买5s∠DAM<1→岛<13<1wAM≤22 则直线与圆M1:(x-1)2+y-1)2=8相交或相切，又已知直线与圆M:(x-1)2+y-1)2=2相离， 第14页共23页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则弦心距d满足V2<d≤2W2→V2<≤2V2m>0)→4<m≤6→m∈(46 题型六：直线与圆的相交弦 1.【答案】c 【详解】令x=0得y2-3y=0,解得y=0或y=3. 所以被y轴截得的弦长为0-3引=3. 2.【答案】B 【详解】：圆x2+y2=4,∴圆心0(0,0)，半径r=2, I0A|=|0B|=2,∠A0B=120°， 圆心0到直线AB距离d=rc0s罗=2c0s60°=2×对1 又，d= =1g,g=1,即：a=V2. 3.【答案】B 【详解】圆x2+y2-2x+2y-4=0可化为(x-1)2++1)2=6,圆心为(1，-1)，半径r=√6. 圆心到直线x+y-2=0的距离d=+少=V2<r,所以圆与直线相交， 12+(-1)2 所以截得的弦长L=2F2-正=2√(V同-(V2 =4 4.【答案】C 【详解】把直线的方程按m整理得m(-3x+y+4)+(x+2y+1)=0, 2十年。，解得x=1、y-1.所以直我过定有收.- 圆C的圆心为C(2,1),半径为3，而PC1=√(2-1)2+(1+1)2=V5<3, 所以点P在圆C内，直线与圆C恒有两个交点. 设∠ACB=6(0<6≤π).因为ICA=|CB|=3,所以IAB2=18(1-cos0), 又AC.AB=AC·(CB-CA=-CA·CE+1CAP=-9os9+9=91-c0s0)=4肥 21 设圆心C到直线的距离为d,则ABI=2V9-d2, 由垂线段最短得d≤IPC!=√5（当LPC时取等号）， 所以AB2的最小值为4×(9-5=16，即AB1的最小值为4， 所以AC·AB的最小值为=8. 第15页共23页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【答案】c 【详解】已知⊙C:x2+y2-6x+2y-6=0,整理得x2-6x+9+y2+2y+1=6+9+1, 即(x-3)2+0y+1)2=16,可得圆心C的坐标为(3，-1)，半径r=4 已知∠ACB=120°，CA=CB=T=4,所以△ACB为等腰三角形， 过点C作AB的垂线，垂足为D,则CD为圆心到直线的距离d, 且∠ACD=∠ACB=×120°=60°：在Rt△ACD中，d=CA:c0s60°=4X=2. 已知直线l:kx-y-3k-4=0,点C(3,-1)到直线的距离公式为：d=3k-少-3-4=3 √k2+1 Vk2+1 2，两边同时平方得：品=4，整理得4秋2+4=9，即2-各解得k=士写故选C 则3 B A 6.【答案】A 【详解】圆C方程可化为(x-3)2+y2=9,圆心坐标C(3,0),半径r=3. 易知过点P的弦中，直径是最长的弦，长度为2r=6. P 不妨设过点P所作的弦为AB,则|AB=2Nr2-d2=2V9-d亚，其中d为圆心C到弦AB的距离， 要使弦AB最短，则d最大. 易知d≤ICPL,当CP与弦AB垂直时取等号，所以当CP与弦AB垂直时，d最大，弦AB最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点P的最短弦的长为(2,3]内， 第16页共23页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不妨设最短弦的长为l(1E(2,3D,则AB1=时，1CP+()=r2, 则1cP=r2-( 份=9-e民8)，所以cPI∈，22) 所以点P落在以C(3,0)为圆心，2V2和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为1 7.【答案】ACD 【详解】圆C:x2+y2-4x=0整理变形得(x-2)2+y2=4, 所以圆心C的坐标为(2,0)，半径r=2,A选项正确，B选项错误。 圆心C到直线的距离d= √12+(-3)2 =5C选项正确。 12-3×01V10 F1=2-=22-(2-6 5 ,D选项正确。 8.【答案】2√2 【详解】由圆C的方程x2+0y+1)2=4可知，圆心C(0,-1),半径r=2. :1CP川=√（-1-0)2+(-2+1)2=V2<2,.点P在圆C内部. :过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴.此时圆心到直线的最大距离d=ICP[=√2， ∴.最短弦长为2r2-d亚=2√4-2=2√2. 题型七：圆的切点弦 1.【答案】B 【详解】设A(x,y1),B(x2,y2),易知直线PA,PB的斜率存在，所以直线PA的方程为y-4=-(x-3), 因为点A在直线PA上，所以y1-4=-(x1-3),即y1-4y1=-x+3x1 又因为点A在圆0上，所以x好+y1=5,所以y1-4y1=-x子+3x1可化为3x1+4y1-5=0, 同理，3x2+4y2-5=0, 所以直线AB的方程为3x+4y-5=0, 则0到直线AB的距离d=1+0-1=1. √32+42 故选：B 2.【答案】B 【详解】如图，连接0A,0B,设P(m,n)为直线l:2x+y-4=0上的一点，则2m+n-4=0, 由于PA,PB为圆O的切线，则有OA⊥PA,OB1PB,则点A、B在以OP为直径的圆上， 以oP为直径的圆的圆心为（侣），半径r=oP1=+ 2 则其方程为(k-引+6-)-生，变形可得2+y-m-y=0。 第17页共23页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立 x2+y2=1 可得直线AB:mx+ny-1=0, x2+y2-mx-ny =0 又由2m+n-4=0,则有AB:mx+(4-2my-1=0, 变形可得m(x-2y)+4y-1=0, 则有名二8解可得x=y=÷故直线4B恒过定点（低，） 故选：B. 3.【答案】A 【详解】设P(a,b),以0P为直径的圆：x(x-a)+y0y-b)=0,展开：x2+y2-ax-by=0. 圆0：x2+y2=1.两式相减消去二次项，得到切点弦MN:ax+by=1. 因为P(a,b)在直线2x+4y-5=0上，所以2a+4h=5,即b=52e 4 把b=2代入ax+by=1:x+y=1 整理成参数a分离形式：a(x-)+)-1=0 令参数a的系数与常数项同时为0： x-y=0 -1=0 解得x=子y=青即直线MN恒过定点c(作) 定点C在圆o内部，动弦MN过C,圆半径R=1,弦长公式MN=2VR2-d亚，d为圆心O到直线MW距离. d的最大值就是IOC=25(当OC1MN时)，此时弦长最短： 5 4.【答案】B 【详解】根据题意，可知圆x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C(-1,3),半径r=2, 过点M(0,-4)作圆x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，设切点分别为A、B, 第18页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而lMC|=√12+77=5V2,则MA= lMc-4=V46, 则以M为圆心，MA为半径为圆为x2+y+4)2=46,即圆x2+y2+8y-30=0, 所以AB为两圆的公共弦所在的直线，则有{ x2+y2+2x-6y+6=0 x2+y2+8y-30=01 作差变形可得：x-7y+18=0: 即直线AB的方程为x-7y+18=0. 故选：B 5.【答案】B 【详解】由圆0方程可得：圆心0(0,0)，半径r=2, 若T(xo,yo)为圆0：x2+y2=4上一点，则x+y=4, 当kor存在且kor≠0时，在点T处的切线斜率k=-1=-, koT yo 在点T处的切线方程为：y一%=碧x-o),整理可得：xox+oy=后+片=4 当kor不存在或kor=0时，T(0,士2)或T(±2,0)，此时在点T处的切线方程满足xox+yoy=4: 在圆0：x2+y2=4上任意一点(xo,y0)处的切线方程为xox+yoy=4: M(x1,y1),N(x2,y2),PM:x1x+yy =4,PN:x2x+y2y =4, 将P(a,Q+4)代入直线PM,PN方程可得： ax1+(a+4)y1=4 (ax2+(a+4)y2=4 ∴点M,N坐标满足直线ax+(a+4)y=4的方程， 即直线MN方程为：ax+(a+4)y=4,即(x+y)a+4y-4=0, 今40解得：x-1y=1.道线0N恒过定点Q(-1). MR=RN,R为线段MN中点，OR⊥MN,即OR1RQ, R点轨迹是以0Q为直径的圆，又0，Q中点为s(》,引0Q=号 点轨迹是以5()为圆心，空为半径的圆， ARlr=AS1+9-⑤+)+9=3V2:故选：B, 6.【答案】c 第19页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图所示，AB是切点弦，连接MO交AB于P,若圆C1内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆C1的圆心的距离应小于OP,这些点构成了以原点为圆心，半径为OP的圆的内部. 连接0A,OB,由题意知OM川=3，IOA=IOB=2,IMB=IMA= I0MI2-10A12=V5, 则cos∠M0A=别-所以oPI= 则原点0到直线AB的距离为定值等故切点弦始终与圆2+y2-相切， 在圆C内不与切点弦相交的区域面积为 所以切点弦所形成的区域为圆C2与圆x2+y2-5之间的圆环， 故所形成的区域的面积为4r-16m=20 9 9 故选：C 7.【答案】ACD 【详解】选项A:由切线长公式得ABI=√OA2-IOB下=√OA?-4 x-y-4=0 因点A是直线1上的一个动点，则当0A1时，104最小，即最小值为d=0生=2W2, 12+(-1)2 此时，AB的最小值为 (2V②)2-4=2，A正确： 选项B:因0到直线的距离为22，圆半径为2，圆上点到的最小距离为2√2-2， 则圆上仅有1个点（过0作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于2√2-2，B错误： 选项C:设A(a,a-4④，要存在D使∠0AD=30°，则切线与0A的夹角L0AB≥30°， 又∠0AB是锐角，在Rt△0AB中，sin∠0AB=≥分得10A≤4， 即a2+(a-4④2≤16，解得0≤a≤4，即A横坐标取值范围是[0,4，C正确： 选项D:因A(a,a-4),则切点弦BC的方程为ax+(a-4)y=4,即a(x+y)-4y+1)=0, 今化牛X=8解月x=1,y=-1即直线BC过定点4，-少.D正确：放证Ac0 8.【答案】 6 后，-) 第20页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图： 因为SP4oB=2SPA0=0A:PA=V2:V0P2-OA=V2·VOP2-2, 珠 所以只有OP最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， oPm=d=1=是=V5.所以此时5pog=V2·√W52-2=V6 V1+22 再设Pxo,yo),则xo-2yo-5=0,因四边形PAOB在以0P为直径的圆上， 得圆的方程：《-2+0-空Y=(6+,即2-ox+2-oy=0, 与x2+y2=2相减，得直线AB的方程为，x0x+yoy=2,再由xo-2yo-5=0, 所以直线AB的方程为，(2y0+5)x+yoy=2,即5x-2+yo(2x+y)=0, 令任+号8得x==专所以直找过定点（后》 故答案为：6：（层-） 题型八：圆与圆的位置关系 1.【答案】A 【详解】依题意，两圆有公共点，则2-1≤ICD=Ia≤2+1， 即1≤1ad≤3，解得a∈[-3，-1]U[1,3]. 2.【答案】B 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2; 圆C2:(x+42+y-3)2=36的圆心为C2(-4,3),半径r2=6. 两圆圆心距：1C1C2l=√(-4-0)2+3-0)7-√16+9=5. 两圆半径差的绝对值为r2-r1l=16-2引=4，两圆半径和为r1+r2=2+6=8, 因为r2-T1<IC1C2<T1+T2,故两圆相交，因此相交的两圆共有2条公切线. 3.【答案】B 【详解】已知圆C:x2+y2=1,即x2+y2-1=0①， 圆E:x2+y2-6x-6y+7=0②， ①-②消去二次项x,y得：6x+6y-8=0,化简得直线MW的方程为y=-x+ 因此直线斜率k=-1,又a∈[0，m,由tana=k=-1,可得a=买 4.【答案】D 【详解】圆C1的标准方程为x2+y-1)2=5,圆心为C1(0,1),半径为r1=√5， 第21页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆C2的标准方程为(x-2)2+0y+1)2=5,圆心为C2(2,-1),半径为r2=√5， 圆心距为C1C2l=J(0-2)2+(1+1)2=2V2,所以r1-r2l<|C1C2l<r1+2, 所以两圆相交， 将两圆方程作差得4x-4y-4=0,即x-y-1=0, 即两圆相交弦所在直线的方程为x-y-1=0, 圆心C1到直线x-y-1=0的距离为d=0-1-L=V2 √12+(-102 所以两圆的相交弦长为2，r -d2=2W5-2=-2W3:故选D. 5.【答案】c 【详解】设中心圆的圆心为A,半径为r, 在环绕的12个小圆中，任取相邻的两个小圆，两个小圆的切点为C, 其中一个小圆的圆心为点B,两圆半径均为1 连接AB、AC、BC,因为小圆与中心圆外切，所以AB=r+1, 由两小圆外切，结合对称性可得∠B4C=360=15”, 24 在直角△ABC中，sin∠BAC-器即sin15°=名 AB' 又l5°=in(45”-309）=sm45co30-cos45sn30-号×号-号×6,9 21 4 所以s血15-名-，三解得r=6+n-1-a+6+a6ee), (a=2(a=6 所以b=6或b=2,所以a+b+c=8-1=7. c=-1(c=-1 6.【答案】D 【详解】圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1，-2)，半径为1， ·C2 第22页共23页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=V,取AB的中点M,CM1AB,弦心距CM=12-()= PA,PB与圆C1相切，所以C1A⊥PA,C1B1PB,IC1A=IC1B|=1,∠C1AM=30°， 所以AC,P=60,1C,P1=S=乙，所以P点轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 要使圆C2上存在满足条件的点P,即圆C2与点P的轨迹圆有公共点， 1C1C2l=√(4-1)2+(2+2)2=5，r-2≤5≤Ir+2|, 解得3≤r≤7；故选D. 7.【答案】ABD 【详解】选项A:圆C2:2+y2+mx-4y+n=0可化为(x+)'+0-22-受-n+4, 圆心坐标为(-受，2)纵坐标恒为2，因此圆心在直线y=2上，A正确.。 选项B:将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为(m+2)x-4y+n=0, 圆C1的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C1(1,0). 因为C2平分C1的周长，所以公共弦过C1(1,0),代入公共弦方程得m+2+n=0,即m+n+2=0,B正确. 选项c:圆C,的半径平方2=（份+2-元 将n=-m-2代入得r2-(m+2)2+5≥5，因此圆C2面积的最小值为5m,C错误. 选项D:圆心C2在直线y=2上，作点A(1,5)关于y=2的对称点A(1,-1), 则IC2A=1C2A1,因此|C2A+1C2B1=1C2A1+IC2B1≥|A'B=√(4-1)2+3+1)2=5， 即最小值为5，D正确。 8【答案】2+y2-x+y-号=0 【详解】由圆M:x2+y2=16和圆N:x2+y2-4x+2y=0, 设所求圆的方程为x2+y2-16+1(x2+y2-4x+2y)=0, 即1+)x2+1+y2-4x+2y-16=0,可得所求圆的圆心为（品-） 因为圆心（品，-中）在直线2x+y-1=0上，可得#-产：-1=0，解得A= 所以所求圆的方程为x2+y2-16+号×(x2+y2-4x+2y)=0, 所以所求圆的方程为r2+y一x+y-号=0， 第23页共23页可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆（高效培优专项训练）数学新教材人教版高二上期 题型归纳 题型一圆的标准方程 题型二圆的一般方程 题型三定点到圆上点的距离的最值 题型四直线与圆的位置关系 题型五圆的切点弦 题型六圆与圆的位置关系 题型专练 题型一：圆的标准方程 1.(25-26高二下陕西汉中.期中)已知点P(0,-1),Q(2,1),且线段PQ是圆M的直径，则圆M的方程为() A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=8 c.x2+0y-1)2=4 D.x2+y-1)2=8 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】因为P(0,-1),Q(2,1),且线段PQ是圆M的直径， 所以圆心为(1,0)，半径r= 2-0)2+(-1-)2 2 =V2,则圆M的方程为(x-1)2+y2=2. 2.（25-26高二下.贵州遵义·期中)已知圆C过点(0,2)，(4,0)，(2，-4)，则圆C的标准方程为() A.(x+1)2+y-1)2=10 B.(x-1)2+y+1)2=40 C.(x-1)2+0y+1)2=10 D.(x+1)2+(y-1)2=40 【答案】c 【难度】0.75 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【详解】设圆的标准方程为(x-a)2+(0y-b)2=r2, (0-a)2+(2-b)2=r2 将(0,2)，(4,0)，(2，-4)代入圆的方程中可得 (4-a)2+(0-b)2=r2,解得b=-1,a=1,r=√10， (2-a)2+(-4-b)2=r2 第1页共37页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故圆的标准方程为(x-1)+(+1)2=10 3.（25-26高二上江苏扬州期中)己知圆M:(x+1)2+(y+2)2=1,则圆M关于直线：x-y+2=0对 称的圆的方程() A.(x+4)2+y-1)2=1 B.(x+4)2+y+1)2=1 C.(x-42+0y-1)2=1 D.(x-4)2+(y+1)2=1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【详解】圆M:(x+1)2+y+2)2=1的圆心为M(-1,-2),半径r=1. 设M(-1,-2)关于直线l:x-y+2=0的对称点为N(a,b). +2204所以N(-40 由 a+1 2 2 所以圆M关于直线l:x-y+2=0对称的圆的方程为(x+4)2+y-1)2=1. 4.(26-27高二上·全国课后作业)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、 三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉 圆.在△ABC中，若A(-1,4),B(3,2),C(5,0),则△ABC的九点圆的方程为() A.(x-6)2+y-6)2=34 8.（x-9)+-)= c.x-2+60-)=32 D.(x-)+6y-)2=32 【答案】B 【难度】0.67 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过己知三点的圆的标准方程 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组 求解出方程系数，进而得到九点圆方程， 【详解】已知A(-1,4),B(3,2),C(5,0),由中点坐标公式可得： AB中点D(1,3),BC中点E(4,1),AC中点F(2,2), 设△ABC的九点圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, (10+D+3E+F=0 (D=-11 则17+4D+E+F=0,解得E=-13, (8+2D+2E+F=0 (F=40 所以△ABC的九点圆方程为x2+y2-11x-13y+40=0, 由圆心为(-员，-)，半径r=VD+-4F可得： 圆心（号号）.半径r=四+(1-4x40-厘-、唇 第2页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即(x-)+(-)°-要 5.(25-26高二上江苏镇江期末)圆x2+y-1)2=1关于直线x-y=0对称的圆的方程是() A.x2+y+1)2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+y2=1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程 【详解】圆x2+y-1)2=1的圆心为(0,1)，半径为1. 设点0,1)关于直线x-y=0的对称点为(m,n): 直线x-y=0的斜率为1，过点(0,1)且与该直线垂直的直线方程为y=-x+1. 联(-9解得交点代) 由中点坐标公式，四=克安岁=克得m=1,n=0 对称圆的圆心为(1,0)，半径为1，方程为(x-1)2+y2=1. 故选：C 6.(24-25高二上广东深圳·阶段检测)曲线x2+(y川-4)2=1所表达的图形是() A.以(0,4)为圆心1为半径的圆 B.以(0,4为圆心1为半径的圆面 C.以(0,4)为圆心1为半径的圆和以(0,4为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D.以(0,4)为圆心1为半径的圆和以(0，一4)为圆心，1为半径的圆 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】分y≥0和y<0讨论，由圆的标准方程即可求解 【详解】由题意有：当y≥0时，x2+y-4)2=1,表示以(0,4为圆心，半径为1的圆： 当y<0时，x2+y+4)2=1,表示以(0，-4)为圆心，半径为1的圆， 故选：D 7.(多选题)(（25-26高二上辽宁大连·期中)在平面直角坐标系中，设曲线C的方程为x2+y2=4纠x-4y川， 则() A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.曲线C围成图形的面积为2π-4 C.曲线C的周长为4W2m D.曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【难度】0.65 第3页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】圆的对称性的应用、由方程研究曲线的性质、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据给定方程的特征，结合曲线对称性的探讨方法、计算判断ABC:画出图形并结合图形求出最大 值 【详解】当x≥0，y≥0时方程为(x-2)2+y+2)2=8:当x≥0，y<0时方程为(x-2)2+y-2)2=8: 当x<0,y≥0时方程为(x+2)2+y+2)2=8;当x<0,y<0时方程为(x+2)2+y-2)2=8, 对于A,在方程x2+y2=4纠x一4y中，用-x换x或用-y换y该方程均不变， 因此曲线C关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称，A正确： 对于B,曲线C交x轴正半轴于Q(4,0),曲线C在第一象限部分图形是以(2，-2)为圆心， r=2V2为半径，所对的圆心角为的0Q,圆心(2，-2)到x轴的距离d=2, 因此曲线C在第一象限围成图形面积S=(2√②)2·5-4：2=2-4， 由对称性得总面积为4S=8π-16，B错误； 对于C,由选项B得，00的长度为2W2·5=V2,由对称性得曲线C的周长为4W2m,C正确： 对于D,曲线C交x轴负半轴于P(-4,0),曲线C上任意两点间距离的最大值为PQ!=8,D正确. 故选：ACD 8.(25-26高二上辽宁葫芦岛阶段检测)己知平面内有A(0,2),B(2,-2),C(4,4)三点，则△ABC的外接圆 的标准方程为 【答案】(x-3)2+y-1)2=10 【难度】0.4 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】由条件可得AB,AC=0,则△ABC的外接圆是以线段BC为直径的圆，从而可求出圆心坐标和半径 长，进而可得圆的方程 【详解】由己知得AB=(2,-④，AC=(4,2), 故AB·AC=0,所以AB L AC,则△ABC的外接圆是以线段BC为直径的圆. 因为BC1=√(4-2)2+(4+2)2=2V10 设线段BC的中点为D,则D的坐标为(3,1)，r=引BC=V10, 所以该圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 故答案为：(x-3)2+y-1)2=10 题型二：圆的一般方程 1.(26-27高二上湖南-阶段检测)若方程x2+y2+mx+my+m=0表示圆，则实数m的值可能为() 第4页共37页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程x2+y2+mx+my+m=0表示圆，故m2+m2-4m>0,解得m<0或m>2, 则D项正确， 2.(26-27高二上江苏准安阶段检测)若方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-a-2=0表示圆，则实数a的取 值范围是() A.(-2,+0) B.[-2,+∞) C.(-∞，-2) D.(-00,-2] 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【详解】将方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-a-2=0配方，整理得(x+a)2+0y-2a)2=a+2, 要使方程表示圆需满足a+2>0,解得a>-2,因此实数a的取值范围为(-2，+∞). 3.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测)圆C:x2+y2+2x-4y-4=0上的点到坐标原点O的最小距离为 () A.V5-3 B.3-V5 C.5 D.3+V5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范 围)、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，计算原点到圆心的距离，求解到坐标原点O的最小距离. 【详解】圆C:x2+y2+2x-4y-4=0,即(x+1)2+(y-2)2=9, 圆心为C(-1,2),半径为3， 10C1=√(0+1)2+(0-2)2=V5<3,所以点0在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为3-√5 4.(26-27高二上·安徽芜湖阶段检测)已知点P(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+2x+ m=0外，则实数m的取值范围是() 第5页共37页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.m>-9 B.m<1 C.-9<m<1 D.m<-9或m>1 【答案】c 【难度】0.75 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、求点关于直线的对称点 【分析】设Q(a,b),利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可 【详解】设点P(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点Q(a,b), =-1 a-2 则{a+2+1+1=0 ,解得a=0,b=3. 2 2 因为Q(0,3)在圆C外，所以9+m>0,可得m>-9 且x2+y2+2x+m=0表示圆可得4+0-4m>0,即得m<1 综上可得-9<m<1. 5.（26-27高二上河南南阳阶段检测)已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0与直线l:mx+2y-2m-1=0 (m∈R),则圆C的圆心到直线的距离的最大值为() A.0 8.月 C.1 D.2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，再利用点到直线的距离公式写出距离表达式，结 合参数的取值范围求最大值， 【详解】对x2+y2-4x-2y+4=0进行配方，得(x-2)2+0y-1)2=1, 因此圆C的圆心为C(2,1),半径为1， 圆心C(2,1)到直线kx+2y-2m-1=0的距离为d=2m+2x1-2m-14=,1 Vm2+22 Vm244 由于m∈R,故m2≥0，因此√m2+4≥√4=2，当且仅当m=0时等号成立， 因此d≤，即圆心到直线I的距离的最大值为 6.(26-27高二上云南楚雄阶段检测)已知点(1,1)在圆x2+y2-Qx+2a2-2=0外，则实数a的取值范围 为() A.(-∞，0)U(佳+∞) B.(-2,0u(2） c.（-2,-)u(0,2) D.（-2,2) 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得-2<ā<2，再根据点在圆外得点到圆心的距离大 第6页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于半径得a>或a<0,综合两个条件可得所求实数a的取值范围」 【详解】将2+y2-ax+a2-2=0化为标准方程，(x-)}+y2=2-2, 要使方程表示-个圆，则2-2>0，即a2<4,解得-2<a<2①. 所以圆的圆心（侣0），半径为2-2 因为点(1,1)在圆(x-)+y2=2-a2外， 所以(1-)+1>2-a2,即a2-a>0,所以(a-)a>0,解得a>域a<0② 综合①②，得-2<a<0或号<a<2 因此实数a的取值范围为(-2,0)U(传，2) 7.（多选题)（26-27高二上广东深圳阶段检测)在△ABC中，A(-4,1),B(8,5),△ABC的内心(6,1)，下列 说法正确的有（ A.△ABC的内切圆的半径为10 B.直线AC方程为x+3y+1=0 C.直线BC方程为3x+y-29=0 D.△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x+3y-48=0 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、求圆的一般方程、直线的点斜式方程及辨析、由两条直 线垂直求方程 【分析】对于A,求出(6,1)到直线AB的距离即可判断：对于BC,设直线方程根据点到直线的距离公式即可 判断；对于D,求出点C坐标，设圆的一般方程，代入即可判断， 【详解】直线A5的方程为y-1=名c+纱.即x-3y+7=0, △ABC内心(6,1)到直线AB的距离为6-3x1+☑=V10,故△ABC的内切圆的半径为V10,故A错误： √12+3)2 当直线AC斜率不存在时，直线AC方程为X=一4， 此时(6,1)到直线AC的距离为10，不符合△ABC的内切圆的半径为V10, 当直线AC斜率存在时，设直线AC方程为y-1=k1(x+4),即k1x-y+4k1+1=0, 则6-共山=V而，解得k1=-域考 、经+1 其中k1=时，表示的是直线AB,舍去， 所以直线AC方程为y-1=-(x+4),即x+3y+1=0,故B正确： 当直线BC斜率不存在时，直线BC方程为x=8, 第7页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时(6,1)到直线BC的距离为2，不符合△ABC的内切圆的半径为V10 当直线BC斜率存在时，设直线BC方程为y-5=k2(x-8),即k2x-y-8k2+5=0, 则621-+5=V而，解得k2=-3或 其中k2=时，表示的是直线AB,舍去， 所以直线BC方程为y-5=-3(x-8),即3x+y-29=0,故C正确： 联银牛十0解形=4所以1-0， 设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 16+1-4D+E+F=0 (D=-7 所以64+25+8D+5E+F=0,解得E=3, (121+16+11D-4E+F=0 (F=-48 所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x+3y-48=0,故D正确. 8.(25-26高二上·天津和平期末)圆x2+y2-4x=0与圆x2+y2+4x-4y=1交于A、B两点，则线段AB 的垂直平分线方程为 【答案】x+2y-2=0 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先计算两圆的圆心，结合两圆相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线就是两圆的连心线，利用 直线的两点式方程计算得到结果： 【详解】圆x2+y2-4x=0的圆心C(2,0),圆x2+y2+4x-4y=1的圆心D(-2,2), 因为两圆相交于A、B两点，所以线段AB的垂直平分线就是两圆的连心线， 即经过两圆圆心C(2,0)和D(-2,2)的直线， 根据直线的两点式方程为8号化简得x+2y-2=0 则线段AB的垂直平分线方程为x+2y-2=0. 故答案为：x+2y-2=0. 题型三：与圆有关的轨迹方程 1.(26-27高二上河北邢台阶段检测)己知动点P与两个定点0(0,0)，A(0,4)的距离之比为1：3，则动点P 的轨迹方程为() A.x2+(0+)=号B.x2+(0-)=C.x2+0+2)2=12D.x2+0-2)2=12 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题一一圆 【详解】设动点P(x,y), 第8页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由动点P吃两个定点0(0)，40，到的距离之比为1：3。即贸-吉 所以1PA=3引P0,即，x2+0-4)2=3√x2+y 整理得x2+y2+y-2=0,即2+0+)=是 所以动点P的轨迹方程为x2+(+》}=是 2.(26-27高二上山东青岛·阶段检测)已知圆C:(x-3)2+(y-5)2=36,AB是圆C的一条动弦，|AB=6V3, 则AB的中点M的轨迹方程为() A.(x-3)2+y-5)2=3 B.(x-3)2+y-5)2=9 C.(x+3)2+(y+5)2=36 D.x+3)2+y+5)2=9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题一一圆、由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点 弦、求平面轨迹方程 【分析】作出图形，利用垂径定理结合条件求出CM,即得点M的轨迹为圆，写出其轨迹方程即可. 【详解】如图，连接CB,CM,则CM1AB,且ICB=6,BM=AB=33, 在Rt△CMB中，1CM|=VCB2-BM2=3,因C(3,5), 故AB的中点M的轨迹为以点C为圆心，半径为3的圆， 其方程为(x-3)2+)-5)2=9. O 3.(25-26高二上广东深圳期末)己知直线l1:mx+y+3m=0和l2:x-my+3m-1=0,L1和l2的交点记 为P,若点Q(2,),则PQ的最大值为() A号 B.号 c. D. 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题一一-圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点P的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线l1:mx+y+3m=0过定点A(-3,0),直线l2:x-my+3m-1=0过定点B(1,3), 因为两直线始终保持相互垂直， 第9页共37页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此交点P的轨迹是以AB为直径的圆M,且M(1)为圆心，半径，=四=V伞+3=多如下图所示： -3,3) M(-1, ) 由于l1不包含直线x=-3,12不包含直线y=3,所以P点轨迹不经过点(-3,3)： 圆M上的点到点Q(2)距离最大值为MQ1+r=3+=兰 此时点P的位置不在(-3,3)处，满足题意，故PQ的最大值为号 故选：B 4.(26-27高二上广东广州阶段检测)在直角坐标平面内，过定点P的直线l:ax+y-2=0与过定点Q的 直线m:x-ay+2=0相交于点M,则点M到点(1,1)的距离的最大值为() A.V2+1 B.V2+2 C.V2-1 D.2V2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、轨迹问题一一圆、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】对于直线l:ax+y-2=0,令x=0,得y=2,故定点P(0,2), 对于直线m:x-ay+2=0,令y=0,得x=-2,故定点Q(-2,0), 由a·1+1·(-a)=0,可知直线l1m,即∠PMQ=90°， 所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆（去掉原点）， PQ中点为圆心C(-1,1),半径r=PQ1=√0+2)2+(2-07=V2, 设点A(1,1),1AC1=√1+1)2+1-1)2=2， 点M到A(1,1)距离的最大值为AC1+r=2+V2 5.(25-26高二上·河北邢台阶段检测)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面 内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，A(-1,0),B(1,0), C(2,-1),且|PA=√2PB|,则当2PB引+V2PC1取得最小值时，点P的坐标是（) A(信，) B.(5,-2) c.（) D.（-5,2) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题一一圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意求得点P的轨迹x2+y2-6x+1=0,根据PA=√2PB将问题转化为求V2(IPA+IPCD 的最小值，再根据几何关系点P在线段AC上时有最小值，最后联立方程求解点P的坐标即可· 【详解】因为PA=√2IPBI,所以2PBI+√2IPC|=√2(PA+IPCD≥√2AC, 第10页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当点P在线段AC上时，等号成立. 设P(x,y).因为PA=√2PB引，所以PAI2=2PB2, 所以x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2-6x+1=0. 因为A(-1,0),C(2,-1),所以直线AC的方程为y=-x+1) y=-3x+1) 得 x= 或x=5, x2+y2-6x+1=0 2 y=-5 0y=-2. 因为P在线段AC上，所以x<2,则P的坐标为（仁，-） 故选：A 6.(25-26高二上北京·期中)在平面直角坐标系x0y中，对于定点P(a,b),记点集{(x,y)川|x-al≤1，y-b≤ 1}中距离原点0最近的点为Qp.当点P在曲线x2+y2-6x-4y+9=0上运动时，点Qp轨迹的长度为() A.4π B.4n+3 C. D.8+2W3 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题一一圆、求平面轨迹方程 【分析】当b≥1时、当b<1时，确定点Qp的位置，求得其轨迹方程，结合图形来求轨迹长度即可. 【详解】点集{(x,yx-a≤1，y-bl≤1表示以(a,b)为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的 正方形及其内部 曲线x2+y2-6x-4y+9=0即(x-3)2+0y-2)2=4,是圆心为(3,2)，半径为2的圆. 当b≥1时，Q为正方形左下顶点， ∫a=xQp+1 (b=yop+1' 代入x-3)2+y-2)2=4得(x0p-2)2+y0p-1)2=4,y0p≥0， Qp轨迹为图中加粗的优弧AB: B 当b<1时，Qp为正方形左侧边与x轴的交点，Qp轨迹为图中x轴上加粗线段AB 第11页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最终可得Qp轨迹为如图优弧AB与弦AB组成，其中圆心C(2,1),r=2, B 取AB中点D,可得CD=1,CD1AB,AD=V3 则AB=2V3,c0 S/ACD-=克所以LACD=子LACB=牙，优弧AB=誓×2=警 最终Qn轨迹长为+2V3, 故选：D 7.(多选题)(26-27高二上山西太原阶段检测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点AB 的距离之比为定值（☑>0，入≠1）的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),B(1,0),动点P满足IPA=2PB引，设动 点P的轨迹为C,若过点B的直线交C于点M,N,则下列说法正确的是() A.C的方程为(x-2)2+y2=4 B.若点D(0,2),则1PA+2PDI的最小值为25 C.存在点P和直线使得∠MPN= 4 D.若MA=2A,则直线的方程为y=土雪Gx-1) 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题一一圆、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求 参数、圆的弦长与中点弦 【分析】A利用阿氏圆的定义求出动点轨迹圆方程： B利用阿氏圆的比例关系转化距离，用两点间距离求最值： C利用圆周角圆心角关系结合过定点弦长最小值判断存在性； D利用线段比例关系结合韦达定理求出直线斜率 【详解】对于A,设P(x,y),由P4A=2PB,则x+2)2+y2=2x-1)2+y2, 化简得(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹C的方程为(x-2)2+y2=4,A正确： 第12页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,由题意知PA=2IPBI,则IPA+2PD|=2(PBI+IPDD, 结合图象知PB|+PD≥IBD=V5,则|PA+2PD的最小值为2√5，B正确： 对于C,由圆的性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”， 设圆心E(2,0),则∠MEN=7此时1MN=V2=2W2, 而直线与圆C相交的弦长最小时与直径垂直，最小值为2√T2-BE平=2V3>2V2, 即不存在直线使得IMW=2W2,所以不存在直线使得∠MPN=C错误： 对于D,由阿氏圆的定义知2MB|=4|NB即IMB|=2NB引， (法一：几何法)设NB=a,则MB=2a,IMN=3a, 作EG1MN,则NG=经，IBG= 在Rt△EBG中，|BG2+EG2=|BE2,即(g)2+IEG=1, 在Rt△ENG中，WGI2+EG2-INE2,即()2+IEG2-4, 联立解得a=只所以WM=3a=平 2 由C选项知当直线1斜率不存在时，MN1=2V3≠5（舍去）： 2 当直线斜率存在时，设直线：y=k(x-1),即kx-y-k=0, 令24- (=0-2-5,解得k=士匹， √k2+1 29 ，即直线：y=土西(c-1),D正确， (法二：几何法2)由相交弦定理，知|MB·WB=OB·FB|=1×3=3, 可解得wB-1Ml=V6,则IMM=9,后续同法一 (法三：几何法3)设NB=a,则|MB|=2a,INA=2a,IMA=4a, ==2,得AB为∠MAN的角平分线， 则ABP=MA·NA-MB·NB卧，即32=6a3,故a=,所以MN=3a=,后续同法一 (法四：代数法)当直线斜率为0时，IMB=3NB引，不符题意： 当直线斜率不为0时，设直线l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2) 由|MB|=2WB,得y1=-2y2①， 联立c-2)+y2,4得Om+1)Y-2my-3=0,由韦达定理得 +n=0@ x=my+1 回 y1y2=- 第13页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立①②知y2=- 2m m2+1 代入国式得-2(-兴P=点即5m2=3,解得m=士 5 则直线：x=土y+1,即y=土c-1),0正确， 8.(26-27高二上江苏扬州阶段检测)己知过点A(-1,0)的直线与圆C:x2+y2-2x=0交于M,N两点， 弦MN的中点为P,则点P的轨迹长度为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题-一一圆、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、求平面轨迹方程 【分析】先求得圆C的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点P满足的几何关系，求出点P的轨迹方程，再联 立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度， 【详解】将圆C的方程x2+y2-2x=0化为标准形式：(x-1)2+y2=1,得圆心C(1,0),半径r=1, 设弦中点P(x,y),由垂径定理可知：CP1MN,又点A(-1,0)在直线MN上， 故CP1AP,即CP·AP=0,CP=(x-1,y),AF=x+1,y), 于是，x-1)x+1)+y·y=0,即x2-1+y2=0x2+y2=1, 因为点P是圆C内的弦中点，所以P的轨迹是圆x2+y2=1在圆C:(x-1)2+y2=1内部的一段圆弧， x2+y2=1 x一1P+y2=1:两式相减：c-12-2=0→x= 代入2+y2=1,得y=±9 即两圆交点为B(传)D(長-) 在圆x2+y2=1中，圆心为原点0(0,0)，半径R=1, 向量o丽=（作)o币=（传-) 设uB0D=a,cosa=0丽：0而=×+9×(-9)=- 0<a<ma=9 由弧长公式1=Ra,所以1=1x号=三 题型四：定点到圆上点的距离的最值 1.(25-26高二上广东广州期中)已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点，点P在圆x2+y2=4上运动， 则PA+IPB2+IPC的最大值与最小值的和为() A.160 B.158 C.80v13 D.70V23 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用两点距离公式，结合圆的性质计算即可. 【详解】不妨设P(x,y),则x2+y2=4,y∈[-2,2] 第14页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且IPA2+IPB2+IPC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+y-6)2+(x-4)2+0y+2)2 =3x2+3y2-4y+68=3(x2+y2)-4y+68=3×4-4y+68=80-4ye[72,88], 显然最大值和最小值的和为72+88=160. 故选：A 2.(25-26高二上安徽期中)己知点P(2,0),点Q是圆C:(x-1)2+(y+1)2=1上任意一点，则PQ1的最大 值为() A.V2-1 B.2 C.V2+1 D.V√2+2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】先求点P到圆心的距离，再结合几何关系，可得PQ|≤PCI+T,即可得其最大值. 【详解】因为圆C:(x-1)2+0y+1)2=1,得圆心C(1,-1),半径r=1, 又点P(2,0),则1PC1=(1-2)+(-1-0)2=√2， 又点Q在圆上，所以IPQI≤PC|+r=√2+1， 所以PQI的最大值为V2+1. 故选：C 3.(24-25高二下湖北阶段检测)已知圆M:x2+y2+2x=0,圆N:x2+y2-4x-21=0,点P在圆N上 运动，直线PA与圆M相切于点A,则PA的最大长度为() A.8 B.7 C.V63 D.V65 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、切线长、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解。 【详解】由题，圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-2)2+y2=25, 所以圆M的圆心为(-1,0)，半径为r1=1,圆N的圆心为(2,0)，半径为r2=5, 作图如下，因为PA|= IPMI2=IPMI2-1, MO N 由几何性质可知，当P的坐标为(7,0)时，PM川有最大值为7+1=8， 第15页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时PA最大，最大值为PAmx=V⑧2-1=V63, 故选：C 4.(25-26高二上湖北期中)设点P为圆x2+y2=4上的动点，A(1,0),B(0,3),则31PA+|PB1的最小值为 () A.3V2 B.5 C.2W10 D.4 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】在x轴上找一点C(40),此时C-2,证明2P4=PC,同理在y轴上找一点D(0,),证明IPB= IPD,将所求变为3PA+IPB=(2IPA+引PB到，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即 可得答案 【详解】3PA+IPB=（2IPA+1PB),可在x轴上找一点C(4,0), 此时0=2,1PA=Vx-1)2+y=√2+1-2x+y=V5-2, |PC1=√x-4)2+y=√x2+16-8x+y2=V√20-8x=2V5-2x, 所以2PA=1PC, 同理因为=多可在y轴上找一点D(0)使得= 1PB=√x2+0-3)7=√x+y2+9-6=√13-6， 1P1=+6-9-2+y+9晋-=号晋=3-6： 所以IPB=IPD, 由此知3PA+|PB1=(2PA+号P叫=0PC1+PDD≥cD1=×=2Vo 故选：C 5.(25-26高二上江西萍乡期中)汉代初年成书的《准南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见 四邻矣”，这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系x0y中，由点P(3,5)出发的一 束光线经直线：x-y-2=0反射后到达圆C:(x+1)2+y-3)2=9上某一点，则光线经过的最短路程为 () A.2V17-3 B.3+2V2 C.2W5-3 D.V59 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)一一直线关于直线对称、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求P关于对称的点P',利用对称性求得何时光线经过的路程最小， 求出最小值. 第16页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图，设光线由点P出发，经过直线上的点F后反射后与圆C交于点G, ∴.光线经过的路程为PF+FG: ==-p 设P(a,b)是点P关于直线的对称点， 5×1=-1 3-a 13-5-2=1a-b-2 8-8=7即P0 即 √12+12√12+12 由对称性可知，IPF=P,即PF+IFG=P+IFG=|P'G, 显然当P,E,G,c四点共线时，PG最小， 此时pG=p'C-1cGl=V8+2-3=2w7-3. 故选：A 6.(25-26高二上·湖南长沙阶段检测)设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点，若t= V+2-10x+8y+41-a的最小值为b,且a>1,b>2,则，片+的最小值为《) A.8 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】将已知式变形为a+t=√(x-5)+y+4),通过点和圆的位置关系推理得到a+b=4,将其变 形后利用基本不等式即可求出待求式的最小值 【详解】因P(x,y)是圆C:x-2)2+y2=1上任意一点， 由t=√x2+y2-10x+8y+41-a可得a+t=√x2+y2-10x+8y+41=Vx-5)2+0y+4), 将其理解为圆上点Px,y)与点A(5-4)的距离，其最小值为CA-r=√5-2)2+(-4)7-1=4， 依题意，可得a+b=4,即(a-1)+(b-2)=1,又a>1,b>2, 品+片=+2=2++≥4 a-1 b-2 a-1b-2 当且仅当a=,b=时取得等号，即当a=b=时，六+点的最小值为4 故选：B 7.(多选题)(23-24高二上·广东茂名期中)古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262一前190年） 发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值)()≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，己知点A(-2,0),B(4,0),平面内的动 第17页共37页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点P满足： P=2,则下列关于动点P的结论正确的是() A.点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=16 B.当P,A,B三点不共线时，△PAB面积的最大值是12 C.当A,B,P三点不共线时，若点P的轨迹与线段AB交于M,则∠APM=∠BPM D.若点Q(5,-1),则2PB|+IPQI的最小值为7 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题-一圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】选项A,应用两点距离公式求P的轨迹方程为(x-6)+y2=16,即可判断出选项A的正误： 选项B,由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断出选项B的正误： 选项℃，根据-结合角平分线的性质判断选项C的正误： 选项D,由已知有2PB|+PQ|=IPA+IPQL,利用三点共线求最小值判断选项D的正误. 【详解】设P(》.因为=2.所以哥 Vx-42+y2 =2,整理得到(x-6)2+y2=16, 故点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=16, 对于A,点P的轨迹是以(6,0)为圆心，4为半径的圆，故A正确： 对于B,因为圆的半径为4且AB|=14-(-2)川=6，当△PAB的底边AB上的高最大， 即高为半径4时，面积最大，即△P4B面积的最大值是×6×4=12，故B正确： 对于C,由题知，点M的坐标为(20).当AB,P不共线时，因为-2-瑞 由角平分线定理的逆定理知：射线PM是LAPB的平分线，故C正确： 对于D,因为=2，即2PB=PA,则2P81+PQI=PA+PQ,又P在圆上，如图所示， 由图知，当P,Q,A三点共线且点P在线段AQ上时，2PB|+IPQ取最小值， 此时(2PB+1PQI)mn=l4Q1=√⑤+22+（-1-0)7=5V2,故D错误， 故选：ABC 8.(25-26高二下浙江期中)设M是圆C1:x2+y-4)2=4上的动点，N是圆C2:(x-4)2+y2=1上的动 点，O为坐标原点，则OM川+2MN最小值是 【答案】8 【难度】0.55 第18页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由题可知圆C1即以O(0,0)和P(O,3),满足|MO=2MP的阿氏圆，将问题转化为求PM川+IMN 即可求解 【详解】圆C1的方程为x2+y-4)2=4,其圆心C1(0,④，半径r1=2. 设P(0,t),IOM1=2PM,根据两点间距离公式IOM=√x2+y2,IPM=√x2+y-t)2,OM=2PM 可得：√x2+y2=2√x2+y-t) 两边平方整理得3x2+3y2-8ty+4t2=0, 因为M(x,y)在圆C1:x2+y-4)2=4(即x2+y2-8y+12=0)上， 将x2+y2=8y-12代入3x2+3y2-8ty+4t2=0得：3(8y-12)-8ty+4t2=0, 即(24-8t)y-36+4t2=0. 由于该式对圆C1上所有M(x,y)成立， 所以24-8t=0且-36+4t2=0,解得t=3,即点P(0,3),且满足I0M=2PM. 所以IOM川+2IMWI=2IPM+2MNI, 而lPM+lMN|≥IPW≥IPC2I-1=4,所以IMO+2MN|≥8. 题型五：直线与圆的位置关系 1.(26-27高二上·重庆九龙坡.阶段检测)直线3x+4y+1=0与圆x2+y2-6x-8y=0的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.都有可能 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、由圆的一般方程 确定圆心和半径 【详解】圆x2+y2-6x-8y=0的标准方程为(x-3)2+y-4)2=25,圆心是(3,4)，半径为r=5, 圆心(3,4)到直线3x+4y+1=0的距离：d=Bx3+x41=25>5=, √32+42 5 故直线与圆相离 2.（26-27高二上湖南长沙.阶段检测)己知圆x2+y2=r2(r>0)上到直线x+V3y-2=0的距离为1的 点有且仅有3个，则r的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 第19页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆上距离已知直线距离为1的点有且仅有3个，转换为圆与平行于已知直线且距离为1的两条 直线的交点数总和为3. 【详解】与直线x+√3y-2=0平行的直线可表示为x+V5y+C=0, 两平行直线相距为1时，器-1，解得C=0或-4， 所以与已知直线平行且相距为1的直线是l1:x+√3y=0和l2:x+V3y-4=0. 要使圆x2+y2=r2上到直线x+V5y-2=0的距离为1的点有且仅有3个， 即圆x2+y2=r2与l1和l2的交点数总和为3， 圆2+y=产的圆心到直线4的距窝d=晨=0，所以直线与圆必相交，交点有2个 因此圆x2+y2=r2与直线l2只能有一个交点，即圆心到直线l2的距离为r, 所以墙 =T,解得r=2 3.(26-27高二上全国·期中)直线：x-y+1=0与圆0：x2+y2=4相交于A,B两点，则|AB=() A.2V3 B.√14 C.2V2 D.2V5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理的弦长公式计算弦长 【详解】圆心0(0,0)到直线l的距离d=- 1川 √2 2 所以|AB=2√T2-d2=2 4-2 =√14. 4.（26-27高二上江苏南京阶段检测)已知点P在直线x-y+2=0上，过点P作圆(x-4)2+y2=2的 切线，则切线的长的最小值为() A.2 B.2V5 C.4 D.4v3 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】由已知求出圆心C的坐标及圆的半径r,设切点为A,由PA2=|PC-r2可知，当|PC最小时，PA 取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解PC最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为C(4,0),圆的半径r=√， 假设直线与圆的切点为A,易知：AP⊥AC 第20页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则在△PAC中有IPA2+IAC2=IPC,即IPA2=IPC2-IAC2=IPC2-r2=IPCI2-2. 由此可得：当PC最小时，PA取得最小值 因为，当CP1时，PC1最小，此时1PC1=4o+3=3V2,可得：PA2=18-2=16, V1+1 所以PA的最小值为4 5(2627高二上江苏准安阶段检测)若圆2+0+12=2(r>0)上到直线=x-2的距离为的 点有且仅有2个，则半径r的取值范围是() A.(0,2) B.() c.(g,+∞ D.(g,25) 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求圆心到直线的距离，结合腿意分析可划-当<d,运算求解即可。 【详解】圆x2+(y+1)2=r2的圆心为C(0,-1),半径r>0, 圆心C(0,-1)到直线x-2y-4=0的距离d=+24=25<5 5 5 若圆上到直线x-2y-4=0的距离为的点有且仅有2个， <d.即-<普解得<r< 5 所以半径的取值范围是(， 6.(26-27高二上江西九江阶段检测)已知函数y=V-x2+6x-5,若x+2y-8-x+2y-m为定值， 则m的最小值为() A.3+2V5 B.1 C.3-2V5 D.-1 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】根据点与直线（可行域）的位置关系求参数、根据最优解或最值求参数、与圆有关的可行域的 最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用y=V-x2+6x-5可得x2+y2-6x+5=00y≥0)，设P(x,y),那么点P在半圆x2+y2-6x+ 5=00之0)上运动，K+2y-8到-K+2y-州=5(_）相当于点P到两条平行线x+ 2y-8=0与x+2y-m=0距离之差的V5倍，作出图象，结合图形即可求解 【详解】由y=V-x2+6x-5可得x2+y2-6x+5=0(y≥0)即(x-3)2+y2=4y≥0)， 设P(,y),那么点P在半圆(x-3)2+y2=4y≥0)上运动， K+2y-8到-k+2y-m=5(2g-）相当于点P到两条平行线x+2y-8=0与x+2y- m=0距离之差的v5倍， 第21页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作出图象如下： 由图象可知当直线x+2y-m=0与半圆(x-3)2+y2=4(y≥0)相切时，m取最小值， 那么d=3-m测=2，解得m=3+2V5,或m=3-2V5(舍去)， V1+22 所以m的最小值为3+2V5.故选A, 7.(多选题)(26-27高二上·江苏泰州阶段检测)设动直线l1与圆x2+y2=1相切，且与圆x2+y2=10相 交于两点A、B,点P为直线l2:3x+4y-25=0上的动点，则() A.若M为线段AB中点，则PM≥4 B.存在以AB为直径的圆与L2相切 C.AP.PB≤-7 D.IPA2+IPB2≥50 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】数量积的运算律、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】根据两圆的位置关系，以及切线的性质，判断点M的位置，再根据直线与圆的位置关系求出圆上一 点到直线的最小距离，判断选项A的正误：再根据弦心距求出弦长，进而判断以AB为直径的圆与l2的位置 关系，判断选项B正误：根据向量加法的运算律和向量数量积的运算律，表示出AP·PB的值，进而判断选 项C的正误：根据向量加法法则和弦长，表示出PA+PB,根据选项C的结论，判断其范围，判断选项 D的正误 【详解】圆x2+y2=1的圆心为0(0,0)，半径为r1=1,圆x2+y2=10的圆心为0(0,0)，半径为r2=√10， 对于选项A,当M为线段AB中点时，OM LAB,即M为直线L1与圆x2+y2=1的切点， 可知圆心0@0)到直线的距离为器=5，所以MP=5-1=4,所以选项A正确： 对于选项B,可知|OA=V10,所以川MA=√10-1=3，即IMA<|MPlmin 第22页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即不存在以AB为直径的圆与2相切，所以选项B错误： 对于选项C,可知AP·PB=(AM+MP)(MB+PM) 因为AM=MB,所以AP.PB=AM-|MP2=9-MP, 因为MP|≥4，所以AP·PB≤9-16=-7，所以选项C正确： 对于选项D,可知AP+PB=AB,所以(AP+PB=(AB', 即IPA+IPB2+2AP·PB=AB,即IPA2+|PB2=|AB-2AP,PB=36-2AP,PB, 因为AP.PB≤-7，所以PA+IPB=36-2AP·PB≥50，所以选项D正确 8.(26-27高二上河北石家庄阶段检测)已知圆M:(x-1)2+y-1)2=2,直线为x+y-m=0(m>0), 己知直线l与圆M相离，若在直线上存在点A,在圆上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，则实数m的取值范 围是 【答案】(4,6] 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的 位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的 基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系 (距离公式)得出不等关系. 【详解】过A作AD,AE,分别与圆M相切于D,E两点，连接AM,BM,CM,∠BAC=∠BAM+∠CAM, 在△BAM中，由正弦定理得，=与sin/BAM-sim∠ABM BM AM 当点A相对固定时，BM,AM均为定值，要使得∠BAM最大， 则需要sinABM最大.当LABM=90时，即AB与圆M相切时，∠BAM最大， 即为∠DAM,所以∠BAM≤∠DAM,同理，∠CAM≤∠EAM,故∠BAM+∠CAM≤∠DAM+∠EAM, 即∠BAC≤∠DAE,所以要使圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°，只需要∠DAE≥60°， AM平分∠DAE,∴只需要30°≤∠DAM<90°. 只买≤sm<DAM<1→岛<1→a<MA≤2n 则直线与圆M1:(x-1)2+0y-1)2=8相交或相切，又已知直线l与圆M:(x-1)2+y-1)2=2相离， 则弦心距d满足2<d≤2W2→V2<2m≤2V2(m>0)→4<m≤6→me(46] 第23页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：直线与圆的相交弦 1.（25-26高二上.北京密云期中)圆C:x2+y2+4x-3y=0被y轴截得的弦长为() A.1 B.v6 C.3 D.4 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】求直线与圆交点的坐标、圆的弦长与中点弦 【详解】令x=0得y2-3y=0,解得y=0或y=3. 所以被y轴截得的弦长为0-3引=3. 2.(26-27高二上江苏扬州·阶段检测)若直线x-y+a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，且∠A0B=120° (0为原点)，则a的值为() A.1 B./2 C.2 2 D. 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先由圆的方程确定圆心与半径，根据两条半径相等以及已知的圆心角，利用垂径定理算出圆心到 弦AB的距离，再借助点到直线的距离公式表示原点到已知直线的距离，建立方程求解，即可得到的值. 【详解】，圆x2+y2=4,.圆心0(0,0)，半径r=2, I0A=I0B1=2,∠A0B=120°， 圆心0到直线AB距离d=rc0s120=2cos60°=2×号=1 2 又，d 0-是号=1，即：4=2 V1+(-102 3.(26-27高二上广西南宁.阶段检测)圆x2+y2-2x+2y-4=0截直线x+y-2=0所得弦的长度为() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可 【详解】圆x2+y2-2x+2y-4=0可化为(x-1)2+0y+1)2=6,圆心为(1，-1)，半径r=√6. 圆心到直线x+y-2=0的距离d=+)-=V2<n,所以圆与直线相交， 12+(-102 所以截得的弦长L=2wF2-亚=2(W6'-(W②’=4 4.(26-27高二上.湖南长沙.阶段检测)已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=9,直线l:(1-3m)x+(m+2)y+1+ 第24页共37页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4m=0与C交于A,B两点，则数量积AC·AB的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、圆的弦长与中点弦 【分析】先按参数m分离求出直线恒过的定点P并判断它在圆内，再把ACA化成4，从而把问思转化为 求弦长的最小值，由"弦最短等价于圆心到直线的距离最大"求得结果 【详解】把直线的方程按m整理得m(-3x+y+4)+(x+2y+1)=0, 今年。·解得x=1y=1所以直袋搜恤过定点P0-) 圆C的圆心为C(2,1),半径为3，而PC1=√(2-1)2+(1+1)7=V5<3, 所以点P在圆C内，直线与圆C恒有两个交点， 设∠ACB=日(0<6≤π).因为1CA=1CB|=3,所以川AB2=18(1-cos0), 又AC·AB=AC·(CB-CA=-CA.CB+1CA=-90s0+9=91-c0s0)=4 2 设圆心C到直线的距离为d,则AB=2V9-d亚， 由垂线段最短得d≤IPCl=√5（当LPC时取等号）， 所以AB2的最小值为4×(9-5)=16，即AB的最小值为4， 所以AC·AB的最小值为=8. 5.(26-27高二上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知直线l:kx-y-3k-4=0与⊙C:x2+y2-6x+2y-6=0 交于A,B两点，当∠ACB=120时，k=() A封 B.±1 c.9 D.士V5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到直线的距离、确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最 后利用点到直线的距离公式列方程求解k 【详解】已知⊙C:x2+y2-6x+2y-6=0,整理得x2-6x+9+y2+2y+1=6+9+1, 即(x-3)2+y+1)2=16,可得圆心C的坐标为(3，-1)，半径r=4 第25页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知∠ACB=120°，CA=CB=r=4,所以△ACB为等腰三角形， 过点C作AB的垂线，垂足为D,则CD为圆心到直线的距离d, 且∠ACD=ACB=×120°=60：在Rt△ACD中，d=CAc0s60°=4×2： 已知直线L:kx-y-3k-4=0,点C(3,-1)到直线的距离公式为：d=Bk-()-3k-4=3 √k2+1 2+ 则点=2，两边同时平方得：品=4，整理得42+4=9，即2=手解得k=士号故选C B D 6.（26-27高二上海南海口阶段检测)若过圆C:x2+y2-6x=0内不同于圆心的点P恰好可以作7条长度 为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为() A要 B.Zr C.9n 0.9 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题、确定圆心和半径、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆的性质分析过点P的弦长情况，确定点P的位置，最后计算符合条件的点P构成的区域的面积. 【详解】圆C方程可化为(x-3)2+y2=9,圆心坐标C(3,0),半径r=3. 易知过点P的弦中，直径是最长的弦，长度为2r=6 不妨设过点P所作的弦为AB,则川AB=2Vr2-d2=2V9-d2,其中d为圆心C到弦AB的距离， 要使弦AB最短，则d最大 易知d≤ICPI,当CP与弦AB垂直时取等号，所以当CP与弦AB垂直时，d最大，弦AB最短 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点P的最短弦的长为(2,3]内， 不妨设最短弦的长为L(1e(2,3D,则1AB1=时，1CP+(份=r2, 第26页共37页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则cp=r2-(月'=9-c,8)所以cPIe9,2v回) 所以点P落在以C(3,0)为圆心，2V2和3分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为 - 7.(多选题)(26-27高二上广东汕头阶段检测)已知直线l:x-3y=0与圆C:x2+y2-4x=0相交于E, F两点，则() A.圆心C的坐标为(2,0) B.圆C的半径为4 C.圆心C到直线的距离为 5 D.IEF]=6V10 5 【答案】ACD 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆C:x2+y2-4x=0整理变形得(x-2)2+y2=4, 所以圆心C的坐标为(2,0)，半径r=2,A选项正确，B选项错误。 圆心C到直线的距离d==雪c选项正确 F=2-d亚=22-()P=6 5 ,D选项正确， 8.（26-27高二上安徽宣城阶段检测)己知直线过点P(-1,-2),则被圆C:x2+y+1)2=4截得的弦长 最小值为 【答案】2W2 【难度】0.75 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的 弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆C的方程x2+y+1)2=4可知，圆心C(0,-1),半径r=2. ICP|=√(-1-0)2+(-2+1)2=V2<2,.点P在圆C内部. :过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴.此时圆心到直线的最大距离d=|CPI=√2， .最短弦长为2Vr2-d亚=2√4-2=2V2 题型七：圆的切点弦 1.(25-26高二上河北邯郸期中)若过点P(3,4)向圆0：x2+y2=5引两条切线，切点分别为A,B,则0到 直线AB的距离为() A B.1 C. D.2 第27页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切点弦及其方程 【分析】设点A、B的坐标，结合点A、B在直线PA、PB上，也在圆上，列出式子，化简得到直线AB的方程， 再利用点到直线的距离公式求解 【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线PA,PB的斜率存在，所以直线PA的方程为y-4=-(x-3), 因为点A在直线PA上，所以y1-4=-4x1-3),即y-4y1=-x行+3x1, 又因为点A在圆0上，所以x3+y1=5,所以y1-4y1=-x1+3x1可化为3x1+4y1-5=0, 同理，3x2+4y2-5=0, 所以直线AB的方程为3x+4y-5=0, 则0到直线AB的距离d=40-=1. V32+42 故选：B. 2.(22-23高二下河南漯河期末)设点P为直线1：2x+y-4=0上任意一点，过点P作圆O:x2+y2=1 的切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点() A.(保) B.() c.（1,) D.(（1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】根据题意，设Pm,n)为直线l:2x+y-4=0上的一点，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的 圆上，求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB的方程，将其变形分析可得直线AB恒过的定点。 【详解】如图，连接0A,0B,设P(m,n)为直线l:2x+y-4=0上的一点，则2m+n-4=0, B 由于PA,PB为圆O的切线，则有OA1PA,OB1PB,则点A、B在以OP为直径的圆上， 以0P为直径的圆的圆心为（份》，半径r=0P1=+ 2 则其方程为(x-)+(-) ”4,变形可得x2+y2-mx-y=0, 联立 x2+y2=1 x2+y2-mx-ny= 。可得直线AB:mx+y-1=0, 第28页共37页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又由2m+n-4=0,则有AB:mx+(4-2m)y-1=0, 变形可得m(x-2y)+4y-1=0, 则有6=日解可得xy=幸放直线8恒过定点（代） 故选：B 3.(26-27高二上江西九江阶段检测)过直线l:2x+4y一5=0上一点P作圆0：x2+y2=1的两条切线， 若切点分别为M,N,则MNI的最小值为() A.29 号 C.4/5 5 D.V5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设切点对应的点P(a,b),写出以OP为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦MN的直线方程：利 用P在已知直线上，消元整理，求出直线MN恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等 于圆心到定点距离)时，弦长MN最小，用弦长公式算出最小值 【详解】设P(a,b),以0P为直径的圆：x(x-a)+yy-b)=0,展开：x2+y2-ax-by=0. 圆0：x2+y2=1.两式相减消去二次项，得到切点弦MN:ax+by=1. 因为P(a,b)在直线2x+4y-5=0上，所以2a+4b=5,即b=5=2≌ 把b=52代入ax+by=1:ax+2y=1. 整理成参数a分离形式：a(x-y)+y-1=0 令参数a的系数与常数项同时为0： x-y=0 -1=0 解得x=子y=吉即直线MW恒过定点C(作) 定点C在圆O内部，动弦MW过C,圆半径R=1,弦长公式MN=2VR2-d亚，d为圆心O到直线MW距离. d的最大值就是I0C=2(当OC1MN时)，此时弦长最短： IMN=2F2-1oC平=21-若=2层-，故选A 4.(23-24高二上山东济宁期中)过点M(0,-4④作圆C:x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，切点分别 为A,B,则直线AB的方程为() A.2x-y+3=0 B.x-7y+18=0 第29页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2x-5y+5=0 D.x+5y+5=0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心 和半径 【分析】根据题意，可知圆x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C(-1,3),半径r=2,由切线长公式求出MA 的长，进而可得以M为圆心，MA为半径为圆，则AB为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方 程作差后计算可得答案 【详解】根据题意，可知圆x2+y2+2x-6y+6=0的圆心为C(-1,3),半径r=2, 过点M(0,-4)作圆x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，设切点分别为A、B, 而MC=V12+7z=5V2,则|MA= 1MC2-4=V46, 则以M为圆心，MA为半径为圆为x2+y+4)2=46,即圆x2+y2+8y-30=0, 所以AB为两圆的公共弦所在的直线，则有 x2+y2+2x-6y+6=0 x2+y2+8y-30=0 作差变形可得：x-7y+18=0: 即直线AB的方程为x-7y+18=0. 故选：B 5.(24-25高二上广东珠海阶段检测)已知点A(-4,0),P(a,a+4),圆0：x2+y2=4,直线PM,PN分别与 圆O相切，切点为M,N若MR=RN,则|AR的最大值为() A.2V2 B.3V2 C.4v2 D.4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题一一圆、定点到圆上点的最值（范围）、切点弦及其方程 【分析】推导可得在圆0：x2+y2=4上任意一点的切线方程，代入P点坐标可得直线MN方程，从而确定直 线MN恒过定点(-1,1)，结合垂直关系可确定R点轨迹为圆，利用圆上点到定点距离最大值的求法可求得结 果 【详解】由圆0方程可得：圆心0(0,0)，半径r=2, 若T(xo,yo)为圆0：x2+y2=4上一点，则x+y=4, 当kor存在且kor中0时，在点T处的切线斜率秋=一。=一号 在点T处的切线方程为：y-0=-9(x-xo),整理可得：xox+yoy=x号+y=4 yo 当kor不存在或kor=0时，T(0,士2)或T(士2,0)，此时在点T处的切线方程满足xox+yoy=4: 在圆0：x2+y2=4上任意一点(xo,yo)处的切线方程为xox+yoy=4: M(x1y1),N(x2,y2),PM:x1x+y1y=4,PN:x2x+y2y=4, 第30页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将P(a,a+4)代入直线PM,PN方程可得： fax1+(a+4)y1=4 ax2+(a+4)y2=4' ∴点M,N坐标满足直线ax+(a+4)y=4的方程， 即直线MN方程为：ax+(a+4)y=4,即(x+y)a+4y-4=0, 今倒4-0解得：x=-1上y=1,直线MN相过定点Q(-1), ~MR=RN,R为线段MN中点，OR⊥MN,即OR⊥RQ, 六R点轨迹是以0Q为直径的圆，又0.Q中点为5(-》0Q1-号 ÷R点轨迹是以5()为圆心，为半径的圆， 4R=AS1+=/③)+（份+号=32：故选：B. 6.(25-26高二上山东临沂期中)设M是圆C1:x2+y2=9上的一个动点，过M向圆C2:x2+y2=4引切线， 两切点间的线段称为切点弦，则当点M在C1上运动时，切点弦所形成的区域的面积为() A.智 B.16m 9 C.20m 9 D.4π 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】设AB是切点弦，连接M0交AB于P,由cos∠M0A=OA=!O2求得点O到直线AB的距离，进而求出 Γ1oM1oA 圆C1内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积 【详解】如图所示，AB是切点弦，连接MO交AB于P,若圆C1内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆C1的圆心的距离应小于引OP|,这些点构成了以原点为圆心，半径为OP的圆的内部. M 连接0A,OB,由题意知|OM=3,IOA=1OB|=2,MB=IMA=√1OM2-IOA=V5, 第31页共37页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则cos2M0A=8别-号8所以oP1=手 10M310A 则原点0到直线AB的距离为定值等故切点弦始终与圆x2+y2=华相切， 在圆C:内不与切点弦相交的区域面积为' 所以切点弦所形成的区域为圆C2与圆x2+y=?之间的圆环， 故所形成的区域的面积为4红一=弯受 故选：C 7.(多选题)(26-27高二上江苏准安阶段检测)已知直线1：x-y-4=0和曲线O:x2+y2=4,点A 是直线1上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B,C, 则下列说法正确的是() A.IAB的最小值为2 B.曲线O上存在2个点到直线1的距离等于2√2-2 C.若曲线O上总存在点D,使得∠OAD=30°，则A的横坐标的取值范围是[0,4纠 D.直线BC过定点(1，-1) 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、切点弦及其方程 【分析】A选项利用切线长公式，转化为求原点到直线上动点距离的最小值： B选项先求圆心到直线距离，结合圆半径，判断圆上到直线距离等于定值的点的个数： C选项利用最大角模型，结合三角函数建立不等式，求解点A横坐标范围： D选项利用切点弦方程（两圆公共弦），将含参直线整理为过定点形式，求出直线BC所过定点， 【详解】选项A:由切线长公式得AB|=√1OA2-|OB2=√IOA2-4, /x-y-4=0 因点A是直线1上的一个动点，则当0A1时，104最小，即最小值为d=0“=2V2, 12+-102 此时，AB的最小值为 (2√22-4=2，A正确： 选项B:因0到直线的距离为2√2，圆半径为2，圆上点到的最小距离为2√2-2， 则圆上仅有1个点（过0作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于2√2-2，B错误： 选项C:设A(a,a-④，要存在D使∠0AD=30°，则切线与0A的夹角∠0AB≥30°， 第32页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠0AB是锐角，在Rt△0AB中，sin20AB=品≥得10A利≤4， 即a2+(a-4)2≤16，解得0≤a≤4，即4横坐标取值范围是[0,4，C正确： 选项D:因A(a,a-4),则切点弦BC的方程为ax+(a-4)y=4,即a(x+y)-4y+1)=0, 化十二0解得x=1,y=1.即直线8C过定点4，-1)：D正确；故速A0@ 8.(25-26高二上河北沧州·期中)己知圆C的方程为x2+y2=2,点P是直线x-2y一5=0上的一个动点， 过点P作圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为，直线AB过定点 【答案】 6 原 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得：再通过构造四边形的外接圆， 两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得 【详解】如图： SPAOB 2SPAO =0A:PA =VOP2-0A2 =20P2-2. 所以只有0P最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， oPm=d=9=是=V5,所以此时5poB=V2·⑤-2=V6 V1+22 再设Pxo,yo),则xo-2yo-5=0,因四边形PA0B在以0P为直径的圆上， 得圆的方程：c-)2+0y-罗》=（场+子，即x2-xox+y2-oy=0, 与x2+y2=2相减，得直线AB的方程为，xox+yoy=2,再由x0-2y0-5=0, 所以直线AB的方程为，(2y0+5)x+yoy=2,即5x-2+yo(2x+y)=0, 今任子0得x==专所以直找过定点（后寺 故答案为：V6:(原，-) 题型八：圆与圆的位置关系 1.(25-26高二下浙江·开学考试)在平面直角坐标系中，圆C:x2+y2=1与圆D:(x-a)2+y2=4有公共 点，则实数a的取值范围是() A.[-3,-1]U[1,3] B.[-1,3] C.(-0,-1)U(3,+∞) D.[-3,1] 第33页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得 【详解】依题意，两圆有公共点，则2-1≤ICD=|a≤2+1， 即1≤|al≤3，解得ae[-3,-1U[1,3]. 2.(26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测)己知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x+4)+(y-3)=36,则圆C1与圆 C2的公切线（与两圆都相切的直线）条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2: 圆C2:(x+4)2+y-3)2=36的圆心为C2(-4,3),半径r2=6. 两圆圆心距：1C1C2l=√-4-0)2+(3-07=V16+9=5. 两圆半径差的绝对值为r2-T=16-2=4,两圆半径和为r1+r2=2+6=8, 因为r2-r1<|C1C2<T1+T2,故两圆相交，因此相交的两圆共有2条公切线. 3.(25-26高二下广东东莞期末)若圆C:x2+y2=1与圆E:x2+y2-6x-6y+7=0交于M,N两点，则 直线MN的倾斜角为() A. B. c.-8 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】直线的倾斜角、相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】已知圆C:x2+y2=1,即x2+y2-1=0①， 圆E:x2+y2-6x-6y+7=0②， ①-②消去二次项x2,y2得：6x+6y-8=0,化简得直线MW的方程为y=-x+ 因此直线斜率k=-1,又ae[0,),由tana=k=-1,可得a=誓 4.(26-27高二上·重庆渝中.阶段检测)已知圆C1:x2+y2-2y-4=0与圆C2:x2+y2-4x+2y=0,则两 圆公共弦长为() A.√2 B.V3 C.3 D.23 【答案】D 【难度】0.75 第34页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心C1到相交弦所 在直线的距离，再利用勾股定理求解即可。 【详解】圆C1的标准方程为x2+y-1)2=5,圆心为C1(0,1),半径为r1=√5， 圆C2的标准方程为(x-2)2+0y+1)2=5,圆心为C2(2,-1),半径为r2=V5, 圆心距为CC2l=√0-2)2+(1+1)2=2W2,所以r1-T2l<C1C2l<r1+r2, 所以两圆相交， 将两圆方程作差得4x-4y-4=0,即x-y-1=0, 即两圆相交弦所在直线的方程为x-y-1=0, 圆心C1到直线x-y-1=0的距离为d= 10-1-1 =√2， √12+(-102 所以两圆的相交弦长为2r1-d2=2√5-2=2V3:故选D. 5.(26-27高二上江苏常州阶段检测)一个半径为r的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12 个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切.此时r可表示为√a+√石+c的形式，其中a、b、c均为整 数.问a+b+c是多少？() A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】用圆与圆外切的性质构建直角三角形，结合两角差正弦公式求解半径r,进而确定a、b、c的值. 【详解】设中心圆的圆心为A,半径为r, 在环绕的12个小圆中，任取相邻的两个小圆，两个小圆的切点为C, 其中一个小圆的圆心为点B,两圆半径均为1， 连接AB、AC、BC,因为小圆与中心圆外切，所以AB=T+1, 第35页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由两小圆外切，结合对称性可得∠BAC=360=-15”, 24 在直角△ABc中，n∠BAC=器即sim15°=本 AB' 又simi5°=sim(45°-30)=sn45'c0s30-c0s45'sim30°-号x号号×4， 所以sm15=点-，三解得r=V6+2-1-a+万+ca,6ce刃. r+1 (a=2(a=6 所以{b=6或b=2,所以a+b+c=8-1=7 (c=-1(c=-1 6.(26-27高二上·安徽宣宜城阶段检测)己知圆C1:(x-1)2+y+2)2=1,AB为圆C1的一条弦，且AB1=V3, 若圆C2:(x-4)2+-2)2=r2(r>0)上存在点P,使得直线PA,PB与圆C1相切，则r的取值范围是() A.[2,+o) B.[2,6] C.[3,+oo)D.[3,7] 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】轨迹问题一一圆、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、由圆与圆的位置 关系确定圆的方程、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的弦长与中点弦 【分析】计算弦AB的弦心距，推导P到C1的距离，结合两圆位置关系求r的取值范围， 【详解】圆C1:(x-1)2+y+2)2=1,圆心为(1，-2)，半径为1， 珠 C AB=V5,取AB的中点M,CM1AB,弦心CM=√12-（⑨= PA,PB与圆C1相切，所以C1A1PA,C1B1PB,IC1A=IC1B|=1,∠C1AM=30°， 所以AC12=60,GP=总-青2.所以P轨迹是以C为心，2为半径的圆， 要使圆C2上存在满足条件的点P,即圆C2与点P的轨迹圆有公共点， 11C2l=V(4-1)2+(2+2)2=5,lr-2≤5≤r+2|, 解得3≤r≤7：故选D. 7.(多选题)(26-27高二上江苏常州阶段检测)已知圆C1:x2+y2-2x=0,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0, 若圆C2平分圆C1的周长，则() A.圆C2的圆心在y=2上 B.m+n+2=0 C.圆C,面积的最小值是π D.己知点A(1,5),B(4,3),则|C2A+HC2B1的最小值为5 【答案】ABD 第36页共37页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系 确定参数或范围、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先由圆的一般式确定圆C2的圆心坐标判断A:根据圆C2平分C1周长的性质，推导m,n的关系判断B: 结合m,n的关系求圆C2半径的最小值，得到面积最小值判断C:利用将军饮马模型，结合C2,圆心的轨迹求距 离和的最小值判断D. 【详解】选项A:圆C2:2+y2+mx-4y+n=0可化为(x+)+0-2-受-n+4, 圆心坐标为(-咒，2，纵坐标恒为2，因此圆心在直线y=2上，A正确。 选项B:将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为(m+2)x-4y+n=0, 圆C1的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C1(1,0) 因为C2平分C1的周长，所以公共弦过C1(1,0),代入公共弦方程得m+2+n=0,即m+n+2=0,B正确 选项C:圆C,的半径平方r2=(假)}+2-m, 将n=-m-2代入得r2=m+2)2+5≥5，因此圆Cz面积的最小值为5，c错误. 选项D:圆心C2在直线y=2上，作点A(1,5)关于y=2的对称点A(1,-1), 则IC2A=1C2A1,因此IC2A+1C2B1=1C2A1+1C2B1≥|A'B=√(4-1)2+3+1)2=5， 即最小值为5，D正确. 8.（26-27高二上.宁夏银川阶段检测)己知两圆M:x2+y2=16,圆N:x2+y2-4x+2y=0,过两圆交点， 且圆心在直线2x+y-1=0上的圆的一般方程为 【答案】2+y2-+-号=0 【难度】0.65 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、求圆的一般方程 【分析】根据题意，设所求圆的方程为x2+y2-16+(x2+y2-4x+2y)=0,得到圆心坐标，代入直线 方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆M:x2+y2=16和圆N:x2+y2-4x+2y=0, 设所求圆的方程为x2+y2-16+1(x2+y2-4x+2y)=0, 即1+r++y2-4x+2y-16=0.可得所求圆的圆心为（品合） 因为圆心（品，）在直线2x+y-1=0上，可得品一-1=0，解得A= 所以所求圆的方程为x2+y2-16+×(x2+y2-4+2y)=0, 所以所求圆的方程为x2+y2-含x+y-号=0， 第37页共37页 专题05 圆（高效培优专项训练）数学新教材人教版高二上期 题型一 圆的标准方程 题型二 圆的一般方程 题型三 定点到圆上点的距离的最值 题型四 直线与圆的位置关系 题型五 圆的切点弦 题型六 圆与圆的位置关系 题型一：圆的标准方程 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2.（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 3.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径 【详解】圆：的圆心为，半径. 设关于直线：的对称点为. 由 ，所以. 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 4.（26-27高二上·全国·课后作业）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.67 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为 ， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 5.（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 6.（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）曲线所表达的图形是（   ） A．以为圆心为半径的圆 B．以为圆心为半径的圆面 C．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D．以为圆心1为半径的圆和以为圆心，1为半径的圆 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：D. 7.（多选题）（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（   ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】圆的对称性的应用、由方程研究曲线的性质、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据给定方程的特征，结合曲线对称性的探讨方法、计算判断ABC；画出图形并结合图形求出最大值. 【详解】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 8.（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】由条件可得，则的外接圆是以线段为直径的圆，从而可求出圆心坐标和半径长，进而可得圆的方程． 【详解】由已知得，， 故，所以，则的外接圆是以线段为直径的圆． 因为 设线段的中点为，则的坐标为， 所以该圆的标准方程为． 故答案为： 题型二：圆的一般方程 1．（26-27高二上·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 2.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【详解】将方程配方，整理得， 要使方程表示圆需满足，解得，因此实数的取值范围为． 3.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，计算原点到圆心的距离，求解到坐标原点O的最小距离. 【详解】圆C：，即， 圆心为，半径为， ，所以点在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为. 4.（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、求点关于直线的对称点 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可. 【详解】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 5.（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，再利用点到直线的距离公式写出距离表达式，结合参数的取值范围求最大值. 【详解】对进行配方，得， 因此圆C的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为 ， 由于，故，因此，当且仅当时等号成立， 因此，即圆心到直线l的距离的最大值为. 6.（26-27高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点与圆的位置关系求参数、不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即，所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 7.（多选题）（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、求圆的一般方程、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为，故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 8.（25-26高二上·天津和平·期末）圆与圆交于A、B两点，则线段的垂直平分线方程为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先计算两圆的圆心，结合两圆相交于A、B两点，线段的垂直平分线就是两圆的连心线，利用直线的两点式方程计算得到结果； 【详解】圆的圆心，圆的圆心， 因为两圆相交于A、B两点，所以线段的垂直平分线就是两圆的连心线， 即经过两圆圆心和的直线， 根据直线的两点式方程为，化简得 则线段的垂直平分线方程为. 故答案为：. 题型三：与圆有关的轨迹方程 1．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 2.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、求平面轨迹方程 【分析】作出图形，利用垂径定理结合条件求出，即得点的轨迹为圆，写出其轨迹方程即可. 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 3.（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线，所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 4.（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 5.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意求得点的轨迹，根据将问题转化为求的最小值，再根据几何关系点在线段上时有最小值，最后联立方程求解点的坐标即可 . 【详解】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 6.（25-26高二上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为．当点在曲线上运动时，点轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】当时、当时，确定点的位置，求得其轨迹方程，结合图形来求轨迹长度即可. 【详解】点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部. 曲线即，是圆心为，半径为的圆. 当时，为正方形左下顶点，， 代入得，， 轨迹为图中加粗的优弧； 当时，为正方形左侧边与轴的交点，轨迹为图中轴上加粗线段. 最终可得轨迹为如图优弧与弦组成，其中圆心，， 取中点，可得，，， 则，，所以，，优弧， 最终轨迹长为. 故选：D. 7.（多选题）（26-27高二上·山西太原·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，设动点的轨迹为，若过点的直线交于点，则下列说法正确的是（     ） A．的方程为 B．若点，则的最小值为 C．存在点和直线使得 D．若，则直线的方程为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】A利用阿氏圆的定义求出动点轨迹圆方程； B利用阿氏圆的比例关系转化距离，用两点间距离求最值； C利用圆周角圆心角关系结合过定点弦长最小值判断存在性； D利用线段比例关系结合韦达定理求出直线斜率． 【详解】对于A，设，由，则， 化简得，所以点的轨迹的方程为，A正确； 对于B，由题意知，则， 结合图象知，则的最小值为，B正确； 对于C，由圆的性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”， 设圆心，则，此时， 而直线与圆相交的弦长最小时与直径垂直，最小值为， 即不存在直线使得，所以不存在直线使得，C错误； 对于D，由阿氏圆的定义知即， （法一：几何法）设，则，， 作，则，， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得，所以． 由C选项知当直线斜率不存在时，（舍去）； 当直线斜率存在时，设直线：，即， 令，解得，即直线：，D正确． （法二：几何法2）由相交弦定理，知， 可解得，，则，后续同法一． （法三：几何法3）设，则，，， 由，得为的角平分线， 则，即，故，所以，后续同法一． （法四：代数法）当直线斜率为0时，，不符题意； 当直线斜率不为0时，设直线：，，， 由，得…①， 联立得，由韦达定理得， 联立①②知，代入③式得，即，解得， 则直线：，即，D正确． 8.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、求平面轨迹方程 【分析】先求得圆的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点满足的几何关系，求出点的轨迹方程，再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度. 【详解】将圆的方程化为标准形式：，得圆心，半径， 设弦中点，由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即，，， 于是，，即， 因为点是圆内的弦中点，所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， ；两式相减：， 代入，得，即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设，， ，， 由弧长公式，所以. 题型四：定点到圆上点的距离的最值 1．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值的和为（   ） A．160 B．158 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用两点距离公式，结合圆的性质计算即可. 【详解】不妨设，则， 且 ， 显然最大值和最小值的和为. 故选：A 2.（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 3.（24-25高二下·湖北·阶段检测）已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（   ） A．8 B．7 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、切线长、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解. 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 作图如下，因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 4.（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， ； 所以， 由此知 . 故选：C. 5.（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 6.（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）设是圆上任意一点，若的最小值为，且，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】将已知式变形为，通过点和圆的位置关系推理得到，将其变形后利用基本不等式即可求出待求式的最小值. 【详解】因是圆上任意一点， 由可得， 将其理解为圆上点与点的距离，其最小值为， 依题意，可得，即，又， 由， 当且仅当时，取得等号，即当时，的最小值为4. 故选：B. 7.（多选题）（23-24高二上·广东茂名·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前前年）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，已知点，，平面内的动点满足：，则下列关于动点的结论正确的是（    ） A．点的轨迹方程为 B．当三点不共线时，面积的最大值是 C．当三点不共线时，若点的轨迹与线段交于，则 D．若点，则的最小值为 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】选项A，应用两点距离公式求P的轨迹方程为，即可判断出选项A的正误； 选项B，由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断出选项B的正误； 选项C，根据，结合角平分线的性质判断选项C的正误； 选项D，由已知有，利用三点共线求最小值判断选项D的正误. 【详解】设，因为，所以，整理得到， 故点的轨迹方程为， 对于A，点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，故A正确； 对于B，因为圆的半径为4且，当的底边上的高最大， 即高为半径4时，面积最大，即面积的最大值是，故B正确； 对于C，由题知，点M的坐标为，当不共线时，因为， 由角平分线定理的逆定理知：射线是的平分线，故C正确； 对于D，因为，即，则，又P在圆上，如图所示，    由图知，当三点共线且点在线段上时，取最小值， 此时，故D错误， 故选：ABC． 8.（25-26高二下·浙江·期中）设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【难度】0.55 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 题型五：直线与圆的位置关系 1．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 2.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆 上到直线的距离为的点有且仅有个，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆上距离已知直线距离为的点有且仅有个，转换为圆与平行于已知直线且距离为的两条直线的交点数总和为. 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 3.（26-27高二上·全国·期中）直线 与圆 相交于 ， 两点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理的弦长公式计算弦长. 【详解】圆心 到直线 的距离 . 所以 ． 4.（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 5.（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若圆（）上到直线的距离为的点有且仅有个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求圆心到直线的距离，结合题意分析可知，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 则，即，解得， 所以半径的取值范围是. 6.（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知函数，若为定值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】根据点与直线（可行域）的位置关系求参数、根据最优解或最值求参数、与圆有关的可行域的最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用可得，设，那么点在半圆上运动，相当于点到两条平行线与距离之差的倍，作出图象，结合图形即可求解. 【详解】由可得即， 设，那么点在半圆上运动， 相当于点到两条平行线与距离之差的倍， 作出图象如下：    由图象可知当直线与半圆相切时，取最小值， 那么,解得 （舍去）， 所以的最小值为.故选A. 7.（多选题）（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线：上的动点，则（    ） A．若为线段中点，则 B．存在以为直径的圆与相切 C． D． 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】数量积的运算律、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】根据两圆的位置关系，以及切线的性质，判断点的位置，再根据直线与圆的位置关系求出圆上一点到直线的最小距离，判断选项A的正误；再根据弦心距求出弦长，进而判断以为直径的圆与的位置关系，判断选项B正误；根据向量加法的运算律和向量数量积的运算律，表示出的值，进而判断选项C的正误；根据向量加法法则和弦长，表示出，根据选项C的结论，判断其范围，判断选项D的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于选项A，当为线段中点时，，即为直线与圆的切点， 可知圆心到直线的距离为，所以，所以选项A正确； 对于选项B，可知，所以，即， 即不存在以为直径的圆与相切，所以选项B错误； 对于选项C，可知， 因为，所以， 因为，所以，所以选项C正确； 对于选项D，可知，所以， 即，即， 因为，所以，所以选项D正确. 8.（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，，故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分 只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 题型六：直线与圆的相交弦 1．（25-26高二上·北京密云·期中）圆被轴截得的弦长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求直线与圆交点的坐标、圆的弦长与中点弦 【详解】令得，解得或. 所以被轴截得的弦长为. 2.（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先由圆的方程确定圆心与半径，根据两条半径相等以及已知的圆心角，利用垂径定理算出圆心到弦 AB 的距离，再借助点到直线的距离公式表示原点到已知直线的距离，建立方程求解，即可得到的值. 【详解】∵圆，∴圆心，半径, ， 圆心到直线距离. 又∵，，即：. 3.（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）圆截直线所得弦的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 4.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，直线与交于两点，则数量积的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、圆的弦长与中点弦 【分析】先按参数分离求出直线恒过的定点并判断它在圆内，再把化成，从而把问题转化为求弦长的最小值，由"弦最短等价于圆心到直线的距离最大"求得结果. 【详解】把直线的方程按整理得， 令，解得、，所以直线恒过定点. 圆的圆心为，半径为，而， 所以点在圆内，直线与圆恒有两个交点. 设（）.因为，所以， 又. 设圆心到直线的距离为，则， 由垂线段最短得（当时取等号）， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以的最小值为. 5.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】点到直线的距离、确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：，整理得， 即，可得圆心的坐标为，半径 已知，，所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为，则为圆心到直线的距离， 且；在中，． 已知直线：，点到直线的距离公式为：， 则，两边同时平方得：，整理得，即，解得；故选C. 6.（26-27高二上·海南海口·阶段检测）若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题、确定圆心和半径、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为 ，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 7.（多选题）（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知直线：与圆：相交于，两点，则（     ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【难度】0.75 【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆：整理变形得， 所以圆心的坐标为，半径，A选项正确，B选项错误. 圆心到直线的距离，C选项正确. ，D选项正确. 8.（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 题型七：圆的切点弦 1．（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切点弦及其方程 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 2.（22-23高二下·河南漯河·期末）设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 3.（26-27高二上·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、切线长、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： ；故选A. 4.（23-24高二上·山东济宁·期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 5.（24-25高二上·广东珠海·阶段检测）已知点，，圆，直线分别与圆相切，切点为.若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、切点弦及其方程 【分析】推导可得在圆上任意一点的切线方程，代入点坐标可得直线方程，从而确定直线恒过定点，结合垂直关系可确定点轨迹为圆，利用圆上点到定点距离最大值的求法可求得结果. 【详解】由圆方程可得：圆心，半径， 若为圆上一点，则， 当存在且时，在点处的切线斜率， 在点处的切线方程为：，整理可得：； 当不存在或时，或，此时在点处的切线方程满足； 在圆上任意一点处的切线方程为； 设，，则，， 将代入直线方程可得：， 点坐标满足直线的方程， 即直线方程为：，即， 令，解得：，，直线恒过定点， ，为线段中点，，即， 点轨迹是以为直径的圆，又中点为，， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆， ；故选：B. 6.（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值，故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 7.（多选题）（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C．若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、切点弦及其方程 【分析】A选项利用切线长公式，转化为求原点到直线上动点距离的最小值； B选项先求圆心到直线距离，结合圆半径，判断圆上到直线距离等于定值的点的个数； C选项利用最大角模型，结合三角函数建立不等式，求解点A横坐标范围； D选项利用切点弦方程（两圆公共弦），将含参直线整理为过定点形式，求出直线所过定点． 【详解】选项A：由切线长公式得， 因点A是直线l上的一个动点，则当时，最小，即最小值为， 此时，的最小值为，A正确； 选项B：因到直线的距离为，圆半径为2，圆上点到的最小距离为， 则圆上仅有1个点（过作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于，B错误； 选项C：设，要存在使，则切线与的夹角， 又是锐角，在中，，得， 即，解得，即横坐标取值范围是，C正确； 选项D：因，则切点弦的方程为，即， 令，解得，即直线过定点，D正确；故选ACD. 8.（25-26高二上·河北沧州·期中）已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为______，直线过定点______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、切点弦及其方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得. 【详解】如图： 因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 题型八：圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·浙江·开学考试）在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆位置关系的判断方法列不等式求解即得． 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 2.（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知圆，圆，则圆与圆的公切线（与两圆都相切的直线）条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】计算两圆的圆心距，判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 3.（25-26高二下·广东东莞·期末）若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】直线的倾斜角、相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 4.（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为；故选D. 5.（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）一个半径为的圆，周围环绕着个半径为的圆，如图所示，这个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切.此时可表示为的形式，其中、、均为整数.问是多少？（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】用圆与圆外切的性质构建直角三角形，结合两角差正弦公式求解半径，进而确定、、的值. 【详解】设中心圆的圆心为，半径为， 在环绕的个小圆中，任取相邻的两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为点，两圆半径均为， 连接、、，因为小圆与中心圆外切，所以， 由两小圆外切，结合对称性可得， 在直角中，， 即， 又， 所以，解得， 所以或，所以. 6.（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程、由圆与圆的位置关系确定圆的方程、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的弦长与中点弦 【分析】计算弦的弦心距，推导到的距离，结合两圆位置关系求的取值范围. 【详解】圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，，弦心距， ，与圆相切，所以，，，， 所以，，所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ，， 解得；故选D. 7.（多选题）（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B． C．圆面积的最小值是 D．已知点，，则的最小值为5 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先由圆的一般式确定圆的圆心坐标判断A；根据圆平分周长的性质，推导的关系判断B；结合的关系求圆半径的最小值，得到面积最小值判断C；利用将军饮马模型，结合圆心的轨迹求距离和的最小值判断D. 【详解】选项A：圆可化为， 圆心坐标为，纵坐标恒为2，因此圆心在直线上，A正确. 选项B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为，圆心为. 因为平分的周长，所以公共弦过，代入公共弦方程得，即，B正确. 选项C：圆的半径平方， 将代入得，因此圆面积的最小值为，C错误. 选项D：圆心在直线上，作点关于的对称点， 则，因此， 即最小值为5，D正确. 8.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程、求圆的一般方程 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆（高效培优专项训练）数学新教材人教版高二上期 题型一 圆的标准方程 题型二 圆的一般方程 题型三 定点到圆上点的距离的最值 题型四 直线与圆的位置关系 题型五 圆的切点弦 题型六 圆与圆的位置关系 题型一：圆的标准方程 1．【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2.【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 3.【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径. 设关于直线：的对称点为. 由 ，所以. 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 4.【答案】B 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为 ， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 5.【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 6.【答案】D 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：D. 7.【答案】ACD 【详解】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 8.【答案】 【详解】由已知得，， 故，所以，则的外接圆是以线段为直径的圆． 因为 设线段的中点为，则的坐标为， 所以该圆的标准方程为． 故答案为： 题型二：圆的一般方程 1．【答案】D 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 2.【答案】A 【详解】将方程配方，整理得， 要使方程表示圆需满足，解得，因此实数的取值范围为． 3.【答案】B 【详解】圆C：，即， 圆心为，半径为， ，所以点在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为. 4.【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 5.【答案】B 【详解】对进行配方，得， 因此圆C的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为 ， 由于，故，因此，当且仅当时等号成立， 因此，即圆心到直线l的距离的最大值为. 6.【答案】B 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即，所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 7.【答案】BCD 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为，故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 8.【答案】 【详解】圆的圆心，圆的圆心， 因为两圆相交于A、B两点，所以线段的垂直平分线就是两圆的连心线， 即经过两圆圆心和的直线， 根据直线的两点式方程为，化简得 则线段的垂直平分线方程为. 故答案为：. 题型三：与圆有关的轨迹方程 1．【答案】A 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 2.【答案】B 【详解】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 其方程为. 3.【答案】B 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线，所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 4.【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 5.【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 6.【答案】D 【详解】点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部. 曲线即，是圆心为，半径为的圆. 当时，为正方形左下顶点，， 代入得，， 轨迹为图中加粗的优弧； 当时，为正方形左侧边与轴的交点，轨迹为图中轴上加粗线段. 最终可得轨迹为如图优弧与弦组成，其中圆心，， 取中点，可得，，， 则，，所以，，优弧， 最终轨迹长为. 故选：D. 7.【答案】ABD 【详解】对于A，设，由，则， 化简得，所以点的轨迹的方程为，A正确； 对于B，由题意知，则， 结合图象知，则的最小值为，B正确； 对于C，由圆的性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”， 设圆心，则，此时， 而直线与圆相交的弦长最小时与直径垂直，最小值为， 即不存在直线使得，所以不存在直线使得，C错误； 对于D，由阿氏圆的定义知即， （法一：几何法）设，则，， 作，则，， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得，所以． 由C选项知当直线斜率不存在时，（舍去）； 当直线斜率存在时，设直线：，即， 令，解得，即直线：，D正确． （法二：几何法2）由相交弦定理，知， 可解得，，则，后续同法一． （法三：几何法3）设，则，，， 由，得为的角平分线， 则，即，故，所以，后续同法一． （法四：代数法）当直线斜率为0时，，不符题意； 当直线斜率不为0时，设直线：，，， 由，得…①， 联立得，由韦达定理得， 联立①②知，代入③式得，即，解得， 则直线：，即，D正确． 8.【答案】 【详解】将圆的方程化为标准形式：，得圆心，半径， 设弦中点，由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即，，， 于是，，即， 因为点是圆内的弦中点，所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， ；两式相减：， 代入，得，即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设，， ，， 由弧长公式，所以. 题型四：定点到圆上点的距离的最值 1．【答案】A 【详解】不妨设，则， 且 ， 显然最大值和最小值的和为. 故选：A 2.【答案】C 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 3.【答案】C 【详解】由题，圆，圆， 所以圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 作图如下，因为, 由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为， 此时最大，最大值为， 故选:C. 4.【答案】C 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， ； 所以， 由此知 . 故选：C. 5.【答案】A 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 6.【答案】B 【详解】因是圆上任意一点， 由可得， 将其理解为圆上点与点的距离，其最小值为， 依题意，可得，即，又， 由， 当且仅当时，取得等号，即当时，的最小值为4. 故选：B. 7.【答案】ABC 【详解】设，因为，所以，整理得到， 故点的轨迹方程为， 对于A，点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，故A正确； 对于B，因为圆的半径为4且，当的底边上的高最大， 即高为半径4时，面积最大，即面积的最大值是，故B正确； 对于C，由题知，点M的坐标为，当不共线时，因为， 由角平分线定理的逆定理知：射线是的平分线，故C正确； 对于D，因为，即，则，又P在圆上，如图所示，    由图知，当三点共线且点在线段上时，取最小值， 此时，故D错误， 故选：ABC． 8.【答案】8 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 题型五：直线与圆的位置关系 1．【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 2.【答案】B 【详解】与直线平行的直线可表示为， 两平行直线相距为时，，解得或， 所以与已知直线平行且相距为的直线是和. 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 即圆与和的交点数总和为， 圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆必相交，交点有个， 因此圆与直线只能有一个交点，即圆心到直线的距离为， 所以，解得. 3.【答案】B 【详解】圆心 到直线 的距离 . 所以 ． 4.【答案】C 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 5.【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 则，即，解得， 所以半径的取值范围是. 6.【答案】A 【详解】由可得即， 设，那么点在半圆上运动， 相当于点到两条平行线与距离之差的倍， 作出图象如下：    由图象可知当直线与半圆相切时，取最小值， 那么,解得 （舍去）， 所以的最小值为.故选A. 7.【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于选项A，当为线段中点时，，即为直线与圆的切点， 可知圆心到直线的距离为，所以，所以选项A正确； 对于选项B，可知，所以，即， 即不存在以为直径的圆与相切，所以选项B错误； 对于选项C，可知， 因为，所以， 因为，所以，所以选项C正确； 对于选项D，可知，所以， 即，即， 因为，所以，所以选项D正确. 8.【答案】 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，，故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分 只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足 题型六：直线与圆的相交弦 1．【答案】C 【详解】令得，解得或. 所以被轴截得的弦长为. 2.【答案】B 【详解】∵圆，∴圆心，半径, ， 圆心到直线距离. 又∵，，即：. 3.【答案】B 【详解】圆可化为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以圆与直线相交， 所以截得的弦长. 4.【答案】C 【详解】把直线的方程按整理得， 令，解得、，所以直线恒过定点. 圆的圆心为，半径为，而， 所以点在圆内，直线与圆恒有两个交点. 设（）.因为，所以， 又. 设圆心到直线的距离为，则， 由垂线段最短得（当时取等号）， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以的最小值为. 5.【答案】C 【详解】已知：，整理得， 即，可得圆心的坐标为，半径 已知，，所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为，则为圆心到直线的距离， 且；在中，． 已知直线：，点到直线的距离公式为：， 则，两边同时平方得：，整理得，即，解得；故选C. 6.【答案】A 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为 ，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 7.【答案】ACD 【详解】圆：整理变形得， 所以圆心的坐标为，半径，A选项正确，B选项错误. 圆心到直线的距离，C选项正确. ，D选项正确. 8.【答案】 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 题型七：圆的切点弦 1．【答案】B 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 2.【答案】B 【详解】如图，连接，，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，，则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 3.【答案】A 【详解】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： ；故选A. 4.【答案】B 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 5.【答案】B 【详解】由圆方程可得：圆心，半径， 若为圆上一点，则， 当存在且时，在点处的切线斜率， 在点处的切线方程为：，整理可得：； 当不存在或时，或，此时在点处的切线方程满足； 在圆上任意一点处的切线方程为； 设，，则，， 将代入直线方程可得：， 点坐标满足直线的方程， 即直线方程为：，即， 令，解得：，，直线恒过定点， ，为线段中点，，即， 点轨迹是以为直径的圆，又中点为，， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆， ；故选：B. 6.【答案】C 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值，故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 7.【答案】ACD 【详解】选项A：由切线长公式得， 因点A是直线l上的一个动点，则当时，最小，即最小值为， 此时，的最小值为，A正确； 选项B：因到直线的距离为，圆半径为2，圆上点到的最小距离为， 则圆上仅有1个点（过作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于，B错误； 选项C：设，要存在使，则切线与的夹角， 又是锐角，在中，，得， 即，解得，即横坐标取值范围是，C正确； 选项D：因，则切点弦的方程为，即， 令，解得，即直线过定点，D正确；故选ACD. 8.【答案】 【详解】如图： 因为 ， 所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得， ，所以此时. 再设，则，因四边形在以为直径的圆上， 得圆的方程：，即， 与相减，得直线的方程为，，再由， 所以直线的方程为，，即， 令，得，所以直线过定点. 故答案为：；. 题型八：圆与圆的位置关系 1．【答案】A 【详解】依题意，两圆有公共点，则， 即，解得． 2.【答案】B 【详解】首先确定两圆的圆心和半径：圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 两圆圆心距：. 两圆半径差的绝对值为，两圆半径和为， 因为，故两圆相交，因此相交的两圆共有条公切线. 3.【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 4.【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为；故选D. 5.【答案】C 【详解】设中心圆的圆心为，半径为， 在环绕的个小圆中，任取相邻的两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为点，两圆半径均为， 连接、、，因为小圆与中心圆外切，所以， 由两小圆外切，结合对称性可得， 在直角中，， 即， 又， 所以，解得， 所以或，所以. 6.【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，，弦心距， ，与圆相切，所以，，，， 所以，，所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ，， 解得；故选D. 7.【答案】ABD 【详解】选项A：圆可化为， 圆心坐标为，纵坐标恒为2，因此圆心在直线上，A正确. 选项B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为，圆心为. 因为平分的周长，所以公共弦过，代入公共弦方程得，即，B正确. 选项C：圆的半径平方， 将代入得，因此圆面积的最小值为，C错误. 选项D：圆心在直线上，作点关于的对称点， 则，因此， 即最小值为5，D正确. 8.【答案】 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆（高效培优专项训练）数学新教材人教版高二上期 题型归纳 题型一圆的标准方程 题型二圆的一般方程 题型三定点到圆上点的距离的最值 题型四直线与圆的位置关系 题型五圆的切点弦 题型六圆与圆的位置关系 题型专练 题型一：圆的标准方程 1.(25-26高二下陕西汉中.期中)已知点P(0,-1),Q(2,1),且线段PQ是圆M的直径，则圆M的方程为() A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=8 C.x2+0y-1)2=4 D.x2+y-1)2=8 2.(25-26高二下贵州遵义期中)已知圆C过点(0,2)，(4,0)，(2，-4)，则圆C的标准方程为() A.(x+1)2+y-1)2=10 B.(x-1)2+0y+1)2=40 C.(x-1)2+(y+1)2=10 D.x+1)2+(y-1)2=40 3.(25-26高二上江苏扬州期中)已知圆M:(x+1)2+0y+2)2=1,则圆M关于直线：x-y+2=0对 称的圆的方程() A.(x+4)2+y-1)2=1 B.(x+4)2+y+1)2=1 C.(x-4)2+(0y-1)2=1 D.(x-4)2+0y+1)2=1 4.(26-27高二上·全国课后作业)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、 三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉 圆.在△ABC中，若A(-1,4),B(3,2),C(5,0),则△ABC的九点圆的方程为() A.(x-6)2+(y-6)2=34 8.(x-)+(-)}= c.(x-5)2+6-)=32 0.（x-9)+(-)=32 第1页共9页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高二上江苏镇江期末)圆x2+0y-1)2=1关于直线x-y=0对称的圆的方程是() A.x2+y+1)2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+y2=1 6.（24-25高二上广东深圳阶段检测)曲线x2+(y川-4)2=1所表达的图形是() A.以(0,4)为圆心1为半径的圆 B.以(0,4)为圆心1为半径的圆面 C.以(0,4)为圆心1为半径的圆和以(0,4④为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D.以(0,4)为圆心1为半径的圆和以(0，一4)为圆心，1为半径的圆 7.（多选题)(25-26高二上辽宁大连期中)在平面直角坐标系中，设曲线C的方程为x2+y2=4x-4y, 则() A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形B.曲线C围成图形的面积为2π-4 C.曲线C的周长为4v2m D.曲线上任意两点间距离的最大值8 8.(25-26高二上辽宁葫芦岛阶段检测)已知平面内有A(0,2),B(2,一2)，C(4,4)三点，则△ABC的外接圆 的标准方程为 题型二：圆的一般方程 1.(26-27高二上湖南阶段检测)若方程x2+y2+x+my+m=0表示圆，则实数m的值可能为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(26-27高二上江苏淮安阶段检测)若方程x2+y2+2ax-4ay+5a2-a-2=0表示圆，则实数a的取 值范围是() A.（-2,+∞) B.[-2,+∞) C.(-0∞，-2) D.(-00,-2] 3.(26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测)圆C:x2+y2+2x-4y-4=0上的点到坐标原点O的最小距离为 () A.V5-3 B.3-5 c.5 D.3+V5 4.(26-27高二上·安徽芜湖阶段检测)已知点P(2,1)关于直线x-y+1=0对称的点Q在圆C:x2+y2+2x+ m=0外，则实数m的取值范围是() A.m>-9 B.m<1 C.-9<m<1 D.m<-9或m>1 第2页共9页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(26-27高二上河南南阳-阶段检测)已知圆C:x2+y2-4x-2y+4=0与直线l:mx+2y-2m-1=0 (m∈R),则圆C的圆心到直线的距离的最大值为() A.0 C.1 D.2 6(26-27高二上云南楚雄阶段检测)已知点(1,1)在圆x2+y2-ax+a2-2=0外，则实数a的取值范围 为() A.(-∞，0)U(（+∞）B.(-2,0)U(2c.（-2,-)U0,2) D.(-2,2) 7.（多选题)（26-27高二上广东深圳-阶段检测)在△ABC中，A(-4,1),B8,5),△ABC的内心(6,1)，下列 说法正确的有() A.△ABC的内切圆的半径为10 B.直线AC方程为x+3y+1=0 C.直线BC方程为3x+y-29=0D.△ABC外接圆的方程为x2+y2-7x+3y-48=0 8.(25-26高二上·天津和平期末)圆x2+y2-4x=0与圆x2+y2+4x-4y=1交于A、B两点，则线段AB 的垂直平分线方程为 题型三：与圆有关的轨迹方程 1.(26-27高二上河北邢台阶段检测)已知动点P与两个定点0(0,0)，A(0,4的距离之比为1：3，则动点P 的轨迹方程为() A.2+(g+)=B.2+(0-)-c.2+0+2)2=12D.2+0-2)2=12 2.(26-27高二上山东青岛·阶段检测)己知圆C:(x-3)2+(y-5)2=36,AB是圆C的一条动弦，AB|=6√3， 则AB的中点M的轨迹方程为() A.(x-3)2+y-5)2=3 B.(x-3)2+y-5)2=9 C.(x+3)2+y+5)2=36 D.(x+3)2+y+5)2=9 3.(25-26高二上广东深圳期末)己知直线l1:mx+y+3m=0和l2:x-y+3m-1=0,l1和l2的交点记 为P,若点Q(2,),则PQI的最大值为() A.号 B.共 c.3 0.子 4.(26-27高二上广东广州阶段检测)在直角坐标平面内，过定点P的直线l:Qx+y-2=0与过定点Q的 直线m:x-ay+2=0相交于点M,则点M到点(1,1)的距离的最大值为() 第3页共9页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.V2+1 B.V2+2 C.V2-1 D.2√2 5.(25-26高二上·河北邢台阶段检测)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面 内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，A(-1,0),B(1,0), C(2,-1),且IPA=√2IPB|,则当2PB|+√2PCI取得最小值时，点P的坐标是() A.(层，-) B.(5,-2) c.（) D.(-5,2) 6.(25-26高二上·北京期中)在平面直角坐标系x0y中，对于定点P(a,b),记点集{(x,y)川x-a≤1，ly-b≤ 1}中距离原点0最近的点为Qp.当点P在曲线x2+y2-6x-4y+9=0上运动时，点Qp轨迹的长度为() A.4π B.4π+V5 c.+V3 D.+2V3 7.(多选题)(26-27高二上山西太原阶段检测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点AB 的距离之比为定值(>0，λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),B(1,0),动点P满足IPA=2PB引，设动 点P的轨迹为C,若过点B的直线交C于点M,N,则下列说法正确的是() A.C的方程为(x-2)2+y2=4 B.若点D(O,2),则PA+2PDI的最小值为2√5 C.存在点P和直线使得∠MPN=:D.若MA=2NA,则直线的方程为y=土(x-1) 8.(26-27高二上·江苏扬州·阶段检测)己知过点A(-1,0)的直线与圆C:x2+y-2x=0交于M,N两点， 弦MN的中点为P,则点P的轨迹长度为 题型四：定点到圆上点的距离的最值 1.（25-26高二上广东广州期中)已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点，点P在圆x2+y2=4上运动， 则1PA2+IPB2+|PC的最大值与最小值的和为() A.160 B.158 C.80V13 D.70V23 2.(25-26高二上安徽期中)己知点P(2,0),点Q是圆C:(x-1)2+y+1)2=1上任意一点，则PQI的最大 值为() A.V2-1 B.2 C.V2+1 D.V2+2 3.（24-25高二下…湖北阶段检测)己知圆M:x2+y2+2x=0,圆N:x2+y2-4x-21=0,点P在圆N上 运动，直线PA与圆M相切于点A,则PA的最大长度为() A.8 B.7 C.V63 D.V65 第4页共9页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二上湖北期中)设点P为圆x2+y2=4上的动点，A(1,0),B(0,3),则3PA+PB的最小值为 () A.3V2 B.5 C.2V10 D.4 5.(25-26高二上江西萍乡期中)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见 四邻矣"”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系x0y中，由点P(3,5)出发的一 束光线经直线：x-y-2=0反射后到达圆C:(x+1)2+y-3)2=9上某一点，则光线经过的最短路程为 () A.2W17-3 B.3+2√2 C.25-3 D.V59 6.（25-26高二上湖南长沙阶段检测)设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点，若t= V2+y2-10x+8y+布-的最小值为b,且a>1,b>2,则号+点的最小值为() A.8 B.4 C.3 D.2 7.(多选题)(23-24高二上广东茂名·期中)古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190年） 发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值入（入≠1）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字 命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系x0y中，已知点A(-2,0),B(4,0),平面内的动 点P满足：。=2，则下列关于动点P的结论正确的是() A.点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=16 B.当P,A,B三点不共线时，△PAB面积的最大值是12 C.当A,B,P三点不共线时，若点P的轨迹与线段AB交于M,则∠APM=∠BPM D.若点Q(5,-1),则2PB|+IPQI的最小值为7 8.(25-26高二下.浙江·期中)设M是圆C1:x2+(y-42=4上的动点，N是圆C2:(x-4)2+y2=1上的动 点，O为坐标原点，则OM+2MN|最小值是 题型五：直线与圆的位置关系 1.(26-27高二上·重庆九龙坡阶段检测)直线3x+4y+1=0与圆x2+y2-6x-8y=0的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.都有可能 2.（26-27高二上湖南长沙.阶段检测)已知圆x2+y2=r2(r>0)上到直线x+V3y-2=0的距离为1的 点有且仅有3个，则r的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 第5页共9页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(26-27高二上·全国·期中)直线：x-y+1=0与圆0：x2+y2=4相交于A,B两点，则|AB1=() A.23 B.V14 C.2V2 D.25 4.(26-27高二上江苏南京阶段检测)已知点P在直线x一y+2=0上，过点P作圆(x-4)2+y2=2的 切线，则切线的长的最小值为() A.2 B.2W3 C.4 D.4v3 5(2627高二上江苏淮安阶段检测)若圆2+0+1)2=72(r>0)上到直线y=x-2的距离为的 点有且仅有2个，则半径r的取值范围是() A.(0,2) B.() c.(g5+) D.(gs2W⑤) 6.(26-27高二上江西九江阶段检测)已知函数y=V-x2+6x-5,若引x+2y-8-x+2y-m为定值， 则m的最小值为() A.3+2V5 B.1 C.3-2W5 D.-1 7.（多选题)(26-27高二上江苏泰州阶段检测)设动直线L1与圆x2+y2=1相切，且与圆x2+y2=10相 交于两点A、B,点P为直线l2:3x+4y-25=0上的动点，则() A.若M为线段AB中点，则PM≥4 B.存在以AB为直径的圆与l2相切 C.AP,PB≤-7 D.IPAI2+IPB2≥50 8.(26-27高二上河北石家庄阶段检测)己知圆M:(x-1)2+y-1)2=2,直线为x+y-m=0(m>0), 已知直线与圆M相离，若在直线上存在点A,在圆上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，则实数m的取值范 围是 题型六：直线与圆的相交弦 1.（25-26高二上·北京密云期中)圆C:x2+y2+4x-3y=0被y轴截得的弦长为() A.1 B.V√6 C.3 D.4 2.(26-27高二上江苏扬州阶段检测)若直线x-y+a=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，且∠A0B=120° (0为原点)，则a的值为() A.1 B.v2 C.2 D.② 第6页共9页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(26-27高二上广西南宁.阶段检测)圆x2+y2-2x+2y-4=0截直线x+y-2=0所得弦的长度为() A.2 B.4 C.6 D.8 4.(26-27高二上湖南长沙阶段检测)已知圆C:(x-2)2+(0y-1)2=9,直线：(1-3m)x+(m+2)y+1+ 4m=0与C交于A,B两点，则数量积AC·AB的最小值为() A.2 B.4 C.8 D.16 5.(26-27高二上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知直线l:kx-y-3k-4=0与⊙C:x2+y2-6x+2y-6=0 交于A,B两点，当∠ACB=120时，k=() A.封 B.±1 c.±9 D.±5 6.(2627高二上海南海口阶段检测)若过圆C:x2+y2-6x=0内不同于圆心的点P恰好可以作7条长度 为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为() A等 8. C. 0. 7.(多选题)(26-27高二上·广东汕头阶段检测)己知直线l:x-3y=0与圆C:x2+y2-4x=0相交于E, F两点，则() A.圆心C的坐标为(2,0) B.圆C的半径为4 C.圆心C到直线的距离为 5 D.IEF=6V10 5 8.（26-27高二上安徽宣城阶段检测)已知直线过点P(-1,-2),则被圆C:x2+(y+1)2=4截得的弦长 最小值为 题型七：圆的切点弦 1.(25-26高二上河北邯郸期中)若过点P(3,4)向圆0：x2+y2=5引两条切线，切点分别为A,B,则0到 直线AB的距离为() A.月 B.1 C. D.2 2.(22-23高二下河南漯河·期末)设点P为直线1：2x+y-4=0上任意一点，过点P作圆O:x2+y2=1 的切线，切点分别为A,B,则直线AB必过定点() A.(层) B.() c.() D.(你1) 3.（26-27高二上江西九江阶段检测)过直线l:2x+4y-5=0上一点P作圆0：x2+y2=1的两条切线， 第7页共9页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若切点分别为M,N,则MNI的最小值为() A. ®9 C. D.5 4.（23-24高二上山东济宁期中)过点M(0,-4)作圆C:x2+y2+2x-6y+6=0的两条切线，切点分别 为A,B,则直线AB的方程为() A.2x-y+3=0 B.x-7y+18=0 C.2x-5y+5=0 D.x+5y+5=0 5.（24-25高二上广东珠海阶段检测)己知点A(-4,0),P(a,a+4),圆0：x2+y2=4,直线PM,PN分别与 圆O相切，切点为M,N若MR=RN,则AR的最大值为() A.2V2 B.3√2 C.4W2 D.4 6.(25-26高二上山东临沂·期中)设M是圆C1:x2+y2=9上的一个动点，过M向圆C2:x2+y2=4引切线， 两切点间的线段称为切点弦，则当点M在C1上运动时，切点弦所形成的区域的面积为() A.智 B.9 C.20 D.4π 7.(多选题)(26-27高二上江苏准安阶段检测)已知直线1：x-y-4=0和曲线O:x2+y2=4,点A 是直线1上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B,C, 则下列说法正确的是() A.IAB引的最小值为2 B.曲线O上存在2个点到直线1的距离等于2V2-2 C.若曲线O上总存在点D,使得LOAD=30°，则A的横坐标的取值范围是[0,4 D.直线BC过定点(1，-1) 8.(25-26高二上河北沧州·期中)己知圆C的方程为x2+y2=2,点P是直线x-2y-5=0上的一个动点， 过点P作圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为，直线AB过定点 题型八：圆与圆的位置关系 1.(25-26高二下·浙江·开学考试)在平面直角坐标系中，圆C:x2+y2=1与圆D:(x-a)2+y2=4有公共 点，则实数a的取值范围是() A.[-3,-1]U[1,3]B.[-1,3]C.(-∞，-1)U3,+o) D.[-3,1] 第8页共9页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27高二上湖南邵阳阶段检测)己知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x+4)2+(y-3)2=36,则圆C1与圆 C2的公切线（与两圆都相切的直线）条数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.（25-26高二下广东东莞期末)若圆C:x2+y2=1与圆EB:x2+y2-6x-6y+7=0交于M,N两点，则 直线MN的倾斜角为() A.开 B.好 c.- 0.- 4.(26-27高二上·重庆渝中.阶段检测)己知圆C1:x2+y2-2y-4=0与圆C2:x2+y2-4x+2y=0,则两 圆公共弦长为() A.V2 B.V3 C.3 D.23 5.（26-27高二上江苏常州阶段检测)一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12 个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切.此时r可表示为va+√万+c的形式，其中a、b、c均为整 数.问a+b+c是多少？() A.3 B.5 C.7 D.9 6.(26-27高二上安徽宣城阶段检测)己知圆C1:x-1)2+(y+2)2=1,AB为圆C1的一条弦，且|AB|=V3, 若圆C2:(x-4)2+y-2)2=r2(r>0)上存在点P,使得直线PA,PB与圆C1相切，则r的取值范围是() A.[2,+o) B.[2,6] C.[3,+o) D.[3,7] 7.(多选题)(26-27高二上江苏常州阶段检测)已知圆C1:x2+y2-2x=0,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0, 若圆C2平分圆C1的周长，则() A.圆C2的圆心在y=2上 B.m+n+2=0 C.圆C2面积的最小值是π D.己知点A(1,5),B(4,3),则C2A+1C2B1的最小值为5 8.（26-27高二上.宁夏银川阶段检测)己知两圆M:x2+y2=16,圆N:x2+y2-4x+2y=0,过两圆交点， 且圆心在直线2x+y-1=0上的圆的一般方程为 第9页共9页