精品解析：安徽亳州市第一中学2026-2027学年高一上学期10月学业质量检测数学试题

亳州一中2026—2027学年第一学期 高一年级阶段学业质量检测卷 数学 注意事项： 1．满分分值：150分；考试时间：120分钟． 2．考试范围：北师大版必修第一章、第二章第1、2、3、4节． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，只需上交答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设为自然数集，集合，则（       ） A. B. C. D. 3. 若函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知集合，，若 ，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上是增函数，则a的取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 集合的非空子集的个数为6 B. 是菱形是正方形 C. 若，，则 D. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 不等式：的解集为或 11. 已知均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为5 C. 的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为_________ 13. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 14. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集R，，，求 （1）； （2）． 16. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 17. 已知，． （1）若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； （2）若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求与的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 19. 已知集合，若对任意正整数，，有或，称集合为“封闭集”． （1）判断集合与是否为“封闭集”，并说明理由； （2）若为“封闭集”，且时，求； （3）若为“封闭集”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亳州一中2026—2027学年第一学期 高一年级阶段学业质量检测卷 数学 注意事项： 1．满分分值：150分；考试时间：120分钟． 2．考试范围：北师大版必修第一章、第二章第1、2、3、4节． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 5．考试结束后，只需上交答题卡． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变即可 【详解】由命题的否定的概念知，改量词否结论，条件不变， 所以命题的否定形式为：，. 2. 设为自然数集，集合，则（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，逐个判断各个选项. 【详解】A选项， 且 ，所以，A选项错误； B选项， ，所以，B选项错误； C选项， ，所以 ，C选项错误； D选项， 且 不成立，所以，D选项正确. 3. 若函数则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解. 【详解】. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，结合分段条件代入求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 4. 已知集合，，若 ，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的包含关系判断求解即可. 【详解】由 ，得集合中一定包含集合中的所有元素且集合是集合的真子集， 所以集合或或. 故满足条件的集合的个数为3个. 5. 已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出的解析式. 【详解】设,因为,所以. 又,所以有 ,解得 . 故选：A 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力. 6. 函数在上是增函数，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题知，对进行分类讨论，使满足在上是增函数，列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】当时，，满足题意. 当时，在上是增函数，满足，解得：. 当时，在上是增函数，满足，解得：. 综上所述：. 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，分类讨论为解题的关键，属于中档题. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为增函数，在上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】是定义在上的偶函数， ， ， 在上为增函数， 在上为减函数， 由可得， 解得或， 故不等式的解集为或 故选：B． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，函数奇偶性和单调性的应用，属于中档题． 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值. 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 集合的非空子集的个数为6 B. 是菱形是正方形 C. 若，，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据集合非空子集的个数为可判断A；根据正方形与菱形的关系，可判断B；根据奇数的表示方法及已知式子的等价变形可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，集合中有3个元素，所以其非空子集的个数为，故A错误； 对于B，因为正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形， 所以是正方形是菱形，故B错误； 对于C，若，，则都表示奇数，，故C正确； 对于D，因为方程没有实数解，所以，故D正确. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 不等式：的解集为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的定义判断A，且由判断B、C，解一元二次不等式求得或，进而确定的范围判断D. 【详解】A：当时，当时，错误； B、C：由定义知：，故，正确； D：由，故或，则或，所以解集为或，正确. 故选：BCD 11. 已知均为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为5 C. 的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式即可解得；对于B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对于C，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案；对于D，两次使用基本不等式即可得到答案. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，C对. 对于D，因为，，所以， 当且仅当时等号成立，与联立可得． 又因为，由不等式的性质可得 ． 又因为， 当且仅当时等号成立． 所以仅当时等号成立， 综上，的最小值为. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域. 【详解】由题意得，即定义域为. 【点睛】本题考查函数定义域,考查基本分析求解能力,属基础题. 13. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 14. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意的图象上存在点关于原点对称，设函数的图象与函数的图象关于原点对称，求出的解析式，则问题转化为方程，有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得. 【详解】依题意函数的图象上存在点关于原点对称， 设函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设，则，， 所以， 函数存在“隐对称点”，即方程，有解； 得，， 利用基本不等式， 当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集R，，，求 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 ，故或， 因为，所以； 【小问2详解】 或， 故或 16. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 17. 已知，． （1）若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； （2）若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解绝对值不等式得p，根据充分条件的定义转化集合关系计算参数即可； （2）先分类讨论计算，再利用必要条件的定义转化集合关系计算参数即可； 【小问1详解】 由题意可知． 因为p是q的充分不必要条件，所以，解得， 即a的取值范围是． 【小问2详解】 当，即时，，满足题意； 当，即时，或． 因为是p的必要不充分条件，所以或， 解得或． 综上，a的取值范围是． 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求与的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）设，若对于任意的，总存在，使得成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）函数在上单调递增，证明如下： 由（1）知， 任取，且，即， 则 ， ，，，则，， 因此，函数在区间上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再由可求得； （2）根据单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号，即可得证； （3）根据不等式的恒（能）成立问题，将问题转化为，结合对应的闭区间求最值即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， 则，即，即，得， 则， 又，解得. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意可知． 由（2）知，函数是上的增函数，． ，函数在区间上单调递增，． ，解得，所以． 因此，正实数的取值范围为． 19. 已知集合，若对任意正整数，，有或，称集合为“封闭集”． （1）判断集合与是否为“封闭集”，并说明理由； （2）若为“封闭集”，且时，求； （3）若为“封闭集”，求的值． 【答案】（1）集合中， 因为，，，，，，， 所以集合是“封闭集”． 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据 “封闭集” 定义，逐一验算集合内元素两两的和或差是否属于该集合，以此判断是否为封闭集； （2）利用封闭集性质先推出首项为0，再结合最大元素，通过和超出集合则差必在集合内的逻辑建立元素等式，求出三项之和； （3）由封闭集性质推导出集合元素的对称关系，对所有元素求和化简，代入项数算出分式的值． 【小问1详解】 集合中， 因为，，，，，，， 所以集合是“封闭集”． 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，所以，， 则， 又因为，所以，则，同理． 因为，所以， 所以，所以． 【小问3详解】 假设是“封闭集”． 由于，则，故必有，则． 因为，所以，则， 又因为，所以， 所以，，，…，． 所以， 所以， 所以， 所以当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $