第三章·反比例函数·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册

第三章·反比例函数·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，能识别反比例函数并根据定义求解析式与参数取值 · 掌握反比例函数的图象与性质，能由k的符号判断象限、增减性并比较函数值大小 · 理解k的几何意义，会用图形面积求比例系数并解决相关面积计算 · 能综合一次函数与反比例函数图象解决交点、不等式解集与图形面积问题 · 能建立反比例函数模型解决实际问题与几何综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，也可写成y=kx-1或xy=k 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，对应的函数值y也不为0 由实际问题列解析式时，要根据实际意义确定自变量的取值范围 判断一个函数是否为反比例函数，先整理成y=的形式再看k是否为非零常数 概念辨析例题：若函数y=(m+1)xm^{2}-2m-4是反比例函数，求m的值 答案：m=3 解析：由反比例函数定义，指数应为−1且系数不为0：m2-2m-4=-1，解得m=3或m=-1；又m+1≠0，故m=3 ☆ 2.反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，关于原点成中心对称 k>0时图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小 k<0时图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大 图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 概念辨析例题：已知反比例函数y=的图象位于第二、四象限，点A(-3,y1)、B(-1,y2)在其图象上，比较y1与y2的大小 答案：y1<y2 解析：k<0时在每个象限内y随x的增大而增大；-3<-1<0，两点同在第二象限，故y1<y2 ☆ 3.反比例函数中k的几何意义 过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积等于|k| 该点、垂足与原点构成的直角三角形面积等于 面积不变性：同一双曲线上任意一点对应的矩形面积都等于|k| 两条双曲线之间的图形面积，常用|k1|-|k2|计算 概念辨析例题：点P在反比例函数y=的图象上，PA垂直x轴于点A，O为坐标原点，求△POA的面积 答案：3 解析：由k的几何意义，直角三角形面积等于==3 ☆ 4.反比例函数与一次函数综合及实际应用 两个函数图象的交点坐标就是联立方程组的解，交点个数由解的个数决定 利用图象比较函数值大小时，看两个图象的上下位置关系，分区段写解集 实际问题中先确定反比例函数模型，再由图象或表格信息求解析式并作答 与几何图形综合时，常把点坐标转化为水平、竖直方向的线段长，结合面积公式求解 概念辨析例题：一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，求这两个交点的坐标 答案：A(1,2)、B(-2,-1) 解析：联立方程组y=x+1与y=，得x+1=，即x2+x-2=0，解得x=1或x=-2，对应y=2或y=-1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数定义 y=（k为常数，k≠0） k=0时不是反比例函数 图象形状 双曲线，两个分支 与坐标轴没有交点 k>0的性质 图象在一、三象限，象限内递减 跨象限不能直接比较大小 k<0的性质 图象在二、四象限，象限内递增 增减性必须分象限描述 k的几何意义 矩形面积=|k| 直角三角形面积= 图象交点问题 联立方程组求解 不等式解集看图象上下位置 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念与解析式（第1-15题） · 判断反比例函数先整理成y=的形式，注意k≠0 · 求解析式用待定系数法，把已知点坐标代入xy=k · 涉及指数型定义时列方程令指数为−1，并检验系数不为0 · 实际问题写出解析式后注明自变量的取值范围 1．（2025九年级上·山东·专题练习）反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题关键． 将点坐标代入反比例函数解析式，直接计算 k 的值． 【详解】∵ 点 在函数  的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选C． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键； 根据形如的是反比例函数，逐个判断即可． 【详解】A． 是一次函数的形式，，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B． ，当时，，它不是反比例函数，只有当时才是反比例函数，所以该函数不一定是反比例函数，故本选项不符合题意； C．函数，其中是常数且，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故本选项符合题意； D．函数，分母是，不是x，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A：不是反比例函数，不符合题意； B：是反比例函数，符合题意； C：不是反比例函数，不符合题意； D：不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·湖南永州·单元测试）有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南商丘·期末）下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据形如的函数是反比例函数进行判断即可． 【详解】解：选项B符合反比例函数的定义，A，C，D均不符合定义， 故选：B． 6．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再把自变量的值代入求值即可． 【详解】解：设反比例函数为， 当时，， ∴， 解得：． ∴反比例函数为． 当时，． 故选：B． 7．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图像分布得出且，进而得出答案． 【详解】解：∵是反比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若函数是反比例函数，则的值为____． 【答案】2 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）若反比例函数的图象经过点和，则的值为 _____． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和， ， ，即， ∴， 故答案为：． 10．（26-27九年级上·山东日照·期中）已知是的反比例函数，当时，．则这个函数的解析式是__________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设这个函数的解析式是， ∵当时，， ∴， ∴， ∴这个函数的解析式是． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，进一步求出值，即可得出结果． 【详解】解：将代入中， 可得，解得 ， 即． 故答案为：． 12．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 13．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)1 (2) (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入表达式计算即可得到答案； （2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案； （3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上， ， 解得． （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大， 则， 解得． （3）若，则， 而， 点在这个函数的图象上， 点不在这个函数的图象上． 14．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是否是“倍根方程”，并说明理由； (2)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的一元二次方程是否是“倍根方程”？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) 是“倍根方程”，理由如下： 证明：∵点在双曲线上， ，且， ∴方程化为方程， 解得：， ， ∴方程是“倍根方程”． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解一元二次方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）先转化一元二次方程求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：不是“倍根方程”，理由如下： ， 解得：， 所以不是“倍根方程”； （2）略 【考点2】反比例函数的图象与性质（第16-20题） · 由k的符号定象限：k>0在一、三象限，k<0在二、四象限 · 比较函数值先判断两点是否在同一象限，不同象限用符号分界 · 增减性必须强调「在每个象限内」，跨象限不能直接用 · 过原点直线与双曲线的两个交点关于原点对称 16．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴该函数的图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交， 故A、C正确，B错误； 当时，图象在第二象限，，故D正确． 17．（25-26九年级下·山东济宁·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）对于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．图像分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图像与坐标轴无交点 D．若点在它的图像上，则点也在它的图像上 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据反比例函数的定义及性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：A：反比例函数中，，因此图象分布在第一、三象限，正确； B：当时，反比例函数在每一象限内随的增大而减小，但若未限定“在每一象限内”，当跨越正负时（如从增大到），会从增加到，此时反而增大，因此选项B的表述不严谨，错误； C：反比例函数定义域为，值域为，故图象与坐标轴无交点，正确； D：若点在图象上，则，即，点代入函数得，因，等式成立，故也在图象上，正确； 故选：B 19．（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【知识点】求反比例函数值、比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 20．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据反比例函数的系数判断函数图象所在象限，再依据各象限内函数的增减性以及点的横坐标正负，比较纵坐标的大小．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵ ∴点在第一象限，点在第三象限 ∴， ∴ 故答案为：． 【考点3】反比例函数中k的几何意义与图形面积（第21-25题） · 过双曲线上的点作坐标轴垂线，矩形面积等于|k| · 直角三角形面积等于，注意加绝对值 · 与平行四边形、菱形结合时，把面积拆分成几个直角三角形 · 两条双曲线间的面积常用|k1|-|k2|计算 21．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴ 轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 22．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（    ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：． 23．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数的图象上，作 轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 _____． 【答案】5 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键．延长交y轴于点D，根据，利用比例函数系数k的几何意义，即可解答． 【详解】解：延长交y轴于点D， 轴， 轴， 设， ∵点C在反比例函数的图象上， ， ， ∵， ∴四边形是长方形， 设， ∵点A在反比例函数的图象上， ， ， ∴． 故答案为：5． 24．（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 25．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为_____． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义等知识点，正确作出辅助线、构造三角形并求得三角形的面积是解题的关键． 如图，连接，线段交y轴于点D，再根据反比例函数k值的几何意义以及面积的和差可得，然后根据反比例函数k值的几何意义以及图象所在的象限即可解答． 【详解】解：如图，连接，线段交y轴于点D， ∵点A在双曲线上， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 【考点4】反比例函数与一次函数的综合（第26-42题） · 交点坐标通过联立两个函数的解析式求解 · 不等式解集看图象上下位置，分界点处注意能否取等 · 求直线围成图形的面积用割补法，以坐标轴上的线段为底 · 动点问题先求解析式，再把动点条件转化为方程 26．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 27．（24-25九年级上·安徽·阶段检测）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 29．（24-25九年级上·山东德州·期末）函数与图象交点的横坐标分别为a，b ，则的值为_________． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、分式化简求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据题意得，化为整式方程，整理得，进而根据一元二次方程根与系数的关系求即可． 【详解】解：联立解析式得， ∴， 即， ∴ ∴， 故答案为：． 30．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【答案】16 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 31．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1）_____ （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为_____ 【答案】 2 或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点代入反比例函数解析式，即可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：（1）把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得； （2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， 关于x的不等式的解集为或， 故答案为：①2；②或． 32．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 33．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，反比例函数和一次函数的图象交于点和点． (1)求m、n的值； (2)求直线的函数表达式； (3)当时，直接写出x的取值范围__________； (4)连接、，直接写出的面积__________． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题． （1）先将点的坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，再把点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出的值； （）把，坐标代入一次函数解析式即可求解； （）结合函数图像以及交点即可得出答案． （4）作轴于点，轴于点，根据面积和差进行求解即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过， ∴， 解得：，； （2）由（）得，，； ∴， ∵一次函数的图象交于点，两点 ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为：， （3）当时，即反比例函数的图像在一次函数的图像下面， 由图像和，可知： 当时，或． （4）如图，作轴于点，轴于点，      ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 34．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 35．（24-25七年级上·山东淄博·期末）一次函数和一个正比例函数的图象交于点，与x轴交于点Q，O为坐标原点． (1)求这两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为；正比例函数解析式为 (2)4 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查一次函数与正比例函数解析式的求解以及三角形面积的计算，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，以及确定三角形的底和高． （1）将点坐标代入一次函数和正比例函数，利用待定系数法求出值，进而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 一次函数解析式为； 设正比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 正比例函数解析式为； （2）当时，， 解得， 则， 的面积． 36．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； (2)点，直线l平移的距离为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 37．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)不等式的解集为或 (3)点的坐标为或或或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）先根据已知条件求出两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据两图象的交点，观察得出的解集； （3）先求出的面积，然后分当点在轴上和在轴上，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，， ， 两点的坐标分别为， 把两点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解： 两点的坐标分别为， 根据两函数的图象可得：不等式的解集为或． （3） 解：设直线交轴于点，交轴于点， 在中，令，得：，令，得： 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 当点在轴上时，设点的坐标为，则， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 综上所述：点的坐标为或或或． 38．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)直接写出不等式的解集； (2)分别求出两个函数的解析式； 【答案】(1)或； (2)反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，待定系数求函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图象，写出反比例函数在直线上方的自变量的取值范围，即可求解； （）将点的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得的值，从而点纵坐标已知，将点的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得的值，从而两个函数解析式可求； 【详解】（1）解：∵的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集为或； （2）解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为． 39．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)，， 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）运用数形结合思想以及一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，即可作答． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入， 得：， ； ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：∵， ∴， 根据图象可知： ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点， 不等式的解集为：或． （3）解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ， 即为的中点． ∵， ∴点坐标分别为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 40．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、三线合一、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 41．（24-25九年级上·山东聊城·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例函数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 【答案】(1)正比例和反比例函数的表达式分别为：， (2)点坐标为 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用列式计算求得点M的坐标为，求得点M关于x轴的对称点的坐标，连接交x轴与点P，此时最小，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，； （2）解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：． 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小， 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为 当时， 点坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 42．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点P的坐标为或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）联立，即可求解； （3）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得， ∴这个反比例函数的表达式； （2）解：联立， 解得：或， 可知； （3）解：设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 【考点5】反比例函数的实际应用与几何综合（第43-52题） · 实际问题先判断两个变量是否成反比例关系，再用待定系数法 · 杠杆、压强、密度等模型先回忆物理公式再转化为函数式 · 几何综合把点坐标转化为水平、竖直方向的线段长 · 新定义题逐条对照定义，把文字条件翻译成坐标等式 43．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键．先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，故，过点作于点，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： 和均为正三角形， ， ， ， ， 过点作于点，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 故选：A． 44．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点轴于点轴于点，反比例函数的图象与线段分别交于点．若点的纵坐标为1，则点的坐标为___________． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由条件可知点的坐标为，且在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 当时，， ． 故答案为：． 45．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，点A在上，点在上，且，则k值为_________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是反比例函数与几何的综合，考查了求函数的解析式的问题以及相似三角形的判定和性质，能够把求反比例函数的解析式转化为求点的坐标的问题是解题的关键．要求函数的解析式只要求出点B的坐标就可以，设点A的坐标是，过点A、B作轴、轴，分别于C、D．根据条件得到，利用相似三角形对应边成比例即可求得点B的坐标，问题即可得解． 【详解】解：如图，过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D， 设点A的坐标是， 则，， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 46．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为__________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，根据题意得出两个菱形的面积为，根据反比例函数的意义得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵两个影阴部分的面积和为8， ∴两个菱形的面积和为， ∴ 又， ∴； 故答案为：． 47．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可． 【详解】解：双曲线经过点A， ， ∵， 设，则， ，解得负值已舍去， ，， ， 由勾股定理可得：， 由于四边形是菱形，则， ， 点B在反比例函数的图象上， 故答案为： 48．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为__________． 【答案】8 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及图形中的几何关系．根据题设，点的坐标可以通过给定的条件来表示，进而利用面积公式和已知条件求解未知参数．具体地，首先，根据给定的条件表达点的坐标；其次，通过面积公式建立等式关系；最后，利用给定的面积值解出参数． 【详解】解：设， 轴，且点E在函数上， ， ，且点B在函数上， ， 轴，点D在函数上， ， 的面积为6， . ． 故答案为：8． 49．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 50．（24-25九年级上·山西大同·期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，由图得，把代入解析式可得，进而得，再根据图把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 由图得，， 把代入得，， ∴， ∴， 由图得，， 把代入，得， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·河南郑州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】10 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把代入解析式即可求出k的值，再代入即可求出答案． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把代入解析式，得， h关于的函数解析式为， 当时，， 故答案为：10． 52．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1） （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天默写反比例函数的三种形式，以及k的符号对应的象限与增减性，做到脱口而出 · 把本讲义52道考点题遮住答案重做一遍，错题标注错因（象限判断反、漏k≠0、跨象限比较） · k的几何意义题坚持「先作坐标轴垂线、再看面积」的固定步骤，不凭感觉猜 · 一次函数综合题养成先画草图再写解集的习惯，特别注意分界点处能否取等 · 课后18道作业题限时40分钟完成，对照答案逐题订正，重点检查面积题是否漏绝对值 【作业1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 【作业2】（2026·山东聊城·二模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由反比例函数值求自变量、判断反比例函数的增减性、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当时，． 【作业3】（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由反比例函数值求自变量、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数与图象．由图象可知，当时，，即可判断；当时，函数值不存在，即可判断． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∵，， ∴ ∴； 当时，函数值不存在， ∵函数图象在第二象限不连续， ∴， 故选：D 【作业4】（24-25九年级上·广东揭阳·期末）根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合．根据图①所示的程序得，当时，，当时，，可判断结论①错误；设，，则，，，可判断结论②正确；时，，y随x的增大而减小，可判断结论③错误；根据，可判断结论④正确；设，根据有实数解，可判断结论⑤正确． 【详解】解：根据图①所示的程序得，当时，，当时，， 故①结论错误； 设，， 则，， ∴， 故②结论正确； 时，，y随x的增大而减小， 故③结论错误； ，， ∴， ∴， 故④结论正确； 设， ∴，， ∴， ∴，， 令，得：， 即， 有实数解， ∴存在． 故⑤结论正确； ∴正确结论是②④⑤． 故选A． 【作业5】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了函数图象的应用，一次函数，反比例函数的性质，熟练掌握相关函数图象及性质是解题的关键．根据题意，分别求出一次函数，反比例函数的解析式，结合实际，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：A．设直线所对应的函数解析式为， 点在直线上， ， ， 函数解析式为， 玻璃加热的速度为， 故该选项正确，不符合题意； B．设反比例函数解析式为， 点在直线上， ， ， 与的函数表达式为， 故该选项正确，不符合题意； C．加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于， ，当时，， ，当时，， 能够对玻璃进行加工的时长为， 故该选项正确，不符合题意； D．，当时，， ，当时，， 玻璃从降至室温需要的时间为， 故该选项不正确，符合题意， 故选：D． 【作业6】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，过点M作轴交图象于点P，Q，连接，．则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、勾股定理、坐标与图形，熟知反比例函数图象上的点的坐标特征是解答的关键． 根据流程图可判断①；设，，根据流程图可得，，利用三角形面积公式可判断②；根据反比例函数的性质可判断③；根据坐标与图形性质和反比例函数的性质可判断④；利用勾股定理可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：①当时，，故①错误； ②、当时，，当时，， 设，， 则，， ∴的面积是，故②正确； ③、时，，y随x的增大而减小，故③错误； ④、设，， ∵， ∴，，， ∵，，， ∴，故④正确； ⑤设，则，， 则， ， 当，时，有：， ∴， ∵a有解， ∴可能存在，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故选：B． 【作业7】（23-24八年级上·全国·单元测试）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、求一元一次不等式的解集 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 【作业8】（24-25九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是：． 【作业9】（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】/ 【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数值、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与，再代入进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 【作业10】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_________． 【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数中系数的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：4． 【作业11】（24-25九年级上·山东青岛·期末）考察函数的图象，当时，y的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质解答即可．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：当时，，如图 由图可知当时，或， 故答案为：或． 【作业12】（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 【答案】15 【知识点】代入消元法、反比例函数与几何综合 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，正确地表示出点C的坐标，灵活运用三角形的面积公式构造方程组是解决问题的关键． 【作业13】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【知识点】图形类规律探索、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【作业14】（2025·广东汕头·一模）如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； （3）略 【作业15】（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． (1)求k的值． (2)试判断，是否在反比例函数的图像上． 【答案】(1) (2)不在函数图像上，在函数图像上 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用． （1）将点的横坐标代入可得出纵坐标，然后代入双曲线可求出反比例函数的解析式． （2）把点，代入即可判断； 【详解】（1）解：当时，由知，故， 将代入中，可知， （2）由（1）可得 当时故点不在反比例函数的图像上， 当时故点在反比例函数的图像上. 【作业16】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在矩形中，，，是边上异于，的一个动点，设，点到的距离为． (1)求与的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与（1）中所求出的函数交点分别为．求三角形的面积． 【答案】(1)与的函数表达式为 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的运用，掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数与几何图形面积的综合是解题的关键． （1）过点作于点，则，连接，由勾股定理得到，根据题意可证，得到，即，即可求解； （2）如图所示，直线与交点分别为，当时，，则，联立方程组得到点的坐标，数学结合得到，，由即可求解． 【详解】（1）解：点到的距离为， ∴过点作于点，则，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是边上异于，的一个动点， ∴， ∴与的函数表达式为； （2）解：如图所示，直线与交点分别为， 在直线中，设直线与轴交于点，当时，，则， ∴ 联立方程组得， 解得，或， ∴，， ∴，， ∴三角形的面积． 【作业17】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过的两个顶点，则函数R是的“对应函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数R的最大值记为，最小值记为，，则称h是的“最值半差”．已知：在平面直角坐标系中，，，轴． (1)如图，若点C的坐标为，． ①一次函数是的“对应函数”吗？若是，说明理由并求出的“最值半差”；若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数是的“对应函数”，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“对应函数”． ①若二次函数经过A，C两点，求的“最值半差”； ②若二次函数经过A，B两点，且与的边有第三个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)①是，理由如下： 一次函数是的“对应函数”． ∵，轴，点C的坐标为，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵，这两点都在上， ∴一次函数是的“对应函数”． ∵， ∴函数值y随x的增大而减小， ∴当时，时，；时，， ∴，即，最值半差等于2． ②存在，5 (2)①；② 【知识点】反比例函数与几何综合、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）①求出的坐标，根据新定义进行判断即可；②根据新定义进行判断即可； （2）①求出点坐标，根据新定义，结合待定系数法求出函数解析式，再根据新定义求解即可；②根据新定义，推出点B在上方，对称轴在点A，C之间，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②存在，理由如下 ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴点A和点B在同一反比例函上 ∴存在反比例函数是的“对应函数”，． （2）①∵，，轴，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点 将点，代入 解得 ∴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，或时，，时，， ∴ 即“最值半差”． ②∵经过点A，B， ∴将点A的坐标，点B的坐标代入，得 解得 ∴， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵二次函数与的边有第三个交点， ∴点B在上方，对称轴在点A，C之间， ∴ ∴． 【作业18】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体． 【概念辨析】：(1)若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？ ．(填“存在”或“不存在”)． 【深入探究】： （2）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，得，再探究根的情况；②小丽：如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体． （3）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． (4)如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）不存在； （2）存在，理由如下： 长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形， ∵矩形长为4，宽为3， ∴矩形的周长为，面积为， 小颖：设新矩形长和宽分别为x、y，则依题意，， 联立， 整理得， 解得：， ∴新矩形的长为，宽为2时，周长为，面积为， ∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形． 小丽：如图，设新矩形长和宽为x、y， 则依题意， 即， 利用反比例函数数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （3）不存在，理由如下： 长为4，宽为3的矩形C的周长为，面积为． 设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， 联立得， 整理得：， ∵， ∴此方程没有实数根，即长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体． （4） 【知识点】一次函数与几何综合、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、反比例函数与几何综合、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了新定义“完全n倍体”的理解、矩形的周长与面积公式、一元二次方程根的判别式及反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将“完全n倍体”的判定转化为方程（或函数）问题，通过计算周长与面积的数量关系列方程，利用判别式判断方程是否有实数根（或利用函数交点判断是否存在解）． （1）根据两个正方形是相似图形，若正方形A是正方形B的完全2倍体，则周长比为2，面积比应为，故不存在； （2）先算矩形C的周长14、面积12，完全2倍体的新矩形周长28（即）、面积24（即），列方程求解有实数根（或函数有交点），故存在； （3）完全倍体的新矩形周长7（即）、面积6（即），列方程计算判别式小于0，无实数根，故不存在； （4）设新矩形边长，列方程，由判别式（保证有实根），解得（排除负根）． 【详解】解：（1）不存在． 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时， 则面积比必定是4，所以不存在． 故答案为：不存在． （2）略 （3）略 （4）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：，即， 由题意得：， 整理得：， ， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴，即：， 解得：k （不符合题意）， ∴k的取值范围为：k； 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章·反比例函数·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年鲁教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，能识别反比例函数并根据定义求解析式与参数取值 · 掌握反比例函数的图象与性质，能由k的符号判断象限、增减性并比较函数值大小 · 理解k的几何意义，会用图形面积求比例系数并解决相关面积计算 · 能综合一次函数与反比例函数图象解决交点、不等式解集与图形面积问题 · 能建立反比例函数模型解决实际问题与几何综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的概念 形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，也可写成y=kx-1或xy=k 自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，对应的函数值y也不为0 由实际问题列解析式时，要根据实际意义确定自变量的取值范围 判断一个函数是否为反比例函数，先整理成y=的形式再看k是否为非零常数 概念辨析例题：若函数y=(m+1)xm^{2}-2m-4是反比例函数，求m的值 答案：m=3 解析：由反比例函数定义，指数应为−1且系数不为0：m2-2m-4=-1，解得m=3或m=-1；又m+1≠0，故m=3 ☆ 2.反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，关于原点成中心对称 k>0时图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小 k<0时图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大 图象无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 概念辨析例题：已知反比例函数y=的图象位于第二、四象限，点A(-3,y1)、B(-1,y2)在其图象上，比较y1与y2的大小 答案：y1<y2 解析：k<0时在每个象限内y随x的增大而增大；-3<-1<0，两点同在第二象限，故y1<y2 ☆ 3.反比例函数中k的几何意义 过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积等于|k| 该点、垂足与原点构成的直角三角形面积等于 面积不变性：同一双曲线上任意一点对应的矩形面积都等于|k| 两条双曲线之间的图形面积，常用|k1|-|k2|计算 概念辨析例题：点P在反比例函数y=的图象上，PA垂直x轴于点A，O为坐标原点，求△POA的面积 答案：3 解析：由k的几何意义，直角三角形面积等于==3 ☆ 4.反比例函数与一次函数综合及实际应用 两个函数图象的交点坐标就是联立方程组的解，交点个数由解的个数决定 利用图象比较函数值大小时，看两个图象的上下位置关系，分区段写解集 实际问题中先确定反比例函数模型，再由图象或表格信息求解析式并作答 与几何图形综合时，常把点坐标转化为水平、竖直方向的线段长，结合面积公式求解 概念辨析例题：一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，求这两个交点的坐标 答案：A(1,2)、B(-2,-1) 解析：联立方程组y=x+1与y=，得x+1=，即x2+x-2=0，解得x=1或x=-2，对应y=2或y=-1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数定义 y=（k为常数，k≠0） k=0时不是反比例函数 图象形状 双曲线，两个分支 与坐标轴没有交点 k>0的性质 图象在一、三象限，象限内递减 跨象限不能直接比较大小 k<0的性质 图象在二、四象限，象限内递增 增减性必须分象限描述 k的几何意义 矩形面积=|k| 直角三角形面积= 图象交点问题 联立方程组求解 不等式解集看图象上下位置 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的概念与解析式（第1-15题） · 判断反比例函数先整理成y=的形式，注意k≠0 · 求解析式用待定系数法，把已知点坐标代入xy=k · 涉及指数型定义时列方程令指数为−1，并检验系数不为0 · 实际问题写出解析式后注明自变量的取值范围 1．（2025九年级上·山东·专题练习）反比例函数的图象经过点，则k的值为（      ） A．15 B． C．-15 D．- 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（） A． B． C． D． 3．（2025·云南丽江·模拟预测）下列y关于x的函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南永州·单元测试）有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·河南商丘·期末）下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 7．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______． 8．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若函数是反比例函数，则的值为____． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）若反比例函数的图象经过点和，则的值为 _____． 10．（26-27九年级上·山东日照·期中）已知是的反比例函数，当时，．则这个函数的解析式是__________． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为________． 12．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 13．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 14．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是否是“倍根方程”，并说明理由； (2)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的一元二次方程是否是“倍根方程”？请说明理由． 【考点2】反比例函数的图象与性质（第16-20题） · 由k的符号定象限：k>0在一、三象限，k<0在二、四象限 · 比较函数值先判断两点是否在同一象限，不同象限用符号分界 · 增减性必须强调「在每个象限内」，跨象限不能直接用 · 过原点直线与双曲线的两个交点关于原点对称 16．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 17．（25-26九年级下·山东济宁·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）对于反比例函数，下列说法中错误的是（   ） A．图像分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图像与坐标轴无交点 D．若点在它的图像上，则点也在它的图像上 19．（25-26八年级下·山东青岛·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 20．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________． 【考点3】反比例函数中k的几何意义与图形面积（第21-25题） · 过双曲线上的点作坐标轴垂线，矩形面积等于|k| · 直角三角形面积等于，注意加绝对值 · 与平行四边形、菱形结合时，把面积拆分成几个直角三角形 · 两条双曲线间的面积常用|k1|-|k2|计算 21．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（    ） A．5 B．8 C． D． 23．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数的图象上，作 轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 _____． 24．（25-26九年级上·广东湛江·阶段检测）如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 25．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为_____． 【考点4】反比例函数与一次函数的综合（第26-42题） · 交点坐标通过联立两个函数的解析式求解 · 不等式解集看图象上下位置，分界点处注意能否取等 · 求直线围成图形的面积用割补法，以坐标轴上的线段为底 · 动点问题先求解析式，再把动点条件转化为方程 26．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·安徽·阶段检测）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为___________． 29．（24-25九年级上·山东德州·期末）函数与图象交点的横坐标分别为a，b ，则的值为_________． 30．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 31．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点，点的坐标是，点的坐标是． （1）_____ （2）根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为_____ 32．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 33．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，反比例函数和一次函数的图象交于点和点． (1)求m、n的值； (2)求直线的函数表达式； (3)当时，直接写出x的取值范围__________； (4)连接、，直接写出的面积__________． 34．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 35．（24-25七年级上·山东淄博·期末）一次函数和一个正比例函数的图象交于点，与x轴交于点Q，O为坐标原点． (1)求这两个函数的解析式； (2)求的面积． 36．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 37．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的倍，直接写出点的坐标． 38．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)直接写出不等式的解集； (2)分别求出两个函数的解析式； 39．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点（为常数）． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)点是平面内任意一点，若以为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 40．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 41．（24-25九年级上·山东聊城·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例函数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 42．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标． 【考点5】反比例函数的实际应用与几何综合（第43-52题） · 实际问题先判断两个变量是否成反比例关系，再用待定系数法 · 杠杆、压强、密度等模型先回忆物理公式再转化为函数式 · 几何综合把点坐标转化为水平、竖直方向的线段长 · 新定义题逐条对照定义，把文字条件翻译成坐标等式 43．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（   ） A． B． C． D． 44．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点轴于点轴于点，反比例函数的图象与线段分别交于点．若点的纵坐标为1，则点的坐标为___________． 45．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，点A在上，点在上，且，则k值为_________． 46．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点都在双曲线上，点、点都在轴上，并且四边形和四边形都是菱形．若两个影阴部分的面积和为8，则的值为__________． 47．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______． 48．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为6，则的值为__________． 49．（2026·山东威海·三模）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 50．（24-25九年级上·山西大同·期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为______． 51．（24-25九年级上·河南郑州·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 52．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天默写反比例函数的三种形式，以及k的符号对应的象限与增减性，做到脱口而出 · 把本讲义52道考点题遮住答案重做一遍，错题标注错因（象限判断反、漏k≠0、跨象限比较） · k的几何意义题坚持「先作坐标轴垂线、再看面积」的固定步骤，不凭感觉猜 · 一次函数综合题养成先画草图再写解集的习惯，特别注意分界点处能否取等 · 课后18道作业题限时40分钟完成，对照答案逐题订正，重点检查面积题是否漏绝对值 【作业1】（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【作业2】（2026·山东聊城·二模）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于时，气球体积的范围是（     ） A． B． C． D． 【作业3】（2024·江苏扬州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制函数（为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数的值满足（    ） A． B． C． D． 【作业4】（24-25九年级上·广东揭阳·期末）根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【作业5】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【作业6】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，过点M作轴交图象于点P，Q，连接，．则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤可以等于．其中正确结论是（　　） A．①②④ B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【作业7】（23-24八年级上·全国·单元测试）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【作业8】（24-25九年级上·山东泰安·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【作业9】（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【作业10】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_________． 【作业11】（24-25九年级上·山东青岛·期末）考察函数的图象，当时，y的取值范围是______． 【作业12】（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 【作业13】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【作业14】（2025·广东汕头·一模）如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【作业15】（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． (1)求k的值． (2)试判断，是否在反比例函数的图像上． 【作业16】（24-25九年级上·山东聊城·期末）在矩形中，，，是边上异于，的一个动点，设，点到的距离为． (1)求与的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与（1）中所求出的函数交点分别为．求三角形的面积． 【作业17】（2025·辽宁朝阳·模拟预测）我们给出如下定义：在平面直角坐标系中，函数R的图象经过的两个顶点，则函数R是的“对应函数”，函数R经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为，，且，当自变量满足时，此时函数R的最大值记为，最小值记为，，则称h是的“最值半差”．已知：在平面直角坐标系中，，，轴． (1)如图，若点C的坐标为，． ①一次函数是的“对应函数”吗？若是，说明理由并求出的“最值半差”；若不是，请说明理由； ②是否存在反比例函数是的“对应函数”，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，二次函数是的“对应函数”． ①若二次函数经过A，C两点，求的“最值半差”； ②若二次函数经过A，B两点，且与的边有第三个交点，求m的取值范围． 【作业18】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）我们定义：如果一个矩形A的周长和面积分别是矩形B的周长和面积的n倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全n倍体． 【概念辨析】：(1)若矩形B为正方形，是否存在一个正方形A是正方形B的完全2倍体？ ．(填“存在”或“不存在”)． 【深入探究】： （2）长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？小颖和小丽分别有以下思路：①小颖：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立，得，再探究根的情况；②小丽：如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，两图象有交点，则意味着存在完全2倍体． （3）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因． (4)如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $