第7讲 反比例函数应用及综合 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第7讲 反比例函数应用及综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数y=（k≠0）的实际意义，能从实际问题中抽象出反比例关系 · 掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法 · 能结合反比例函数图象分析速度时间、压强面积等实际问题的取值范围 · 会解决反比例函数与几何图形结合的面积问题，理解k的几何意义 · 能综合运用反比例函数与一次函数的图象与性质解决交点、面积综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的实际应用 现实中两个变量乘积为定值时成反比例，形如y=（k≠0） 常见模型：路程一定时v=、压力一定时p=、电压一定时I= 用待定系数法：先设y=，代入一组已知值求k，再写解析式 要结合实际意义确定自变量x的取值范围，图象通常只取第一象限分支 概念辨析例题：汽车行驶路程s=240km一定，写出平均速度v（km/h）关于行驶时间t（h）的函数关系式，并判断v随t的变化趋势 解析：路程一定时vt=240，故v=；k=240＞0，在第一象限内v随t增大而减小 ☆ 2.跨学科与物理模型 杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即F1L1=F2L2 压强公式：压力F一定时p=，受力面积S越大压强p越小 欧姆定律：电压U一定时电流I=，电阻R越大电流I越小 波速一定时波长λ与频率f成反比：λf=c，注意单位换算 概念辨析例题：杠杆阻力与阻力臂分别为1200N和0.5m，求动力F关于动力臂l的函数关系式 解析：由杠杆原理Fl=1200×0.5=600，得F=，动力臂l越长越省力 ☆ 3.k的几何意义与面积问题 双曲线y=上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形面积为|k| 该点、垂足、原点组成的直角三角形面积为 三角形（或矩形）面积一定时，底边与对应高成反比例 面积问题要先由图象上一点求k，再利用|k|转化线段乘积关系 概念辨析例题：三角形面积一定时，底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例，图象过点（3，4），求面积及a=2时的h 解析：ah=2S=定值k，过点（3，4）得k=3×4=12，故ah=12；S==6；a=2时h==6 ☆ 4.反比例函数与一次函数综合 两个函数图象交点坐标同时满足两个解析式，联立方程组求解 交点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于原点对称当且仅当一次函数过原点 利用交点坐标求三角形面积时，常用割补法或以坐标轴上线段为底 比较函数值大小看图象：双曲线与直线上下位置对应的x范围 概念辨析例题：一次函数y=ax+b与反比例函数y=交于A（1，4）、B（4，m），求k、m 解析：A在双曲线上，k=1×4=4，故y=；B（4，m）代入得m==1 📋 知识总结表 【考点1】反比例函数的应用（第1-10题） · 从实际问题中找乘积为定值的两个变量，建立y= · 用一组已知对应值代入待定系数法求k · 结合图象判断增减性与取值范围，注意实际意义取舍 · 分段问题（加热+下降）要分阶段写解析式并求分界点 1．学校的自动饮水机开机加热时，水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例．当水温降至30℃时，饮水机再自动加热．若水温在30℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．水温从30℃加热到100℃时，需要7min B．在一个加热周期内，水温不低于40℃的时间为25min C．水温从100℃降至30℃，所需时间为15min D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 【分析】该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃， ∴水温从30℃加热到100℃，所需时间为7（min）， 故A选项合题意； 由题可得，（7，100）在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为y， 代入点（7，100）可得，k＝700， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y， 故D选项不合题意； 令y＝100时，则y＝100，则x＝7， 当y＝30时，则y＝30，则x， 即100℃降至30℃，所需时间为7（min）， 故C选项不符合题意； 水温从30℃加热到100℃，所需时间为7（min）， 令y＝30，则30， ∴x， ∴水温不低于30℃的时间为min，故B不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键． 2．（2025•高要区校级三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v（m/s）是载重后总质量M（kg）的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量M＝30kg时，它的最快移动速度v＝2m/s；当其载重后总质量M＝60kg时，它的最快移动速度v＝（　　）m/s． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据待定系数法求出v与M的函数关系式，当M＝60时，求出对应v的值即可． 【解答】解：设v与M的函数关系式为v（k为常数，且k≠0）． 将M＝30，v＝2代入v， 得2， 解得k＝60， ∴v与M的函数关系式为v， 当M＝60时，v1， ∴当其载重后总质量M＝60kg时，它的最快移动速度v＝1m/s． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求出反比例函数的关系式是解题的关键． 3．已知老李家距离鱼菜共生田地300米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，根据骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度v与骑车时间t的积等于总路程，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意得，vt＝300， ∴v． ∴v关于t的函数是反比例函数． 又当t＝2时，v＝150， ∴符合题意的图象是D． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2025秋•洛阳期末）如图（1），区间测速是通过计算车辆通过两个相邻监控点的时间，来检测其在该路段平均速度的方法．如图（2），在限速区间AB内，满足安全驾驶且在限速范围的条件下，汽车的平均行驶速度v（km/h）是行驶时间t（h）的反比例函数．当100＜v≤120时，汽车通过该限速区间的时间可能是（　　） A．0.15h B．0.22h C．0.24h D．0.4h 【分析】设出反比例函数解析式，把（0.3，80）代入可得反比例函数的比例系数，进而把v＝100，120代入所得的函数解析式，得到相应的t的值，即可判断出t的取值范围，那么可得正确的选项． 【解答】解：设v与t之间的函数关系式为：v， ∵经过点（0.3，80）， ∴k＝0.3×80＝24， ∴v， 当v＝100时，t＝0.24； 当v＝120时，t＝0.2， ∵100＜v≤120， ∴0.2≤t＜0.24， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用．用待定系数法求得反比例函数的解析式是解决本题的关键． 5．（2026•成华区模拟）某机器狗最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知该机器狗载重后总质量为60kg时，它的最快移动速度为6m/s，则当其载重后总质量为90kg时，它的最快移动速度为　4　 m/s． 【分析】根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入数据求解即可． 【解答】解：由题意，设反比例函数的解析式为， ∵该机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s， ∴k＝vm＝60×6＝360， ∴， ∴当m＝90时，， ∴其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度4m/s． 故答案为：4． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 6．（2026•蓬江区模拟）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5　 ． 【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将y＝200代入，结合函数图象即可求解． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 将（0.4，250）代入得，k＝100， ∴反比例函数解析式为：， 当y＝200时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5， 故答案为：x＞0.5． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．（2026•洛阳模拟）冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若P＝110W时，t＝2h，则P与t之间的关系式为P　 ． 【分析】设P与t之间的关系式为P根据待定系数法即可得到结论． 【解答】解：设P与t之间的关系式为P 若P＝110W时，t＝2h， ∴110， ∴k＝110×2＝220， P与t之间的关系式为P． 故答案为：P． 【点评】本题考查了反比例函数 定义域，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 8．（2026•枣庄模拟）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为20℃时，接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示． （1）分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）求在一个循环内水温不低于40℃的时长． 【分析】（1）根据函数图象分为当0≤x≤8时和当x＞8时，分别求出函数关系式即可； （2）分别求出当y＝40℃时，40＝10x+20，解得x＝2；，解得x＝20；然后相减即可； 【解答】解：（1）若水温为20℃时，接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示： 水温上升时，即当0≤x≤8时，设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 由图象可得：， 解得：， ∴y＝10x+20； 水温下降时，即当x＞8时，设y关于x的函数关系式为， 由图象可得：，解得：m＝800， ∴； （2）当y＝40℃时，40＝10x+20， 解得x＝2； ， 解得x＝20， ∴在一个循环内水温不低于40℃的时间为20﹣2＝18（分钟）． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 9．（2025秋•光明区期末）某生命科学实验室进行细胞培养实验．细胞培养液的营养活性浓度y（单位：U/mL）与培养液的稀释倍数x（x＞1）成反比例关系．实验数据显示，当稀释倍数为15时，营养活性浓度为400U/mL． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）已知培养液的营养活性浓度需满足300U/mL≤y≤500U/mL，为满足细胞培养需求，求培养液稀释倍数x的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）根据函数的性质得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式y（k≠0）， 把x＝15，y＝400代入y（k≠0）得：k＝15×400＝6000， ∴y与x之间的函数表达式y； （2）当y＝300时，x＝20；当y＝500时，x＝12， ∴培养液的营养活性浓度需满足300U/mL≤y≤500U/mL时， ∴培养液稀释倍数x的取值范围为12≤x≤20． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数的解析式． 10．（2025秋•岳阳月考）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上8：00能否驾车去上班？请说明理由． 【分析】（1）根据题意及图象可得需分类进行求解，即当0≤x＜1.5时，符合正比例函数，进而根据点（1.5，150）进行求解即可，当x≥1.5时，符合反比例函数，则根据点（1.5，150）进行求解即可； （2）由题意及（1）易得晚上20：00到第二天早上8：00，有12小时，所以把x＝12代入反比例函数解析式进行求解即可． 【解答】解：（1）当0≤x＜1.5时，设函数关系式为：y＝kx， 则150＝1.5k， 解得：k＝100， 故y＝100x， 当x≥1.5时，设函数关系式为：， 则a＝150×1.5＝225， 解得：a＝225， 故， 综上所述：； （2）第二天早上8：00能驾车去上班． 理由：x＝12时，， ∴第二天早上8：00能驾车去上班． 【点评】本题主要考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的实际应用是解题的关键． 【考点2】反比例函数应用跨学科（第11-15题） · 联系物理公式：压强p=、欧姆I=、杠杆F1L1=F2L2 · 由实验数据或图象先判断是否成反比例再求解析式 · 注意自变量单位与取值范围，超范围时实际意义失效 · 多问题先求k再依次解决最值、范围问题 11．（2025秋•瓦房店市月考）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强ρ（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求ρ与V的函数表达式； （2）若该容器内气体的压强不得超过400kPa，求该容器体积的取值范围． 【分析】（1）设ρ，把点（20，300）代入所设的函数解析式即可求得k的值； （2）取ρ＝400，代入（1）中得到的函数解析式，求得v的值，对应函数图象，即可求得该容器体积的取值范围． 【解答】解：（1）设ρ， ∵经过点（20，300）， ∴k＝20×300＝6000， ∴ρ（v＞0）； （2）当ρ＝400时，v15， ∴ρ≤400， ∴v≥15mL． 答：该容器内气体的压强不得超过400kPa，容器体积不小于15mL． 【点评】本题考查反比例函数的应用．用待定系数法求得反比例函数解析式是解决本题的关键． 12．（2026•溧水区一模）综合与实践 如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （3）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图象，根据图象可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当y＝24时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【解答】解：（1）描点并连线，函数图象如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当x＝10时，y＝30， ∴， 解得k＝300， ∴． （2）当y＝24时，代入得，， 解得x＝12.5， ∴当砝码质量为24g时，托盘B与点O的距离是12.5cm． （3）设移动前托盘B中的砝码质量为mg，托盘B与点O的距离acm， ma＝300，2m（a﹣6）＝300， 解得m＝25． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为25g． 【点评】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． 13．（2025秋•禹州市期末）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 100 （1）根据表中的数据，猜测拉力的大小F与l之间满足　反比例　 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； （2）求拉力F与l之间的函数解析式（不要求写自变量l的取值范围）； （3）已知OA的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小亮能否成功？请说明理由． 【分析】（1）依据题意，根据表格数据可得，Fl＝300，从而可以得解； （2）依据题意，由（1）知，拉力F是l的反比例函数，则可设拉力F与l之间的函数解析式为，又将l＝1，F＝300代入，解得k＝300，进而可以得解； （3）依据题意得，当OA＝l＝8时，代入，可得F＝37.5＜40，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，Fl＝300， ∴F与l之间满足反比例函数关系． 故答案为：反比例； （2）由（1）设拉力F与l之间的函数解析式为， 将l＝1，F＝300代入，解得k＝300， ∴拉力F与l之间的函数解析式为； （3）小亮能成功．理由如下： ∵当OA＝l＝8时，代入， ∴F＝37.5＜40． ∴小亮想用40N的拉力汲水，小亮能成功． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 14．（2025秋•九江期末）某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 12 20 波长λ（m） 30 25 15 （1）求波长λ关于频率f的函数关系式； （2）当f＝50MHz时，求此电磁波的波长λ． 【分析】（1）设波长λ关于频率f的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）把f＝50MHz代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【解答】解：（1）设波长λ关于频率f的函数关系式为， 由表格可知，当f＝10MHz时，λ＝30m， ∴， 解得k＝300， ∴； （2当f＝50MHz时，， ∴此电磁波的波长λ＝6m． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 15．（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 【分析】（1）依据题意，设R1＝kV+b（k≠0），结合图象（0，240），（60，0），从而，可得R1＝﹣4V+240，进而当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω），故R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω），即可得解； （2）依据题意，由电流I与总电阻R成反比例，则I，又当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，故结合（1）R＝120Ω，进而可得k＝120×0.1＝12，从而可以得解； （3）依据题意，由5≤V≤55，则20≤﹣4V+240＝R1≤220，从而40≤R0+R1＝R≤240，进而0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，设R1＝kV+b（k≠0）， 结合图象（0，240），（60，0）， ∴． ∴k＝﹣4，b＝240． ∴R1＝﹣4V+240． ∴当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω）． ∴R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω）． 答：当油箱内油量体积为35L时，总电阻R的值为120Ω； （2）由题意，∵电流I与总电阻R成反比例， ∴I， 又∵当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A， ∴结合（1）R＝120Ω， ∴k＝120×0.1＝12． ∴I关于总电阻R的函数解析式为I； （3）由题意，∵5≤V≤55， ∴20≤﹣4V+240＝R1≤220． ∴40≤R0+R1＝R≤240． ∴0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【考点3】反比例函数的应用_几何问题（第16-19题） · 面积一定时底与高成反比，利用ah=定值k · 用k的几何意义把线段乘积转化为|k| · 综合探究题要先建立函数模型再讨论存在性 · 注意图象只取实际有意义的分支 16．（2026•石家庄二模）当三角形面积一定时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长a（cm）满足1.2＜a＜2.4时，底边上的高h（cm）的可能是（　　） A．4 B．6 C．12 D．13 【分析】根据图象求出反比例函数的解析式结合性质直接求解即可得到答案． 【解答】解：设反比例函数解析式为：， 由图象得过点（4，3），代入得，， ∴k＝12，则， ∵1.2＜a＜2.4， ∴，即5＜h＜10， ∴对照选项符合题意的是B，ACD均不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查求反比例函数的解析式及反比例函数的性质，解题的关键是根据图象得到必过点求出解析式． 17．（2026•夏县二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为　1.6　 mm2． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出当y＝80时，此时x的值即可． 【解答】解：设反比例函数的表达式为， 由条件可得：， ∴k＝128， ∴反比例函数的表达式为， 当y＝80时，， 解得：x＝1.6， ∴当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为1.6mm2． 故答案为：1.6． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 18．（2025秋•禅城区期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形M，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形N？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得． ②两方程对应的函数y＝﹣x+6与在同一坐标系中的图象如图2所示． ③两图象存在交点，相当于存在条件的x、y的值，即存在满足条件的“加倍”矩形N． 【举一反三】 （1）对于矩形M，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的a倍的“加倍”矩形K？如果存在，求a的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形M”换成满足条件“∠B＝60°，AB＝2，BC＝4”的▱ABCD（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形．已知周长为2，面积为的▱ABCD（如图4所示），AB＜BC，∠B＝45°．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 【分析】（1）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，当﹣x+3a时，Δ＝9a2﹣16＝0时，a的值最小； （2）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，分别求出边长即可； （3）设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得，求出较短边为3，较长边为1，再判断是为黄金平行四边形． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+3a时，x2﹣3ax+4＝0， Δ＝9a2﹣16＝0时，a或a（舍）， ∴a的最小值为； （2）存在，理由如下： 过点A作AH⊥BC交于H， ∵AB＝2， ∴AH＝2， 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+12时，x2+12x+16＝0， 解得x＝6﹣2或x＝6+2， ∴x＝6+2，y＝6﹣2或y＝6+2，x＝6﹣2， ∴边长分别为6+2，6﹣2； （3）是为黄金平行四边形，理由如下： 设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得， ∴， 当﹣x+2时，解得x1或x＝3， ∴较短边为3，较长边为1， ∵， ∴是为黄金平行四边形． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 19．（2025秋•如皋市期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝　　 （用含x的式子表示），y与x成　反　 （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 【分析】（1）依据题意，由与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则xy＝450，从而y，则y与x成反比例关系，即可得解； （2）依据题意，由栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m，从而BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b，故所需栅栏的总长度＝2AB+BC＝7a+10b，进而可以判断得解； （3）依据题意，由所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，则与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b，从而当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH＝（2+9）（66﹣6﹣27），进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym， ∴xy＝450． ∴y，则y与x成反比例关系； 故答案为：；反； （2）由题意，∵栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m， ∴BC＝2a+3b+a+b＝3a+4b． ∴所需栅栏的总长度＝2AB+BC ＝2（2a+3b）+3a+4b ＝4a+6b+3a+4b ＝7a+10b． ∴方案一中所需栅栏的总长度为（7a+10b）m． （3）由题意，∵所需栅栏的总长度为60m，中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m， ∴与墙平行的栅栏FH的长度为：60﹣3（2a+3b）+6＝66﹣6a﹣9b． ∴当a＝1，b＝3时，方案二的面积＝MN•FH ＝（2+9）（66﹣6﹣27） ＝11×33 ＝363（m2）． 答：与墙平行的栅栏FH的长度（66﹣6a﹣9b）m；当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积为363m2． 【点评】本题考查了反比例函数的应用、列代数式以及代数式求值， 【考点4】反比例函数综合（第20-29题） · 联立一次函数与反比例函数解析式求交点 · 求三角形面积用割补法或以坐标轴上线段为底 · 由点在图象上列方程求待定系数 · 结合对称性与不等式判断函数值大小关系 20．（2025秋•吉安县期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　4　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　③④　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　（2，6）　 ，则不等式的解集为 x＜0或0＜x＜2　 ． 【分析】（1）m4，描点连线绘制函数图象即可； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确，即可求解； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）；②观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）m4， 描点连线绘制函数图象如下： 故答案为：4； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确， 故答案为：③④； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）； ②从函数图象看，不等式的解集为x＜0或0＜x＜2， 故答案为：①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2． 【点评】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力，正确理解题意，作出函数图象是解题的关键． 21．（2026•沙坪坝区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E是CD边的中点，F是AB边上一点且满足AF＝2BF，连接BE、AE．现将△ABE以每秒1个单位长度的速度沿射线BA方向运动得到△A′B′E′，当点E′运动到点D时，停止运动．设运动时间为x（0＜x＜6）秒，记点B′与点F的距离为y1，△ABE的面积为S1，△A′B′E′与矩形ABCD重叠部分的面积为S2，． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【分析】（1）分两种情况：当点B′在点F左侧时，当点B′在点F右侧时，分别写出函数解析式即可；根据平移得出AA′＝x，S△A′B′E′＝S△ABE＝S1，AE∥A′E′，从而得出S1﹣S2＝S△A′B′E′﹣S2＝S△AA′G，证明△AA′G∽△DEA，得出，求出AG＝x，得出，即可得出答案； （2）先列表，然后描点，画出y1和y2的函数图象即可，根据一次函数性质写出函数y1的一条性质即可； （3）根据函数图象得出y1＜y2时，x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵AB＝12，AF＝2BF， ∴AF＝12﹣4＝8，， ∴当点B′在点F右侧时，y1＝x﹣4（4≤x＜6）， 当点B′在点F左侧时，y1＝4﹣x（0＜x＜4）， 综上；； ∵矩形ABCD中，CD＝AB＝12，点E为CD的中点， ∴， 根据平移可得：AA′＝x，S△A′B′E′＝S△ABE＝S1，AE∥A′E′， ∴S1﹣S2＝S△A′B′E′﹣S2＝S△AA′G， ∵在矩形ABCD中∠ADE＝∠DAB＝90°， ∴∠A′AG＝180°﹣90°＝90°， ∴∠A′AG＝∠ADE， ∵AE∥A′E′， ∴∠A′GA＝∠DAE， ∴△AA′G∽△DEA， ∴， 即， ∴AG＝x， ∴， ∴； （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 6 y1 4 3 2 1 0 1 2 y2 0 1 4 9 描点，连线，如图所示： 函数y1的一条性质：当4≤x＜6时，y1随x的增大而增大；当0＜x＜4时，y1随x的增大而减小；当x＝4时，y1最小； （3）根据函数图象可得，当2.5＜x＜6时，y1的函数图象在y2的函数图象下面，因此当2.5＜x＜6时，y1＜y2． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数综，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026春•玄武区校级期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH＝2∠HEN，点D在EH上，过点D作DA∥EN，交EM于点A，分别过点A、点D作AB⊥EN、DC⊥EN，垂足为B、C，AB交EH于点F，点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G．猜想AG与AE的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T； 5．连接OT，得到∠TOB． 请根据以上作法，证明∠TOB∠AOB． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数的图象作出线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得△ADF和△ADG是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得OA＝OD，最后利用角之间的关系和等量代换，易得∠MEH＝∠AOE，∠AGD＝∠GDO，从而AE＝AO，OG＝OD，进而可得OG＝OA，AG＝OG+OA＝2OA＝2AE； （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线相交于点Q，PR和QT相交于点K，设，，则，，求直线OT的解析式，可证点Q在直线OT上，再证四边形PQRT是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证∠KPT＝∠KTP，PK＝OP，∠AOT＝∠PKO＝2∠KTP＝2∠TOB，∠AOB＝∠AOT+∠TOB＝3∠TOB，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作AB⊥x轴，交函数的图象于点B，作矩形OABC，在y轴上顺次截取CD＝DE＝OC，过点E作y轴的垂线，交函数的图象于点F，作矩形OEFM，根据反比例函数k的几何意义，即可得到，在x轴上截取MN＝OM，即可求解． 【解答】（1）解：AG＝2AE；理由如下： ∵AB⊥EN，DC⊥EN， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵DA∥EN， ∴∠ADE＝∠HEN，∠DAB+∠ABC＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，即△ADF和△ADG是直角三角形， ∵点O是DF的中点， ∴， ∴∠ADE＝∠DAO， ∴∠AOE＝∠ADE+∠DAO＝2∠ADE＝2∠HEN， ∵∠MEH＝2∠HEN， ∴∠MEH＝∠AOE， ∴AE＝AO， ∵∠DAO+∠AGD＝90°，∠ADE+∠GDO＝90°， ∴∠AGD＝∠GDO， ∴OG＝OD， ∴OG＝OA ∴AG＝OG+OA＝2OA＝2AE， 则AG＝2AE； （2）证明：如图②，分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两线相交于点Q，PR和QT相交于点K， 设，，则，， 设直线OT的解析式为y＝kx（k≠0）， ∴， 解得：， ∴， 当x＝a时，， 即点Q在直线OT上， ∵PT∥x轴，TR∥y轴，QR∥x轴，PQ∥y轴，x轴⊥y轴， ∴∠PQR＝∠QRT＝∠PTR＝90°， ∴四边形PQRT是矩形， ∴对角线PR，QT相等且互相平分， ∴， ∴∠KPT＝∠KTP， ∵PT∥x轴， ∴∠KTP＝∠TOB， ∴∠PKO＝∠KPT+∠KTP＝2∠KTP， ∵PR＝2OP，即， ∴PK＝OP， ∴∠AOT＝∠PKO＝2∠KTP＝2∠TOB， ∴∠AOB＝∠AOT+∠TOB＝2∠TOB+∠TOB＝3∠TOB， 则； （3）解：如图③，点M，N即为线段OA的三等分点； 过点A作x轴的垂线，交函数（k＞0，x＞0）的图象于点B，过点B作y轴的垂线于点C，在y轴上顺次截取CD＝DE＝OC，过点E作y轴的垂线，交函数的图象于点F，过点F作x轴的垂线于点M，在x轴上截取MN＝OM，点M，N即为线段OA的三等分点． ∵点B，F在函数（k＞0，x＞0）的图象上， ∴S矩形OABC＝OA×OC＝k，S矩形OEFM＝OM×OE＝k， ∴OA•OC＝OM•OE， ∵OE＝3OC， ∴， ∵MN＝OM， ∴， 则点M，N为线段OA的三等分点． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 23．（2026•唐河县二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线OA交于点A（8，4），过点A作AB⊥y轴于点B． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AO的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）（2）中所作的垂直平分线与AB交于点C，与x轴交于点D，连接OC、AD，求证：四边形OCAD是菱形． 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点O，A为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN即为线段的垂直平分线． （3）由作图易知：OC＝AC，OD＝AD，证明得到OC＝OD，从而证出OC＝AC＝AD＝OD结论． 【解答】解：（1）∵点A（8，4）在反比例函数的图象上， ∴k＝4×8＝32； （2）如图，分别以点O，A为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN即为线段OA的垂直平分线； （3）证明：设垂直平分线与OA交于点E， 由作图易知：OC＝AC，OD＝AD， ∴∠COA＝∠CAO， ∵AB⊥y轴于点B， ∴AB∥OD， ∴∠CAO＝∠AOD， ∴∠COA＝∠AOD， 又∵OE＝OE，∠CEO＝∠DEO＝90°， ∴△OCE≌△ODE（ASA）， ∴OC＝OD， ∴OC＝AC＝AD＝OD， ∴四边形OCAD是菱形． 【点评】本题考查反比例函数综合，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2026春•莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b和解方程得到结论； （2）设C（5﹣m，m），求得xC﹣xD＝10，得到xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m，求得D（﹣5﹣m，m），解方程得到D（6，1）； （3）设C（n，﹣n+5），①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M，得到∠EMN＝∠ONM＝90°，根据全等三角形的性质得到CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5，求得；②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M，根据全等三角形的性质得到EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n，求得E（n﹣5，n），解方程得到E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b 得：6＝1+b，b＝5， 将A（﹣1，6）代入得：k＝﹣6； （2）∵ky＝﹣x+5， ∴x＝5﹣y， 设C（5﹣m，m）， ∵CD＝10， ∴xC﹣xD＝10， xD＝xC﹣10＝5﹣m﹣10＝﹣5﹣m， ∴D（﹣5﹣m，m）， ∵点D在双曲线上， ∴m（﹣m﹣5）＝﹣6， 解得：m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（﹣6，1）； （3）存在．设C（n，﹣n+5）， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线CN，垂足为N，过点E作EM⊥CM，垂足为M， 则∠EMN＝∠ONM＝90°， ∵∠ECO＝90°， ∴∠ECM+∠OCN＝90°， ∵∠EMC＝90°， ∴∠MEC+∠ECM＝90°， ∴∠OCN＝∠MEC， 又∵等腰直角三角形ECO中，CE＝CO， ∴△EMC≌△CNO（AAS）， ∴CM＝ON＝n，yE＝yC+n＝5， ∴； ②当O为直角顶点时，过点C作 CN⊥x轴，垂足为N，过点E作 EM⊥x轴，垂足为M， 同理可得：△EMO≌△ONC， ∴EM＝ON＝n，OM＝CN＝5﹣n， ∴E（n﹣5，n）， ∴（n﹣5）n＝﹣6， 解得：n1＝2，n2＝3， 此时E2（﹣3，2），E3（﹣2，3）， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或（﹣3，2）或（﹣2，3）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（2026•馆陶县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据已知条件列方程求得m＝6，得到反比例函数的表达式为，求得B（3，2），解方程组即可得到结论； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后得直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，得到，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的性质得到G（﹣1，6），得到直线GB的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，于是得到点P的坐标为（0，5）． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2），将点A的坐标代入反比例函数解析式得： ， 解得：m＝6， ∴反比例函数的解析式为， 将点B的坐标代入反比例函数解析式得： ， 解得：n＝3， ∴B（3，2）， 将点A，点B的坐标分别代入一次函数y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8； （2）∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a， ∴，F（0，8﹣a）． 如图1，过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点A（1，6），B（3，2）， ∴AQ＝4，BQ＝2， 在直角三角形ABQ中，由勾股定理得：． ∵， ∴， 解得：a＝6或a＝10； （3）如图2，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小． ∵点A（1，6）， ∴G（﹣1，6）． 设直线BG的解析式为y＝ex+c，将点B，点G的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BG的解析式为y＝﹣x+5， 当x＝0时，得：y＝5， ∴点P的坐标为（0，5）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 26．（2025秋•桂阳县期中）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）． （1）P的坐标是 　（t，8）　 ；Q的坐标是 　（10，at）　 ；（用含字母a，t的式子表示） （2）若反比例函数图象经过P点、Q点，求a的值； （3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由矩形的性质可得BC＝OA＝10，OC＝AB＝8，由题意可得CP＝t，AQ＝at，即可得解； （2）由反比例函数的性质可得8t＝10at，计算即可得解； （3）由题意可得QA＝QB＝4，CP＝t，AQ＝at，PB＝10﹣t，再分两种情况：①当∠OPQ＝90°时；②当∠PQO＝90°时；分别利用相似三角形的性质计算即可得解． 【解答】解：（1）∵O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8）， ∴BC＝OA＝10，OC＝AB＝8， ∵点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）， ∴CP＝t，AQ＝at， ∴P的坐标是（t，8），Q的坐标是（10，at）， 故答案为：（t，8）；（10，at）； （2）∵反比例函数图象经过P点、Q点， ∴8t＝10at， 解得：； （3）当Q点运动到AB中点时，存在a使△OPQ为直角三角形；理由如下： ∵Q为AB的中点， ∴QA＝QB＝4， 由题意可得：CP＝t，AQ＝at， ∴PB＝10﹣t， ①当∠OPQ＝90°时，则∠B＝∠OCP＝90°， ∵∠OPC+∠COP＝∠QPB+∠OPC＝90°， ∴∠COP＝∠QPB， ∴△OPC∽△PBQ， ∴， ∴， 整理得：t2﹣10t+32＝0， ∵Δ＝100﹣128＝﹣28＜0， ∴此方程无解，即此种情况不存在； ②当∠PQO＝90°时，则∠PBQ＝∠OAQ＝90°， ， ∵∠PQB+∠OQA＝∠PQB+∠BPQ＝90°， ∴∠OQA＝∠BPQ， △QAO∽△PBQ， ∴， ∴， 解得：， ∵AQ＝4， ∴at＝4，即， 解得：； 综上所述，当Q点运动到AB中点时，存在a使△OPQ为直角三角形；a的值为． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27．（2026•东海县二模）小红将一块含45°角的三角板按着如图所示的方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的直角顶点A恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点坐标为（8，0），三角板的另一个顶点与原点O重合，线段AB所在直线的表达式为y2＝mx+n． （1）则k＝　16　 ，m＝　﹣1　 ，n＝　8　 ； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）把△OAB沿着x轴向右平移a个单位，对应得到△O1A1B1，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出a的值． 【分析】（1）根据B点坐标为（8，0），得到OB＝8，过A作AH⊥OB于H，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝OH＝BHOB＝4，求得A（4，4），得到k＝4×4＝16，把A（4，4），B（8，0）代入y2＝mx+n得，解方程组即可得到结论； （2）根据函数图象的交点即可得到结论； （3）分两种情况讨论：①当边A1B1的中点C在y的图象上，②当边O1A1的中点E在y的图象上，过点A1作A1D⊥x轴于点D，即可分别求出a的值． 【解答】解：（1）∵B点坐标为（8，0）， ∴OB＝8， 过A作AH⊥OB于H， ∵OA＝AB，∠OAB＝90°， ∴AH＝OH＝BHOB＝4， ∴A（4，4）， ∵三角板的直角顶点A恰好在反比例函数的图象上， ∴k＝4×4＝16， 把A（4，4），B（8，0）代入y2＝mx+n得， ∴； 故答案为：16，﹣1，8； （2）由（1）知反比例函数y1的图象与直线y2＝﹣x+8交于A（4，4）， ∴当时，x的取值范围为x≥0； （3）如图， ①当边A1B1的中点C在y的图象上，如图2， ∵∠OAB＝90°，AO＝ABOB＝4， ∴A1（4+a，4），B1（8+a，0）， ∴C（6+a，2） ∴（6+a）×2＝16， ∴a＝2； ②当边A1O1的中点E在y的图象上， 过点A1作A1D1⊥x轴于点D1，如图， ∵O1（a，0），A1（a+4，4）， ∴中点E（a+2，2） ∴（a+2）×2＝16， ∴a＝6， 综上所述：符合条件的a的值有2或6． 【点评】本题是反比例函数综合题，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是分情况讨论． 28．（2026•让胡路区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数的图象上，连接OB、AB，BC⊥x轴于点C，OB＝5，OC＝4，点D为AB的中点，连接DC并延长交y轴于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ACE的面积； （3）当AE∥OB时，在x轴的正半轴上存在点P，使得以O、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出P点坐标． 【分析】（1）求出B点坐标，即可求解； （2）设A（m，0），则D（2m，），求出直线CD的解析式为yx，则E（0，），可求△ACE的面积（m﹣4）×（）＝6； （3）由题意可得，解得m＝2+2，则OA＝2+2，AC＝22，OE，当△ABC∽△POE时，OP；当△ABC∽△EOP时，OP＝4；即可求P（4，0）或（，0）． 【解答】解：（1）∵OB＝5，OC＝4， ∴BC＝3， ∴B（4，3）， ∴y； （2）设A（m，0）， ∵D点是AB的中点， ∴D（2m，）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx， ∴E（0，）， ∴△ACE的面积（m﹣4）×（）＝6； （3）直线BO的解析式为yx， ∵AE∥OB， ∴， 解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍）， ∴OA＝2+2，AC＝22，OE， ∵∠ACB＝∠POE＝90°， 当△ABC∽△POE时，， ∴， 解得OP； 当△ABC∽△EOP时，， ∴， 解得OP＝4； ∴P（4，0）或（，0）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 29．（2026•平阴县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求反比例函数表达式； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）把B（3，0）代入y＝﹣x+b，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接AD，求出点C的坐标为（﹣1，﹣2），可得AC2＝20，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0）．将点B的坐标代入得： 0＝﹣3+b， 解得：b＝3， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3， 直线y＝﹣x+3与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），将点A的坐标代入得： 2＝﹣a+3， 解得：a＝1， ∴点A（1，2）， 把点A（1，2）代入得：k＝1×2＝2； ∴； （2）如图，连接AD， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2）， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20， 设点D的坐标为， ∴， ∵∠ACD＝90°， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴， 解得：m＝﹣4或﹣1（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0），将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AD的函数表达式为； （3）设点E的坐标为， 设直线AE的解析式为y＝k2x+b2，将点A，点E的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AE的解析式为， 当y＝0时，得：， 解得：x＝t+1， ∴点P的坐标为（t+1，0）， ∴BP＝|t+1﹣3|＝|t﹣2|， ∴， ∵△BEP的面积为2， ∴， 解得：或t＝﹣2， ∴点E的坐标为（﹣2，﹣1）或． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记反比例函数三种实际模型：路程速度、压力压强、电压电流 · 待定系数法只需一组对应值即可求k · k的几何意义：图象上点与坐标轴围成矩形面积为|k| · 综合题先联立求交点坐标，再用割补法求面积 · 注意实际问题自变量取值范围与图象分支取舍 【作业 1】甲、乙两地相距120km，汽车从甲地行驶到乙地的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间存在函数关系，关于该函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象是第一象限双曲线一支 B．图象是过原点的直线 C．图象是抛物线 D．图象是第二象限双曲线一支 【分析】依据题意，由s＝vt，甲乙两地距离 s＝120km，则，这是反比例函数，结合时间t＞0，速度v＞0，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵s＝vt，甲乙两地距离 s＝120km， ∴，这是反比例函数． ∵时间t＞0，速度v＞0， ∴自变量t只能取正数，函数图象是反比例函数在第一象限的那一支． ∴A选项符合题意，BCD均不合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业 2】（2025秋•鞍山期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（　　） A． B． C． D．I 【分析】设函数解析式为I （k≠0 ），把（9，4）代入函数解析式求得k值即可． 【解答】解：设函数解析式为I（k≠0 ）， 把（9，4）代入得4， ∴k＝4×9＝36， ∴I． 故选：D． 【点评】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【作业 3】（2026•内蒙古）已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，然后用待定系数法求解析式结合选项判断即可． 【解答】解：已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p， ∴压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，图象为双曲线，故A，B不符合题意； 当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，即1800， 故F＝540， 当S＝0.6时，p＝900，故C符合题意； 当S＝0.5时，p＝1080，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 【作业 4】（2026•盐池县模拟）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式，从而判断其图象即可． 【解答】解：根据题意，得Fl＝1200×0.5， ∴F与l之间的函数关系式为F，为反比例函数， ∵l＞0， ∴B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式是解题的关键． 【作业 5】甲汽车站与乙汽车站相距约63.1km，则汽车由甲汽车站行驶到乙汽车站所用时间y（单位：小时）与行驶速度x（单位：千米/时）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，可得且x＞0，故双曲线为第一象限的一支即可． 【解答】解：由题意得，， ∴可得双曲线为第一象限的一支． 故选：B． 【点评】本题主要考查列函数关系式以及反比例函数的图象，解题关键是注意函数自变量的范围． 【作业 6】（2025秋•任城区期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．已知一个长方体石块如图1放置在水平地面时，石块对地面的压强为15000Pa，若将其如图2放置，则石块对地面的压强为　12000　 Pa． 【分析】设，由图1得S＝0.4×0.5＝0.2m2，把（0.2，15000）代入解析式可得k＝3000，进而得，再根据图2把S＝0.25代入计算即可求解． 【解答】解：设， 由图1得，S＝0.4×0.5＝0.2m2， 由题意可得：， ∴k＝3000， ∴， 由图2得，S＝0.5×0.5＝0.25（m2）． 把S＝0.25代入，得， 故答案为：12000． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【作业 7】（2026•南岗区四模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系．当V＝9m3时，则二氧化碳的密度ρ为　1.1　 kg/m3． 【分析】直接利用反比例函数解析式求法得出ρ，再把V＝9m3代入求出答案． 【解答】解：设ρ，把（3，3.3）代入得： k＝3×3.3＝9.9， 故ρ， 则当V＝9m3时，相应的体积ρ1.1（kg/m3）． 故答案为：1.1． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 【作业 8】甲、乙两地相距240千米，一辆货车从甲地匀速驶往乙地．设货车行驶的速度为v千米/时，从甲地到乙地所需的时间为t小时，则t与v的函数解析式为v　 ．若货车每小时的运输成本z（元）与速度v之间满足反比例函数关系z，货车司机计划将全程的总运输成本控制在1200元以内，则货车的速度至少应为　4　 千米/时． 【分析】根据题意得到t与v的函数解析式为v，然后列式计算即可． 【解答】解：∵甲、乙两地相距240千米，设货车行驶的速度为v千米/时，从甲地到乙地所需的时间为t小时， ∴vt＝240， ∴t与v的函数解析式为v， ∵t， ∴5v， 把z＝5v代入z得5v， ∴v＝4， 答：货车的速度至少应为4千米/时． 故答案为：v，4． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地理解题意是解题的关键． 【作业 9】（2026•建邺区三模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　丙　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示： 由图可知y′1＞y1，y′3＜y3， ∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数， ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②x1y1＜x1y′1＝k，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③x3y3＞x3y′3＝k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 【点评】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【作业 10】（2026•铁东区三模）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的值至少为 　35　 cm． 【分析】根据弹簧秤平衡的结论FL＝F1L1，以及F≤7，解不等式即可． 【解答】解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧， ∴L≤50， 又∵FL＝F1L1， 即：F7， 解得：L≥35， ∴35≤L≤50． 故答案为：35． 【点评】本题考查两点间的距离，理解“杠杆平衡的条件”以及F不超过7N的意义，列不等式进行解答解答即可． 【作业 11】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（单位：kΩ）随温度T（单位：℃）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例函数关系；随后温度每上升1℃，电阻增加． （1）当10≤T≤30时，R关于T的函数解析式为　　 ； （2）求温度在30℃时电阻R的值，并求出当T＞30时，R关于T的函数解析式； （3）通电后，温度T在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？ 【分析】（1）设关系为，将（10，6）代入求k； （2）将T＝30℃代入关系式中求R'，由题意得； （3）将R＝6代入（T﹣30），求出T． 【解答】解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系， ∴可设R和T之间的关系式为， 将（10，6）代入上式中得：， k＝60． 故当10≤T≤30时，； （2）将T＝30℃代入上式中得：R＝2． ∴温度在30℃时，电阻R＝2（kΩ）． ∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃电阻增加，∴ 当T≥30时，； （3）把R＝6（kΩ），代入， 得T＝45（℃）， ∴当T≥30时，， 温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ． 【点评】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用等，掌握相关知识点是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•莱芜区期中）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 yx ；自变量x的取值范围是 　0≤x≤8　 ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 y　 ；自变量x的取值范围是 x＞8　 ； （2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）根据待定系数法即可求出两个函数解析式，从图上可读出x的取值范围； （2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x； （3）把y＝2.5代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与30进行比较，＞等于10就有效． 【解答】解：（1）yx，0≤x≤8；y，x＞8； （2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥50， 答：即从消毒开始，至少需要50分钟后员工才能回到办公室； （3）把y＝2.5代入yx，得：x＝2， 把y＝2.5代入y，得：x＝32， ∵32﹣2＝30， 所以这次消毒有效． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 【作业 13】（2026•潮阳区三模）最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 … （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝5×104Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． （2）将p＝5×104Pa代入，p时，S＝9.6×10﹣3， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为9.6×10﹣3平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 【作业 14】（2026•永宁县一模）阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R，RL之间的关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝　2　 ，b＝　1.5　 ； （2）根据以上实验，构建函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在图2中画出函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是　不断减小　 ． 【分析】（1）由已知列出方程，即可求解； （2）①用描点法，画出图象；②根据表格里函数的图象性质，即可求解． 【解答】解：（1）当R＝a，I＝3时， 3（a+2）＝12， 解得a＝2． 当R＝6，I＝b时，（6+2）b＝12， 解得b＝1.5； 故答案为：2，1.5； （2）①由表格数据，描点，连线，画图如下： ②由图象可知：随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小． 故答案为：不断减小． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． 【作业 15】（2026春•赣榆区月考）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的x的取值范围； （3）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D的坐标，设点P（m，0）（m＜0），利用坐标分别求出OD，OC，OA，OP，再由△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD，则分两种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，把点A的坐标代入，得：k＝4， ∴反比例函数的表达式为， 把点B的坐标代入，得：， ∴B（4，1）， 把点A、点B的坐标分别代入y＝ax+b，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+5； （2）∵一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于A（1，4）、B（4，1）两点， ∴由图象可得关于x的不等式的解集为x＜0或1＜x＜4． （3）点P的坐标为或P（﹣5，0）．理由如下： 当y＝0时，得：y＝﹣x+5＝0， 解得：x＝5， ∴C（5，0）， ∴OC＝5， ∵点D与点A（1，4）关于点O对称， ∴D（﹣1，﹣4），， 设点P（m，0）（m＜0）， ∴OP＝﹣m， ∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD， 当△AOC∽△POD时，则， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴； 当△AOC∽△DOP时，则， ∴， 解得：m＝﹣5（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴P（﹣5，0）； 综上所述，点P的坐标为或P（﹣5，0）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【作业 16】（2026•莱芜区模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，1）和B（﹣1，4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）如图，直线OA与反比例函数的图象的另一个交点为点C，点M是第四象限反比例函数图象上的一点，当△ACM的面积为6时，求点M的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P为x轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点B（﹣1，4）代入，可求函数解析式，从而求出A（﹣4，1），将点A、B代入y＝mx+n，可求一次函数解析式； （2）连接OM，由O是AC的中点，可得△OCM的面积＝4，设M（t，），根据△COM的面积＝4，求出t的值即可求M点坐标； （3）设P（x，0），Q（b，），根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1）将点B（﹣1，4）代入，得， ∴k＝﹣4， ∴y， 将A（a，1）代入，得， ∴a＝﹣4， ∴A（﹣4，1）， 将点A（﹣4，1）、B（﹣1，4）代入 y＝mx+n，得 ∴， 解得， ∴y＝x+5； （2）连接OM，过M作y轴的平行线交直线AC于点D， ∵直线OA与反比例函数交于C点， ∴A、C关于原点对称， ∴C（4，﹣1）， ∴O是AC的中点， ∵△ACM的面积为6， ∴△OCM 的面积为3， ∵C（4，﹣1），A（﹣4，1）， ∴直线AC的表达式为：， 设，则， ∵S△COM＝3， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得t＝8或t＝﹣2（舍去）， ∴， 当时， 解得t＝2或t＝﹣8（舍去）， ∴M（2，﹣2）， 综上所述M点的坐标为（2，﹣2）或； （3）存在点Q，理由如下： 设P（x，0），， 当AP为对角线时，1+0＝﹣1， 解得b＝﹣2， ∴Q（﹣2，2）； 当AQ为对角线时，﹣1+0＝1， 解得b＝2， ∴Q（2，﹣2）， 综上所述：Q点坐标为：（﹣2，2）或（2，﹣2）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【作业 17】（2026•新会区校级一模）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）设点M的坐标为（a，b），根据点M在反比例函数上，求出AB，根据AC⊥x轴，M是AC的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数C2的表达式为，代入点A的坐标即可解答； （2）根据题意证明AC与BD互相垂直平分即可得证． 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）， ∵点M在反比例函数上， ∴ab＝2， ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A的坐标为（a，2b）， 设经过点A的反比例函数C2的表达式为， 把A（a，2b）代入可得， 即k＝2ab， 又∵ab＝2， ∴k＝4， 则反比例函数C2的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为（a，b）， ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， ∵点D在图象C2上， ∴xb＝4，即x． ∴点D的坐标为（，b）， 由（1）知A（a，2b），ab＝2，即a， ∴点M的坐标为（，b）， ∴BM＝DM， ∵M是AC的中点， ∴AM＝CM； ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 【作业 18】（2026•天桥区二模）如图1，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4），B（6，m）两点，点C为线段AB中点，连接AO，CO． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOC的面积； （3）如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点P、Q（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据三角形的面积公式和线段中点的定义即可得到结论； （3）当△AMP和△PNB的相似比为2，得到MN＝2n+m＝xB﹣xA＝3且AM＝2m＝yA﹣yB＝3，进而求解．当△AMP和△PNB的相似比为1：2时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：n＝3×4＝12， 则反比例函数的表达式为：y， 将点B的坐标代入上式得：m2， 即点B（6，2）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yx+6； （2）连接OA、OB， 由一次函数的表达式知，点E（9，0）， 则S△AOB＝S△OEA﹣S△OEBOE×（yA﹣yB）9×（4﹣2）＝9， ∵点C为线段AB中点， ∴AC＝BC， 则S△AOCS△AOB； （3）存在，理由： 由题意得，∠APB＝90°，AP：BP＝2， 过点P作x轴的平行线分别交过点A、B和y轴的平行线于点M、N， 则△AMP和△PNB的相似比为1：2或2：1， 当△AMP和△PNB的相似比为1：2时， 设PN＝m，BN＝n， 则AMm，MPn， 则MNn+m＝xB﹣xA＝3且BN﹣AMm＝yA﹣yB＝2， 解得：m，n， 则点P（，）， 由中点坐标公式得：点Q（，）； 即P（，）、点（，）； 当△AMP和△PNB的相似比为2：1时， 同理可得：2m+n＝2且2n﹣m＝3， 解得：m，n， 则P（，）、点Q（，）． 综上，P（，）、点（，）或（，）、点Q（，）． 【点评】主要考查了反比例函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【作业 19】（2026•上蔡县一模）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设点P的坐标为（m，n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得m，n，即可求解；当AO或BO为对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n， 解得：k＝4，n＝﹣4， 即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣4，﹣1）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 则一次函数表达式为：y＝x+3； （2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b成立； （3）设点P的坐标为（m，n）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得，， 解得， 则点P（﹣3，3）； 当AO和BO为对角线时， 同理可得或， 解得或， 则点P（﹣5，﹣5）或（5，5）， 综上，点P的坐标为：（﹣3，3）或（﹣5，﹣5）或（5，5）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 反比例函数应用及综合 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数y=（k≠0）的实际意义，能从实际问题中抽象出反比例关系 · 掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法 · 能结合反比例函数图象分析速度时间、压强面积等实际问题的取值范围 · 会解决反比例函数与几何图形结合的面积问题，理解k的几何意义 · 能综合运用反比例函数与一次函数的图象与性质解决交点、面积综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的实际应用 现实中两个变量乘积为定值时成反比例，形如y=（k≠0） 常见模型：路程一定时v=、压力一定时p=、电压一定时I= 用待定系数法：先设y=，代入一组已知值求k，再写解析式 要结合实际意义确定自变量x的取值范围，图象通常只取第一象限分支 概念辨析例题：汽车行驶路程s=240km一定，写出平均速度v（km/h）关于行驶时间t（h）的函数关系式，并判断v随t的变化趋势 解析：路程一定时vt=240，故v=；k=240＞0，在第一象限内v随t增大而减小 ☆ 2.跨学科与物理模型 杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即F1L1=F2L2 压强公式：压力F一定时p=，受力面积S越大压强p越小 欧姆定律：电压U一定时电流I=，电阻R越大电流I越小 波速一定时波长λ与频率f成反比：λf=c，注意单位换算 概念辨析例题：杠杆阻力与阻力臂分别为1200N和0.5m，求动力F关于动力臂l的函数关系式 解析：由杠杆原理Fl=1200×0.5=600，得F=，动力臂l越长越省力 ☆ 3.k的几何意义与面积问题 双曲线y=上任意一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形面积为|k| 该点、垂足、原点组成的直角三角形面积为 三角形（或矩形）面积一定时，底边与对应高成反比例 面积问题要先由图象上一点求k，再利用|k|转化线段乘积关系 概念辨析例题：三角形面积一定时，底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例，图象过点（3，4），求面积及a=2时的h 解析：ah=2S=定值k，过点（3，4）得k=3×4=12，故ah=12；S==6；a=2时h==6 ☆ 4.反比例函数与一次函数综合 两个函数图象交点坐标同时满足两个解析式，联立方程组求解 交点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于原点对称当且仅当一次函数过原点 利用交点坐标求三角形面积时，常用割补法或以坐标轴上线段为底 比较函数值大小看图象：双曲线与直线上下位置对应的x范围 概念辨析例题：一次函数y=ax+b与反比例函数y=交于A（1，4）、B（4，m），求k、m 解析：A在双曲线上，k=1×4=4，故y=；B（4，m）代入得m==1 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数 y=（k≠0） k是常数，x≠0 待定系数法 设y=，代入求k 只需一组对应值 实际模型 vt=s、p=、I= k为两变量乘积 k的几何意义 矩形面积|k|，三角形面积 注意k的符号 杠杆原理 F1L1=F2L2 力与力臂成反比 函数交点 联立方程组求解 交点同时满足两式 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的应用（第1-10题） · 从实际问题中找乘积为定值的两个变量，建立y= · 用一组已知对应值代入待定系数法求k · 结合图象判断增减性与取值范围，注意实际意义取舍 · 分段问题（加热+下降）要分阶段写解析式并求分界点 1．学校的自动饮水机开机加热时，水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例．当水温降至30℃时，饮水机再自动加热．若水温在30℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．水温从30℃加热到100℃时，需要7min B．在一个加热周期内，水温不低于40℃的时间为25min C．水温从100℃降至30℃，所需时间为15min D．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 2．（2025•高要区校级三模）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v（m/s）是载重后总质量M（kg）的反比例函数．已知一款机器狗（如图所示）载重后总质量M＝30kg时，它的最快移动速度v＝2m/s；当其载重后总质量M＝60kg时，它的最快移动速度v＝（　　）m/s． A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知老李家距离鱼菜共生田地300米，骑自行车从老李家匀速骑行到田地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•洛阳期末）如图（1），区间测速是通过计算车辆通过两个相邻监控点的时间，来检测其在该路段平均速度的方法．如图（2），在限速区间AB内，满足安全驾驶且在限速范围的条件下，汽车的平均行驶速度v（km/h）是行驶时间t（h）的反比例函数．当100＜v≤120时，汽车通过该限速区间的时间可能是（　　） A．0.15h B．0.22h C．0.24h D．0.4h 5．（2026•成华区模拟）某机器狗最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知该机器狗载重后总质量为60kg时，它的最快移动速度为6m/s，则当其载重后总质量为90kg时，它的最快移动速度为_____ m/s． 6．（2026•蓬江区模拟）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是__________ ． 7．（2026•洛阳模拟）冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若P＝110W时，t＝2h，则P与t之间的关系式为____________________ ． 8．（2026•枣庄模拟）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升10℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至20℃时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为20℃时，接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示． （1）分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）求在一个循环内水温不低于40℃的时长． 9．（2025秋•光明区期末）某生命科学实验室进行细胞培养实验．细胞培养液的营养活性浓度y（单位：U/mL）与培养液的稀释倍数x（x＞1）成反比例关系．实验数据显示，当稀释倍数为15时，营养活性浓度为400U/mL． （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）已知培养液的营养活性浓度需满足300U/mL≤y≤500U/mL，为满足细胞培养需求，求培养液稀释倍数x的取值范围． 10．（2025秋•岳阳月考）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上8：00能否驾车去上班？请说明理由． 【考点2】反比例函数应用跨学科（第11-15题） · 联系物理公式：压强p=、欧姆I=、杠杆F1L1=F2L2 · 由实验数据或图象先判断是否成反比例再求解析式 · 注意自变量单位与取值范围，超范围时实际意义失效 · 多问题先求k再依次解决最值、范围问题 11．（2025秋•瓦房店市月考）在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强ρ（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求ρ与V的函数表达式； （2）若该容器内气体的压强不得超过400kPa，求该容器体积的取值范围． 12．（2026•溧水区一模）综合与实践 如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图象，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离； （3）当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 13．（2025秋•禹州市期末）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 100 （1）根据表中的数据，猜测拉力的大小F与l之间满足________ 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； （2）求拉力F与l之间的函数解析式（不要求写自变量l的取值范围）； （3）已知OA的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小亮能否成功？请说明理由． 14．（2025秋•九江期末）某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（MHz） 10 12 20 波长λ（m） 30 25 15 （1）求波长λ关于频率f的函数关系式； （2）当f＝50MHz时，求此电磁波的波长λ． 15．（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 【考点3】反比例函数的应用_几何问题（第16-19题） · 面积一定时底与高成反比，利用ah=定值k · 用k的几何意义把线段乘积转化为|k| · 综合探究题要先建立函数模型再讨论存在性 · 注意图象只取实际有意义的分支 16．（2026•石家庄二模）当三角形面积一定时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当底边长a（cm）满足1.2＜a＜2.4时，底边上的高h（cm）的可能是（　　） A．4 B．6 C．12 D．13 17．（2026•夏县二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：mm2）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为80m时，该龙须面的面条的平均横截面积约为________ mm2． 18．（2025秋•禅城区期末）综合探究 【问题提出】如图1，现有一个长为2，宽为1的矩形M，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”矩形N？ 【追根溯源】用数形结合的方式解决这个问题，思路如下： ①设“加倍”矩形的长为x，宽为y，由题意得． ②两方程对应的函数y＝﹣x+6与在同一坐标系中的图象如图2所示． ③两图象存在交点，相当于存在条件的x、y的值，即存在满足条件的“加倍”矩形N． 【举一反三】 （1）对于矩形M，是否存在一个面积为它的2倍，周长为它的a倍的“加倍”矩形K？如果存在，求a的最小值；如果不存在，说明理由． （2）将“矩形M”换成满足条件“∠B＝60°，AB＝2，BC＝4”的▱ABCD（如图3所示），在角度不变的情况下，是否存在一个周长与面积均为它的2倍的“加倍”平行四边形？ 【融会贯通】 （3）定义：较短边与较长边的比值为的平行四边形是黄金平行四边形．已知周长为2，面积为的▱ABCD（如图4所示），AB＜BC，∠B＝45°．在角度不变的情况下，周长为它的2倍、面积为它的4倍的“加倍”平行四边形的边长分别是多长？是否为黄金平行四边形？ 19．（2025秋•如皋市期中）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．若花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成的四边形ABCD是一个长方形花圃． 如图2，围成长方形花圃EFHG时，中间用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小长方形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口．（进出口不用栅栏） （1）方案一中，若围成一个面积为450m2的长方形花圃．设与墙垂直的栅栏AB的长度为xm，与墙平行的栅栏BC的长度为ym，则y＝____________________ （用含x的式子表示），y与x成_____ （填“正”或“反”）比例关系； （2）方案一中，若栅栏AB的长为（2a+3b）m，栅栏BC的长比它多（a+b）m．求方案一中所需栅栏的总长度； （3）方案二中，若所需栅栏的总长度为60m，设中间栅栏MN的长度为（2a+3b）m，用含a，b的代数式表示与墙平行的栅栏FH的长度，并求当a＝1，b＝3时方案二中花圃的面积． 【考点4】反比例函数综合（第20-29题） · 联立一次函数与反比例函数解析式求交点 · 求三角形面积用割补法或以坐标轴上线段为底 · 由点在图象上列方程求待定系数 · 结合对称性与不等式判断函数值大小关系 20．（2025秋•吉安县期末）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ _____ ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 _______ ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 __________ ，则不等式的解集为 ______________ ． 21．（2026•沙坪坝区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E是CD边的中点，F是AB边上一点且满足AF＝2BF，连接BE、AE．现将△ABE以每秒1个单位长度的速度沿射线BA方向运动得到△A′B′E′，当点E′运动到点D时，停止运动．设运动时间为x（0＜x＜6）秒，记点B′与点F的距离为y1，△ABE的面积为S1，△A′B′E′与矩形ABCD重叠部分的面积为S2，． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22．（2026春•玄武区校级期末）利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分． （1）如图①，EH是∠MEN的三等分线，∠MEH＝2∠HEN，点D在EH上，过点D作DA∥EN，交EM于点A，分别过点A、点D作AB⊥EN、DC⊥EN，垂足为B、C，AB交EH于点F，点O是DF的中点，连接AO并延长交CD于点G．猜想AG与AE的数量关系，并说明理由． （2）古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； 3．以P为圆心，以2OP为半径作弧，交函数的图象于点R； 4．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点T； 5．连接OT，得到∠TOB． 请根据以上作法，证明∠TOB∠AOB． （3）如图③，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，请你利用反比例函数的图象作出线段OA的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 23．（2026•唐河县二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线OA交于点A（8，4），过点A作AB⊥y轴于点B． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AO的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）（2）中所作的垂直平分线与AB交于点C，与x轴交于点D，连接OC、AD，求证：四边形OCAD是菱形． 24．（2026春•莱芜区期末）直线y＝﹣x+b与双曲线交于点A（﹣1，6），与x轴交于点B，点C是线段AB上一点． （1）求k，b的值； （2）如图，过点C作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段CD＝10时，求点D的坐标； （3）双曲线上是否存在点E，使得△COE是以OC为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2026•馆陶县三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 26．（2025秋•桂阳县期中）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）． （1）P的坐标是 __________ ；Q的坐标是 ____________ ；（用含字母a，t的式子表示） （2）若反比例函数图象经过P点、Q点，求a的值； （3）当Q点运动到AB中点时，是否存在a使△OPQ为直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 27．（2026•东海县二模）小红将一块含45°角的三角板按着如图所示的方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已知三角板的直角顶点A恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点B在x轴上，且B点坐标为（8，0），三角板的另一个顶点与原点O重合，线段AB所在直线的表达式为y2＝mx+n． （1）则k＝_______ ，m＝_______ ，n＝_____ ； （2）当时，直接写出x的取值范围； （3）把△OAB沿着x轴向右平移a个单位，对应得到△O1A1B1，当反比例函数的图象经过一边的中点时，请直接写出a的值． 28．（2026•让胡路区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数的图象上，连接OB、AB，BC⊥x轴于点C，OB＝5，OC＝4，点D为AB的中点，连接DC并延长交y轴于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）求△ACE的面积； （3）当AE∥OB时，在x轴的正半轴上存在点P，使得以O、E、P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出P点坐标． 29．（2026•平阴县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求反比例函数表达式； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，请直接写出点E的坐标． 💯 课后巩固 【作业 1】甲、乙两地相距120km，汽车从甲地行驶到乙地的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间存在函数关系，关于该函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象是第一象限双曲线一支 B．图象是过原点的直线 C．图象是抛物线 D．图象是第二象限双曲线一支 【作业 2】（2025秋•鞍山期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，如图所示，则电流I与电阻R的函数关系是（　　） A． B． C． D．I 【作业 3】（2026•内蒙古）已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2026•盐池县模拟）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　） A． B． C． D． 【作业 5】甲汽车站与乙汽车站相距约63.1km，则汽车由甲汽车站行驶到乙汽车站所用时间y（单位：小时）与行驶速度x（单位：千米/时）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【作业 6】（2025秋•任城区期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数．已知一个长方体石块如图1放置在水平地面时，石块对地面的压强为15000Pa，若将其如图2放置，则石块对地面的压强为__________ Pa． 【作业 7】（2026•南岗区四模）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系．当V＝9m3时，则二氧化碳的密度ρ为________ kg/m3． 【作业 8】甲、乙两地相距240千米，一辆货车从甲地匀速驶往乙地．设货车行驶的速度为v千米/时，从甲地到乙地所需的时间为t小时，则t与v的函数解析式为____________________ ．若货车每小时的运输成本z（元）与速度v之间满足反比例函数关系z，货车司机计划将全程的总运输成本控制在1200元以内，则货车的速度至少应为_________________ 千米/时． 【作业 9】（2026•建邺区三模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_____ （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【作业 10】（2026•铁东区三模）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1，若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的值至少为 _______ cm． 【作业 11】家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（单位：kΩ）随温度T（单位：℃）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例函数关系；随后温度每上升1℃，电阻增加． （1）当10≤T≤30时，R关于T的函数解析式为____________________ ； （2）求温度在30℃时电阻R的值，并求出当T＞30时，R关于T的函数解析式； （3）通电后，温度T在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kΩ？ 【作业 12】（2025秋•莱芜区期中）为了预防冬季流感，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测药物8分钟燃毕，此时空气中每立方米含药量为10毫克，请根据题中所提供的信息，回答下列问题． （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ____________________ ；自变量x的取值范围是 __________ ；药物燃烧完后，y与x的函数关系式为 ____________________ ；自变量x的取值范围是 ________ ； （2）研究表明，当空气中的每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2.5毫克且持续时间不低于30分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【作业 13】（2026•潮阳区三模）最近DeepSeek火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣2 8×10﹣3 6×10﹣3 4.8×10﹣3 … （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104Pa，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【作业 14】（2026•永宁县一模）阅读与思考 阅读材料：在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为U＝12（V）的蓄电池，通过调节滑动变阻器R（Ω）来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流I与电阻R，RL之间的关系为，通过实验得出如下数据（表格数据不完整）： R/Ω … 1 a 4 6 … I/A … 4 3 2 b … （1）a＝_____ ，b＝________ ； （2）根据以上实验，构建函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在图2中画出函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________ ． 【作业 15】（2026春•赣榆区月考）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，请直接写出点P的坐标． 【作业 16】（2026•莱芜区模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，1）和B（﹣1，4）两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）如图，直线OA与反比例函数的图象的另一个交点为点C，点M是第四象限反比例函数图象上的一点，当△ACM的面积为6时，求点M的坐标； （3）在第（2）问的条件下，若点P为x轴上的点，则在反比例函数的图象上是否存在点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业 17】（2026•新会区校级一模）如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，M是AC的中点． （1）求经过点A的反比例函数C2的表达式； （2）若点D恰好也在图象C2上，证明：四边形ABCD是菱形． 【作业 18】（2026•天桥区二模）如图1，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4），B（6，m）两点，点C为线段AB中点，连接AO，CO． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOC的面积； （3）如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．在平面内是否存在点P、Q（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业 19】（2026•上蔡县一模）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 复习建议 · 熟记反比例函数三种实际模型：路程速度、压力压强、电压电流 · 待定系数法只需一组对应值即可求k · k的几何意义：图象上点与坐标轴围成矩形面积为|k| · 综合题先联立求交点坐标，再用割补法求面积 · 注意实际问题自变量取值范围与图象分支取舍 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $