第6讲 反比例函数图像及性质 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第6讲 反比例函数图像及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，会识别反比例函数并确定比例系数k · 会用描点法画出反比例函数的图象，知道图象是双曲线 · 掌握反比例函数的性质：象限分布与增减性由k的符号决定 · 理解|k|的几何意义，会求图象上点与坐标轴围成的矩形、三角形面积 · 能综合运用反比例函数与一次函数的图象性质解决交点、面积问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的定义 形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫反比例函数 也可写成y=kx﹣1或xy=k（k≠0） 自变量x≠0，函数值y≠0 判断是否为反比例函数看两变量乘积是否为定值 概念辨析例题：若函数y=(m-1)xn是反比例函数，且指数n=m2-2，求m 解析：指数m2-2=﹣1得m=±1，又系数m-1≠0，故m=﹣1 ☆ 2.反比例函数的图像 图象是双曲线，有两个分支，关于原点中心对称 图象无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交 k>0时两分支在第一、三象限 k<0时两分支在第二、四象限 概念辨析例题：反比例函数y=的图象在哪些象限 解析：k=6>0，故图象两分支分别在第一、三象限 ☆ 3.反比例函数的性质 k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小 k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大 增减性必须强调「在每个象限内」，不能跨支比较 图象上任意点向坐标轴作垂线，矩形面积恒为|k| 概念辨析例题：点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)在y=(k<0)上，比较y1、y2 解析：k<0在第二象限y随x增大而增大，﹣2<﹣1，故y1<y2 ☆ 4.|k|的几何意义与综合 图象上点P(x,y)向两轴作垂线，矩形面积S=|xy|=|k| 连结OP，直角三角形面积S= 过双曲线上两点分别作x轴垂线，同底三角形面积相等 与一次函数交点问题联立方程组求解 概念辨析例题：点A在y=上，AB⊥x轴于B，S△AOB=3，求k 解析：S△AOB==3，故|k|=6，k=±6 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 反比例函数 y=（k≠0） x≠0 图象 双曲线两分支 关于原点对称 k>0 在一、三象限 每支y随x增大而减小 k<0 在二、四象限 每支y随x增大而增大 |k|几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 增减性 必须分象限说 不能跨支比较 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的定义（第1-7题） · 看两变量乘积是否为定值k · 写成y=或xy=k形式判断 · 注意k≠0及指数为﹣1 · 已知点代入xy=k求待定系数 1．（2025秋•金湾区期末）下列各选项中的两个量，不成反比例关系的是（　　） A．三角形的面积为6cm2，它的一条边的长与这条边上的高 B．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 C．100米短跑比赛，跑步的平均速度与时间 D．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 2．（2025秋•伊犁州期末）下列数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．人的身高和体重 B．等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高 C．看一本书，已经看的页数和没看的页数 D．买同一种练习本所需的费用与购买的本数 3．（2024秋•西华县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．xy＝123 B． C．y＝4x D．y＝x2﹣1 4．下列函数： ①； ②； ③xy＝8； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，且a为常数）． 其中，y是x的反比例函数的有__________ （填写序号）． 5．（2024秋•东城区校级期末）将反比例函数写成的形式，则k的值为 ___________________ ． 6．（2025春•衡山县期中）若y＝（m﹣1）xm是反比例函数，则m的值为_______ ． 7．（2025春•杭州期末）已知y与z成正比例，z与x成反比例．当x＝﹣4时，z＝3，y＝﹣4． （1）求y关于x的函数表达式； （2）在平面直角坐标系中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求△OAB的面积． 【考点2】反比例函数的图像（第8-19题） · 由k符号判断分支所在象限 · 与一次函数图象共存问题看k符号是否一致 · 双曲线不与坐标轴相交 · 关于原点对称可由一点求对称点 8．（2026•科尔沁区校级二模）如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．5 C．2 D．0 9．（2025秋•河南期末）若a，b互为相反数，则函数y＝ax﹣b与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•泰山区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣1（k≠0）和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 11．（2026•周至县一模）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．（2026•龙岗区二模）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k＝_____ ． 13．（2024秋•顺义区期末）通常利用公式F1•L1＝F2•L2解决杠杆平衡问题，其中F1表示动力，L1表示动力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂．已知L1＝3m，F2＝2000N，L2＝0.3m，则F1的值为 ________ N． 14．（2026春•西城区校级月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为3，则k的值为_______ ． 15．（2025秋•藁城区期末）如图是反比例函数（k≠0）的图象，整数k的值是_____ ． 16．函数y，当x＞0时，图象在第 _____ 象限，y随x的增大而 _______ ． 17．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． （1）填写表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y1 … _______ ﹣3 3 __________________ 1 … y2 … 1 _____ ﹣3 … （2）以表格中的对应值为点的坐标，在图中画出函数图象． 18．（2024春•泰兴市校级月考）已知反比例函数； （1）直接写出自变量x的取值范围． （2）在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图象； x … … y … … （3）观察图象，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 19．（2024秋•长春期末）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 _______ 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 _________ 小时． 【考点3】反比例函数的性质（第20-35题） · k>0每支递减，k<0每支递增 · 比较函数值要先看两点是否在同一支 · |k|越大图象离坐标轴越远 · 面积问题用矩形/三角形面积公式 20．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 21．（2025秋•开鲁县期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．其图象经过点（﹣1，3） B．其图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞﹣3 22．（2026•古冶区模拟）如果反比例函数（m为常数），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜0 D．m＞0 23．（2025秋•海城市期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，﹣3） B．图象位于第一、第三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＞3 24．（2024秋•上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大． A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D． 25．（2025•埇桥区校级一模）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（　　） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点（0，0）成中心对称 C．若（x1，y1），（x2，y2）为函数图象上两点，且x1＜x2，则y1＜y2 D．图象关于直线y＝﹣x成轴对称 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 27．（2026春•嘉定区期末）如果反比例函数y＝（m+1）x|m|﹣4（m是常数）的图象在第二、四象限，那么m的值是_______ ． 28．（2026•郫都区模拟）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 ________ ． 29．（2026秋•同步）已知反比例函数（k≠0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝_________ ． 30．（2026•武汉）反比例函数（k为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是___________________ ． 31．（2025秋•松原期末）反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是____________ ． 32．（2026春•长治期末）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是_____ 函数关系（填序号）； ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，估计这个人的身高． 33．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是________ ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 34．（2025秋•太原校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 35．（2025秋•南山区校级期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x＞__________ 时，y随x的增大而 _______ （填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 __________ ； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数y图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 ____________ ． 【考点4】创新及压轴题（第36-39题） · 新定义问题先读懂规则再转化 · 与一次函数交点联立方程组 · 面积最值用割补法表示 · 存在性问题假设成立列方程检验 36．（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：___________ ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 37．（2025•海珠区一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 38．（2025•长治一模）阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线AP上连续截取PQ，QR，使PQ＝QR＝AP． 第三步：过点R作RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线OA上连续截取OD，DE，使OD＝DE＝BC，则D，E为OA的三等分点． 但是BC为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设OA＝m，则点A的坐标为（m，0）． ∵PA⊥x轴于点A，交的图象于点P， ∴点P的坐标为． … 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段OA的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整； （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段OA的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 39．（2024春•夹江县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为 ____________________ ； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当x＞0时，y随着x的增大而 _______ （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026春•同步）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1_____ y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【作业 2】（2026春•同步）已知下列反比例函数：y，y，y，y．其中，图象位于第一、三象限的函数是____________________ ；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是____________________ ． 【作业 3】（2026•福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为_____ ． 【作业 4】（2026春•奉贤区期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图象和一个反比例函数图象，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： x … a 1 2 … y1 … ﹣2 2 1 … 表2： x … a 1 2 … y2 … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中（如图），画出这两个函数的大致图象，并结合这两个函数的图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 六．课后巩固（共15小题） 【作业 1】（2026春•开州区期中）反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【作业 2】（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的大致图象可能是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【作业 3】（2026春•香坊区校级同步）若反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A．过一、二、三象限 B．过一、二、四象限 C．过一、三、四象限 D．过二、三、四象限 【作业 4】（2026春•同步）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k_____ 0；在图象的每一支上，y随着x的增大而_______ ． 【作业 5】（2026春•河口区期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________ ． 【作业 6】（2026春•沙坪坝区校级同步）若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是_____ ． 【作业 7】（2020秋•献县期末）如图，线段AB是直线y＝x+1的一部分，其中点A在y轴上，点B横坐标为2，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，则点C的坐标 __________ ；点P（2019，m）与Q（2025，n）均为在该波浪线上，则m+n＝_____ ． 【作业 8】（2026•铁岭模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝_____ ． 【作业 9】（2023秋•亳州月考）在平面直角坐标系中，点A（2，1），B（2，﹣3），C（m，3）分别位于三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，求反比例函数的表达式和m的值． 【作业 10】（2025•高唐县一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 x … ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣4 4 2 a … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点P（4，1）是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ翻折，求翻折后的函数图象与x轴的交点坐标； （3）若经过点M（1，4），N（2，2）的直线分别交x轴、y轴于点B，C，求BC的长． 【作业 11】（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有_____ 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【作业 12】（2025秋•固始县期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①______________ ，②____________________ ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 _____ 平移 _____ 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 ___________ 时，y3＞3． 【作业 13】（2025春•上蔡县月考）已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 复习建议 · 反比例函数y=中k≠0，x≠0 · 由k符号定象限，k>0一三、k<0二四 · 增减性必须说「在每个象限内」 · 图象上点与坐标轴围成矩形面积恒为|k| · 比较函数值先判断两点是否在同一支 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 反比例函数图像及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解反比例函数的概念，会识别反比例函数并确定比例系数k · 会用描点法画出反比例函数的图象，知道图象是双曲线 · 掌握反比例函数的性质：象限分布与增减性由k的符号决定 · 理解|k|的几何意义，会求图象上点与坐标轴围成的矩形、三角形面积 · 能综合运用反比例函数与一次函数的图象性质解决交点、面积问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的定义 形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫反比例函数 也可写成y=kx﹣1或xy=k（k≠0） 自变量x≠0，函数值y≠0 判断是否为反比例函数看两变量乘积是否为定值 概念辨析例题：若函数y=(m-1)xn是反比例函数，且指数n=m2-2，求m 解析：指数m2-2=﹣1得m=±1，又系数m-1≠0，故m=﹣1 ☆ 2.反比例函数的图像 图象是双曲线，有两个分支，关于原点中心对称 图象无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交 k>0时两分支在第一、三象限 k<0时两分支在第二、四象限 概念辨析例题：反比例函数y=的图象在哪些象限 解析：k=6>0，故图象两分支分别在第一、三象限 ☆ 3.反比例函数的性质 k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小 k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大 增减性必须强调「在每个象限内」，不能跨支比较 图象上任意点向坐标轴作垂线，矩形面积恒为|k| 概念辨析例题：点A(﹣2,y1)、B(﹣1,y2)在y=(k<0)上，比较y1、y2 解析：k<0在第二象限y随x增大而增大，﹣2<﹣1，故y1<y2 ☆ 4.|k|的几何意义与综合 图象上点P(x,y)向两轴作垂线，矩形面积S=|xy|=|k| 连结OP，直角三角形面积S= 过双曲线上两点分别作x轴垂线，同底三角形面积相等 与一次函数交点问题联立方程组求解 概念辨析例题：点A在y=上，AB⊥x轴于B，S△AOB=3，求k 解析：S△AOB==3，故|k|=6，k=±6 📋 知识总结表 【考点1】反比例函数的定义（第1-7题） · 看两变量乘积是否为定值k · 写成y=或xy=k形式判断 · 注意k≠0及指数为﹣1 · 已知点代入xy=k求待定系数 1．（2025秋•金湾区期末）下列各选项中的两个量，不成反比例关系的是（　　） A．三角形的面积为6cm2，它的一条边的长与这条边上的高 B．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 C．100米短跑比赛，跑步的平均速度与时间 D．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 【分析】如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，据此逐项判断即可． 【解答】解：A．一条边的长×这条边上的高＝12，所以一条边的长与这条边上的高成反比例，故本选项不符合题意； B．购买苹果的金额+购买香蕉的金额的＝100，所以购买苹果的金额与购买香蕉的金额不成反比例，故本选项符合题意； C．跑步的平均速度×时间＝100，所以跑步的平均速度与时间成反比例，故本选项不符合题意； D．加工时间×每天加工的零件个数＝800，所以加工时间与每天加工的零件个数成反比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查反比例，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2025秋•伊犁州期末）下列数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．人的身高和体重 B．等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高 C．看一本书，已经看的页数和没看的页数 D．买同一种练习本所需的费用与购买的本数 【分析】先确定相应的关系式，然后作出判断． 【解答】解：根据题意先确定相应的关系式，然后作出判断如下： A、人的身高和体重无固定乘积关系，不成比例，不符合题意； B、等腰三角形的面积等于底边和底边上的高的乘积的一半，当面积一定时，则底边和底边上的高成反比例关系，符合题意； C、看一本书，已经看的页数和没看的页数和一定，不成比例，不符合题意； D、买同一种练习本所需的费用与购买的本数比值一定，成正比例关系，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是掌握：判断两个量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 3．（2024秋•西华县期末）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．xy＝123 B． C．y＝4x D．y＝x2﹣1 【分析】形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，据此进行判断即可． 【解答】解：xy＝123可化为y，它是反比例函数； 3，y＝4x，y＝x2﹣1均不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数； 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．下列函数： ①； ②； ③xy＝8； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，且a为常数）． 其中，y是x的反比例函数的有　①②③⑦⑧　 （填写序号）． 【分析】根据反比例函数的定义逐项判定可求解． 【解答】解：①即为，是反比例函数； ②是反比例函数； ③即为，是反比例函数； ④⑤不符合反比例函数的定义； ⑥是正比例函数； ⑦是反比例函数； ⑧中，因为a≠2，且a为常数，所以a﹣2是不等于0的常数，所以该函数是反比例函数． ∴反比例函数有①②③⑦⑧． 故答案为：①②③⑦⑧． 【点评】本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 5．（2024秋•东城区校级期末）将反比例函数写成的形式，则k的值为 　　 ． 【分析】由即可求得k的值． 【解答】解：由条件可知； 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是关键． 6．（2025春•衡山县期中）若y＝（m﹣1）xm是反比例函数，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】根据反比例函数的定义，即y＝kx﹣1（k≠0），只需m＝﹣1且m﹣1≠0即可． 【解答】解：根据题意m＝﹣1， 当m＝﹣1时，m﹣1≠0， 所以m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 7．（2025春•杭州期末）已知y与z成正比例，z与x成反比例．当x＝﹣4时，z＝3，y＝﹣4． （1）求y关于x的函数表达式； （2）在平面直角坐标系中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求△OAB的面积． 【分析】（1）根据题意，设出正比例，反比例函数关系式，代入x，y，z的值，得到函数式表达式； （2）根据题意，求出A，B两点坐标，画出图形，即可求出面积． 【解答】解：（1）∵y与z成正比例，z与x成反比例， ∴设y＝k1z，， ∴， 把x＝﹣4，y＝﹣4代入得k1k2＝16， ∴y关于x的函数表达式为； （2）由（1）知函数表达式为y，点A的横坐标为2，点B的横坐标为4， ∴A（2，8），B（4，4）， 如图， S长方形ODCE＝4×8＝32， S△AEO2×8＝8， S△ABC2×4＝4， S△OBD4×4＝8， ∴S△OAB＝32﹣8﹣4﹣8＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了正比例函数，反比例函数的解析式，三角形面积的求法，熟练掌握求函数解析式是解题的关键． 【考点2】反比例函数的图像（第8-19题） · 由k符号判断分支所在象限 · 与一次函数图象共存问题看k符号是否一致 · 双曲线不与坐标轴相交 · 关于原点对称可由一点求对称点 8．（2026•科尔沁区校级二模）如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．5 C．2 D．0 【分析】根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得4﹣k＜0，求出k的取值范围进而即可求解． 【解答】解：由条件可知4﹣k＜0， ∴k＞4， 观察只有选项B的数值符合要求， ∴k的值可以是5． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2025秋•河南期末）若a，b互为相反数，则函数y＝ax﹣b与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得a＝﹣b，当a＞0，b＜0时，函数y＝ax﹣b的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限；当a＜0，b＞0时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，据此选择即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数， ∴a＝﹣b， 当a＞0，b＜0时，函数y＝ax﹣b的图象过第一、二、三象限，反比例图象在第一、三象限，无此选项，不符合题意； 当a＜0，b＞0时，函数的图象过第二、三、四象限，反比例图象在第二、四象限，D符合题意，ABC选项不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，以及相反数的定义，解题的关键是掌握它们的性质． 10．（2024秋•泰山区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣1（k≠0）和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限； 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣1（k≠0）经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键． 11．（2026•周至县一模）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【解答】解：k＜0时，一次函数y＝kx﹣4的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合， k＞0时，一次函数y＝kx﹣4的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2026•龙岗区二模）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k＝　4　 ． 【分析】根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n﹣2），将两点代入反比例函数，可得出n＝2（n﹣2），进而求出M（1，4），则可得出k的值． 【解答】解：根据直角坐标系设点M（1，n），则点N（2，n﹣2）， 将点M，N代入反比例函数中， 得n＝2（n﹣2）， ∴n＝4． ∴点M（1，4）， k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象，求反比例函数解析式，正确进行计算是解题关键． 13．（2024秋•顺义区期末）通常利用公式F1•L1＝F2•L2解决杠杆平衡问题，其中F1表示动力，L1表示动力臂，F2表示阻力，L2表示阻力臂．已知L1＝3m，F2＝2000N，L2＝0.3m，则F1的值为 　200　 N． 【分析】将已知数据带人公式F1•L1＝F2•L2即可求得答案． 【解答】解：∵F1•L1＝F2•L2，L1＝3m，F2＝2000N，L2＝0.3m， ∴3F1＝2000×0.3， 解得：F1＝200， 故答案为：200． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是了解杠杆问题的公式，难度不大． 14．（2026春•西城区校级月考）如图，已知反比例函数和的图象分别为C1，C2，A是C1上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D．若△AOD的面积为3，则k的值为　﹣7　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义计算即可． 【解答】解：∵过点A作AB⊥x轴，垂足为B，AB与C2交于点D， ∴S△AOB，S△DOB|﹣1|，∴S△AOD＝S△AOB﹣S△DOB|k|3， ∴|k|＝7， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查反比例函数k值的几何意义，理解反比例函数k值的几何意义是正确解答关键． 15．（2025秋•藁城区期末）如图是反比例函数（k≠0）的图象，整数k的值是　1　 ． 【分析】根据反比例函数的图象可得0＜k＜2，即可得出答案． 【解答】解：根据图象可知：0＜k＜2， ∴整数k的值是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象与k的关系是关键． 16．函数y，当x＞0时，图象在第 　一　 象限，y随x的增大而 　减小　 ． 【分析】根据π＞0，图象分布在第一、三象限，再依据x＞0时，图象在第一象限，y随x的增大而减小填空即可． 【解答】解：在函数y中，π＞0，图象分布在第一、三象限， 当x＞0时，图象在第一象限，y随x的增大而减小， 故答案为：一；减小． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握图象与k值故选是关键． 17．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． （1）填写表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y1 … 　﹣1　 ﹣3 3 　　 1 … y2 … 1 　3　 ﹣3 … （2）以表格中的对应值为点的坐标，在图中画出函数图象． 【分析】（1）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （2）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象； 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，；当x＝2时，； 当x＝﹣1时，，当x＝3时，； ∴填写表格如下： x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 ⋯ y1 ⋯ ﹣1 ﹣3 3 1 ⋯ y2 ⋯ 1 3 ﹣3 ﹣1 ⋯ （2）画函数图象如下： 【点评】本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． 18．（2024春•泰兴市校级月考）已知反比例函数； （1）直接写出自变量x的取值范围． （2）在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图象； x … … y … … （3）观察图象，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【分析】（1）根据分母不为零即可得解； （2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． 【解答】解：（1）分母不为零可知：自变量x的取值范围是x≠0； （2）列表格如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1.5 2 3 6 ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． 19．（2024秋•长春期末）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 　10　 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 　12.5　 小时． 【分析】（1）根据图象直接得出保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10（小时）； （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把y＝16分别代入一次函数和反比例函数的解析式即可求得时间段，求出出差即可解决问题． 【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10小时； 故答案为：10； （2）设当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+14， 把A（2，18）代入得18＝2k+14， ∴k＝2， ∴y＝2x+14（0≤x≤2）； （3）∵点B（12，18）在双曲线y上， ∴k＝12×18＝216， ∴y（x＞12）， 把y＝16代入得，16， 解得x＝13.5， 把y＝16代入y＝2x+14得，16＝2x+14， 解得x＝1， 所以这天该蔬菜能够快速生长的时间是13.5﹣1＝12.5小时． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练应用待定系数法解决问题． 【考点3】反比例函数的性质（第20-35题） · k>0每支递减，k<0每支递增 · 比较函数值要先看两点是否在同一支 · |k|越大图象离坐标轴越远 · 面积问题用矩形/三角形面积公式 20．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 【分析】根据两种函数的性质逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、 是反比例函数 k＝3＞0 y仅在每个象限内随x增大而减小，在全体定义域内不满足y随x增大而减小，故A错误； B、 是反比例函数 k＝﹣3＜0 y在每个象限内随x增大而增大，故B错误； C、y＝﹣3x 是正比例函数∵k＝﹣3＜0∴y随x的增大而减小，故C正确； D、y＝3x 是正比例函数∵k＝3＞0∴y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的增减性，熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2025秋•开鲁县期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A．其图象经过点（﹣1，3） B．其图象位于第二、四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞﹣3 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【解答】解：对于反比例函数， 其图象经过点（﹣1，3），图象位于第二、四象限，当x＜0时，y随x的增大而增大， 故选项A，B，C正确． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 22．（2026•古冶区模拟）如果反比例函数（m为常数），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜0 D．m＞0 【分析】根据反比例函数的性质，得出关于m的不等式，据此进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数（m为常数）中，当x＜0时，y随x的增大而增大， 所以m+2＜0， 解得m＜﹣2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 23．（2025秋•海城市期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，﹣3） B．图象位于第一、第三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＞3 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：反比例函数， A、∵k＝﹣1×（﹣3）＝3＞0， ∴点（﹣1，﹣3）一定在反比例函数上，确，不符合题意； B、∵k＝3＞0， ∴函数图象位于第一、第三象限，正确，不符合题意； C、∵k＝3＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵当x＜0时，恰好在第三象限内， ∴y随x的增大而减小，正确，不符合题意； D、∵k＝3＞0， ∴反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＞1时，0＜y＜3，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 24．（2024秋•上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大． A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D． 【分析】根据一次函数的增减性可得y＝﹣x不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得y＝x﹣2不满足②；根据平行于x轴的直线的性质可得y＝﹣1不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③． 【解答】解：根据一次函数与反比例函数图象的性质逐项分析判断如下： A、在y＝﹣x中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在y＝x﹣2中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、y＝﹣1中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意； D、在中，﹣1＜0，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当x＝1时，，则该函数图象经过点（1，﹣1），故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025•埇桥区校级一模）已知反比例函数，则下列结论不正确的是（　　） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点（0，0）成中心对称 C．若（x1，y1），（x2，y2）为函数图象上两点，且x1＜x2，则y1＜y2 D．图象关于直线y＝﹣x成轴对称 【分析】根据反比例函数的图象和性质分别判断即可． 【解答】解：A、∵k＜0，∴图象位于第二、四象限，故本选项不符合题意； B、图象关于原点（0，0）成中心对称，故本选项不符合题意； C、没有说明两点在第几象限内，不能判断y1与y2的大小，故本选项符合题意； D、图象关于直线y＝﹣x成轴对称，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，能熟练地根据反比例函数的图象和性质进行判断是解此题的关键． 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴k＞0， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数y＝﹣kx的图象经过第二、四象限， 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响． 27．（2026春•嘉定区期末）如果反比例函数y＝（m+1）x|m|﹣4（m是常数）的图象在第二、四象限，那么m的值是　﹣3　 ． 【分析】根据反比例函数的定义及图象与性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为y＝（m+1）x|m|﹣4（m是常数）是反比例函数， 所以|m|﹣4＝﹣1且m+1≠0， 解得m＝±3． 又因为该反比例函数的图象在第二、四象限， 所以m+1＜0， 即m＜﹣1， 所以m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质及反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 28．（2026•郫都区模拟）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 k＞9　 ． 【分析】让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴k﹣9＞0， 解得k＞9． 故答案为：k＞9． 【点评】考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0． 29．（2026秋•同步）已知反比例函数（k≠0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝　﹣6或6　 ． 【分析】根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答． 【解答】解：当k＜0时，在每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大， ∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴4， 解得k＝﹣6； 当k＞0时，在每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小， ∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴4， 解得k＝6， 综上所述，k＝﹣6或k＝6． 故答案为：﹣6或6． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 30．（2026•武汉）反比例函数（k为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的k的值是　1（答案不唯一，k＜2即可）　 ． 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出k的取值范围，任取范围内一个值即可． 【解答】解：由条件可知k﹣2＜0，解得k＜2， 只要取小于2的任意实数都符合条件，例如1． 故答案为：1（答案不唯一，k＜2即可）． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 31．（2025秋•松原期末）反比例函数，当y≥﹣1时，x的取值范围是x≥2或x＜0　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可进行求解． 【解答】解：当y＝﹣1时，则有，即x＝2， ∵k＝﹣2＜0，即y随x的增大而增大，反比例函数的图象在第二、四象限， ∴当y≥﹣1时，x的取值范围是x≥2或x＜0； 故答案为：x≥2或x＜0． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 32．（2026春•长治期末）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是　①　 函数关系（填序号）； ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，估计这个人的身高． 【分析】（1）根据表中数据描点即可； （2）由图知坐标系中点呈直线分布，所以身高y和脚长x之间是一次函数关系； （3）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （4）将x＝25.8代入y＝7x﹣5即可． 【解答】解：（1） （2）因为坐标系中点呈直线分布，所以身高y和脚长x之间是一次函数关系， 故答案为：①； （3）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵当x＝23时，y＝156；当x＝24时，y＝163， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式y＝7x﹣5； （4）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6， ∴估计这个人的身高为175.6cm． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数的应用，熟知以上知识是解题的关键． 33．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　120　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】解：（1）∵1×300＝1.5×200＝2×150＝3×100＝300， ∴点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变， ∴； 故答案为：120； （2）F与l之间的函数图象，如图所示： （3）由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2025秋•太原校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【分析】（1）分别列出点P在AB和BC上运动时，y关于x的函数关系式即可； （2）画出（1）中解析式的图象，并从增减性上答出一条性质即可； （3）根据图象，当y1＝y时x的取值估读为x1≈2.4，x2≈9.6． 【解答】解：（1）根据题意，当点P在AB上运动时，解析式为y2x（0＜x≤6）； 当点P在BC上运动时，解析式为：y6×（10﹣x）＝30﹣3x（6＜x＜10）， ∴y， （2）图象如图所示，性质如下： 【增减性】：当0＜x≤6时，y随x的增大而增大； 当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． （3）根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：x1≈2.4，x2≈9.6． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握作图技巧是关键． 35．（2025秋•南山区校级期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x＞　1或x＜1　 时，y随x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 　（1，0）　 ； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数y图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≥2或x＜1　 ． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察图象即可解答； （3）当y≥﹣2时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答． 【解答】解：（1）函数图象如图： （2）①当x＞1或x＜1时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（1，0）； 故答案为：①x＞1或x＜1，增大；②（1，0）； （3）当y≥﹣2时，即， 整理得：， 由（1）中图象得当x≥2或x＜1时，有， ∴当y≥﹣2时，x的取值范围是：x≥2或x＜1． 故答案为：x≥2或x＜1． 【点评】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第36-39题） · 新定义问题先读懂规则再转化 · 与一次函数交点联立方程组 · 面积最值用割补法表示 · 存在性问题假设成立列方程检验 36．（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：　数形结合思想　 ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 【分析】（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； （2）小红的方法：画出图象观察即可；小明的方法：求出1﹣x的最小值为1，可得的最大值为1，从而求出2的最大值为3； （3）y1，先求出x﹣1的最大值为﹣3，则的最小值为，即可求出y＝1的最小值为． 【解答】解：（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想； （2）小红的方法：通过观察图象可知：当﹣8≤x≤0时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最大值3； 小明的方法：∵﹣8≤x≤0， ∴1≤1﹣x≤9， ∴1﹣x的最小值为1， ∴的最大值为1， ∴2的最大值为3； （3）y1， ∵﹣6≤x≤﹣2， ∴﹣7≤x﹣1≤﹣3， ∴x﹣1的最大值为﹣3， ∴的最小值为， ∴y＝1的最小值为． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，根据所给的阅读材料，数形结合，利用函数思想类比解题是关键． 37．（2025•海珠区一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【分析】（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【解答】解：（1）根据表格数据可知：18×50＝900，15×60＝900，12×75＝900，10×90＝900，9×100＝900， 乘积恒为900，说明y与x成反比例函数， 设反比例函数解析式为y，代入x＝18，y＝50得：k＝18×50＝900， ∴反比例函数解析式为y． （2）根据题意，试销5天销售总量为50+60+75+90+100＝375， 剩余量1575﹣375＝1200（千克）， 后续销售10天，销量＝90×10＝900， 剩余量1200﹣900＝300（千克）， 设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意得： 2300， 解得a＝6． 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 38．（2025•长治一模）阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线AP上连续截取PQ，QR，使PQ＝QR＝AP． 第三步：过点R作RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线OA上连续截取OD，DE，使OD＝DE＝BC，则D，E为OA的三等分点． 但是BC为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设OA＝m，则点A的坐标为（m，0）． ∵PA⊥x轴于点A，交的图象于点P， ∴点P的坐标为． … 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段OA的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整； （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段OA的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 【分析】（1）先求出点R的坐标为．再得出点C的纵坐标为．把代入，得，解得，可得点B的坐标为，得出．再求解即可； （2）仿照（1）的方法进行解答即可． 【解答】解：（1）∵PQ＝QR＝AP， ∴点R的坐标为． ∵RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C， ∴点C的纵坐标为． 把代入反比例函数的解析式，得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴BC． ∵OA＝m， ∴BCOA． （2）如图，M，N，K，L就是线段OA的五等分点． 具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：过点T作TF⊥y轴于点F，交反比例函数的图象于点W，则． 第三步：在射线AP上连续截取PQ，QR，RS，ST，使PQ＝QR＝AP＝RS＝ST． 第四步：在射线OA上连续截取OM，MN，NK，KL，LA，使OM＝MN＝NK＝KL＝LA， 则M，N，K，L就是线段OA的五等分点． 【点评】本题是反比例综合题，考查了反比例函数的性质，性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 39．（2024春•夹江县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为 　　 ； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当x＞0时，y随着x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【分析】（1）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，再根据反比例函数的性质即可求解； （3）将分式化为带分式，再根据横、纵坐标均为整数确定x的值，进一步确定y的值即可得到答案． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， ∵﹣7＜0， ∴当x＞0时，随着x的增大而增大， ∴当x＞0时，随着x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）∵， 若纵坐标为整数，即为整数，且横坐标为整数，即x为整数， ∴x﹣1＝±1， ∴x＝0或2， 当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5， ∴函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为（0，3）和（2，5）． 【点评】本题考查了分式的加减运算，反比例函数的性质，（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 💯 课后巩固 复习建议 · 反比例函数y=中k≠0，x≠0 · 由k符号定象限，k>0一三、k<0二四 · 增减性必须说「在每个象限内」 · 图象上点与坐标轴围成矩形面积恒为|k| · 比较函数值先判断两点是否在同一支 【作业 1】（2026春•同步）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1　＜　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】反比例函数y（k＜0），根据在同一个象限内，y随x的增大而增大即可得答案． 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且0＜x1＜x2， 且在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查反比例函数的增减性，掌握k＜0时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 【作业 2】（2026春•同步）已知下列反比例函数：y，y，y，y．其中，图象位于第一、三象限的函数是y　 ；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是y，y，y　 ． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得出答案． 【解答】解：∵k＞0时，函数y的图象位于第一、三象限，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小， k＜0时，函数y的图象位于第二、四象限，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴图象位于第一、三象限的函数是y；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是y，y，y． 故答案为：y；y，y，y． 【点评】此题主要考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律和性质是解题关键． 【作业 3】（2026•福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　3　 ． 【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y，根据平移的性质以及，即可求得C（1，1+b），代入反比例函数解析式即可求得b的值． 【解答】解：作AE⊥x轴于E， ∵直线y＝x﹣3与x轴交于点B， ∴B（3，0）， 由直线y＝x﹣3可知∠ABE＝45°， ∴AE＝BE， ∵AB， ∴AE＝BE＝1， ∴A（4，1）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k1＝4×1＝4， ∴反比例函数为y， ∵将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，， ∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD， ∴C（1，b+1）， 把C点的坐标代入y，得b+1＝4， 解得b＝3， 故答案为：3． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键． 【作业 4】（2026春•奉贤区期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图象和一个反比例函数图象，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： x … a 1 2 … y1 … ﹣2 2 1 … 表2： x … a 1 2 … y2 … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中（如图），画出这两个函数的大致图象，并结合这两个函数的图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据表格中的自变量和函数值进行判断即可； （2）根据所求函数解析式进行解答即可； （3）根据表格画出函数图象，根据函数图象的位置和交点坐标写出自变量x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据表1可知xy＝2×1＝2， ∴表1对应反比例函数，即， 根据表2可知，2＝1×2，4＝2×2，即， ∴表2对应正比例函数，即， （2）由题意可得， 解得a＝﹣1， 由题意可得，b＝2a＝﹣2， （3）根据表格画出函数图象， 根据图象可知，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 六．课后巩固（共15小题） 【作业 1】（2026春•开州区期中）反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【分析】根据反比例函数比例系数的符号，结合反比例函数的图象性质，即可判断图象所在象限． 【解答】解：∵k＝6＞0， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 2】（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的大致图象可能是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】利用反比例函数的图象及正比例函数的图象分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限，正比例函数的图象位于一三象限，①正确；当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，正比例函数的图象位于二四象限，②正确；故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数及正比例函数的图象，属于函数的基础知识，难度不大． 【作业 3】（2026春•香坊区校级同步）若反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A．过一、二、三象限 B．过一、二、四象限 C．过一、三、四象限 D．过二、三、四象限 【分析】根据反比例函数的性质可以确定k的符号，再根据一次函数的性质即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k＜0， 则一次函数y＝kx+2图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先利用反比例函数的性质确定k的取值，再利用一次函数的性质求解． 【作业 4】（2026春•同步）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k　＜　 0；在图象的每一支上，y随着x的增大而　增大　 ． 【分析】直接利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案． 【解答】解：如果反比例函数y（k≠0）的图象位于第二、四象限，那么k＜0；在图象的每一支上，y随着x的增大而增大． 故答案为：＜，增大． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业 5】（2026春•河口区期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜2026　 ． 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到k﹣2026＜0，然后求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2026＜0， 解得k＜2026． 故答案为：k＜2026． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业 6】（2026春•沙坪坝区校级同步）若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是　5　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可得a+3＞0，从而可得a＞﹣3，解分式方程求得x，根据关于x的方程的解为非负整数，即可求得a＝1或4，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴a+3＞0， ∴a＞﹣3， ， 去分母得，a+x＝﹣2（x﹣2）， 去括号得，a+x＝﹣2x+4， 移项、合并得，3x＝4﹣a， 解得，x， ∵关于x的方程的解为非负整数，且，a＞﹣3， ∴a＝1或4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 【作业 7】（2020秋•献县期末）如图，线段AB是直线y＝x+1的一部分，其中点A在y轴上，点B横坐标为2，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，则点C的坐标 　（6，1）　 ；点P（2019，m）与Q（2025，n）均为在该波浪线上，则m+n＝　4　 ． 【分析】根据B的坐标求出反比例函数的解析式，即可求出C的坐标，A，C之间的水平距离为6，根据循环可知，点P和点Q的纵坐标与当x＝3时的纵坐标相等，即可得到m+n的值． 【解答】解：∵点B横坐标为2， ∴当x＝2时，y＝2+1＝3， ∴点B的坐标为（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线解析式为y， ∴当x＝6时，y1， ∴点C的坐标为（6，1）， 由图可得，A，C之间的水平距离为6，2019÷6＝336…3， ∴当x＝3时，y2， ∴m＝2， ∵2025﹣2019＝6， ∴点Q与点P的水平距离为6， ∴n＝2， ∴m+n＝2+2＝4． 故答案为：（6，1），4． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【作业 8】（2026•铁岭模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝　9　 ． 【分析】先求CD长度，再求点B坐标，进而得出函数解析式，可求得面积． 【解答】解：∵BD＝4，， ∴， 由条件可知， ∴， 把B坐标代入得k＝18， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案为：9． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 【作业 9】（2023秋•亳州月考）在平面直角坐标系中，点A（2，1），B（2，﹣3），C（m，3）分别位于三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，求反比例函数的表达式和m的值． 【分析】根据已知条件得到A（2，1）在第一象限，可知点C（m，3）一定在第二象限，因点B（2，﹣3）为第四象限点坐标，又因反比例函数经过其中两点，于是得到反比例函数解析式和m的值． 【解答】解：∵点A，B分别在第一、四象限，点C不可能在第三象限， ∴点C在第二象限，且反比例函数的图象经过B，C两点， ∴设反比例函数的表达式为， 把B（2，﹣3）代入中： 即，k＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为， ∴把C（m，3）代入中， 即， ∴m＝﹣2． 【点评】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握求解析式的方法． 【作业 10】（2025•高唐县一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 x … ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣4 4 2 a … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点P（4，1）是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ翻折，求翻折后的函数图象与x轴的交点坐标； （3）若经过点M（1，4），N（2，2）的直线分别交x轴、y轴于点B，C，求BC的长． 【分析】（1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为2，即y＝2，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线MN的解析式为y＝﹣2x+6，则即OB＝3，OC＝6，由勾股定定理即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣2）×（﹣2）＝4，（﹣1）×（﹣4）＝4，1×4＝4，2×2＝4， ∴该函数是反比例函数，其解析式为， 当x＝3时，； 画出该函数的图象如解图： （2）根据对称性可知，当PQ上方的函数图象沿直线PQ翻折， ∴折叠后与x轴的交点关于PQ对称， ∴交点与原图之间的距离为2，即y＝2， ∴， 解得x＝2， ∴x轴的交点坐标为（2，0）； （3）设直线MN的解析式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），由条件可得： ， 解得， ∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+6， 当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝3，即OB＝3，OC＝6， ∴． 【点评】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． 【作业 11】（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　4　 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【分析】（1）L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象； （2）根据图象求k的范围． 【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）， 如图，画出L2的图象， 由图可知：L2和L1之间（不含边界）有4个整数点， 故答案为：4． （2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10； 如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣4，1）时，﹣4＜k≤﹣3； 故答案为：﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键． 【作业 12】（2025秋•固始县期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　图象是中心对称图形　 ，②　当x＞﹣1时，y随着x的增大减小　 ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　左　 平移 　1　 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　﹣1＜x＜3　 时，y3＞3． 【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答两条不同的性质； （3）理解运用：结合图象即可得出结论 （4）灵活应用：结合图象可准确填空． 【解答】解：（1）如图： ； （2）观察图象， ①图象是中心对称图形； ②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小． 故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位． 故答案为：左；1． （4）灵活应用：函数的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x＜3时，y3＞3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键． 【作业 13】（2025春•上蔡县月考）已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）将数据代入两个解析式即可得到a、b的值； （2）先确定两个函数解析式，再列方程求出x值即可； （3）数形结合，直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，， ∴1，即m＝﹣2， ∴4，即b， ∴a＝﹣2n，即n＝﹣1，a＝2， 故a＝2，b； （2）由（1）可知y1；y2＝﹣x， 当y1＝y2时，， x； （3）如图： 当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为x＜0或x． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $