第23章 解直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

解直角三角形单元测试卷 满分：120分 测试范围：华师版九年级上册第23章 建议用时：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 4．已知为锐角，下列等式一定不成立的是（     ） A． B． C． D． 5．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 8．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 9．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 10．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 12．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 13．如图在中，，，，则的值为______． 14．如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾桶的最大高度．已知完全打开盖后如右图，，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为_________． 15．如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，，则________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1) (2)． 17．（8分）如图，已知菱形，点E是边的中点，连接． (1)请仅用无刻度的直尺，过点C作的中线；（保留作图痕迹） (2)若，，则（1）中的长为 ． 18．（6分）我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港 的北偏东 方向，距离 点 250 海里的 处．一艘渔船在 处模拟遇险， 处位于海港 的北偏东 方向，同时位于 处的南偏东 方向上，此时，渔政巡逻船以 24 海里/时的速度前往 处，求渔政巡逻船大约多长时间到达 处（结果精确到 0.1 时．参考数据：，，，）． 19．（9分）如图，网格中的顶点都在格点上， (1)请利用无刻度直尺作出中边上的中线． (2)请利用无刻度直尺作出以为腰的等腰使得的正切值为2， (3)请直接写出等腰的面积为___________． 20．（10分）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 21．（10分）研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度． 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图2，首义门竖直矗立在水平地面上．数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选取了，两点放置标杆，，并分别在点，处测得首义门顶端的仰角为， 测量数据 •在点测得仰角 •在点测得仰角 •两点间距离： •标杆的高度： 备注 点，，在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： (1)求首义门的高度（结果精确到．参考数据：，，；，，）； (2)已知首义门的实际高度为，请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误差原因． 22．（12分）阅读与思考 下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 如何利用网格求角的三角函数值 在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁． 利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误． 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 方法归纳： 观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了． 任务： (1)直接写出图1中的值为__________． (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值． (3)如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 23．（12分）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解直角三角形单元测试卷 满分：120分 测试范围：华师版九年级上册第23章 建议用时：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 2．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 4．已知为锐角，下列等式一定不成立的是（     ） A． B． C． D． 5．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 8．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 9．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 10．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 12．如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 13．如图在中，，，，则的值为______． 14．如图，左图是有盖垃圾桶的侧面示意图，为判断该垃圾桶放置在桌下是否合适，需要计算打开盖后垃圾桶的最大高度．已知完全打开盖后如右图，，则打开盖后该垃圾桶的最大高度为_________． 15．如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，，则________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1) (2)． 17．（8分）如图，已知菱形，点E是边的中点，连接． (1)请仅用无刻度的直尺，过点C作的中线；（保留作图痕迹） (2)若，，则（1）中的长为 ． 18．（6分）我国始终坚持海洋强国战略，不断强化近海渔业安全保障与应急救援能力．在我国某海域，渔政部门开展常态化海上安全巡航，全力守护渔民生命财产安全．某次演习中，渔政巡逻船位于海港 的北偏东 方向，距离 点 250 海里的 处．一艘渔船在 处模拟遇险， 处位于海港 的北偏东 方向，同时位于 处的南偏东 方向上，此时，渔政巡逻船以 24 海里/时的速度前往 处，求渔政巡逻船大约多长时间到达 处（结果精确到 0.1 时．参考数据：，，，）． 19．（9分）如图，网格中的顶点都在格点上， (1)请利用无刻度直尺作出中边上的中线． (2)请利用无刻度直尺作出以为腰的等腰使得的正切值为2， (3)请直接写出等腰的面积为___________． 20．（10分）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 21．（10分）研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度． 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图2，首义门竖直矗立在水平地面上．数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选取了，两点放置标杆，，并分别在点，处测得首义门顶端的仰角为， 测量数据 •在点测得仰角 •在点测得仰角 •两点间距离： •标杆的高度： 备注 点，，在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： (1)求首义门的高度（结果精确到．参考数据：，，；，，）； (2)已知首义门的实际高度为，请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误差原因． 22．（12分）阅读与思考 下面是小清同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 如何利用网格求角的三角函数值 在平面几何的学习中，求解三角函数值往往依赖于直角三角形的存在．然而，面对非直角三角形或者缺乏度量工具的复杂场景，网格作为一种独特的几何变换手段，巧妙地搭建起了“直观图形”与“抽象数学”之间的桥梁． 利用网格的特殊性质，借助平移、平行线、相似三角形等几何变换，可将任意待求角进行转化，嵌入格点直角三角形中分析求解．该方法运算简便，规避繁琐计算，高效完成角度与线段的数值转化，有效减少解题失误． 问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 方法归纳： 观察发现问题中不在直角三角形中，我们利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就转换到中了． 任务： (1)直接写出图1中的值为__________． (2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与交于点，求的值． (3)如图3，若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格，网格顶点称为格点，已知菱形的较小内角为，点，，，都在格点处，线段与相交于点，则的值为_____． 23．（12分）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B A A B B C C 1．C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 2．D 【分析】先根据刻度尺读出斜边的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质求出的长． 【详解】解：由图可知，点A对应的刻度为，点B对应的刻度为， ∴线段的长度为：（）． ∵，为边的中点， ∴是斜边上的中线． 根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），可得：， ∴（）． 3．A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 4．B 【详解】解：α为锐角，∴含α的直角三角形中，设对边为，邻边为，斜边为，则，，，，． 对选项A：当时，，，等式成立． 对选项B：∵， ∴，即， ∴一定不成立． 对选项C：∵锐角α增大时，逐渐减小，逐渐增大， 当时，，，，即； 当时，，，即， ∴存在满足条件的锐角α，等式成立． 对选项D：当时，，等式成立． 故答案为B． 5．A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．A 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 7．B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 8．B 【分析】设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，或利用面积法求出的值． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 如图，在图中取格点D，连接， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴． 9．C 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③ ，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 10．C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 11． 【分析】如图在延长线上取格点，连接，根据网格结构，利用勾股定理分别计算出、、的长度，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， 如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 12． 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，即，结合，，代入数值到中即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 13． 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 14． 【分析】根据矩形性质得出长及高，由旋转性质得长，过点作的垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出到的距离，加上即为最大高度． 【详解】解：过点作，交直线于点， 四边形是矩形 ，， 由旋转性质可知 在中， 打开盖后该垃圾桶的最大高度为． 15． 【分析】设，则，利用勾股定理表示，过点作于点，证明，利用相似比表示，进而表示，根据建立关于的方程，求出，最后利用勾股定理求． 【详解】解：为的一条中线， ， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， 过点作于点， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ，整理得：， 解得， 在中，， ． 16．(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）连接，与交于点O，连接并延长交于点F，此时即为的中线； （2）先利用菱形的性质得出，再通过等边三角形的判定与性质得到，通过解含30度直角三角形和勾股定理即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，设与的交点为点P， ∵四边形为菱形， ∴，且对角线，互相平分， ∴点P为，的中点， ∴是的中线， ∵点E是边上的中点， ∴是的中线， ∴根据三角形的三条中线交于一点O，可得也是的中线． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴和是等边三角形， ∵是等边的中线， ∴， 在中，， ∴． 18．渔政巡逻船大约5.3时到达C处 【分析】过点作，先根据方位角求出、，在Rt中利用三角函数求出长，再在中求，最后用时间=路程÷速度计算． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 由题意，得，． 设海里， 在中，，，， ． 在中，，，，， ，． ，， ．解得． ．（时）． 所以渔政巡逻船大约5.3时到达C处． 19．(1) (2) (3)4 【分析】（1）结合网格取的中点，再连接即可得； （2）结合网格取点，使得，再连接即可得；验证：取的中点，则,，进而可得，则，符合题意； （3）求出，的长，由此即可得． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：由（2）可知，，，， 则等腰的面积为． 20．(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ． 在中，，，． ， ． ． （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由题可知． 在中，，， ， ． 琴码垫高的高度为． 21．(1) (2)测量结果与实际高度不一致．可能的误差原因：测量标杆高度时存在误差；测角仪的角度读数存在偏差；标杆与首义门的水平距离测量不准确；测量时标杆未完全竖直等．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）连接并延长交于点，依题意四边形和四边形是矩形，在中，求得，在中，表示出，根据，列出方程，取得的长，进而求得，即可求解； （2）根据能引起测量误差的原因分析即可求解． 【详解】（1）解 ：如图，连接并延长交于点． 由题意，得，四边形和四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：首义门的高度约为． （2）略 22．(1)1 (2) (3) 【分析】（1）取格点Q，连接，由可得，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据可得答案； （2）先取格点Q，连接，由可得，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案； （3）取格点E，连接，延长，作，设菱形的边长为1，根据题意得，即可得，再说明，然后解直角三角形求出，进而求出，接下来根据勾股定理求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：取格点Q，连接， 可知， ∴． 根据勾股定理，得， 可知, ∴是直角三角形， ∴； （2）解：如图，取格点Q，连接， 由图可知， ∴． 根据勾股定理，得， 则 ∴是直角三角形，且， 可知， ∴； （3）解：取格点E，连接，延长，过点B作于点F，如图所示， 设菱形的边长为1，根据题意，得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 23．(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $