专题11 圆锥曲线最值、范围（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题11圆锥曲线最值、范围 常考题型·精准突破 题型1 不等关系法求解最值、范围问题 题型2 几何法求解最值、范围问题 题型3 基本不等式法求解最值、范围问题 题型4 函数性质法求解最值、范围问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 不等关系法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 寻找不等关系的突破口 1 . 利用判别式来构造不等式 ， 从而确定所求范围 . 2 . 利用已知参数的取值范围 ， 求新参数的范围 ， 解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系 . 3 . 利用隐含的不等关系 ， 从而求出所求范围 . 4 . 利用已知不等关系构造不等式 ， 从而求出所求范围 . ) 【例1】已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【解】（1）设， 由可得，， 所以， 所以 ， 即，因为，解得：． （2） 第1步：设直线方程，并联立抛物线方程消去，韦达定理写出两根之和与积，及判别式 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 【易错提醒】忽视直线与椭圆有两个交点，从而得到Δ＞0. 第2步：将数量积进行坐标运算，并结合韦达定理，转化为之间的关系 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 第3步：点到直线的距离为，及弦长 设点到直线的距离为，所以， ， 第3步：求的面积的最小值 所以的面积， 而或，当时，的面积． 【变式1】（2026·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【解】（1）依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行， 故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 【变式2】已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【解】（1）由已知， 解得，所以C的方程为 （2）设MN：，， 将直线与椭圆方程联立， 整理得， 经检验， 根据韦达定理， 因为，所以，即， 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得， 【变式3】（2026·新疆·三模）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 【解】（1）设椭圆的方程为， 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，关于原点对称，且直线的斜率为，所以直线的方程为， 因为，是上两点，所以联立 ，解得或， 取，则，， 因为直线与交于，两点， 为了便于讨论，不妨设在直线的上方，所以， 即，且， 则在直线的下方，所以，即 又因为点到直线的距离，点到直线的距离， 所以四边形面积 ， 因为， 所以当时，四边形面积的最大值为. ◆题型2 几何法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义 ， 则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决 . ) 【例2】（2026·河北沧州二模）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，，过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标. 【解】（1）由题意得，且， ，，所以， 整理得曲线. （2） 第一步：说明直线斜率不为0 设，，， 若直线平行于轴，根据双曲线的对称性，可知点在轴上，不符题意， 第二步：设直线方程，并联立双曲线方程消去，韦达定理写出两根之和与积 故设直线：，代入曲线中，得， 则，，则， 第三步：利用三点共线，斜率相等列方程并消参 由，A，三点共线得，即， 同理，由，B，三点共线得， 消去，得， 第四步：结合韦达定理化简 即， 得， 得， 即对任意，，都有成立， 故或， 若，由，可得： 所以即，矛盾， 故，所以. 第五步：直线恒过定点，确定圆的方程 所以直线：恒过点， 则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为， 第六步：数形结合，利用几何意义，求P的坐标 当与重合时，最大，此时轴，：，. 所以当最大时，点的纵坐标为. 【变式1】（2026·山东济南二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得， 即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． （2）（i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为， 直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为， 直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为． 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． (1)若，求证：； (2)求周长的最小值． 【解】（1）依题意，，，则椭圆方程为， 由点P在椭圆上，得点P的坐标满足，即，其中， 则，由，得， 所以． （2）依题意，四边形是平行四边形， 则的周长， 又设，则， 由（1）得，当，即点P落到椭圆的上下顶点时，取得最小值1， 所以的周长最小值为6. 【变式3（2026·山西大同二模）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. 【解】（1）由题意：， ， 由，得，即， 双曲线标准方程：，渐近线为. （2）设直线，设，联立， 消去，整理得：， 由，根据向量性质可知，点为的中点， 故根据中点坐标公式，得：， 由韦达定理得 ， 解方程：，方程无解. 故满足条件的斜率不存在. （3）由双曲线定义，即, 将其代入，得， 点为双曲线右支上动点，根据双曲线焦半径性质， 右支上点到右焦点的距离最小值为， 即，代入上式，得最小值： . ◆题型3 基本不等式法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 巧用基本不等式求最值的关键 利用基本不等式求最值时 ， 关键在于将式子变形为两项和或积的形式 ， 然后用基本不等式求出最值 . ) 【例3】如图，直线分别与抛物线交于和，与x轴分别交于和，直线与的交点为．    (1)当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，．求抛物线C的方程； (2)是否成等比数列？请给予说明； (3)在问题（1）的条件下，若，求面积S的最小值. 【解】（1）由题：抛物线焦点， 又当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，， 当时，，所以：， 故抛物线C的方程为：． （2）第一步：设点的坐标，写出直线的方程 设 即 若，则直线的方程为， 令，得， 第二步：分别表示出 即，若，则，故． 同理：，所以， 第三步：利用等比中项的性质证结论 所以， 即成等比数列． （3）第一步：根据垂直条件结合（2）中结论求 由（1）知：抛物线C的方程为． 由（2）知，若， 则（舍）或， 所以， 在（1）的条件下：， 第二步：列出面积的表达式，并用基本不等式求最值 所以的面积为， 当且仅当时取等号； 故的面积最小值为8．    【变式1】（2026·湖南长沙一模）已知在平面直角坐标系xOy中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹G的方程： (2)过点作斜率为k的直线与M的轨迹G相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线QA与直线QB的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【解】（1）由已知可得，整理得，即， 化简可得，即动点的轨迹的方程为； （2）（i）过点斜率为的直线方程为， 由得， 则，得或， 设，则，， 设， 由得：，整理得：， 所以化简得，对任意满足条件的恒成立， 故，即Q点坐标为； （ii）Q到直线AB的距离，， 因此面积 由韦达定理 令，则，代入得： 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 因此，即面积的最大值为. 【变式2】已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C上的点到直线距离的最大值. (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2， 可得，，又由， 可得椭圆C的标准方程为； 设椭圆C上的点，， 点到直线的距离为 ， 其中，故有. （2）设直线的方程为， 设点A，B的坐标分别为，点Q的坐标为，如下图所示： （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得， 故点Q的坐标为； （ii） 令，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 故的面积的最大值为． 【变式3】已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 【解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2）由题意得，解得， 椭圆方程，联立，消元得， ，可得， 设，，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为． 【变式4】（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. 【解】（1）已知椭圆的上顶点为，所以， 因为离心率，且， 所以，， 则椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线过点，直线方程为，此时、、三点共线，不满足题意， 所以直线斜率必存在，设直线方程为， 联立得， ， 解得方程两根为，， 因此，所以点坐标为， 因为，所以设， 则，，即 ， 直线的方程为 ，所以点到直线的距离为， 而，所以， ， 所以， 当时，，当时，有， 所以，当且仅当时等号成立. 所以最大值为.    ◆题型4 函数性质法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 利用函数性质法求最值 ( 范围 ) 的方法 根据已知条件设出自变量 ， 构造目标函数 ， 利用二次函数或导数等分析函数的单调性 ， 从而确定最值 ( 范围 ) . ) 【例4】（2026·哈尔滨模拟）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F（1，0），过点P（2，1）的直线l与抛物线交于A，B两点. （1）求抛物线C的方程； （2）求|AF|·|BF|的最小值. 【解题指导】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设直线l的方程为x-2=m（y-1），A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义以及根与系数的关系求得|AF|·|BF|关于m的表达式，对表达式求最小值即可. 【解】（1）因为=1，所以p=2，则y2=4x. （2）由于直线l与抛物线交于A，B两点，则直线l不与x轴平行， 设直线l：x-2=m（y-1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则|AF|=x1+=x1+1，|BF|=x2+=x2+1，所以|AF|·|BF|=（x1+1）·（x2+1） =（my1+3-m）（my2+3-m）=m2y1y2+（3m-m2）（y1+y2）+m2-6m+9， 联立得y2-4my+4m-8=0， Δ>0，则y1+y2=4m，y1y2=4m-8， 代入可得|AF|·|BF|=5m2-6m+9=5+≥， 【点拨】构造二次函数，分析函数的单调性，从而确定最值（范围）. 所以|AF|·|BF|的最小值为，此时m=. 【变式1】（2026·四川成都·三模）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 【解】（1）由椭圆知， 故，所以的离心率； （2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上， 由，联立消去得， 即， 也即， 将代入上式化简，得， 因为， 故切线的方程为； ②由①知，的方程为，当时，，则得， 由于，故直线的斜率， 由于，故直线的斜率， 又与交于点， 所以， 设，则， 化简得的轨迹方程为， ， 所以当时，的最小值为． 【变式2】（2026·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 【变式3】（2026·山西忻州·模拟）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值，其中为坐标原点． 【解】（1）设． 因为弦的中点为，所以， 又因为两点在椭圆上，所以， 两式相减得， 当时，，，即， 由于弦过点，，所以， 因此，整理得①， 又因为是弦的中点，所以必在椭圆内， 所以，再与①联立消去得：，即. 再由①得，解得，因此. 因此点M的轨迹方程为（）． （2）因为直线与椭圆交于两点，所以直线的斜率存在. 设过点的直线为． 代入椭圆方程，得． 整理为． ，得. ，， 所以由弦长公式得， 再由点到直线的距离， 所以， 令，．则． 记．求导可得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，取得最大值． 所以． 因此，当，即时，面积的最大值为． 综合攻坚·知能拔高 1.（2026·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【解】（1）依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行， 故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 2.（2026·山东济南二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【解】（1）由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得， 即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． （2）（i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为， 直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为， 直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为． 3．（2026·陕西咸阳·模拟）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 【解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为． 因为，所以直线CD的斜率为． 因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，． 由，消去y得． 则， 可得，． 则， 同理可得． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，，，或者，， 所以． 因为，所以四边形ACBD面积的最小值为． 4．（2026天津滨海联考）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 【解】（1）由椭圆的长轴为4，得，解得， 又离心率，所以， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设，则， 设直线AB的斜率为k，由题意且存在， 则直线BD的斜率， 则直线BD的方程为，整理得， 联立，得， 则，解得， 代入直线BD方程，可得， 则， 所以， 又是直线AB到直线AE的角， 则， 因为，所以 当且仅当，即时等号成立， 又，所以的最大值为. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，在曲线上，，且的外心在直线上． （i）若直线过点，求直线的方程； （ii）求点到直线距离的最大值． 【解】（1）设，， 由题得①， 设，则，代入①可得，即， 所以曲线的方程为． （2）如图所示： 由题可设直线方程为，，， 联立得， 则即，，， 由条件中垂线方程为即 ②， 同理可得的中垂线为③， 则由题联立②③消去可得，即（*） （i）由直线过点得，则由（*）可得， 所以直线的方程为； （ii）方法一：， 由可得，， 令，则 设，则， 令，因为，所以解得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，取不到， 所以的最大值为，当时等号取到，即. 方法二：设外心，到、、距离相等得， 化简得， 所以， 则，同理， 、是两根， 则有可得（*）， 由可得，， 令，则 设， 则， 令，因为，所以解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，取不到， 所以的最大值为，当时等号取到，即. 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 【解】（1）设，则到轴的距离力，，， ，，即 若曲线为椭圆，则，解得，且. （2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即， 设， 因为两点在双曲线上，所以 两式相减得，得，即， 所以，因为是的垂直平分线，有，所以， 即，化简得， 因为的中点M的横坐标为x，所以故． （ii）    由于，故可知直线斜率存在， 设直线的方程为：，由， 消去并整理得, 则，，即， 所以， 所以， 于是点的坐标为，． 易知，所以，解得：， 代入得，得或， 由在双曲线的右支上得：，得，即， 且，综上得，， 又 所以 因为，所以，故,所以， 所以，所以 7．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 8．（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【解】（1）设，则满足，又可设切线， 则联立化简得. 由，解得， 所以直线，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. （2）由（1）可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 9．（2026·山东济南·模拟预测）已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 【解】（1）∵等轴双曲线E过点， ①若E的焦点在x轴上，不妨设，代入，可得， ∴， ②若E的焦点在y轴上，不妨设，代入，可得，不符题意， 综上所述，. （2）设，，，， 联立可得， ∴，，解得， ∴，， 显然双曲线E的渐近线方程为，不妨设C为直线：与直线l的交点， 联立可得，同理， ∴， ∵，∴， ∴的取值范围为. 10．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 【解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 11．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 【解】（1）设，. 显然直线不与轴垂直，故设直线， 由得，，则，. ， 解得. （2）由抛物线的定义可知，， ， 即为定值. （3）由题意知点、在直线上. 由上面的过程可知. ，的方程为，由得. 同理的方程为，由得. ， 设，，则， ， ∴当，即，也即时，取得最小值为. 12．（2026·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； (3)若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 【解】（1）由题意，， 当直线的斜率为1时，直线的方程为，设， 联立，得, 则，, 所以，即， 所以抛物线C的方程为. （2）由（1）知，， 设，直线， 联立，可得， 则， 设直线， 联立，得， 则，，即， 同理可得，即， 又，且， 所以， 将，，代入得， 又，则，又，则. （3）因为直线、的倾斜角分别为、， 所以，， 由，，， 则， 则， 若要使最大，则，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 13．（26-27高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 14．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O． (1)求C的方程； (2)已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值． 【解】（1）设，，（显然斜率不能为0） 设，联立方程 消元整理得：， 则，. 因为以为直径的圆过点，所以，， 则，即，解得， 所以，解得，所以的方程为. （2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列. 画出题目草图，如下. ①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设， 则，. 与抛物线的方程联立得，，中心. ②当三边的斜率都存在时，，. 又，所以， 化简可得， 同理可得，， 三式相加得. 因为，，是上的三点，所以， 又， 所以. 设，则，，代入上式得. 又①也满足，所以的轨迹方程为. 当，直线的斜率为，当且仅当，即时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率. 综上，直线斜率的最大值为. 15．（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【解】（1）由题意，如图， ∵， ∴，又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直，又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2）由得， ∵与交于两点，∴， 设，，则， 又∵，∴， ∵的斜率为，∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 16．（2026·山东菏泽二模）已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 【解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为. 解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0， 设过点M的抛物线的切线方程为， 将其代入，得， 由，得， 故过点M的抛物线C的切线方程为. 解法二 ：当时，由得，而， 所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1， 故过点M的抛物线C的切线方程为，即； （2）设，，则，同理， 故，化简得. 易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为， 将其代入，得，所以，， 所以，即， 直线AB的方程为，直线AB过定点. 连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大， 故点M到直线AB距离的最大值为. 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 (1)设直线的方程为，求线段的长 (2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 (3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【解】（1）由抛物线方程知：，则直线过焦点， 设， 由得：，， . （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则，解得：； ，， ，，， ， 解得：（满足）， 直线得方程为：或. （3） 由题意知：直线斜率不为零，可设，，，， ，； 由得：，则，即， ，，， 由得：， 即，，， ，，即的取值范围为. 18．（26-27高二下·上海·阶段检测）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 【解】（1）如图所示 设， 当直线的斜率是时，的方程为，即， 由，消化简整理，得， 所以，① 又．，② 由①②和得，，， 则抛物线的方程为； （2）设，的中点坐标为， 由，消去化简整理，得， 所以， 所以，， 所以线段的中垂线方程为， 所以线段的中垂线在轴上的截距为， 由得或，可得， 所以的取值范围为． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于，求m的取值范围． 【解】（1）设双曲线的方程为 由已知条件可知：， 再由，得，故所求的双曲线方程为. （2）设， 由，得， 由题意可知解得. （3）由（2）得， 的中点的坐标为， 设直线的方程为，代入点，得， . 21．（2026·陕西铜川·二模）已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 【解】（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）设的内切圆半径为，而的周长为，由，得， 因此的面积最大时，其内切圆半径最大，设， 由消去x得：，则， 于是， 令，则，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的内切圆的半径最大时. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11圆锥曲线最值、范围 常考题型·精准突破 题型1 不等关系法求解最值、范围问题 题型2 几何法求解最值、范围问题 题型3 基本不等式法求解最值、范围问题 题型4 函数性质法求解最值、范围问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 不等关系法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 寻找不等关系的突破口 1 . 利用判别式来构造不等式 ， 从而确定所求范围 . 2 . 利用已知参数的取值范围 ， 求新参数的范围 ， 解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系 . 3 . 利用隐含的不等关系 ， 从而求出所求范围 . 4 . 利用已知不等关系构造不等式 ， 从而求出所求范围 . ) 【例1】已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【变式1】（2026·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【变式2】已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【变式3】（2026·新疆·三模）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. ◆题型2 几何法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义 ， 则考虑利用直线与曲线的定义、图形、几何性质来解决 . ) 【例2】（2026·河北沧州二模）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，，过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标. 【变式1】（2026·山东济南二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【变式2】已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． (1)若，求证：； (2)求周长的最小值． 【变式3（2026·山西大同二模）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. ◆题型3 基本不等式法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 巧用基本不等式求最值的关键 利用基本不等式求最值时 ， 关键在于将式子变形为两项和或积的形式 ， 然后用基本不等式求出最值 . ) 【例3】如图，直线分别与抛物线交于和，与x轴分别交于和，直线与的交点为．    (1)当为C的焦点F，且直线与x轴垂直时，．求抛物线C的方程； (2)是否成等比数列？请给予说明； (3)在问题（1）的条件下，若，求面积S的最小值. 【变式1】（2026·湖南长沙一模）已知在平面直角坐标系xOy中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹G的方程： (2)过点作斜率为k的直线与M的轨迹G相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线QA与直线QB的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【变式2】已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C上的点到直线距离的最大值. (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【变式3】已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 【变式4】（2026·江西南昌·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值. ◆题型4 函数性质法求解最值、范围问题 ( 解题贴士 ： 利用函数性质法求最值 ( 范围 ) 的方法 根据已知条件设出自变量 ， 构造目标函数 ， 利用二次函数或导数等分析函数的单调性 ， 从而确定最值 ( 范围 ) . ) 【例4】（2026·哈尔滨模拟）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F（1，0），过点P（2，1）的直线l与抛物线交于A，B两点. （1）求抛物线C的方程； （2）求|AF|·|BF|的最小值. 【变式1】（2026·四川成都·三模）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 【变式2】（2026·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【变式3】（2026·山西忻州·模拟）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)求面积的最大值，其中为坐标原点． 综合攻坚·知能拔高 1.（2026·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 2.（2026·山东济南二模）已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 3．（2026·陕西咸阳·模拟）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 4．（2026天津滨海联考）已知椭圆的长轴为4，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，在曲线上，，且的外心在直线上． （i）若直线过点，求直线的方程； （ii）求点到直线距离的最大值． 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 7．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 8．（2026·江苏·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 9．（2026·山东济南·模拟预测）已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 10．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 11．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，以为圆心，以1为半径作圆，过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，其中，在第二象限. (1)若，求的斜率； (2)证明：为定值； (3)为坐标原点，若点，分别在直线，上，求的最小值. 12．（2026·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； (3)若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 13．（26-27高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 14．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O． (1)求C的方程； (2)已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值． 15．（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 16．（2026·山东菏泽二模）已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 (1)设直线的方程为，求线段的长 (2)设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 (3)设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 18．（26-27高二下·上海·阶段检测）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于，求m的取值范围． 21．（2026·陕西铜川·二模）已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点. (1)求椭圆的标准方程： (2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $