第4讲 二次函数表达式与一元二次方程 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第4讲 二次函数表达式与一元二次方程 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数解析式的三种形式：一般式、顶点式、交点式 · 会根据已知条件灵活选用待定系数法求二次函数解析式 · 理解抛物线与x轴的交点和一元二次方程根之间的关系 · 会用图象法求一元二次方程的近似根，会用Δ判断交点个数 · 能结合图象解二次函数相关不等式，比较函数值大小 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数解析式的三种形式 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），适合已知任意三点 顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），顶点(h,k)，适合已知顶点 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），x1、x2为与x轴交点横坐标 三种形式可互相转化，顶点式展开即一般式 概念辨析例题：已知抛物线顶点为（﹣1，2），且与y=x2开口方向、形状大小相同，求解析式 解析：开口方向形状相同则a=1，顶点为（﹣1，2）代入顶点式y=a(x-h)2+k即得 ☆ 2.待定系数法求解析式 已知顶点或对称轴→设顶点式最简便 已知与x轴两交点→设交点式最简便 已知任意三点→设一般式，列三元一次方程组 求出a、b、c后要化成一般式并检验 概念辨析例题：抛物线与x轴交于（1，0）、（3，0），且过点（4，6），求解析式 解析：设y=a(x-1)(x-3)，代入（4，6）得6=3a，a=2，展开即得 ☆ 3.抛物线与一元二次方程 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即方程ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac>0时与x轴有两个交点 Δ=0时与x轴有一个交点（顶点在x轴上） Δ<0时与x轴无交点；两交点关于对称轴对称 概念辨析例题：二次函数y=x2-4x+2的图象与x轴有几个交点 解析：Δ=(﹣4)2-4×1×2=24>0，故与x轴有两个交点 ☆ 4.二次函数与不等式 ax2+bx+c>0的解集即抛物线在x轴上方部分对应的x范围 ax2+bx+c<0的解集即抛物线在x轴下方部分对应的x范围 抛物线与直线交点的横坐标是两函数值大小比较的分界点 图象连续，函数值由正变负（或负变正）的两点之间存在零点 概念辨析例题：抛物线开口向下，与x轴交于（﹣1，0）、（3，0），求ax2+bx+c>0的解集 解析：开口向下，抛物线在x轴上方部分在两交点之间，故解集为﹣1<x<3 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一般式 y=ax2+bx+c（a≠0） 任意三点可求 顶点式 y=a(x-h)2+k 顶点(h,k) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) x1、x2为交点横坐标 对称轴 x=﹣ 两交点关于它对称 判别式 Δ=b2-4ac 决定与x轴交点个数 不等式解集 看图象在x轴上方/下方 开口方向定大小 ⚠️ 核心考点 【考点1】待定系数法求二次函数解析式（第1-12题） · 看条件选形式：顶点用顶点式、交点用交点式、三点用一般式 · 开口方向形状由a的符号与绝对值决定 · 对称轴公式x=﹣可列方程求系数 · 求出后代点检验，注意化成一般式 1．（2026•仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 2．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•阳谷县模拟）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2025秋•和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 6．（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 ____________________ ． 7．已知抛物线与x轴相交于点（1，0），（3，0），且经过点（4，6），则抛物线的表达式为 _______________ ． 8．（2026秋•南开区校级月考）已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，则该二次函数的表达式为____________________ ． 9．（2026•仙游县模拟）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标． 10．（2024秋•扬中市校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1． （1）求该二次函数的关系式（结果化成一般式）； （2）结合图象，解答下列问题： ①当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是__________ ； ②当﹣1＜x＜m时，求y的最大值． 11．（2024秋•诸暨市期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（1，﹣4）和点B（2，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标． 12．（2026•佳木斯校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 【考点2】抛物线与x轴的交点（第13-22题） · 令y=0解一元二次方程得交点横坐标 · 用Δ=b2-4ac判断交点个数 · 两交点关于对称轴对称，已知一点可求另一点 · 交点问题常转化为根与系数关系处理 13．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+2的图象与x轴的交点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 15．（2026•龙海区校级模拟）对于方程mx2+2x+2m＝0的说法正确的是（　　） ①当m＝1时，方程有两个不相等的实数根． ②当时，记方程两个不相等的根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝7． ③当m的值为抛物线y＝x2的图象在直线下方的部分的任意一点的横坐标的值时方程有实数根． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16．（2026秋•长沙月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（3，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则方程ax2+bx+c＝0的解是_______________ ． 17．（2026•莘县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 _____ ． 18．（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 19．（2026•乌鲁木齐模拟）已知二次函数（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，求m的值； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，直接写出p的值． 20．（2025秋•雷州市月考）已知抛物线y＝ax2+2x+b（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）若点C是直线AB下方抛物线上一点，过点C作CD⊥AB于点D，当线段CD取得最大值时，求点C的坐标和△ABC的面积． 21．（2024秋•建水县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点D，E为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）在图中作出该函数的图象并回答： ①该抛物线的对称轴为直线________ ； ②当x_______ 时，y随x的增大而减小； 当x_______ 时，y随x的增大而增大； 当x_______ 时，抛物线的最大值为_____ ． 22．（2026•平阳县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（﹣1，2）． （1）求二次函数的表达式． （2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC＝2AB，求m的值． （3）已知M（n﹣1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围． 【考点3】图象法求一元二次方程的近似根（第23-29题） · 找函数值由正变负（或负变正）的相邻两点 · 零点在这两个x值之间 · 利用对称轴由一个交点求另一个交点 · 表格读值要精确到给出的小数位 23．（2024秋•海城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，结合图象给出下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0； ⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 25．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 26．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 27．（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是_______________ ． x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 28．（2024秋•城关区校级期末）二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象如图所示，若方程2x2+4x﹣1＝0的一个近似根是x＝﹣2.2，则方程的另一个近似根为 ________ ．（结果精确到0.1） 29．（2025•朝阳区校级二模）表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是____________ （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 【考点4】二次函数与不等式（第30-37题） · ax2+bx+c>0看抛物线在x轴上方部分 · 与直线比较看抛物线在直线上方/下方 · 开口向上取两边、开口向下取中间 · 恒成立问题转化为Δ≤0且开口向上 30．（2026•利州区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0）抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2），与y轴交于点c，顶点为P．有下列四个结论： ①抛物线的对称轴为直线x＝1； ②若a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大； ③若当2≤x≤3时，抛物线与x轴有交点，则a的取值范围是； ④若不等式ax2﹣2ax+a+2≥2x+4对全体实数x恒成立，则a≥2． 下列判断中，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 31．（2024秋•横州市校级期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是点A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有一个实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；⑤当x＜1时，则y1＞y2，其中正确的是（　　） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 32．（2024秋•蓬莱区期中）如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴交于点（1，0），与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象交于A（﹣2，p），B（1.5，q）．下列结论正确的有_______ ．（填序号） ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1.5； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1+d＝0有实数根，则d≥a﹣c+1． 33．（2026•綦江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+b与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，则不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是_____________ ． 34．（2023秋•长泰县校级月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a﹣b＝0； ②abc＜0； ③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根； ⑤不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜﹣1； ⑥a＞﹣1． 其中正确的是 ________ ． 35．（2023秋•江岸区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x _____ 1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点 __________ ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ___________ ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ____________ ． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线________ ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为____________ ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为__________ ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是____________ ． 37．（2026•如皋市二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣a的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）若该二次函数的图象经过原点，求a的值； （2）线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点C（x3，y3）为二次函数图象上一点，当时，1＜y3﹣y1＜4，求a的取值范围． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025•望花区模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）．如果点P在x轴正半轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 ____________________ ． 【练习 2】（2025秋•鼓楼区期末）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c是常数，且a≠0）的图象经过点A（1，0），则方程ax2+2ax+c＝0的根为 _______________ ． 【练习 3】（2026•宁夏模拟）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与坐标轴有_____ 个交点． 【练习 4】（2024秋•云龙区校级期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0的解集为 ___________ ． 【练习 5】（2025秋•甘井子区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为__________ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•广州校级同步）y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．3＜t＜8 B．﹣1＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t≤8 【作业 2】（2025秋•郸城县月考）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C，若△ABC的面积为6，则该二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 【作业 3】（2026•鼓楼区校级开学）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C． D．或 【作业 4】（2026春•海淀区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣1 3 m 3 … 下列结论正确的是（　　） A．此二次函数图象开口向上 B．m＜3 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 D．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根 【作业 5】（2026•萧山区一模）已知二次函数的顶点在一次函数y2＝ax+ab﹣5上，且当时，都有y1＜y2，a的取值范围是（　　） A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2 【作业 6】（2024秋•思明区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．下面描述： ①2a+b＝0； ②若C点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，则a； ③若M（﹣m2﹣1，y1），N（m2+4，y2）均在抛物线上，则y1＜y2； ④若M（x1，y1），N（x2，y2）均在抛物线上，且1＜x1＜x2，则； ⑤若△ABC为等腰三角形，则a的值为4个． 其中正确的有 ________ ．（填写所有正确的序号） 【作业 7】（2024秋•东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 ____________________ ． 【作业 8】（2025秋•赣榆区月考）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是_______________ ． 【作业 9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 ____________________ ． 【作业 10】（2025秋•临漳县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为 _______________ ． 【作业 11】（2025春•广饶县校级月考）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【作业 12】（2025•牡丹江模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，且∠PCA＝15°，请直接写出点P的坐标． 【作业 13】（2025秋•通州区期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （3）当y＞0时，x的取值范围是____________ ． 【作业 14】（2024秋•芒市校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D在直线y＝x+1上，对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）若在自变量x的值满足1＜t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值； （3）设m为抛物线与x轴一个交点的横坐标，求的值． 【作业 15】（2025秋•太和县校级期中）如图，抛物线y＝ax2﹣8x+6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左边，直线y＝﹣x+1经过点A且与抛物线交于点C． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）直接写出不等式ax2﹣8x+6＜﹣x+1的解集． 复习建议 · 根据已知条件选对解析式形式是最快路径 · 顶点式y=a(x-h)2+k中h、k带符号代入 · 抛物线与x轴交点即对应一元二次方程的根 · 不等式解集一定要结合开口方向和图象位置 · 近似根问题找函数值异号的相邻两点 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 二次函数表达式与一元二次方程 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数解析式的三种形式：一般式、顶点式、交点式 · 会根据已知条件灵活选用待定系数法求二次函数解析式 · 理解抛物线与x轴的交点和一元二次方程根之间的关系 · 会用图象法求一元二次方程的近似根，会用Δ判断交点个数 · 能结合图象解二次函数相关不等式，比较函数值大小 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数解析式的三种形式 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），适合已知任意三点 顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），顶点(h,k)，适合已知顶点 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），x1、x2为与x轴交点横坐标 三种形式可互相转化，顶点式展开即一般式 概念辨析例题：已知抛物线顶点为（﹣1，2），且与y=x2开口方向、形状大小相同，求解析式 解析：开口方向形状相同则a=1，顶点为（﹣1，2）代入顶点式y=a(x-h)2+k即得 ☆ 2.待定系数法求解析式 已知顶点或对称轴→设顶点式最简便 已知与x轴两交点→设交点式最简便 已知任意三点→设一般式，列三元一次方程组 求出a、b、c后要化成一般式并检验 概念辨析例题：抛物线与x轴交于（1，0）、（3，0），且过点（4，6），求解析式 解析：设y=a(x-1)(x-3)，代入（4，6）得6=3a，a=2，展开即得 ☆ 3.抛物线与一元二次方程 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即方程ax2+bx+c=0的根 Δ=b2-4ac>0时与x轴有两个交点 Δ=0时与x轴有一个交点（顶点在x轴上） Δ<0时与x轴无交点；两交点关于对称轴对称 概念辨析例题：二次函数y=x2-4x+2的图象与x轴有几个交点 解析：Δ=(﹣4)2-4×1×2=24>0，故与x轴有两个交点 ☆ 4.二次函数与不等式 ax2+bx+c>0的解集即抛物线在x轴上方部分对应的x范围 ax2+bx+c<0的解集即抛物线在x轴下方部分对应的x范围 抛物线与直线交点的横坐标是两函数值大小比较的分界点 图象连续，函数值由正变负（或负变正）的两点之间存在零点 概念辨析例题：抛物线开口向下，与x轴交于（﹣1，0）、（3，0），求ax2+bx+c>0的解集 解析：开口向下，抛物线在x轴上方部分在两交点之间，故解集为﹣1<x<3 📋 知识总结表 【考点1】待定系数法求二次函数解析式（第1-12题） · 看条件选形式：顶点用顶点式、交点用交点式、三点用一般式 · 开口方向形状由a的符号与绝对值决定 · 对称轴公式x=﹣可列方程求系数 · 求出后代点检验，注意化成一般式 1．（2026•仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得：a＝1， ∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 2．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a， 由条件可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2026•阳谷县模拟）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案． 【解答】解：由题意，∵顶点为（﹣6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2， ∵开口向下，形状与函数yx2的图象相同， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x+6）2． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 4．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0，得出，故①正确；将点（﹣2，0），（3，0）代入，得出：a+b＝0，再求出c＝﹣6b，故②不正确；根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【解答】解：根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0， ∴b＞0， ∴，故①正确，符合题意； 由条件可得：， ②﹣①得出：a+b＝0， ∴a＝﹣b， 再代入①得出：c＝6b，故②不正确，不符合题意； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为（﹣2，0），（3，0）， ∵， ∴y2＜0，y3＞0，y1＞0， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴y3＞y1＞0， ∴y2＜y1＜y3，故③正确，符合题意； ④∵a＝﹣b，c＝6b， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， 当时，取得最大值，最大为， 当x＝﹣2或x＝3时，取得最小值为0， ∴当﹣2＜x＜3时，，故④错误，不符合题意； ⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且， 当m1+m2＞1时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴n1＞n2，故⑤正确，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2025秋•和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 【分析】先由表格中x＝﹣5和x＝3时y值相等，可知对称轴为x＝﹣1，结合对称轴公式得出b＝2a，再结合x＝﹣1时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y轴的交点，从而得到答案． 【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3． 当x＝﹣1时，，抛物线经过点， 得：， ， ∴，， ∴， ∵， ∴二次函数开口向上， 当﹣5＜x＜0时， 当x＝0时，y＝3， 当x＝﹣5时，y＝8， 当x＝﹣1时，有最小值， ∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 6．（2025秋•宜兴市期末）已知抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3），写出一个符合题意的抛物线表达式 y＝x2﹣4x+3（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次函数的性质得到二次项系数为正数，常数项为3，利用此要求写一个二次函数解析式即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于点（0，3）， ∴二次项系数为正数，常数项为3， ∴符合题意的抛物线表达式可为y＝x2﹣4x+3． 故答案为：y＝x2﹣4x+3．（答案不唯一） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 7．已知抛物线与x轴相交于点（1，0），（3，0），且经过点（4，6），则抛物线的表达式为 y＝2x2﹣8x+6　 ． 【分析】设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），再将点（4，6）代入，得出a，即可得到抛物线表达式． 【解答】解：设抛物线表达式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 将点（4，6）代入，得a＝2， ∴y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2（x2﹣4x+3）＝2x2﹣8x+6， 故答案为：y＝2x2﹣8x+6． 【点评】本题考查了二次函数的交点式，利用交点式可以快速求出抛物线的表达式，也可将三个点代入y＝ax2+bx+c进行求解． 8．（2026秋•南开区校级月考）已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，则该二次函数的表达式为　　 ． 【分析】设二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法即可得到二次函数表达式． 【解答】解：∵二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2， ∴图象过点（5，0）， ∴设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）， 将B（1，2）代入得2＝﹣8a， 解得a， ∴y（x+1）（x﹣5）， ∴该二次函数的表达式为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 9．（2026•仙游县模拟）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线的表达式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5， 解得：a＝1， ∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x， 故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x； （2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设B（2，m）（m＞0）， 设直线OA的解析式为y＝kx， 则5k＝5， 解得：k＝1， ∴直线OA的解析式为y＝x， 设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2）， ∴BH＝m﹣2， ∵S△OAB＝15， ∴（m﹣2）×5＝15， 解得：m＝8， ∴点B的坐标为（2，8）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10．（2024秋•扬中市校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1． （1）求该二次函数的关系式（结果化成一般式）； （2）结合图象，解答下列问题： ①当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　0＜y≤4　 ； ②当﹣1＜x＜m时，求y的最大值． 【分析】（1）由点A，C坐标及对称轴为直线x＝1可列方程组，解方程组即可． （2）①分别把x＝﹣1，x＝1代入函数解析式，从而求解． ②分两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线开口向下，x＝1时，函数y有最大值4， ∵当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0， ∴当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是0＜y≤4． 故答案为：0＜y≤4． ②∵抛物线开口向下，x＝1时，函数y有最大值4， 当﹣1＜x＜m时， 当m≥1时，y的最大值为4， 当m＜1时，y的最大值为﹣m2+2m+3． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（2024秋•诸暨市期末）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（1，﹣4）和点B（2，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标． 【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（1，﹣4）和点B（2，﹣3），从而，求出a，b即可判断得解； （2）依据题意，由（1）二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，从而令x＝0，则y＝﹣3，故与y轴的交点为（0，﹣3）；令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝﹣1或x＝3，故与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点A（1，﹣4）和点B（2，﹣3）， ∴． ∴． ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）由（1）∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴令x＝0，则y＝﹣3，故与y轴的交点为（0，﹣3）；令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝﹣1或x＝3，故与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）． 答：二次函数图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；与y轴的交点坐标（0，﹣3）． 【点评】本题主要待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 12．（2026•佳木斯校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 【分析】（1）将A（4，0），C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图像上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵S1﹣S2＝5， ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5 ∴S△ACP﹣S△ABC＝5． 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵C（﹣1，0），A（4，0）， ∴AC＝5，OB＝OA＝4， ∴， ∴S△ACP＝15． 设P（t，﹣t2+3t+4）， ∴， ∴t＝1或t＝2， ∴设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，则P（1，6）或P（2，6）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，以及三角形面积公式等知识点． 【考点2】抛物线与x轴的交点（第13-22题） · 令y=0解一元二次方程得交点横坐标 · 用Δ=b2-4ac判断交点个数 · 两交点关于对称轴对称，已知一点可求另一点 · 交点问题常转化为根与系数关系处理 13．（2025秋•兴庆区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x+2的图象与x轴的交点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】令y＝0，则x2﹣4x+2＝0，求得根的判别式的值即可判断． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣4x+2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝24＞0， ∴二次函数y＝x2﹣4x+2的图象与x轴的交点有2个， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 14．（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：当x＝2.18时，y＝﹣0.51；当x＝2.68时，y＝0.54， 当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 15．（2026•龙海区校级模拟）对于方程mx2+2x+2m＝0的说法正确的是（　　） ①当m＝1时，方程有两个不相等的实数根． ②当时，记方程两个不相等的根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝7． ③当m的值为抛物线y＝x2的图象在直线下方的部分的任意一点的横坐标的值时方程有实数根． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据题意，需要分m＝0和m≠0两种情况，利用根的判别式判断根的存在性，逐一验证每个说法． 【解答】解：当m≠0时，根的判别式Δ＝22﹣4•m•2m＝4﹣8m2＝4（1﹣2m2）； 当m＝0时，方程化为一元一次方程2x＝0，存在实数根． ①当m＝1时，方程为x2+2x+2＝0，Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程无实数根，故①错误； ②当时，方程为， 整理得x2+4x+2＝0， x1+x2＝﹣4，x1x2＝2， 故（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣（﹣4）+1＝7，结论成立，故②正确； ③抛物线y＝x2在直线下方的点，横坐标m满足， 若m＝0，方程2x＝0有实根； 若m≠0，Δ＝4（1﹣2m2），由得1﹣2m2＞0，即Δ＞0， 方程有两个不相等的实数根， 因此所有满足条件的m都使方程有实数根，故③正确， 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 16．（2026秋•长沙月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（3，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3　 ． 【分析】利用抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【解答】解：由图象知，对称轴为：x＝1， ∵抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为（3，0）， ∴另一个与x轴的交点为（﹣1，0）， ∴解是x1＝﹣1，x2＝3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 【点评】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 17．（2026•莘县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 　3　 ． 【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0）， ∴令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，﹣1为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根， ∴， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 18．（2025秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5交x轴于点A，B，已知点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线顶点向上平移个长度单位得点P，过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D，求CD的长． 【分析】（1）把A点坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣5中求出a得到抛物线解析式； （2）先通过平移求出P点坐标，进而得到C，D两点的纵坐标，代入抛物线可得两点的横坐标，进而可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣5得a+4a﹣5＝0，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5， （2）∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣9）， ∵抛物线顶点向上平移个单位得点P， ∴， ∵过点P作AB的平行线交抛物线于点C、D， ∴C，D两点的纵坐标都为， 当时，， 解得，， ∴CD的长为：． 【点评】本题考查二次函数的基本性质，能够利用待定系数法求出二次函数解析式是解题关键． 19．（2026•乌鲁木齐模拟）已知二次函数（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，求m的值； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，直接写出p的值． 【分析】（1）将（2，﹣1）代入计算即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）求出对称轴，再根据二次函数的对称性作答即可． 【解答】（1）解：∵点（2，﹣1）在该函数图象上， ∴， 解得：m＝1； （2）证明：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）解：二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2， ∴， 解得：p＝﹣1． ∴若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，则p＝﹣1． 【点评】本题考查二次函数与抛物线的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2025秋•雷州市月考）已知抛物线y＝ax2+2x+b（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）若点C是直线AB下方抛物线上一点，过点C作CD⊥AB于点D，当线段CD取得最大值时，求点C的坐标和△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式转化为顶点式即可求解； （2）求出直线AB的解析式，过点C作直线l∥AB，当直线l与抛物线只有1个交点时，点C到直线AB的距离最大，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，利用Δ＝0求出n的值，即得直线l的解析式，联立函数解析式求出点C坐标，再根据S△ABC＝S△ACE+S△BCE即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+b得， ， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+m得， ， ∴k＝﹣1，m＝﹣3， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3， 如图，过点C作直线l∥AB，当直线l与抛物线只有1个交点时，点C到直线AB的距离最大， ∴可设直线l的解析式为y＝﹣x+n， 由x2+2x﹣3＝﹣x+n，得x2+3x﹣（n+3）＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×[﹣（n+3）]＝0， ∴， ∴直线l的解析式为y＝﹣x， 由， ∴x，y， ∴， 过点C作CH⊥x轴于H，交直线AB于点E， 把代入y＝﹣x﹣3，得， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 21．（2024秋•建水县校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其对称轴与x轴交于点D，E为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）在图中作出该函数的图象并回答： ①该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； ②当x　＞1　 时，y随x的增大而减小； 当x　＜1　 时，y随x的增大而增大； 当x　＝1　 时，抛物线的最大值为　4　 ． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）根据描点法作出该函数的图象，结合图象可得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将点C（0，3）代入，得﹣3a＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． （2）作出该函数的图象如图所示： ①该抛物线的对称轴为直线x＝1； 故答案为：x＝1． ②当x＞1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大； 当x＝1时，抛物线的最大值为4． 故答案为：＞1；＜1；＝1；4． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（2026•平阳县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（﹣1，2）． （1）求二次函数的表达式． （2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC＝2AB，求m的值． （3）已知M（n﹣1，2），N（n+4，2），若线段MN与抛物线只有一个交点，求n的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数表达式即可； （2）分类讨论：设点B的坐标为（s，m），当点A在点B的右侧时，则点C的坐标为（﹣2s，m），当点A在点B的左侧时，则点C的坐标为（2s，m），利用函数对称性进行解答即可； （3）根据题意易得M（n﹣1，2），N（n+4，2），则MN＝5，根据线段MN与抛物线只有一个交点，列出不等式﹣1≤n+4＜3或﹣1＜n﹣1≤3，解不等式即可． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，5），（﹣1，2）． 将点（2，5），（﹣1，2）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得 因此，二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+5； （2）过点A（0，m）作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左边），且满足AC＝2AB， 由（1）知二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的对称轴为直线x＝1， 设点B的坐标为（s，m），当点A在点B的右侧时，如图，由AC＝2AB， 则点C的坐标为（﹣2s，m）， 由对称性可得：，s＝﹣2，代入二次函数求得m＝﹣3， 当点A在点B的左侧时，如图，由AC＝2AB，则点C的坐标为（2s，m）， 由对称性可得：，，代入二次函数求得， 综上所述，m的值为﹣3或； （3）把y＝2代入y＝﹣x2+2x+5，得2＝﹣x2+2x+5，解得x＝﹣1或x＝3， 此时抛物线上纵坐标为2的两点间的距离为3﹣（﹣1）＝4， ∵M（n﹣1，2），N（n+4，2）， ∴MN＝n+4﹣（n﹣1）＝5， ∵线段MN与抛物线只有一个交点， ∴﹣1≤n+4＜3或﹣1＜n﹣1≤3， 解得﹣5≤n＜﹣1或0＜n≤4， ∴当线段MN与抛物线只有一个交点时，n的取值范围为﹣5≤n＜﹣1或0＜n≤4． 【点评】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想方法的运用是解题的关键． 【考点3】图象法求一元二次方程的近似根（第23-29题） · 找函数值由正变负（或负变正）的相邻两点 · 零点在这两个x值之间 · 利用对称轴由一个交点求另一个交点 · 表格读值要精确到给出的小数位 23．（2024秋•海城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，结合图象给出下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0； ⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据对称轴和抛物线与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值即可得到结论． 【解答】解：由图象可得， a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴1， ∴2a+b＝0， ∴②正确； 当x＝﹣2时，函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0； ∴③错误， ∴当x＝1时，y＝a+b+c的值最大， ∴对于任意实数m，am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0， ∴④错误； ∵对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴⑤正确， 故选：B． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的根，二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析5条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键． 24．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：由题意可得：当x＝2.26时，y＝﹣0.32，当x＝2.56时，y＝0.41， ∴当y＝0时，2.26＜x＜2.56， ∴选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，正确进行计算是解题关键． 25．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【分析】根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【解答】解：根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 26．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当x＝2.02时，y＝﹣0.01；当x＝2.03时，y＝0.02， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是2.02＜x＜2.03． 故选：B． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 27．（2025秋•山阳县期中）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.75　 ． x 0 0.25 0.5 0.75 1 y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3 【分析】通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【解答】解：方程x2+5x﹣3＝0的解即为函数y＝x2+5x﹣3的零点． 由表格数据可知，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0； 当x＝0.75时，y＝1.31＞0． 由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0， 因此方程的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75． 故答案为：0.5＜x＜0.75． 【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 28．（2024秋•城关区校级期末）二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象如图所示，若方程2x2+4x﹣1＝0的一个近似根是x＝﹣2.2，则方程的另一个近似根为 　0.2　 ．（结果精确到0.1） 【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根． 【解答】解：由题意可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣2.2，0）， 又∵抛物线的对称轴为：x1， ∴另一个交点坐标为：（0.2，0）， 则方程的另一个近似根为x＝0.2， 故答案为：0.2． 【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 29．（2025•朝阳区校级二模）表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中部分x和y的值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是　﹣3＜x＜﹣2　 （两相邻整数之间）． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 6 … 【分析】根据函数的性质求解． 【解答】解：∵x＝﹣2和x＝0时，y＝﹣2， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵当x＝1时，y＞0，当x＝0时，y＜0， ∴根据函数的连续性，在0～1之间，存在一个数，使y＝0， 根据抛物线的对称性，在﹣3～﹣2之间，也存在一个数，使y＝0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个较小根的范围是﹣3＜x＜﹣2， 故答案为：﹣3＜x＜﹣2． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的解，理解函数和方程的关系是解题的关键． 【考点4】二次函数与不等式（第30-37题） · ax2+bx+c>0看抛物线在x轴上方部分 · 与直线比较看抛物线在直线上方/下方 · 开口向上取两边、开口向下取中间 · 恒成立问题转化为Δ≤0且开口向上 30．（2026•利州区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0）抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2），与y轴交于点c，顶点为P．有下列四个结论： ①抛物线的对称轴为直线x＝1； ②若a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大； ③若当2≤x≤3时，抛物线与x轴有交点，则a的取值范围是； ④若不等式ax2﹣2ax+a+2≥2x+4对全体实数x恒成立，则a≥2． 下列判断中，正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据解析式求得对称轴为直线x＝1即可判断①②，根据当2≤x≤3时，抛物线与x轴有交点，得出a＜0，分别求得x＝2和x＝3时的函数值，即可得出（a+2）（4a+2）≤0，即可判断③，根据ax2﹣（2a+2）x+（a﹣2）≥0 对全体实数x恒成立，可得a＞0，Δ≤0，解不等式即可求解． 【解答】解：二次函数对称轴公式为，本题中b＝﹣2a，代入得：，与结论一致，①正确，符合题意． 二次函数开口由a决定，a＞0时抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，当x＞1时y随x增大而增大，②正确，符合题意． ∵y＝a（x﹣1）2+2，顶点P（1，2）在第一象限，2≤x≤3在对称轴右侧，且顶点纵坐标为正，故a＜0抛物线必须开口向下． 当x＝3时，y＝4a+2， 当x＝2时，y＝a+2， ∵抛物线在2≤x≤3时与x轴有交点， ∴（a+2）（4a+2）≤0， 构造关于a的函数w＝（a+2）（4a+2）， ∴当w≤0时，可得；③正确，符合题意． ∵ax2﹣（2a+2）x+（a﹣2）≥0 对全体实数x恒成立． ∴a＞0，且Δ＝[﹣（2a+2）]2﹣4a（a﹣2）＝16a+4≤0， 解得，与a＞0矛盾，故不存在这样的a，④错误，不符合题意， 综上，①②③正确； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式（组），解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 31．（2024秋•横州市校级期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是点A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0），下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有一个实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；⑤当x＜1时，则y1＞y2，其中正确的是（　　） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 【分析】根据抛物线的对称轴方程得到x1，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到a＜0，则利用b＝﹣2a可判断b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a， 即2a+b＝0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝mx+n有两个实数根，所以③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣2，0），所以④正确； 当1＜x＜4时，y1＞y2，所以⑤错误． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点． 32．（2024秋•蓬莱区期中）如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴交于点（1，0），与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象交于A（﹣2，p），B（1.5，q）．下列结论正确的有　③④　 ．（填序号） ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1.5； ④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1+d＝0有实数根，则d≥a﹣c+1． 【分析】根据二次函数图象的开口，对称轴直线可得a＜0，b＝2a，可判定①②；根据二次函数与一次函数图象的交点可判定③；根据二次函数与x轴的交点，可得二次函数交点式y1＝a（x﹣1）（x+3），由可得c＝﹣4a，根据方程有实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣1+d）≥0，把b＝2a，c＝﹣4a代入，根据不等式的性质计算可判定④；由此即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象开口向下，对称轴直线为x＝﹣1， ∴a＜0，， ∴b＝2a＜0， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故①错误； ∴2a+b＝2a+2a＝4a＜0，故②错误； ∵二次函数与一次函数交于A（﹣2，p），B（1.5，q）， ∴当ax2+bx+c＜mx+n时，x＜﹣2或x＞1.5，故③正确； ∵二次函数对称轴为直线x＝﹣1，与x轴交于点（1，0）， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴二次函数的顶点式为， ∴b＝2a，c＝﹣4a， 由题意可得：Δ＝b2﹣4a（c﹣1+d）≥0， （2a）2﹣4a（﹣4a﹣1+d）≥0，整理得，5a+1﹣d≤0， ∵c＝﹣4a， ∴﹣4a﹣a﹣1+d≥0， ∴a﹣c+1≤d，即d≥a﹣c+1，故④正确． 故答案为：③④． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口方程，对称轴，与x轴的交点，不等式的性质等知识的综合运用是解题的关键． 33．（2026•綦江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+b与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，则不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是x＜﹣2或x＞5　 ． 【分析】因为ax2﹣mx+b＞n，则ax2+b＞mx+n，所以不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是x＜﹣2或x＞5． 【解答】解：由题意可得： ∴ax2+b＞mx+n， ∴不等式ax2﹣mx+b＞n的解集是x＜﹣2或x＞5． 故答案为：x＜﹣2或x＞5． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 34．（2023秋•长泰县校级月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a﹣b＝0； ②abc＜0； ③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根； ⑤不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜﹣1； ⑥a＞﹣1． 其中正确的是 　①⑤⑥　 ． 【分析】①利用对称轴方程进行解答； ②根据抛物线开口向下，得出a＜0，根据抛物线与y轴交点在正半轴，得出c＞0，进而得出答案； ③利用抛物线的对称性质求解便可； ④根据抛物线与直线y＝3的交点情况解答； ⑤根据两函数图象的位置关系解答； ⑥设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将A（﹣1，3）代入，得出，进而得出答案． 【解答】解：①由抛物线对称轴知，， ∴2a﹣b＝0，故①正确； ②∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a＜0， ∴b＝2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故②错误； ③设抛物线与x轴的另一个交点坐标是（m，0），根据题意得：， ∴m＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0），故③错误； ④由函数图象可知，直线y＝3与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点， ∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根，故④错误； ⑤根据图象可知，当﹣4＜x＜﹣1时，抛物线在直线y2＝mx+n（m≠0）的上方，即不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜﹣1，故⑤正确； ⑥设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2）， 将A（﹣1，3）代入，得出：a（﹣1+4）（﹣1﹣2）＝3， ∴，故⑥正确； 故答案为：①⑤⑥． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解答关键是熟练运用数形结合方法． 35．（2023秋•江岸区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x　≥　 1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点 　（1，4）　 ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 　﹣1＜x＜3　 ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 【分析】（1）根据图象即可得到结论； （2）利用待定系数法求得函数的解析式，利用顶点式即可求得顶点坐标； （3）观察图象即可求解； （3）求得x＝5时的函数值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1． 故答案为：≥； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴y＝a（x+1）（x﹣3）， 代入（0，3）得，3＝﹣3a，解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）； （3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3； （4）∵x＝5时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣12，x＝1时，y＝4， ∴当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣12＜y≤4． 故答案为：﹣12＜y≤4． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为x＝0或x＝2　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　2＜x＜4　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　﹣9＜k≤﹣5　 ． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0），则根据对称性可得，对称轴是直线x1，从而得解； （2）依据题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值，结合抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8），从而根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8），进而可以得解； （3）依据题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2），又抛物线过B（2，8），则a×（﹣2）×4＝8，可得a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，又直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0），可得该直线为y＝﹣4x+16，然后同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象，结合图象可以判断得解； （4）依据题意，由关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点，进而结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0）， ∴根据对称性可得，对称轴是直线x1． 故答案为：x＝1； （2）由题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8）， ∴根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8）， ∴方程ax2+bx+c＝8的解是x＝0或x＝2． 故答案为：x＝0或x＝2； （3）由题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2）， 又∵抛物线过B（2，8）， ∴a×（﹣2）×4＝8． ∴a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∵直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0）， ∴该直线为y＝﹣4x+16． 同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象如下： 又∵不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是y＝ax2+bx+c（a≠0）图象在直线y＝mx+n的图象上方对应的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞mx+n的解是2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4； （4）由题意，∵关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根， ∴直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点， ∴结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5． 故答案为：﹣9＜k≤﹣5． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 37．（2026•如皋市二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣a的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）若该二次函数的图象经过原点，求a的值； （2）线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点C（x3，y3）为二次函数图象上一点，当时，1＜y3﹣y1＜4，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由（0，0）在函数图象上，则a2+a＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，联立方程组，则x2﹣2ax+a2+a＝2x﹣a，可得x1＝a，x2＝a+2，从而y1＝a，y2＝a+4，故A（a，a），B（a+2，a+4）， 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两条平行线相交于点C，则AC＝a+2﹣a＝2，BC＝a+4﹣a＝4，进而，即可得解； （3）由（2）可知，y1＝a，则1＜y3﹣a＜4，解得a+1＜y3＜a+4，又令y＝a+1，得x2﹣2ax+a2+a＝a+1，可得x2﹣2ax+a2＝1，则（x﹣a）2＝1，故x＝a+1或x＝a﹣1，令y＝a+4，得x2﹣2ax+a2+a＝a+4，则x2﹣2ax+a2＝4，从而（x﹣a）2＝4，可得x＝a+2或x＝a﹣2，进而或最后计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵（0，0）在函数图象上， ∴将（0，0）代入解析式，得a2+a＝0， ∴a＝﹣1或a＝0， ∵a≠0， ∴a＝﹣1； （2）线段AB的长度为定值，理由如下： 联立方程组， ∴x2﹣2ax+a2+a＝2x﹣a，则x2﹣（2a+2）x+a2+2a＝0， ∴（x﹣a）[x﹣（a+2）]＝0． ∴x1＝a，x2＝a+2， ∴y1＝a，y2＝a+4． ∴A（a，a），B（a+2，a+4）， 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两条平行线相交于点C， ∴AC＝a+2﹣a＝2，BC＝a+4﹣a＝4， ∴； （3）由（2）可知，y1＝a， ∴1＜y3﹣a＜4，解得a+1＜y3＜a+4， 令y＝a+1，得x2﹣2ax+a2+a＝a+1， ∴x2﹣2ax+a2＝1，则（x﹣a）2＝1． ∴x＝a+1或x＝a﹣1， 令y＝a+4，得x2﹣2ax+a2+a＝a+4， ∴x2﹣2ax+a2＝4， ∴（x﹣a）2＝4． ∴x＝a+2或x＝a﹣2， ∴或 ∴或． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025•望花区模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）．如果点P在x轴正半轴上，且△ABP是等腰三角形，则P的坐标为 　（3，0）或　 ． 【分析】令x＝0，即可得到点A的坐标，然后根据点B的坐标，得OA，OB；若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣x2+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点B坐标为（﹣3，0）， ∴A（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， 在Rt△AOB中，， 因为△ABP是等腰三角形， ①当AB＝AP时，OB＝OP＝3，点P的坐标为（3，0）， ②当时，点P的坐标为或（舍去）， ③当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0）， 根据题意，，BP＝|x+3|， ∴， 整理，得x2+9＝x2+6x+9． 解得x＝0（不合题意，舍去）． 综上所述，点P的坐标为（3，0）或． 故答案为：（3，0）或． 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤． 【练习 2】（2025秋•鼓楼区期末）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c是常数，且a≠0）的图象经过点A（1，0），则方程ax2+2ax+c＝0的根为 x1＝﹣3，x2＝1　 ． 【分析】先把A点坐标代入y＝ax2+2ax+c得c＝﹣3a，则抛物线解析式为y＝ax2+2ax﹣3a，当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0，然后解一元二次方程即可． 【解答】解：把A（1，0）代入y＝ax2+2ax+c得a+2a+c＝0， 解得c＝﹣3a， 所以抛物线解析式为y＝ax2+2ax﹣3a， 当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0， 即x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【练习 3】（2026•宁夏模拟）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与坐标轴有　3　 个交点． 【分析】分别求出二次函数图象与x轴和y轴的交点坐标即可判断． 【解答】解：将x＝0代入y＝x2+4x﹣5， 得y＝﹣5， ∴二次函数y＝x2+4x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）． 令x2+4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1， ∴二次函数y＝x2+4x﹣5与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0）， ∴二次函数图象与坐标轴交点有3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【练习 4】（2024秋•云龙区校级期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与一次函数y＝kx+1（k＞0）的图象交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0的解集为 　﹣3＜x＜1　 ． 【分析】根据题意得出当ax2+bx+c≥kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0，进而结合函数图象得出x的取值范围． 【解答】解：函数大概图象如下： 根据题意得出当ax2+bx+c＞kx+1时，则ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0， 则从图象看，关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣1＞0的解集为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力． 【练习 5】（2025秋•甘井子区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为　1＜x＜3　 ． 【分析】根据函数图象得出对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），则另一个交点为（3，0），结合函数图象，即可求解． 【解答】解：对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），则另一个交点为（3，0）， ∴解集为1＜x＜3． 故答案为：1＜x＜3． 【点评】本题考查了根据二次函数图象与坐标轴的交点求不等式的解集，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 💯 课后巩固 复习建议 · 根据已知条件选对解析式形式是最快路径 · 顶点式y=a(x-h)2+k中h、k带符号代入 · 抛物线与x轴交点即对应一元二次方程的根 · 不等式解集一定要结合开口方向和图象位置 · 近似根问题找函数值异号的相邻两点 【作业 1】（2025秋•广州校级同步）y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．3＜t＜8 B．﹣1＜t＜8 C．﹣1≤t＜8 D．﹣1＜t≤8 【分析】根据二次函数解析式求出最小值，再求出x＝4时的函数值，然后根据二次函数的增减性写出t的取值范围即可． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝1， ∴， 解得：b＝﹣2， ∴y＝x2﹣2x， 当x＝1时，y＝12﹣2×1＝﹣1， 当x＝4时，y＝42﹣2×4＝8， ∴当﹣1＜x＜4时，﹣1≤y＜8， ∵x2+bx﹣t＝0可变形为x2+bx＝t， ∴﹣1≤t＜8． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自变量的取值范围的影响． 【作业 2】（2025秋•郸城县月考）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C，若△ABC的面积为6，则该二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3 【分析】由二次函数与x轴交点可知其交点式，再根据三角形面积公式求出a，进而求解即可． 【解答】解：由题意可得：设二次函数为y＝a（x+1）（x﹣3）， 当x＝0时，y＝﹣3a， ∴点C坐标为（0，﹣3a）， ∵抛物线与y轴正半轴交于点C， ∴当x＝0时，y＞0， 由y＝a（x+1）（x﹣3）可知，当x＝0时，y＝﹣3a， ∴﹣3a＞0， ∴a＜0 ∵A（﹣1，0）、B（3，0） ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∵△ABC的面积为6， ∴， ∴a＝1（不符合题意，舍去）或a＝﹣1 ∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 【作业 3】（2026•鼓楼区校级开学）抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，且AB，则m的值为（　　） A．1 B．1或3 C． D．或 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解． 【解答】解：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴交于A，B两点，则： 设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程x2+mx+m﹣2＝0的两个实数根． ∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2， ∵， ∴， ∵， ∴（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝5， 解得m1＝1，m2＝3， ∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0恒成立， ∴m的值为1或3． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【作业 4】（2026春•海淀区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣1 3 m 3 … 下列结论正确的是（　　） A．此二次函数图象开口向上 B．m＜3 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 D．3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根 【分析】由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，可得图象开口向下，m＞3；由表格可知，点（3，3）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，因为点（3，3）在直线y＝x的图象上，则可知点（3，3）是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝x的图象的一个交点，可得x＝3是ax2+bx+c＝x的一个根，即 x＝3 是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根． 【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴图象开口向下，m＞3，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 由表格可知，点（3，3）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上， ∵点（3，3）在直线y＝x的图象上， ∴点（3，3）是二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝x的图象的一个交点， ∴x＝3 是ax2+bx+c＝x的一个根，即x＝3是关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 5】（2026•萧山区一模）已知二次函数的顶点在一次函数y2＝ax+ab﹣5上，且当时，都有y1＜y2，a的取值范围是（　　） A． B．a≥3 C．1≤a≤2 D．a≤1或a≥2 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a与b的关系，再根据y1＜y2整理得到关于x的不等式，利用开口向上二次函数的性质，只需区间端点处函数值≤0即可满足区间内不等式恒成立，解不等式后取交集得到a的取值范围． 【解答】解：对于二次函数， 我们可以通过配方法将其化为顶点式：， 由此可知，该抛物线的顶点坐标为． 在一次函数y2＝ax+ab﹣5的图象上． 将顶点坐标代入一次函数解析式：， 化简得，， 即：， 在时，都有y1＜y2． 即：， 将代入上式： ， ， ， 的开口向上， 要使它在某区间内小于0， f（1）≤0， 1﹣2αα2≤0， f（）≤0， （）2≤2α（）α2≤0， 3αα2≤0， 同时满足和1≤α≤2， 两者的交集是：1≤a≤2． 结论综上所述，a的取值范围是1≤a≤2．对应选项为C． 故选：C． 【点评】题目考查了二次函数与不等式，一次函数图象上的坐标特征，二次函数的性质．解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2024秋•思明区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．下面描述： ①2a+b＝0； ②若C点在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，则a； ③若M（﹣m2﹣1，y1），N（m2+4，y2）均在抛物线上，则y1＜y2； ④若M（x1，y1），N（x2，y2）均在抛物线上，且1＜x1＜x2，则； ⑤若△ABC为等腰三角形，则a的值为4个． 其中正确的有 　①②③　 ．（填写所有正确的序号） 【分析】根据二次函数的对称轴可判断①；根据二次函数的图象与y轴交于点C可判断②；根据二次函数的增减性可判断③④；根据等腰三角形的性质可判断⑤，据此可得结论． 【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故结论①正确，符合题意； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 当x＝0时，得y＝﹣3a， ∴C（0，﹣3a）， ∵C点在 （0，﹣2）和 （0，﹣1）之间， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴， 故结论②正确，符合题意； ③∵a＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象开口向上， ∵1﹣（﹣m2﹣1）＜m2+4﹣1， 即点M（﹣m2﹣1，y1）到对称轴的距离比点N（m2+4，y2）到对称轴的距离近， ∴y1＜y2， 故结论③正确，符合题意； ④∵a＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象开口向上， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵M（x1，y1），N（x2，y2）均在抛物线上，且1＜x1＜x2， ∴y1＜y2， ∴y1﹣y2＜0，x1﹣x2＜0， ∴， 故结论④错误，不符合题意； ⑤∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OA＝1，OB＝3， 由②知：二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，C（0，﹣3a）， ∵△ABC为等腰三角形， ∴AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC， 当AB＝BC＝4时，则， ∴， ∴； 当AB＝AC＝4时，则， ∴﹣3a， ∴； 当AC＝BC时，∵OC⊥AB， ∴OA＝OB，不符合题意， ∴此种情况不存在； 综上所述，a的值为或，共2个， 故结论⑤错误，不符合题意； ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查抛物线与坐标轴的交点，二次函数图象的性质，等腰三角形的性质及勾股定理．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业 7】（2024秋•东城区校级期末）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）．则这个二次函数的解析式为 f（x）＝﹣4x2+16x﹣11　 ． 【分析】把三个已知点的坐标分别代入f（x）＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可． 【解答】解：∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（3，1），（1，1）和（2，5）． ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣4x2+16x﹣11． 故答案为：f（x）＝﹣4x2+16x﹣11． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【作业 8】（2025秋•赣榆区月考）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是x1＝﹣1，x2＝5　 ． 【分析】由抛物线经过点 A（﹣2，0）和 B（4，0）可得一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，再通过变量替换求解给定方程． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）两点， ∴x＝﹣2或x＝4是方程ax2+bx+c＝0的解， 对方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx进行变形得：a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0， 令t＝x﹣1，则方程变为at2+bt+c＝0， 此方程的解为t＝﹣2或t＝4， 即x﹣1＝﹣2或x﹣1＝4， 解得：x1＝﹣1，x2＝5， 故答案为：x1＝﹣1，x2＝5． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【作业 9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 　﹣1　 ． 【分析】由根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2，再设方程cx2﹣bx+a＝0的为x3，x4，根据根与系数的关系得出x3+x4＝﹣（），x3x4，从而得出方程cx2﹣bx+a＝0的两根为，，然后由1＜x1＜2＜x2＜4，求出，的取值范围，从而得出结论． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2， ∴x1+x2，x1•x2， 设方程cx2﹣bx+a＝0的为x3，x4， 则x3+x4，x3x4， ∵x3+x4•（），x3x4， ∴x3+x4＝﹣（x1+x2）•（）， ∴方程cx2﹣bx+a＝0的两根为，， ∵1＜x1＜2＜x2＜4， ∴1，， ∴﹣1， ∴方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是正确记忆相关知识点． 【作业 10】（2025秋•临漳县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … ﹣3 ﹣1 ﹣3 ﹣9 … 则方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为 x1＝3，x2＝﹣1　 ． 【分析】根据图表中的数据可以推知该抛物线的对称轴是直线x＝1，所以由抛物线的轴对称性质求得点（3，﹣9）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣9）．由此得到答案． 【解答】解：由图中数据可知：该抛物线的对称轴是直线x＝1， 则点（3，﹣9）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣9）． 所以方程ax2+bx+c＝﹣9的实数根为x1＝3，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 【作业 11】（2025春•广饶县校级月考）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标． 【分析】（1）先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，即可求a、b、c，进而可得函数解析式． （2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x＝2时，即可求得P的坐标． （3）先分析出四边形ACMB面积＝S△ABC+S△MBC，结合S△ABC是一个定值，故要使四边形ACMB面积最大，则S△MBC的面积最大，再整理得，结合二次函数的图象性质，得开口向下，当时，S△MBC有最大值，然后求出点M的纵坐标，即可作答． 【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），由条件可得： ， 解得， ∴． （2）将二次函数解析式配方可得：， ∴抛物线的对称轴为x＝2， 连接CB，如图所示： 设直线BC的解析式为y＝kx+m（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为， 当x＝2时，， ∴P点的坐标为； （3）过点M作MH∥y轴，分别与x轴和BC交于点T，W，连接CM，BM，CB，如图所示： 则四边形ACMB面积＝S△ABC+S△MBC， ∵S△ABC是一个定值， ∴要使四边形ACMB面积最大，则S△MBC的面积最大， 设，则， ∴． 则S△MBC＝S△MWC+S△MWB ， ∵， ∴开口向下，当时，S△MBC有最大值， ∴即时，四边形ACMB面积最大， 此时把代入， 得， ∴． 【点评】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的面积和线段综合，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业 12】（2025•牡丹江模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，且∠PCA＝15°，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，过点P作PM⊥y轴于点M，由题意可得C（0，3），则OA＝OC＝3，即△AOC为等腰直角三角形，可得∠ACO＝45°，则∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝60°．设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0，在Rt△PCM中，tan60°，求出m的值，即可得出答案；当点P在直线AC下方的抛物线上时，过点P作PN⊥y轴于点N，可得∠PCN＝∠ACO﹣∠PCA＝30°．设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3），n＜﹣3，在Rt△PCN中，tan30°，求粗话n的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，如图，过点P作PM⊥y轴于点M， 将x＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3，得y＝3， ∴C（0，3）， ∴OA＝OC＝3， ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴∠ACO＝45°． ∵∠PCA＝15°， ∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝60°． 设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0， 在Rt△PCM中，tan60°， 解得m， 经检验，m是原方程的解且符合题意， ∴点P的坐标为（，）． 当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图，过点P作PN⊥y轴于点N， ∵∠ACO＝45°，∠PCA＝15°， ∴∠PCN＝∠ACO﹣∠PCA＝30°． 设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3），n＜﹣3， 在Rt△PCN中，tan30°， 解得n， 经检验，n是原方程的解且符合题意， ∴点P的坐标为（，）． 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 13】（2025秋•通州区期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （3）当y＞0时，x的取值范围是x＜1或x＞3　 ． 【分析】（1）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可知该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1）．将x＝0代入y＝x2﹣4x+3，求出y的值，可得该函数图象与y轴的交点坐标．令x2﹣4x+3＝0，求出x的值，可得该函数图象与x轴的交点坐标． （2）利用描点法画图即可． （3）结合图象可得出答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1）． 将x＝0代入y＝x2﹣4x+3，得y＝3， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）． 令x2﹣4x+3＝0， 得x1＝1，x2＝3， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）． （2）列表： x ... 0 1 2 3 4 ... y ... 3 0 ﹣1 0 3 ... 在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象如图所示． （3）由图可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜1或x＞3． 故答案为：x＜1或x＞3． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 14】（2024秋•芒市校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D在直线y＝x+1上，对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的解析式； （2）若在自变量x的值满足1＜t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值； （3）设m为抛物线与x轴一个交点的横坐标，求的值． 【分析】（1）根据题意结合一次函数y＝x+1图象上点的坐标特征，可求得D的坐标，再由对称轴求出b的值，然后将点D的坐标代入求解即可； （2）根据抛物线的图象性质，列出方程求解判断，即可解题； （3）根据题意可得m2﹣2m＝1，再分别对分子、分母化简即可解题． 【解答】解：（1）对于y＝x+1， 当x＝1时，y＝2， 即点D的坐标为：（1，2）， ∵对称轴为x＝1， ∴， 解得：b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+c， 将点D代入得：2＝﹣12+2×1+c， 解得：c＝1， ∴y＝﹣x2+2x+1 （2）对于y＝﹣x2+2x+1， 当x＝t+2时，y＝﹣（t+2）2+2（t+2）+1＝﹣t2﹣2t+1； 当x＝t时，y＝﹣t2+2t+1， ∵1＜t≤x≤t+2，y＝﹣x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线在x＝t+2时，取得最小值，即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7， 解得：t＝﹣4（舍去）或2， 即t＝2； （3）∵m为抛物线与x轴一个交点的横坐标， ∴0＝﹣m2+2m+1，即m2﹣2m＝1， 分子为：m8+m4﹣20m2+6 ＝m6（m2﹣2m）+2m7+m4﹣20m2+6 ＝m6+2m7+m4﹣20m2+6 ＝2m7﹣4m6+5m6+m4﹣20m2+6 ＝2m5（m2﹣2m）+5m6+m4﹣20m2+6 ＝2m5+5m6+m4﹣20m2+6 ＝5m6﹣10m5+12m5+m4﹣20m2+6 ＝5m4（m2﹣2m）+12m5+m4﹣20m2+6 ＝5m4+12m5+m4﹣20m2+6 ＝12m5﹣24m4+30m4﹣20m2+6 ＝12m3（m2﹣2m）+30m4﹣20m2+6 ＝12m3+30m4﹣20m2+6 ＝30m4﹣60m3+72m3﹣20m2+6 ＝30m2+72m3﹣20m2+6 ＝72m3﹣144m2+154m2+6 ＝72m（m2﹣2m）+154m2+6 ＝72m+154m2+6 ＝154m2﹣308m+380m+6 ＝154（m2﹣2m）+380m+6 ＝380m+160 ＝20（19m+8）； 而分母＝m3+14m+6 ＝m3﹣2m2+2m2+14m+6 ＝m（m2﹣2m）+2m2+14m+6 ＝2m2﹣4m+19m+6 ＝2（m2﹣2m）+19m+6 ＝19m+8； ∴原式20． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求抛物线的解析式，一次函数性质，解一元二次方程，分式的化简，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 【作业 15】（2025秋•太和县校级期中）如图，抛物线y＝ax2﹣8x+6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左边，直线y＝﹣x+1经过点A且与抛物线交于点C． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）直接写出不等式ax2﹣8x+6＜﹣x+1的解集． 【分析】（1）先求出点A的坐标为（1，0），然后代入y＝ax2﹣8x+6求出a＝2，得出抛物线的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标即可； （2）先求出点C的坐标，然后求出不等式ax2﹣8x+6＜﹣x+1的解集即可； 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣8x+6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左边， 把y＝0代入直线y＝﹣x+1得：﹣x+1＝0， 解得：x＝1， ∴点A的坐标为（1，0）， 将点A（1，0）代入y＝ax2﹣8x+6中， 解得：a＝2， ∴y＝2x2﹣8x+6， 把y＝0代入y＝2x2﹣8x+6得：2x2﹣8x+6＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴点B的坐标为（3，0）； （2）联立解析式， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴不等式ax2﹣8x+6＜﹣x+1的解集为． 【点评】本题主要考查了求抛物线的解析式，根据图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $