第二章·二次函数·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章·二次函数·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能正确识别二次函数并根据定义求字母参数的取值 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，会用配方法求开口、对称轴、顶点与最值 · 能由抛物线图象判断 a、b、c 及判别式 Δ 的符号，并处理图象翻折、平移等变换问题 · 理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，会由图象求方程根与不等式解集 · 会用待定系数法求二次函数解析式，并解决拱桥、投球、销售利润等实际最值问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中 x 是自变量 a 是二次项系数，决定开口方向与大小；a=0 时退化为一次函数或常数函数，故 a≠0 是判定关键 求参数时需同时满足：自变量最高次数为 2、二次项系数不为 0，两者缺一不可 二次函数的自变量取值范围一般为全体实数，实际问题中要使实际意义有意义 概念辨析例题：若函数 y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1 是关于 x 的二次函数，求 m 的值。 答案：m=-2 解析：由二次函数定义，需 m2-2=2 且 m-2≠0。由 m2-2=2 得 m=±2；又 m-2≠0 即 m≠2，故 m=-2。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=-，顶点坐标为（-, ） a>0 开口向上，顶点为最低点，函数有最小值；a<0 开口向下，顶点为最高点，函数有最大值 在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小（a>0）或增大（a<0），右侧相反，即左减右增或左增右减 用配方法可把一般式化为顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点为（h,k），便于直接读出对称轴与最值 概念辨析例题：求抛物线 y=-2x2+4x+1 的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。 答案：开口向下，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1,3），当 x=1 时 y 有最大值 3。 解析：配方得 y=-2(x-1)2+3。因 a=-2<0 开口向下，对称轴为 x=1，顶点（1,3），最大值为 3。 ☆ 3.二次函数的图象变换与系数关系 开口方向由 a 决定；对称轴位置由 a、b 共同决定（左同右异）；与 y 轴交点位置由 c 决定 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 图象平移遵循「上加下减常数项，左加右减自变量」：向右平移 m 个单位把 x 换成 x-m a、b 同号对称轴在 y 轴左侧，a、b 异号对称轴在 y 轴右侧；x=1 时 y=a+b+c，x=-1 时 y=a-b+c 概念辨析例题：把抛物线 y=x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求平移后的解析式。 答案：y=(x-3)2-1=x2-6x+8 解析：向右平移 3 个单位把 x 换成 x-3，得 y=(x-3)2；再向下平移 1 个单位减 1，得 y=(x-3)2-1。 ☆ 4.二次函数与方程、不等式及实际应用 二次函数 y=ax2+bx+c 中，令 y=0 即得一元二次方程 ax2+bx+c=0，抛物线与 x 轴交点的横坐标即方程的根 ax2+bx+c>0（或<0）的解集，对应抛物线在 x 轴上方（或下方）部分对应的 x 的取值范围 实际问题中先建立二次函数模型，再利用顶点坐标求最大（小）值，并检验自变量取值范围 拱桥、投球、销售利润、图形面积等问题，关键是设自变量、列解析式、配方求最值 概念辨析例题：已知抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，求 A、B 两点间的距离。 答案：AB=4 解析：令 y=0，即 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，故 A（-1,0）、B（3,0），AB=3-(-1)=4。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 必须 a≠0，否则不是二次函数 顶点坐标 （-, ） 对称轴为直线 x=- 开口方向 a>0 向上；a<0 向下 |a| 越大开口越窄 判别式 Δ Δ=b2-4ac Δ>0 两交点，Δ=0 一切点，Δ<0 无交点 解析式三种形式 一般式/顶点式 y=a(x-h)2+k/交点式 根据已知条件灵活选择 实际最值 在顶点处取最大（小）值 注意自变量的实际取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与定义（第1-10题） · 紧扣定义：先看自变量最高次数是否为 2，再检查二次项系数是否不为 0 · 含参数时列方程（次数=2）与不等式（系数≠0）联合求解，注意取舍 · 判断一个函数是否为二次函数，要先化简整理再看最高次项 1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如 是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、是二次函数，故选项B符合题意； C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）若抛物线有最小值，则常数m的值为__________． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的定义以及二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】解：∵抛物线有最小值， ∴（开口向上）， 解得， 即， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的图象性质，抛物线有最小值，即抛物线开口向上，二次项系数大于0． 6．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若二次函数的图象开口向下，则的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的数均可） 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次函数图象开口方向与二次项系数的关系，得到的取值范围，任取范围内一个符合要求的数即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 解得， ∴可以取，答案不唯一． 7．（18-19九年级上·山东烟台·阶段检测）当________时，函数是二次函数． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查根据二次函数的定义求字母的值，二次函数中未知数的最高次数是2，二次项的系数不能为0，由此列式求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 又 ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象开口向下，则______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的开口方向和二次函数的定义即可列方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象，二次函数的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 9．（24-25九年级上·山东滨州·阶段检测）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点； (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)，抛物线有最低点， (3)，抛物线有最大值，其最大值为 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题； （2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，据此解答便可； （3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答便可． 本题主要考查了二次函数的定义的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，关键是根据定义列出的不等式组． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数 ∴， 解得． 当时，原函数是二次函数． （2）解：根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上， ， 即， 根据第（1）问得， ∴． 该抛物线的解析式为， 抛物线的最低点为， 故当时，抛物线有最低点，其最低点坐标为， （3）解：根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下， ， 即， 根据第（1）问得， ∴． 该抛物线的解析式为， 其函数最大值为， 故当时，抛物线有最大值，其最大值为． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 【考点2】二次函数的图象与性质（第11-19题） · 优先配方成顶点式 y=a(x-h)2+k，直接读出对称轴、顶点与最值 · 利用对称轴比较函数值大小：离对称轴越近函数值越大（开口向上时） · 给定区间求最值时，先判断对称轴是否在区间内，再比较端点与顶点 11．（24-25九年级上·山东日照·期末）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质可进行求解．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得的对称轴为直线，且开口向下， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大， ， ， ， ， 故选：B． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：根据图表先找到二次函数的对称轴为，即，由图表的数据和二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以可得，易得，故选项A错误，不符合题意； 由表格可知当时，，由二次函数图象的对称性可知当时，，所以的解集是，故选项B错误，不符合题意； 由表格和图象的性质可知当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以；因为，所以，同理易得，则在该函数图像上，故选项C错误，不符合题意； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值，所以，即必有，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质． 13．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数（为常数）在自变量的值取的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由二次函数顶点的函数值为小于给定最小值，可知对称轴不在区间内，分两种情况讨论求解． 【详解】解：二次函数开口向上，当时，取得最小值， ∵当时，的最小值为， ∴对称轴不在的范围内， ①当时，在内，随的增大而增大， ∴时，取得最小值， 代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴时，取得最小值， 代入得， 解得或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 14．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若二次函数的图象过，，，三点，则，，的大小关系是______（用“＜”连接）． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 而点C关于对称轴对称的另一点， ∵二次项系数为负，抛物线开口向下， ∴当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵， ∴； 故答案为：． 15．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）当时，函数最大值与最小值之差为______ 【答案】16 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】首先将二次函数配方成顶点式，然后得到二次函数开口向下，当时，y取得最大值4，然后得到当时，y取得最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∵二次项系数为 ∴二次函数开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ∴当时，y取得最大值4 ∵，， ∴当时，y取得最小值 ∴ ∴当时，函数最大值与最小值之差为16． 16．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由抛物线求出点、点，由点求出双曲线，再求出，得到个单位一循环，求出、的最大值即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴令，则， ∴， 又∵点是抛物线的顶点， ∴， ∴, ∵点B在双曲线上， ∴， ∴双曲线解析式为， ∵两点的纵坐标相等， 当时，， ∴点， ∵， 所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等， 当时，, 所以， ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， 所以n的最大值为12， 所以最大值为． 故答案为． 17．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】求出点C的坐标可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，据此求出对称轴即可求出点A的坐标． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵点在该抛物线上且坐标为， ∴点C和点D关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 18．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 解：列表： 0 1 2 3 0 0 描点、连线，画图： (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到二次函数的顶点； （2）利用描点法画函数图象； （3）根据二次函数的图象直接解答即可． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）略 （3）解：由图象得，当时，． 19．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数． (1)二次函数顶点坐标是 ； (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； (3)根据图象直接回答：当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (4)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 函数图象如图： (3)增大 (4) 【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、画y=ax²+bx+c的图象、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据顶点式直接可求顶点坐标； （2）把，代入函数表达式求解函数值，即可填表，再描点、连线，即可作图； （3）根据函数图象即可求解； （4）可得时，函数取得最小值，再计算当，时的函数值，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵． ∴顶点坐标为． （2）解：当时，，当时，， 函数图象见答案； （3）略 （4）解：当时，函数取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【考点3】二次函数图象与系数的关系（第20-27题） · 由开口定 a，由对称轴位置定 b（左同右异），由与 y 轴交点定 c · 关注特殊点：x=1 看 a+b+c，x=-1 看 a-b+c，结合图象逐项判断 · 多结论判断题把每个结论转化为 a、b、c、Δ 的符号关系逐一验证 20．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，判定一次函数图象经过的象限，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的性质判定，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：二次函数的图象如图所示， ∴， ∴一次函数的图象一定经过第一、二、四象限， 故选：C ． 21．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 22．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 23．（23-24九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】当时，a、b同号，分两种情况，结合两个函数图象分析即可． 【详解】解：∵， ∴或； 当时，对于函数，抛物线开口向上，对于函数，直线从左往右是上升的，直线与y轴的交点在y轴上方； 当时，对于函数，抛物线开口向下，对于函数，直线从左往右是下降的，直线与y轴的交点在y轴下方； 观察四个选项可得：选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 24．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项A、B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故A、B结论错误，不符合题意； 当时，， ，故C结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故D结论正确，符合题意 故选D． 25．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、图象法解一元二次不等式、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 26．（23-24九年级上·广东潮州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是_______(填序号)． 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，注意数形结合；利用抛物线与y轴的交点位置得到，抛物线开口向下得，利用对称轴在y轴的右侧得，于是可对①进行判断；根据抛物线与轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线可判断④；将方程变形为，根据交点坐标可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时，， ∴，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以④正确； 由可得， ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标不一定为3， 只有当时，则，此时点D的横坐标为3，否则不为3， ∴方程的一个根为0，另一个根不一定为3，所以⑤错误． 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 27．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 【考点4】二次函数与一元二次方程及不等式（第28-34题） · 抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根 · 不等式解集看图象：>0 取 x 轴上方部分，<0 取 x 轴下方部分 · 已知一个交点与对称轴，利用对称性求另一个交点坐标 28．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，则关于的方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，根据抛物线与轴交于点，得出令，即，解得，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴令，即，解得， ∴关于的方程的解是， 故选：C 29．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集、求抛物线与y轴的交点坐标 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 30．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 设另一个交点的坐标为，先求出二次函数的对称轴，再根据对称性即可得． 【详解】解：设另一个交点的坐标为， ∵二次函数的对称轴为直线 ，且与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， 则另一个交点的坐标为， 故答案为：． 31．（22-23九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 32．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线的对称轴为，若关于x的方程在范围内有实数根，则t的取值范围是______． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意并利用二次函数的性质进行解答．由题意根据抛物线的对称轴为直线，可以求得b的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当时，y的取值范围，然后令，即可转化为方程，从而可以得到t的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴得：， ∴， ∴当时，y的取值范围是， 当时，，即， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根， ∴ ∴t的取值范围是， 故答案为：． 33．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 34．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数． (1)分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)利用函数图象回答： ①当时，的取值范围是 ②当时，的取值范围是 ③若方程有实数根，则的取值范围是 ④若不等式无解，则的取值范围是 ⑤写出不等式的解集：． 【答案】(1)与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为 (2)①；②；③；④；⑤或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）分别令，，可求出函数图象与坐标轴的交点，即可求解； （2）①直接根据（1）的函数确定x轴上方函数图象所对应的自变量的取值范围即可； ②根据函数确定所对应的y的取值范围即可； ③直接根据函数图象求解即可； ④直接根据函数图象求解即可； ⑤直接根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， 该函数图象与轴的交点坐标为，， 将代入，得， 与轴的交点坐标为， x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 画出这个函数的图象略； （2）①由图象可知，当时，x的取值范围是． ②观察图象得：二次函数的图象的顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 将代入，得， 当时，y的取值范围是． ③∵方程有实数根， ∴二次函数的图象与直线有交点， ∴t的取值范围是； ④∵不等式无解， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∴n的取值范围是． ⑤∵， ∴此时二次函数的图象位于直线的下方， 观察图象得：此时或， 即不等式的解集为或． 【考点5】二次函数解析式的确定与平移（第35-40题） · 已知任意三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与 x 轴两交点设交点式 · 平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，平移不改变形状与开口 · 求平移后解析式先定顶点，再用顶点式写出 35．（2026·安徽安庆·模拟预测）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 36．（25-26九年级上·山东济宁·期中）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，由抛物线开口向下得，，经过点可得，取，可得抛物线解析式为． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 由题意可知，图象开口向下，故， ∵图象经过点，可得， ∴二次函数的表达式为（其中）， 取，可得二次函数的表达式为． 故答案为： 37．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【详解】解：∵， ∴将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为． 38．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图，反比例函数 的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求k和a的值． (2)若，则x的取值范围是____________． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、求反比例函数解析式 【分析】本题考查求反比例函数和二次函数的解析式，利用函数图象解不等式，掌握相关的知识是解题的关键． （1）把点的坐标分别代入反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求解即可； （2）观察图象，找出反比例函数在二次函数下面的部分，再确定这部分图象对应的自变量的取值范围，据此求解． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过点 ∴． ∵二次函数，的图象经过点， ∴ 解得： ． （2）观察图象可得：时，x的取值范围是：或， 故答案为：或． 39．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查求二次函数解析式，函数图象与x轴交点坐标的求法，函数图象的平移，关键是用待定系数法求函数表达式，再求与x轴的交点坐标，根据平移特点表示出平移后的坐标． （1）将点代入二次函数，求出b的值，进而表示出该二次函数的表达式； （2）令求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移特点写出平移后与x轴的交点坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）令，则， 整理得， 解得，， 原抛物线与x轴的交点坐标分别为，， 二次函数图象沿x轴向右平移1个单位， 平移后的图象与x轴的交点坐标分别为，． 40．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为___________； (4)该函数图象向上平移___________个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、画y=ax²+bx+c的图象、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点、连线，即可作图； （3）（4）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象经过点、，可得： ， 解得； （2）解：由（1）可知：二次函数的解析式为，列表如下： x ….. 0 ….. y ….. 3 0 0 3 ….. 该二次函数图象见答案； （3）解：由图象可知：当时，随的增大而增大， ∴的最小值为； （4）解：由图象可知：该函数的顶点坐标为，故该函数图象向上平移1个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 【考点6】二次函数的实际应用（第41-47题） · 建立坐标系，把实际数据转化为点的坐标，用待定系数法求解析式 · 最值问题配方后看顶点，注意自变量的实际取值范围对最值的影响 · 拱桥、投球、利润问题关键是读懂题意、正确列式 41．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、求抛物线与x轴的交点坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】实心球落地时高度为，即求抛物线与轴正半轴交点的横坐标，令解方程即可； 【详解】解：由题意可知，当实心球落地时，， 令，得， 解得，， 表示水平距离，， ∴， ∴为． 42．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 【答案】7 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据竖直上抛运动的高度公式，代入已知值得到二次函数顶点式，利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即该小球达到的离地面的最大高度为． 故答案为：7． 44．（24-25九年级上·山东淄博·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 【答案】(1) (2)28元；48400元 (3)当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可； （2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解； （3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； （2）解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克， ∴每件利润为元，且销售量为， ∴， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，利润最大，最大利润为元； （3）解：∵，日获利不低于43500元， ∴当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， ∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元． 45．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图1，小明用一张边长为的正方形硬纸板设计一个无盖的正四棱柱糖果盒，从该正方形硬纸板的四个角处分别剪去一个形状大小相同且边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为．        图1               图2                    图3 (1)请直接写出无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的表达式，及变化过程中的自变量和因变量； (2)为探究y随x的变化规律，小明根据课堂中已经学习的《变量之间的关系》进行了如下探究： ①小明用表格表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系，如下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 0 12.5 m 13.5 n 2.5 0 则__________，__________； ②小明把①的表格中x，y的各组对应值作为数对确定了相应点的位置，并通过描点和连线作出了表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间关系的图象，如图3； (3)利用图象解决： ①该糖果盒的最大容积是__________； ②当该糖果盒的容积为时，请估计糖果盒的底边长a的值．（保留一位小数） 【答案】(1)（或），是自变量，因变量； (2)①，； (3)①该糖果盒的最大容积是16；②估计糖果盒的底边长的值为5.2或2.6． 【知识点】列二次函数关系式、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据长方体的体积公式可以列出关于的函数表达式； （2）分别将和2代入函数关系式可求出的值； （3）根据数形结合的思想可直接从图象中得出结论； 本题考查了函数的性质，数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想． 【详解】（1）解： 是自变量，因变量 （2）①在中 当时，；当时， ，； （3）①结合图象可知： 该糖果盒的最大容积是16； ②结合图象可知： 当该糖果盒的容积为时 估计糖果盒的底边长的值为5.2或2.6． 46．（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①； ②； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③略 （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 47．（25-26九年级上·山东·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2) 自行车车棚面积最大可达到， 说明： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为：  ；； （2）略 【考点7】二次函数综合（第48-52题） · 综合题先求解析式，再把几何条件（面积、相似、最短路径）转化为坐标关系 · 最短路径利用对称性把折线段拉直，再求直线与对称轴交点 · 动点问题设横坐标为参数，用坐标表示线段长，结合方程或不等式求解 48．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)、切线的性质定理 【分析】由题意，推出的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当于时，的值最小，据此求解即可； 【详解】解：对于抛物线， 令，得到， ， 令， 解得：或2， ， ∵是切线， ， ， ， 故的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当于时，的值最小， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 49．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数对称性求最短路径 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； （3）连接，根据列式计算即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点 ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴； （3）解：连接， ∵，，， ． 50．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与直线交于点A，C． (1)求点A，点C的坐标； (2)不等式的解集为 ； (3)若点M在y轴上，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别令，进行求解即可； （2）根据函数图象进行求解即可； （3）由题意易得，设，则，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：令时，则有，解得：，令时，则有； ∴； （2）解：由图象可知：当时，则x的取值范围为或； （3）解：当时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴或． 51．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点C，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求角的余弦值、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）过点作，根据二次函数的解析式求出点、、的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出、、的长度，利用三角形的面积公式求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，根据余弦的定义即可求出结果． 【详解】（1）解：点在二次函数的图象上， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作， 当时，可得：， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为， 点的坐标为， 点的坐标为， ，，， ， ， ， ， 52．（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； (3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)m的变化范围为 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、已知两点坐标求两点距离、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把点和点代入，得到，解方程即可； （2）表示出三边平方，，，，当时，则，可得，解方程即可； （3）当在左侧时，证明，得到，即，即可求解；当在右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线，与轴交于点和点，代入得： ，解得：， ； （2）解：可得， 当时，， ∴点， ∴， ， 当时， ∴， ∴， 解得：或（舍） ； （3）解：由（1）知，， ，，， 过作于点，则， 如图2.1，当在左侧时， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 设，则， ， 即， 关于的方程有解，， 得且； 当与重合时，； 如图2.2，当在右侧时，中，，，即， 作交轴于点，则， ， ， 即为点时，， ， 综上，的变化范围为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 💯 课后巩固 复习建议 · 先把教材上二次函数的定义、三种解析式形式和顶点公式整理成一页纸，每天默写一遍 · 每种题型先独立做，再对照【详解】用红笔订正，重点弄懂错在定义、配方还是数形结合 · 把 7 个考点的典型例题重新做一遍，特别注意含参数分类讨论和区间最值两类易错点 · 限时 40 分钟完成一套二次函数综合卷，训练选择、填空、解答三类题的时间分配 · 整理错题本，把符号判断、图象平移、实际最值三类错题各抄 2 题并写出错因 【作业1】（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．2或 B． C．0或1 D．2 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据自变量的次数等于2且系数不等于0列式计算即可． 【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴且， 解得． 故选B． 【作业2】（22-23九年级上·山东威海·期末）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的概念：二次函数的一般形式为，其中，且a，b，c为已知数；根据二次函数的概念即可判断． 【详解】解：A、当时，它不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故不符合题意； C、右边不是整式，故不符合题意； D、由二次函数的概念知，是二次函数，故符合题意； 故选：D． 【作业3】（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求x轴与抛物线的截线长、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 【作业4】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 【作业5】（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、求抛物线与x轴的交点坐标 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 【作业6】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数的图象上有两个点，且两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】先求出抛物线对称轴，开口方向，再利用二次函数的对称性与增减性逐一判断4个结论． 【详解】解：，对称轴为直线，开口向上， ①，，两点关于直线对称，不是抛物线对称轴，，，错误； ②，，两点关于直线对称，，，正确； ③，在对称轴右侧，随的增大而增大，，，，，错误； ④，在对称轴左侧，随的增大而减小，，，，，正确， 综上正确的是：②④． 【作业7】（2025·江苏无锡·三模）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，由对称轴为轴，可设二次函数为，由开口向下，得；代入点可得与的关系，从而写出表达式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 抛物线开口向下， ， 又抛物线经过点， 代入得，即； 取，则， 解得， 函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【作业8】（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）若二次函数，则________． 【答案】 2 【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，函数需满足x的指数为2且二次项系数不为0，列式解答即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：． 故答案为：2． 【作业9】（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，运用配方法将所给函数解析式化为顶点式，然后确定对称轴即可． 【详解】解：， ∴二次函数化为顶点式为，对称轴是直线， 故答案为：；． 【作业10】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程． 利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线开口向下， 当时，． 故答案为：． 【作业11】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数与自变量x的部分对应值如表： 现给出下列说法： ①该函数开口向下  ②函数图象的对称轴是直线  ③当时，  ④ 其中正确的结论有_______________．（只需写出序号） 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查待定系数法与二次函数的图象性质：由三对对应值求出解析式后，由 的符号判断开口方向，由 求对称轴，利用对称性求函数值， 的值直接计算；注意对称轴是直线 而不是 ，容易误判②． 【详解】解：把、、代入，得 ， ∴， ∴． ①∵，∴该函数开口向下，正确； ②对称轴为直线，不是直线，错误； ③∵ 与 关于对称轴对称， ∴当时，，正确； ④∵， ∴④正确； ∴正确的结论是①③④． 【作业12】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意确定点和点的坐标，设抛物线顶点式解析式，代入坐标求出参数和，进而得到顶点纵坐标即为所求高度. 【详解】解：由题意可知，抛物线关于轴对称， ，为中点， ，即点的坐标为， 通风管距离底部，且， 点的纵坐标为，横坐标为，即； 设抛物线的解析式为， 将，代入得 ，解得 ； 抛物线解析式为， 顶点的坐标为； 拱架最高点距底部的高度为. 【作业13】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】求出在内，二次函数的增减性，进而求出最大值与最小值，由此即可得． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，的最小值为0，最大值为9， ∴． 【作业14】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据二次项系数判断开口方向，提出二次项系数，把解析式配成顶点式的形式，直接读出对称轴和顶点坐标． （2）根据二次项系数判断开口方向，确定二次函数一般式中a、b、c的值，代入顶点坐标公式得出顶点坐标，进而得到对称轴． 【详解】（1）解:∵， ∴抛物线的开口向上， ∵， ， ， ， ， ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解:对比二次函数一般式， 可得、、， ∵， ∴抛物线的开口向上， 代入顶点坐标公式有，即， ∴对称轴为， 故抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【作业15】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)二次 (2) (3)当时，小花园的面积最大，最大面积是 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、二次函数的识别、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据题意列出二次函数解析式，并根据函数的性质求最值． （1）根据矩形的面积公式即可进行列式写出函数解析，即可得； （2）由（1）可得解析式，再利用墙长得到自变量取值范围； （3）根据函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：矩形小花园边的长为，则边的长为， ， 与之间是二次函数关系， 故答案为：二次； （2）解：由（1）知，， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）解：由（1）知，， ，， 当时，有最大值，最大值为， 答：当时，小花园的面积最大，最大面积是． 【作业16】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【答案】或 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可得出一元二次方程，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得或， ∴或时，函数是二次函数． 【作业17】（2021·山东青岛·一模）（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【知识点】分式加减乘除混合运算、抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 【作业18】（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把点A、B、C的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为，将分别代入中， 得，， 解得，， 所以，二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的表达式化为顶点式， 所以，二次函数的图象的顶点坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章·二次函数·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，能正确识别二次函数并根据定义求字母参数的取值 · 掌握二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，会用配方法求开口、对称轴、顶点与最值 · 能由抛物线图象判断 a、b、c 及判别式 Δ 的符号，并处理图象翻折、平移等变换问题 · 理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，会由图象求方程根与不等式解集 · 会用待定系数法求二次函数解析式，并解决拱桥、投球、销售利润等实际最值问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念 一般地，形如 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中 x 是自变量 a 是二次项系数，决定开口方向与大小；a=0 时退化为一次函数或常数函数，故 a≠0 是判定关键 求参数时需同时满足：自变量最高次数为 2、二次项系数不为 0，两者缺一不可 二次函数的自变量取值范围一般为全体实数，实际问题中要使实际意义有意义 概念辨析例题：若函数 y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1 是关于 x 的二次函数，求 m 的值。 答案：m=-2 解析：由二次函数定义，需 m2-2=2 且 m-2≠0。由 m2-2=2 得 m=±2；又 m-2≠0 即 m≠2，故 m=-2。 ☆ 2.二次函数的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=-，顶点坐标为（-, ） a>0 开口向上，顶点为最低点，函数有最小值；a<0 开口向下，顶点为最高点，函数有最大值 在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小（a>0）或增大（a<0），右侧相反，即左减右增或左增右减 用配方法可把一般式化为顶点式 y=a(x-h)2+k，顶点为（h,k），便于直接读出对称轴与最值 概念辨析例题：求抛物线 y=-2x2+4x+1 的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。 答案：开口向下，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1,3），当 x=1 时 y 有最大值 3。 解析：配方得 y=-2(x-1)2+3。因 a=-2<0 开口向下，对称轴为 x=1，顶点（1,3），最大值为 3。 ☆ 3.二次函数的图象变换与系数关系 开口方向由 a 决定；对称轴位置由 a、b 共同决定（左同右异）；与 y 轴交点位置由 c 决定 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ=b2-4ac 决定：Δ>0 两个交点，Δ=0 一个交点，Δ<0 无交点 图象平移遵循「上加下减常数项，左加右减自变量」：向右平移 m 个单位把 x 换成 x-m a、b 同号对称轴在 y 轴左侧，a、b 异号对称轴在 y 轴右侧；x=1 时 y=a+b+c，x=-1 时 y=a-b+c 概念辨析例题：把抛物线 y=x2 向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求平移后的解析式。 答案：y=(x-3)2-1=x2-6x+8 解析：向右平移 3 个单位把 x 换成 x-3，得 y=(x-3)2；再向下平移 1 个单位减 1，得 y=(x-3)2-1。 ☆ 4.二次函数与方程、不等式及实际应用 二次函数 y=ax2+bx+c 中，令 y=0 即得一元二次方程 ax2+bx+c=0，抛物线与 x 轴交点的横坐标即方程的根 ax2+bx+c>0（或<0）的解集，对应抛物线在 x 轴上方（或下方）部分对应的 x 的取值范围 实际问题中先建立二次函数模型，再利用顶点坐标求最大（小）值，并检验自变量取值范围 拱桥、投球、销售利润、图形面积等问题，关键是设自变量、列解析式、配方求最值 概念辨析例题：已知抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点，求 A、B 两点间的距离。 答案：AB=4 解析：令 y=0，即 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，故 A（-1,0）、B（3,0），AB=3-(-1)=4。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 必须 a≠0，否则不是二次函数 顶点坐标 （-, ） 对称轴为直线 x=- 开口方向 a>0 向上；a<0 向下 |a| 越大开口越窄 判别式 Δ Δ=b2-4ac Δ>0 两交点，Δ=0 一切点，Δ<0 无交点 解析式三种形式 一般式/顶点式 y=a(x-h)2+k/交点式 根据已知条件灵活选择 实际最值 在顶点处取最大（小）值 注意自变量的实际取值范围 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与定义（第1-10题） · 紧扣定义：先看自变量最高次数是否为 2，再检查二次项系数是否不为 0 · 含参数时列方程（次数=2）与不等式（系数≠0）联合求解，注意取舍 · 判断一个函数是否为二次函数，要先化简整理再看最高次项 1．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）若抛物线有最小值，则常数m的值为__________． 6．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）若二次函数的图象开口向下，则的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 7．（18-19九年级上·山东烟台·阶段检测）当________时，函数是二次函数． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的二次函数的图象开口向下，则______． 9．（24-25九年级上·山东滨州·阶段检测）已知是关于x的二次函数． (1)求满足条件的k的值； (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点； (3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【考点2】二次函数的图象与性质（第11-19题） · 优先配方成顶点式 y=a(x-h)2+k，直接读出对称轴、顶点与最值 · 利用对称轴比较函数值大小：离对称轴越近函数值越大（开口向上时） · 给定区间求最值时，先判断对称轴是否在区间内，再比较端点与顶点 11．（24-25九年级上·山东日照·期末）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 13．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）已知二次函数（为常数）在自变量的值取的情况下，与其对应的函数值的最小值为，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 14．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若二次函数的图象过，，，三点，则，，的大小关系是______（用“＜”连接）． 15．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）当时，函数最大值与最小值之差为______ 16．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 17．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于点、两点，与轴相交于点，点在该抛物线上且坐标为，则点的坐标是________． 18．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 19．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数． (1)二次函数顶点坐标是 ； (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； (3)根据图象直接回答：当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (4)当时，的取值范围是 ． 【考点3】二次函数图象与系数的关系（第20-27题） · 由开口定 a，由对称轴位置定 b（左同右异），由与 y 轴交点定 c · 关注特殊点：x=1 看 a+b+c，x=-1 看 a-b+c，结合图象逐项判断 · 多结论判断题把每个结论转化为 a、b、c、Δ 的符号关系逐一验证 20．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 21．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 22．（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（23-24九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，当时，二次函数与一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 25．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（23-24九年级上·广东潮州·期中）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是_______(填序号)． 27．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为________ ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【考点4】二次函数与一元二次方程及不等式（第28-34题） · 抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根 · 不等式解集看图象：>0 取 x 轴上方部分，<0 取 x 轴下方部分 · 已知一个交点与对称轴，利用对称性求另一个交点坐标 28．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，则关于的方程的解是(   ) A． B． C． D． 29．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 30．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）二次函数与x轴的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为_____． 31．（22-23九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是_______． 32．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线的对称轴为，若关于x的方程在范围内有实数根，则t的取值范围是______． 33．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 34．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）已知二次函数． (1)分别求出该函数图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)利用函数图象回答： ①当时，的取值范围是 ②当时，的取值范围是 ③若方程有实数根，则的取值范围是 ④若不等式无解，则的取值范围是 ⑤写出不等式的解集：． 【考点5】二次函数解析式的确定与平移（第35-40题） · 已知任意三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与 x 轴两交点设交点式 · 平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，平移不改变形状与开口 · 求平移后解析式先定顶点，再用顶点式写出 35．（2026·安徽安庆·模拟预测）若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 36．（25-26九年级上·山东济宁·期中）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 37．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位后的解析式为_____________． 38．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图，反比例函数 的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求k和a的值． (2)若，则x的取值范围是____________． 39．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点为二次函数的图象与x轴的一个交点． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标． 40．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数的图象经过点、 (1)求、的值； (2)画出该函数的图象； (3)若时，随的增大而增大，则的最小值为___________； (4)该函数图象向上平移___________个单位长度后，所得函数的图象与轴只有一个公共点． 【考点6】二次函数的实际应用（第41-47题） · 建立坐标系，把实际数据转化为点的坐标，用待定系数法求解析式 · 最值问题配方后看顶点，注意自变量的实际取值范围对最值的影响 · 拱桥、投球、利润问题关键是读懂题意、正确列式 41．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，小明同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．则实心球掷出的水平距离为________． 42．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加________．（结果可保留根号） 43．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 44．（24-25九年级上·山东淄博·期末）网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 45．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图1，小明用一张边长为的正方形硬纸板设计一个无盖的正四棱柱糖果盒，从该正方形硬纸板的四个角处分别剪去一个形状大小相同且边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为．        图1               图2                    图3 (1)请直接写出无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的表达式，及变化过程中的自变量和因变量； (2)为探究y随x的变化规律，小明根据课堂中已经学习的《变量之间的关系》进行了如下探究： ①小明用表格表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系，如下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 0 12.5 m 13.5 n 2.5 0 则__________，__________； ②小明把①的表格中x，y的各组对应值作为数对确定了相应点的位置，并通过描点和连线作出了表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间关系的图象，如图3； (3)利用图象解决： ①该糖果盒的最大容积是__________； ②当该糖果盒的容积为时，请估计糖果盒的底边长a的值．（保留一位小数） 46．（24-25九年级上·北京顺义·期末）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 47．（25-26九年级上·山东·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； (2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【考点7】二次函数综合（第48-52题） · 综合题先求解析式，再把几何条件（面积、相似、最短路径）转化为坐标关系 · 最短路径利用对称性把折线段拉直，再求直线与对称轴交点 · 动点问题设横坐标为参数，用坐标表示线段长，结合方程或不等式求解 48．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 49．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 50．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与直线交于点A，C． (1)求点A，点C的坐标； (2)不等式的解集为 ； (3)若点M在y轴上，且，求点M的坐标． 51．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）如图1，设为坐标原点，二次函数的图象经过点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点C，连接，． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值． 52．（2024·山东济南·二模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； (3)如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 💯 课后巩固 复习建议 · 先把教材上二次函数的定义、三种解析式形式和顶点公式整理成一页纸，每天默写一遍 · 每种题型先独立做，再对照【详解】用红笔订正，重点弄懂错在定义、配方还是数形结合 · 把 7 个考点的典型例题重新做一遍，特别注意含参数分类讨论和区间最值两类易错点 · 限时 40 分钟完成一套二次函数综合卷，训练选择、填空、解答三类题的时间分配 · 整理错题本，把符号判断、图象平移、实际最值三类错题各抄 2 题并写出错因 【作业1】（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．2或 B． C．0或1 D．2 【作业2】（22-23九年级上·山东威海·期末）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【作业4】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【作业5】（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【作业6】（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数的图象上有两个点，且两点不重合，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【作业7】（2025·江苏无锡·三模）某抛物线开口向下，对称轴是轴，且经过点，请写出一个符合上述条件的函数表达式：________． 【作业8】（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）若二次函数，则________． 【作业9】（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为顶点式为________，对称轴是直线________． 【作业10】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【作业11】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数与自变量x的部分对应值如表： 现给出下列说法： ①该函数开口向下  ②函数图象的对称轴是直线  ③当时，  ④ 其中正确的结论有_______________．（只需写出序号） 【作业12】（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 【作业13】（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 【作业14】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【作业15】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【作业16】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）已知函数（m为常数）是二次函数，求m的值． 【作业17】（2021·山东青岛·一模）（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 【作业18】（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出该二次函数图象的顶点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $