第一章《有理数》期中高频考点复习2026-2027年人教版七年级数学上册

第一章《有理数》期中高频考点复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 正数和负数 题型2 有理数的概念与分类 题型3 数轴的三要素及其画法 题型4 利用数轴表示有理数的大小 题型5 数轴上两点之间的距离 题型6 数轴上点的平移 题型7 数轴上整点覆盖问题 题型8 数轴上的规律探究 题型9 相反数 题型10 绝对值非负性 题型11 绝对值的几何意义 题型12 绝对值的其他应用 题型13 有理数的大小比较 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01： 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上“－”号叫做负数 0既不是正数也不是负数. 【针对训练】 例题：下列各数中，正数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键，正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数． 根据正数都大于0，注意判断即可． 【详解】解：A、，是负数，故A错误； B、，是负数，故B错误； C、0 既不是正数也不是负数，故C错误 D、，是正数，故D正确． 故选：D． 【变式训练】 1．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 知识点02： 有理数 可以写成分数形式的数称为有理数 有理数的分类 （1）按定义（分母是否为1）分类：有理数 （2）按性质分有理数 【针对训练】 例题：将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可． 【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}； 负有理数集合：{， ， ， ，…} 【变式训练】 1．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 知识点03：数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 【针对训练】 例题：下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案． 【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意； B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意； C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意； D、是数轴，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 知识点04：相反数 只有符号不同的两个数是相反数 正数的相反数是一个负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0 的相反数是 相反数等于本身的数是0 【针对训练】 例题：的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【变式训练】 1．如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 【详解】解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． 知识点05：绝对值 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 ★ 绝对值等于本身的数是非负数 【针对训练】 例题：若，则 ， ． 【答案】 3 4 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 【变式训练】 1．已知，则，，的值分别是 ． 【答案】，， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 典例精析 题型一 正数和负数 【典例1】周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行到达小明家，继续向西骑行到达琪琪家，然后向东骑行到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数在行程问题中的应用以及距离的计算，解题的关键是通过规定正方向，将行程转化为有理数的运算，从而确定图书馆与小明家的位置关系和距离． 规定正方向，确定各行程的正负表示，再计算图书馆到小明家的距离． 【详解】规定向东为正方向，那么向西就为负方向．嘉嘉从家出发到小明家的行程可表示为，从小明家到琪琪家的行程为，从琪琪家到图书馆的行程为， 嘉嘉从家到图书馆的总行程为，这表明图书馆在嘉嘉家东边300m处， 已知小明家在嘉嘉家西边300m处，图书馆在嘉嘉家东边300m处，所以图书馆到小明家的距离是， 故选：C． 【变式1】如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 【答案】(1)4；3； (2) 【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键． （1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天； （2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可． 【详解】（1）∵， ∴从9月2日到9月5日这四天中， 步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日． 故答案为：4；3； （2）（步）， 答：小李这四天走的步数一共是步． 题型二 有理数的概念与分类 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 【变式1】在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：是有限小数，属于分数，是有理数， 0是整数，是有理数；29是正整数，是有理数， 因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，不是有理数， 是负分数，属于有理数， ，是无限不循环小数，不是属于有理数， ，是循环小数，属于分数，是有理数， 共5个，故选：C． 题型三 数轴的三要素及其画法 【典例1】下列数轴正确的是（   ） A．    B． B．   C．    D．   【答案】B 【分析】本题考查的是数轴三要素，根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度且单位长度要统一，解答即可. 【详解】A、单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； B、数轴的三要素：原点、正方向与单位长度且单位长度统一，故该选项正确，符合题意； C、没有正方向，故该选项不正确，不符合题意； D、 单位刻度的数值标错了，故该选项是错误的；故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． ，，0，，5． 【答案】数轴上表示见解析， 【详解】解：把各数表示在数轴上如下： 故． 【变式1】画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”排列． 【答案】数轴如图， 【详解】解：在数轴上表示各数，如图∶ 按从小到大的顺序用“”排列为． 题型五 数轴上两点之间的距离 【典例1】点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含的式子表示出点表示的数，进而即可求解． 【详解】解：∵点所表示的数为，且位于原点左侧， ∴长为， ∵，∴， ∵，∴，且点位于原点右侧， ∴点表示的数为 故选：A． 【变式1】在数轴上，距原点距离为2的点是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，分两种情况，再结合数轴上两点之间的距离即可得解，熟练掌握数轴上的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：当这个点在原点的左边时，这个点为；当这个点在原点的右边时，这个点为， 故在数轴上，距原点距离为2的点是或， 故答案为：或． 题型六 数轴上点的平移 【典例1】点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴上点的平移，正确记忆平移规律是解题的关键． 利用A点位置结合平移规律依次求得点B，C表示的数． 【详解】解：点A表示的数是3， 由点A向右移动2个单位长度到点B，点B表示的数是， 由点B向左移动9个单位长度到点C，点C表示的数是． 故答案为：． 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例1】如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据且解答即可． 【详解】解：由a在数轴上的位置可知，且， ∴表示的整数是． 故选B． 【变式1】用长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖 个整数点． 【答案】或/2021或2020 【详解】解：如图所示，当起点位于整数点之间时：   长度为个单位，其覆盖了一个整数点； 长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 如图所示，当起点位于整数点上时：   长度为个单位，其覆盖了两个整数点； 长度为个单位，其覆盖了三个整数点； 长度为个单位，其覆盖了四个整数点； 长度为个单位，其覆盖了五个整数点， 以此类推： 长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖个整数点． 综上：长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖或个整数点． 故答案为：或． 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 【变式1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 题型九 相反数 【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【答案】A 【分析】该题考查了相反数的定义，化简各数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，符合题意； B．和，不是互为相反数，不符合题意； C．和，不是互为相反数，不符合题意； D．3和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式1】若的相反数为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数为9， ， 解得：， 故答案为：． 题型十 绝对值非负性 【典例1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式1】当 时，式子有最小值． 【答案】2 【详解】解：根据，得到时，取得最小值， 解得， 故答案为：2． 题型十一 绝对值的几何意义 【典例1】我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 【变式1】若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示．例如，数轴上表示和2的两点之间的距离是．若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的性质、数轴上两点间距离的计算，针对能否翻译成数学的语言是解题的关键． 由代数式取最小值时可得，到与到的距离之和最小，那么只有在和之间的线段上时，才能取最小值，据此即可得到答案． 【详解】解：若代数式取最小值，由两点之间的距离表示可知，表示和x的两点之间的距离，表示1和的两点之间的距离，而要使取最小值，当且只当表示的点在和之间的线段上，所以． 故整数x可取：． 故答案为：． 题型十二 绝对值的其他应用 【典例1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 【变式1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 题型十三 有理数的大小比较 【典例1】比较下列两数大小，结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比较有理数的大小．根据正数大于负数、两个负数,绝对值大的反而小进行解答即可． 【详解】解：A、 ，，则该选项正确； B、，，，，，，则该选项错误； C、，，则该选项正确； D、，， ， 则该选项正确； 故选：B． 【变式1】（25-26六年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 1．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：． 2．气象观测中常用正负数表示气温升降，若某地中午气温上升记为，则夜间气温下降 应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵气温上升记为，即上升记为正， ∴与上升意义相反的下降记为负， ∴气温下降应记作． 3．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（   ） A．0 B．1 C． D．25 【答案】C 【分析】由数轴可得，点表示的数约为，再结合相反数的定义即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，点表示的数约为， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴点B表示的数可能是． 4．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 5．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 6．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 7．比较大小：_________．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【分析】本题考查有理数比较大小，根据有理数的大小比较法则，负数比较时绝对值大的反而小． 【详解】解：，，，      故答案为：<． 8．若，互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，解题关键是明确两个互为相反数的数之和为0，代入求解即可． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， 则 故答案为：． 9．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【详解】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 10．在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：，，，． 【答案】 在数轴上表示如图， ． 【分析】本题考查了数轴上表示数，利用数轴比较数的大小，化简多重符号，化简绝对值，先对各数进行化简，然后在数轴上表示出来，最后根据数轴特点即可比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，， 根据数轴特点可知，． 11．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 12．如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上的点M，N分别表示，2， ∴点M到点N的距离为 ． 13．检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 14．如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 15．若，，且，则（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，运用分类讨论思想是关键． 根据绝对值的定义得出和的可能取值，结合的取值范围，分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时，无论或，都有，不符合题意，故舍去； 当，时， ，符合题意， 此时； 当，时， ，符合题意， 此时； 综上所述，或． 故选：B． 16．如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 17．在中，是负有理数的为__________． 【答案】 【分析】本题考查了负有理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握负有理数的概念． 负有理数是指负数且是有理数的数，包括负整数和负分数，从给定数中筛选即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数； 5是正数； 是负分数，属于负有理数； ，是正数； 0.22是正小数； 是负小数，属于负有理数； 是正分数， 因此，负有理数为和． 故答案为：． 18．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 19．已知a，b是有理数，，则_____ ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20． 阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数B对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与1之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【答案】(1)或 (2)1或5 (3) (4)7 【分析】（1）根据绝对值表示的几何意义即可进行求解； （2）根据在数轴上，某点到3所对应的点的距离为2，即可得到符合条件的数； （3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为5，得出满足条件的整数x的值，再求和即可； （4）由的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离与数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离之和，则当x在与3之间的数轴上时，最小，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵表示数轴上数与数对应点之间的距离， ∴数轴上与1之间的距离为或； （2）解：表示：在数轴上，某点到3所对应的点的距离为2， ∴或， 可以表示数轴上的数1或数5； （3）解：，表示为在数轴上某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为5， ∴， ∴满足条件的整数x可为，，，0，1，2， ∴整数的和为； （4）解：表示在数轴上到3和的距离之和， 所以当x在与3之间的数轴上时，有最小值为， 即的最小值为7． 21．如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可． 【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴可以确定在数轴上的位置如图， 根据在数轴上越往右的数越大， 只有A选项正确． 故选：A． 22．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 23．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键． 先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出规律，然后推广到题干要求的数字． 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 24．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【详解】解： ． 26．如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为________． 【答案】0或10或20 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【详解】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 27．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《有理数》期中高频考点复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 正数和负数 题型2 有理数的概念与分类 题型3 数轴的三要素及其画法 题型4 利用数轴表示有理数的大小 题型5 数轴上两点之间的距离 题型6 数轴上点的平移 题型7 数轴上整点覆盖问题 题型8 数轴上的规律探究 题型9 相反数 题型10 绝对值非负性 题型11 绝对值的几何意义 题型12 绝对值的其他应用 题型13 有理数的大小比较 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01： 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上“－”号叫做负数 0既不是正数也不是负数. 【针对训练】 例题：下列各数中，正数是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式训练】 1．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02： 有理数 可以写成分数形式的数称为有理数 有理数的分类 （1）按定义（分母是否为1）分类：有理数 （2）按性质分有理数 【针对训练】 例题：将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【变式训练】 1．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 知识点03：数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 【针对训练】 例题：下列各图中，数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 知识点04：相反数 只有符号不同的两个数是相反数 正数的相反数是一个负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0 的相反数是 相反数等于本身的数是0 【针对训练】 例题：的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 知识点05：绝对值 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 ★ 绝对值等于本身的数是非负数 【针对训练】 例题：若，则 ， ． 【变式训练】 1．已知，则，，的值分别是 ． 典例精析 题型一 正数和负数 【典例1】周末嘉嘉骑车从家出发，先向西骑行到达小明家，继续向西骑行到达琪琪家，然后向东骑行到达图书馆．则图书馆到小明家的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数． (1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日； (2)小李这四天走的步数一共是多少？ 题型二 有理数的概念与分类 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【变式1】在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型三 数轴的三要素及其画法 【典例1】下列数轴正确的是（   ） A．    B． B．   C．    D．   【变式1】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 题型四 利用数轴表示有理数的大小 【典例1】把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按照从小到大的顺序用“<”连接起来． ，，0，，5． 【变式1】画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”排列． 题型五 数轴上两点之间的距离 【典例1】点在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，、若点表示的数为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在数轴上，距原点距离为2的点是 ． 题型六 数轴上点的平移 【典例1】点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【变式1】数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例1】如图，整数在数轴上所对应的点的位置被“”盖住了，则表示的整数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】用长为个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖 个整数点． 题型八 数轴上的规律探究 【典例1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【变式1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 题型九 相反数 【典例1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【变式1】若的相反数为9，则的值为 ． 题型十 绝对值非负性 【典例1】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【变式1】当 时，式子有最小值． 题型十一 绝对值的几何意义 【典例1】我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【变式1】若数轴上的两点分别表示实数a，b，那么这两点之间的距离表示．例如，数轴上表示和2的两点之间的距离是．若数轴上一点表示x，则当代数式取最小值时，满足条件的整数x的值是 ． 题型十二 绝对值的其他应用 【典例1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【变式1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 题型十三 有理数的大小比较 【典例1】比较下列两数大小，结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26六年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 1．的绝对值是（ ） A． B． C． D．2026 2．气象观测中常用正负数表示气温升降，若某地中午气温上升记为，则夜间气温下降 应记作（     ） A． B． C． D． 3．如图，点A是数轴上一点，点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数可能是（   ） A．0 B．1 C． D．25 4．是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 6．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．比较大小：_________．（填“>”，“=”，“<”） 8．若，互为相反数，则的值为__________． 9．数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 10．在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列：，，，． 11．如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 12．如图，数轴上的点M，N分别表示，2，则点M到点N的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 13．检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 14．如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 15．若，，且，则（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 16．如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 17．在中，是负有理数的为__________． 18．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 19．已知a，b是有理数，，则_____ ． 20． 阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数B对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与1之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 21．如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 23．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 24．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 25．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 26．如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为________． 27．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $