专题07 期中复习高频与压轴31类题型归纳（考试范围：第1章～第3章 ）-2026-2027学年人教版七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题07 期中复习高频与压轴31类题型归纳 （考试范围：第1章-第3章 ） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填高频】 3 【题型 1正负数、相反意义的量、误差与温差】 3 【题型 2有理数分类、数的识别与计数】 3 【题型 3相反数、倒数、绝对值、多重符号化简】 3 【题型 4数轴(画法、两点距离、平移、多解、数形判断)】 4 【题型 5有理数大小比较】 4 【题型 6有理数运算、乘方符号辨析(高频易错)】 4 【题型 7运算律、科学记数法、近似数】 5 【题型 8代数式识别、书写规范】 5 【题型 9列代数式(和差倍分、平方差、折扣、图形）】 6 【题型 10相反数·+·倒数整体代换模型】 6 【选填压轴】 6 【题型 11绝对值非负性(填空选择压轴)】 6 【题型 12代数式求值、整体代入】 7 【题型 13新定义运算】 7 【题型 14数轴数形综合压轴】 7 【题型 15绝对值多解、绝对值几何意义压轴】 8 【题型 16绝对值非负性变式压轴】 8 【题型 17数字规律、图形规律压轴】 9 【题型 18分类讨论符号判断压轴(易漏情况)】 10 【题型 19代数式复杂文字翻译·+·方案比较压轴】 10 【解答高频】 11 【题型 20绝对值非负性·+·代数式综合求值】 11 【题型 21数轴相关解答(数轴描点、排序、求距离)】 11 【题型 22相反数、倒数、绝对值综合代入求值】 12 【题型 23列式表示数量关系(列代数式·+·简单求值)】 13 【题型 24有理数实际应用题(盈亏、温差、水位、行车里程)】 14 【解答压轴】 16 【题型 25有理数混合运算】 16 【题型 26·数轴数形结合·+·绝对值化简】 16 【题型 27·轴动点问题】 17 【题型 28整体代入求值】 19 【题型 29数字·/·图形规律探究大题】 21 【题型 30新定义运算解答大题】 23 【题型 31方案选择应用题】 24 【选填高频】 【题型 1正负数、相反意义的量、误差与温差】 1．在0，，1，21这四个数中，是负数的是（     ） A．0 B． C．1 D．21 2．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入50元记作元，那么元表示（     ） A．支出20元 B．收入20元 C．支出30元 D．收入30元 3．一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有（    ） A．25.75千克 B．25.18千克 C．24.55千克 D．24.05千克 4．下列不是具有相反意义的量的一组是（   ） A．胜一局和负一局 B．盈利3000元和亏损3000元 C．身高增加和体重减少 D．上升和下降 【题型 2有理数分类、数的识别与计数】 5．在，，0，，，，中，有理数的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．把下列各数分别填在相应的集合内： ，，，，，，． (1)正数集合：{________________________________________…}； (2)负分数集合：{______________________________________…}； (3)整数集合：{________________________________________…}； 7．下列说法正确的是（     ） A．整数分为正整数和负整数 B．分数包含正分数、负分数 C．有理数不是正数就是负数 D．0是最小的整数 【题型 3相反数、倒数、绝对值、多重符号化简】 8．的相反数是（     ） A．3 B． C． D． 9．化简：________． 10．计算：（     ） A． B． C． D．2 【题型 4数轴(画法、两点距离、平移、多解、数形判断)】 11．如图，下列表示的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 12．在数轴上任取一条长度为2026的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 13．在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 14．数轴上A、B两点之间的距离是5，点A在数轴上表示，则点B所表示的数是（   ） A． B．4 C． D．4或 【题型 5有理数大小比较】 15．比较大小：_____（填“”或“”）． 16．在标准大气压下，四种物质的熔点如表所示，其中熔点最低的物质是______． 物质 冰 乙醇 氮气 甘油 熔点（单位） 0 18 17．比较大小：______．（填“”或“”） 【题型 6有理数运算、乘方符号辨析(高频易错)】 18．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 19．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 20．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 21．两个有理数的积是负数，和却是正数，那么这两个有理数（    ） A．同号，且均为负数 B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 C．同号，且均为正数 D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 【题型 7运算律、科学记数法、近似数】 22．《西游记》全书约820000字，是中华优秀传统文化的瑰宝．用科学记数法表示数据820000，结果是（     ）． A． B． C． D． 23．近似数万精确到（     ） A．万分位 B．千分位 C．百位 D．十分位 24．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【题型 8代数式识别、书写规范】 25．下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 26．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥a A．5 B．6 C．7 D．8 【题型 9列代数式(和差倍分、平方差、折扣、图形）】 27．某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 28．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型 10相反数·+·倒数整体代换模型】 29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D． 30．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，则的值为（    ）． A． B．0 C．或0 D．或1 31．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，的绝对值是2，则 ________． 【选填压轴】 【题型 11绝对值非负性(填空选择压轴)】 32．若，则的值为（    ） A． B．7 C．3 D． 33．代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 34．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【题型 12代数式求值、整体代入】 35．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 36．已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 37．若，则的值为（   ） A．0 B．5 C． D． 【题型 13新定义运算】 38．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 39．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，（　　） A． B．7 C．11 D． 40．若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 41．用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【题型 14数轴数形综合压轴】 42．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（   ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 43．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【题型 15绝对值多解、绝对值几何意义压轴】 44．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 45．的最小值是______． 46．已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 47．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【题型 16绝对值非负性变式压轴】 48．若，且，以下结论：①；②；③的所有可能取值为0或4；④在数轴上点、、表示数，且，则线段与线段的大小关系是，其中正确结论的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①③④ 49．已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 50．在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 51．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型 17数字规律、图形规律压轴】 52．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则： 若，则第2026次“F运算”的结果是（     ） A．19 B．31 C．62 D．98 53．对于负数，规定，例如：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 54．观察图①至图④中正方形数量的变化规律，则第100个图中正方形个数为（） A．100 B．298 C．301 D．399 55．如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为；图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为；……故按照此规律第2025个图记为（   ） A． B． C． D． 【题型 18分类讨论符号判断压轴(易漏情况)】 56．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 57．已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 58．若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 59．在下列说法中： ①若，则；②若，则； ③若是有理数，则不可能是负数；④若，则； ⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的是________（填序号）． 【题型 19代数式复杂文字翻译·+·方案比较压轴】 60．甲、乙两地之间的公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，则汽车加快速度后可以早到（   ）小时 A． B． C． D． 61．为了回馈客户，商场将定价为a元/件的某种儿童玩具降价进行销售．六一儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（    ） A．元/件 B．元/件 C．元/件 D．元/件 62．已知无风时飞机的航速为，当风速为时，飞机顺风飞行的行程比逆风飞行的行程多__________km． 【解答高频】 【题型 20绝对值非负性·+·代数式综合求值】 63．若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 64．若，求的值． 65． 若，求的值． 【题型 21数轴相关解答(数轴描点、排序、求距离)】 66．在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”号连接． 67．如图，点、在数轴上，点表示，点表示2． (1)点表示的数是_____，点表示的数是_____； (2)在数轴上表示出点和点； (3)写出数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数． 68．已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是 ，点A表示的有理数是 ； A、C两点之间的距离为 个单位长度； (2)在数轴上用点M，点N分别表示有理数和1，标出点M和点N的位置； (3)将这四个数用“”连接起来． 【题型 22相反数、倒数、绝对值综合代入求值】 69．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 70． 已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 【题型 23列式表示数量关系(列代数式·+·简单求值)】 71．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 72．暑假两名教师带8名学生外出旅游，旅游费教师每人元、学生每人元，因是团体，给予优惠，教师打八折，学生按六五折优惠，共需旅游费多少元？并计算当，时，旅游费的总金额． 73．已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积是 ； (2)若长方形广场的长为200米，宽为150米，正方形的边长为10米，若种植草地每平方米价格120元，问种植这块草地需要多少钱？ 【题型 24有理数实际应用题(盈亏、温差、水位、行车里程)】 74．某文创店销售一种“悟空”主题盲盒，每个盲盒的进价为12元，售价为18元． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与每天30个的差（个） 0 (1)若某天售出25个盲盒，求这天销售这种盲盒的利润； (2)上表是该店一周的销售记录（以每天售出30个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负），求这一周共售出多少个盲盒； 75．2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 76．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 记录 (1)请求出小明家的新能源纯电动汽车这七天一共行驶了多少？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，这7天汽油的平均价格为8元/升，而新能源纯电动汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请估计新能源纯电动汽车这7天的行驶费用比燃油汽车节省多少元？ 77．某厂计划一周生产零件140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 0 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产零件______个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产零件______个； (2)本周实际生产多少个零件？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一个零件可得50元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖15元，少生产一个扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【解答压轴】 【题型 25有理数混合运算】 78．计算： (1) (2) 79．计算： (1)； (2)． 【题型 26·数轴数形结合·+·绝对值化简】 80．已知是最小的正整数，且，，满足． (1)填空：________，________，________； (2)有理数，，在数轴上对应的点分别是，，，点为数轴上一动点，其对应的有理数为，当点在1到2之间运动时（即），请化简式子：． 81．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【题型 27·轴动点问题】 82．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 83．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 84．已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点． (1)写出点所对应的数_____； (2)如果点从点出发，沿数轴先向右移动6个单位长度，再向左移动1个单位长度，求此时点所表示的数_____，以及，两点之间的距离_____； (3)如果分别从点同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点，之间的距离是多少？ 85．“距离”再探究． 【概念理解】 “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上，点A，B表示的数分别是x，2，则A，B两点之间的距离可以表示为 ． A．    B．   C．    D． (2)【数学思考】数轴上，点C，D，E表示的数分别是2，4，10．点P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … … ① ② 9 10 … ①处应填 ．②处应填 ．当 时，取最小值． (3) 【实际应用】在一条笔直的道路l上依次建有A，B，C，D四个停车场，其中B停车场靠近风景区，现准备在道路l上修建一个充电站P，请为充电站P选择一个合理的建造地点，并简要说明理由． 【题型 28整体代入求值】 86．理解与思考：整体代换是数学中的重要思想方法之一．例如，若，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，回答下面的问题： (1)若，求的值； (2)若，，求的值． 87．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 88．【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 【题型 29数字·/·图形规律探究大题】 89．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 90．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 91．阅读理解，并解答问题： 观察下列各式：，，，… (1)若为正整数，请你猜想________． (2)请利用上述方法计算（要求写出计算过程）： ①； ②． 92．观察下列三行数 第一行：2，，8，，32，，······ 第二行：4，，10，，34，，······ 第三行：1，，4，，16，，······ (1)第一行中的第9个数为 ，第二行中的第9个数为 ，第三行中的第9个数为 ； (2)第二、三行中的数与第一行中对应的数分别有什么关系？ 【题型 30新定义运算解答大题】 93．七年级小莉同学在学习了有理数的加、减、乘、除法后，对运算产生了浓厚的兴趣．为庆祝国庆节，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”和“”，规则如下：，． (1)求的值； (2)求的值． 94．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把写作读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）①1的圈次方等于________； ②比较大小________（填“”“”或“”）； 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算同样可以转化为乘方运算，如下所示： 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：________； （4）计算：． 95．【阅读材料】 （一）当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …； 特别地，规定． （二）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义一种新运算：． 【解决问题】 (1)若，则______；______． (2)______；则的值______． (3)计算：． 【题型 31方案选择应用题】 96．某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 97．小明家新买了一套住宅，其建筑平面图如图所示（图中长度单位：）．现准备铺设地面，其中客厅和卧室铺设木地板，厨房和卫生间铺设地砖．按市场价格，木地板单价为500元/，地砖单价为200元/．现装修公司有甲，乙两种活动方案，如下表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 安装费 甲 8折 8折 3000元 乙 9折 9折 免收 (1)请用含有x，y的代数式表示这套住宅的建筑面积为：_______（结果保留最简形式）； (2)请用含x，y的代数式表示出装修公司两种方案的铺设总费用（含材料费及安装费，结果保留最简形式）： 甲方案总费用为_______元，乙方案总费用为_______元；并请你帮助测算一下，当，时小明家选择哪种活动方案更省钱，请说明理由． 98．为进一步推广“匹克球之城”的校园体育运动，丰富学生社团活动内容，鹤壁市某中学计划利用专项经费购置一批匹克球运动器材．经市场调研，A、B两商店定价相同：一副匹克球拍元，一个匹克球元．两商店均有优惠活动，A商店：购买一副匹克球拍即赠送一个匹克球；B商店：购买匹克球拍和匹克球均享受九折优惠． 已知学校计划购买副匹克球拍，个匹克球（其中）． (1)若在A商店采购，共需付款多少元？若在B商店采购，共需付款多少元？（用含有的代数式表示） (2)若时，你认为在哪个商店购买更省钱？并说明理由． (3)若时，请你设计最省钱的购买方案，直接写出购买方案即可． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期中复习高频与压轴31类题型归纳 （考试范围：第1章-第3章 ） 【新教材人教版】 题型归纳 【选填高频】 3 【题型 1正负数、相反意义的量、误差与温差】 3 【题型 2有理数分类、数的识别与计数】 4 【题型 3相反数、倒数、绝对值、多重符号化简】 5 【题型 4数轴(画法、两点距离、平移、多解、数形判断)】 5 【题型 5有理数大小比较】 7 【题型 6有理数运算、乘方符号辨析(高频易错)】 8 【题型 7运算律、科学记数法、近似数】 9 【题型 8代数式识别、书写规范】 10 【题型 9列代数式(和差倍分、平方差、折扣、图形）】 11 【题型 10相反数·+·倒数整体代换模型】 12 【选填压轴】 13 【题型 11绝对值非负性(填空选择压轴)】 13 【题型 12代数式求值、整体代入】 14 【题型 13新定义运算】 15 【题型 14数轴数形综合压轴】 17 【题型 15绝对值多解、绝对值几何意义压轴】 18 【题型 16绝对值非负性变式压轴】 20 【题型 17数字规律、图形规律压轴】 23 【题型 18分类讨论符号判断压轴(易漏情况)】 26 【题型 19代数式复杂文字翻译·+·方案比较压轴】 29 【解答高频】 30 【题型 20绝对值非负性·+·代数式综合求值】 30 【题型 21数轴相关解答(数轴描点、排序、求距离)】 31 【题型 22相反数、倒数、绝对值综合代入求值】 33 【题型 23列式表示数量关系(列代数式·+·简单求值)】 34 【题型 24有理数实际应用题(盈亏、温差、水位、行车里程)】 35 【解答压轴】 38 【题型 25有理数混合运算】 38 【题型 26数轴数形结合·+·绝对值化简】 40 【题型 27数轴动点问题】 41 【题型 28整体代入求值】 47 【题型 29数字·/·图形规律探究大题】 50 【题型 30新定义运算解答大题】 55 【题型 31方案选择应用题】 59 【选填高频】 【题型 1正负数、相反意义的量、误差与温差】 1．在0，，1，21这四个数中，是负数的是（     ） A．0 B． C．1 D．21 【答案】B 【详解】解：∵负数是小于的数， 又∵， ∴是负数． 2．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入50元记作元，那么元表示（     ） A．支出20元 B．收入20元 C．支出30元 D．收入30元 【答案】A 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：收入50元记作元，那么元表示支出20元． 3．一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的有（    ） A．25.75千克 B．25.18千克 C．24.55千克 D．24.05千克 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，解题的关键是理解题意；根据质量标识“千克”，计算合格范围为24.75千克至25.25千克，再判断各选项是否在此范围内即可． 【详解】解：∵合格质量范围为千克至千克， ∴选项中只有选项B是合格的； 故选B． 4．下列不是具有相反意义的量的一组是（   ） A．胜一局和负一局 B．盈利3000元和亏损3000元 C．身高增加和体重减少 D．上升和下降 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量，相反意义的量是指同一属性的相反变化，如方向、增减等，据此解答即可． 【详解】解：∵具有相反意义的量必须意义相反且单位或维度一致， A、“胜”与“负”意义相反，均针对局数； B、“盈利”与“亏损”意义相反，均针对金额； C、“身高增加”与“体重减少”单位不同（与），属性不同； D、“上升”与“下降”意义相反，均针对长度， ∴ C不是具有相反意义的量， 故选：C． 【题型 2有理数分类、数的识别与计数】 5．在，，0，，，，中，有理数的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：在，，0，，，，中，有理数有，，，，，共5个． 6．把下列各数分别填在相应的集合内： ，，，，，，． (1)正数集合：{________________________________________…}； (2)负分数集合：{______________________________________…}； (3)整数集合：{________________________________________…}； 【答案】(1)，，， (2) (3)，， 【分析】根据有理数的分类逐个求解即可． 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：负分数集合：； （3）解：整数集合：． 7．下列说法正确的是（     ） A．整数分为正整数和负整数 B．分数包含正分数、负分数 C．有理数不是正数就是负数 D．0是最小的整数 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有理数的分类标准，逐一判断四个选项的正误． 【详解】解：整数分为正整数，，负整数．故A错误； 分数包含正分数，负分数，故B正确； 有理数包含正有理数，，负有理数，既不是正数也不是负数．故C错误； 负整数属于整数且小于，故不是最小的整数，D错误． 【题型 3相反数、倒数、绝对值、多重符号化简】 8．的相反数是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是. 9．化简：________． 【答案】 【分析】根据去括号法则，从内向外逐步去括号化简即可。 【详解】解：∵ . ∴ 原式 . 10．计算：（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：． 【题型 4数轴(画法、两点距离、平移、多解、数形判断)】 11．如图，下列表示的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、单位长度不一致，此项错误； B、符合数轴的定义，此项正确； C、没有正方向，此项错误； D、负数不是从小到大排列，此项错误． 12．在数轴上任取一条长度为2026的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ） A．2025个 B．2026个 C．2027个 D．2028个 【答案】C 【分析】分两种情况分析线段端点位置对覆盖整数点个数的影响，分别为端点与整数点重合的情况以及端点与整数点不重合的情况，对比两种情况的整数点个数，确定最大值． 【详解】解：分两种情况讨论： 当线段两端点与数轴上的整数点重合时，设左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点个数为； 当线段两端点不与整数点重合时，设左端点位于整数与之间，则右端点位于整数与之间，此时覆盖的整数点为，，，，个数为； ∵， ∴这条线段最多能覆盖个整数点． 13．在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 14．数轴上A、B两点之间的距离是5，点A在数轴上表示，则点B所表示的数是（   ） A． B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点距离公式． 根据数轴上两点距离公式计算即可． 【详解】解：∵数轴上A、B两点之间的距离是5，点A在数轴上表示， ∴点B所表示的数是或． 故选：D． 【题型 5有理数大小比较】 15．比较大小：_____（填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 16．在标准大气压下，四种物质的熔点如表所示，其中熔点最低的物质是______． 物质 冰 乙醇 氮气 甘油 熔点（单位） 0 18 【答案】氮气 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：， 熔点最低的物质是氮气． 17．比较大小：______．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据“两个负数比较大小，绝对值越大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵，且， ∴． 【题型 6有理数运算、乘方符号辨析(高频易错)】 18．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确，符合题意； C、，C错误； D、，D错误． 19．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据运算律适用范围，可直接判断除法无分配律，快速锁定错误选项． 【详解】解：其余选项计算均正确，选项D中，左边， 右边，左右两边不相等，计算错误，故D符合题意． 20．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减乘除计算法则求解判断即可． 【详解】解：选项，，原式计算错误，不符合题意； 选项，，原式计算错误，不符合题意； 选项，，原式计算错误，不符合题意； 选项，，原式计算正确，符合题意； 21．两个有理数的积是负数，和却是正数，那么这两个有理数（    ） A．同号，且均为负数 B．异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大 C．同号，且均为正数 D．异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法和有理数的加法，熟练掌握有理数的乘法和加法法则是解题的关键． 先依据有理数的乘法法则可得到这两个数异号，然后再依据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：两个有理数的积是负数， 这两个数异号． 又它们的和是正数， 正数的绝对值比负数的绝对值大． 故选：B． 【题型 7运算律、科学记数法、近似数】 22．《西游记》全书约820000字，是中华优秀传统文化的瑰宝．用科学记数法表示数据820000，结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 23．近似数万精确到（     ） A．万分位 B．千分位 C．百位 D．十分位 【答案】C 【详解】解：近似数万， 近似数万精确到百位， 故选：C． 24．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 【题型 8代数式识别、书写规范】 25．下列各式符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求判断各项：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A、正确书写形式为，故本选项不符合题意； B、正确书写形式为，故本选项不符合题意； C、书写形式正确，故本选项符合题意； D、正确书写形式为，故本选项不符合题意． 26．下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥a A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的数学表达式，不能包含等号或不等号． 根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：①是常数，属于代数式； ②含有等号，是等式，不是代数式； ③由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ④是分式，由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ⑤由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ⑥是字母，属于代数式， ∴ 代数式的个数为5， 故选：A． 【题型 9列代数式(和差倍分、平方差、折扣、图形）】 27．某商品的进价为元，先按进价的倍标价后又降价元出售，现在的售价是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：根据题意得，商品现在的售价为元． 28．如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 【题型 10相反数·+·倒数整体代换模型】 29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据相反数、倒数的定义，以及最大负整数的概念，先得到各未知量对应的值，再代入计算即可 【详解】解：∵、互为相反数，且为分母不为 ∴，即 ∵、互为倒数 ∴ ∵为最大的负整数 ∴ ∴ 30．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，则的值为（    ）． A． B．0 C．或0 D．或1 【答案】D 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：a＋b＝0，cd＝1，x＝1或−1， 当x＝1时，原式＝1−1−1＝−1； 当x＝−1时，原式＝1＋1−1＝1， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 31．若m，n互为相反数，p，q互为倒数，的绝对值是2，则 ________． 【答案】或 【分析】根据相反数的定义可得，倒数的定义可得，绝对值的定义得，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，． ∵的绝对值为， ∴． 当时，原式； 当时，原式； 所以代数式的值为或． 【选填压轴】 【题型 11绝对值非负性(填空选择压轴)】 32．若，则的值为（    ） A． B．7 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方项的非负性和代数式求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须同时为零，据此求解即可． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选A． 33．代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，求表达式的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴，当时，等号成立， ∴最小值为， 故选：B． 34．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 【题型 12代数式求值、整体代入】 35．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 36．已知，那么代数式的值是（　　） A．1 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先将所求代数式变形为含已知式子的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 把代入上式， 原式 ． 37．若，则的值为（   ） A．0 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先从已知方程得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可. 【详解】解： 对所求代数式变形可得 把代入上式. 【题型 13新定义运算】 38．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．根据定义，先求，再计算 ． 【详解】解：表示不超过的最大整数，且， ． ． 故选：A． 39．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，（　　） A． B．7 C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，读懂新定义运算是解题的关键．根据新定义把新运算转化为常规运算进行解答便可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 40．若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义新运算和有理数的混合运算，按照新定义运算列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解，理解新运算规定的运算法则，有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 41．用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意代入数据进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故选：C 【题型 14数轴数形综合压轴】 42．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了I，II，II，IV四个部分，点，，对应的数分别是，，．则下列①；②；③；④四个条件中，（   ）两个条件组合，可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中的某一部分．    A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法，正确理解题意是解题的关键．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可． 【详解】解：A、∵，而， ∴， ∵， ∴， 而， ∴原点在Ⅲ这一区域，符合题意； B、∵，， ∴， 不能确定的正负， 故B不能确定原点的位置，不符合题意； C、∵，， ∴， ∵， ∴可能大于0，也有可能小于0， 那么就确定不了原点的位置，不符合题意； D、∵， ∴可能都小于0，或者， ∵，， ∴当时，；当时，， 故不能确定原点位置，不符合题意； 故选：A． 43．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 【题型 15绝对值多解、绝对值几何意义压轴】 44．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 45．的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 46．已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，明确整式的加减的计算方法，利用绝对值和数轴的相关知识是解答本题的关键． 根据数轴和，可以判断，，的正负和大小，可得到，，，，从而可以化简题目中所求的式子的值． 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 47．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：当________时，． 【答案】或1.5 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，表示x与1的距离，表示x与的距离，因此表示x到1和的距离之和，当x在和1之间时，距离之和为4；当或时，距离之和大于4，通过解方程求解x的值． 【详解】解：当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 当时，，不等于5， 故答案为：或1.5． 【题型 16绝对值非负性变式压轴】 48．若，且，以下结论：①；②；③的所有可能取值为0或4；④在数轴上点、、表示数，且，则线段与线段的大小关系是，其中正确结论的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查绝对值．由条件且，可推得，，而可能为正或负．结论①中，故错误；结论②通过绝对值化简验证成立；结论③分和两种情况计算表达式值，结果为0或4；结论④利用数轴上线段长度比较，结合条件推导成立． 【详解】解：∵且， ∴，． ①∵，， ∴，故①错误． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ③令， 若，，， ，，，， ∴． 若，，， ，，，， ∴． 故③正确． ④∵， ∴， 线段， 线段， ∵， ∴， 若，则，即，即，即，即， 符合题意，故④正确． 综上，②③④正确． 故选：B． 49．已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 50．在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义及分类讨论思想是解题的关键． 根据绝对值的性质，对每个说法逐一分析判断． 【详解】，，①正确； ，，，②错误； 当时，，不是正数，③错误； 当时，无意义，④错误； 若，当负数个数为1时，， 当负数个数为2时， 当负数个数为3时， ，故⑤正确． 综上，①和⑤正确，共2个． 故选：． 51．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，解题的关键是理解相反数，绝对值的定义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若是有理数，则，原说法正确，符合题意； ④若时，，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵、、均为非零有理数，若， ∴负数个数可能为1或2或3个： 1个负数时，， 2个负数时，， 3个负数时， 综上，，则的值为 2 或，原说法正确，符合题意； 故选：B． 【题型 17数字规律、图形规律压轴】 52．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则： 若，则第2026次“F运算”的结果是（     ） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】B 【分析】根据定义，分类计算，先求得前几次的结果，找到规律，结合，得第2026次“”运算后的结果与第4次运算结果相同，即可求解． 【详解】解：根据定义，当时，是奇数， 故第一次结果为；第二次结果为；第三次结果为；第四次结果为；第五次结果为；第六次结果为；第七次结果为；第八次结果为， 发现规律，次一循环， 由， 故第2026次“”运算后的结果与第4次运算结果相同，是． 53．对于负数，规定，例如：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算可得 （其中且为负数 ），将求和式中的项配对，利用该性质简化计算即可． 【详解】解：∵ ，且对于负数， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴原式． 54．观察图①至图④中正方形数量的变化规律，则第100个图中正方形个数为（） A．100 B．298 C．301 D．399 【答案】B 【分析】本题主要考查通过图形的变化找规律，注意由特殊到一般的归纳方法． 结合图形数出前三个图形中正方形的个数，然后发现规律，据此计算即得． 【详解】解：第1个图形中有1个正方形， 第2个图形中有个正方形， 第3个图形中有个正方形， 第4个图形中有个正方形， … 故在第n个图形中正方形的个数是个正方形． 当时，个正方形． 故选：B． 55．如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为；图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为；……故按照此规律第2025个图记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数的规律探索，合理找出规律是解题的关键． 找出规律解答即可． 【详解】解：由题意可得：第一个图形记为； 第二个图形记为； 第三个图形记为； 第四个图形记为； 第个图形记为：； 因此第个图形记为：， 故第个图形记为：， 故选：A． 【题型 18分类讨论符号判断压轴(易漏情况)】 56．如果的最小值是a，，那么的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定值和的符号是解答的关键． 先求的最小值，利用数轴上两点距离和的性质，得，由和，推出，再计算所求表达式各项的值，求和为． 【详解】解：根据绝对值的意义，当时，取得最小值，值为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 57．已知，，且， 则的值为 （       ） A． B．7 C．或 D．7或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简与有理数乘方计算，由绝对值和平方根求出x和y的可能值，再根据绝对值方程推出x与 y的大小关系，排除不满足条件的值，最后计算的可能值． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵，且当且仅当， ∴，即， 当时，，但或均小于5，故不满足； 当时，，或均满足， 若，则； 若，则， ∴的值为或， 故选：C． 58．若，，则的值不可能为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由绝对值的定义可得，然后分四种情况求值验证各选项即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，，即A选项不符合题意； 当时，，即B选项不符合题意； 当时，，即C选项不符合题意； 当时，，即D选项符合题意． 故选D． 59．在下列说法中： ①若，则；②若，则； ③若是有理数，则不可能是负数；④若，则； ⑤已知，，均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的运算及符号判断，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和有理数的运算法则． 分别对每个说法根据绝对值的性质、有理数的运算规则进行分析判断． 【详解】解：①∵，∴时，，故①正确； ②若，则或，例如，但，故②错误； ③当时，；当时，．所以不可能是负数，故③正确； ④若，则（当或为0时也成立），并非，例如时，，但，故④错误； ⑤：∵均为非零有理数，且， ∴中有一个负数或三个负数， 当中有一个负数时，不妨设，则，原式； 当均为负数时，则， 原式， 原式的值为2或， 故⑤正确． 综上，正确的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【题型 19代数式复杂文字翻译·+·方案比较压轴】 60．甲、乙两地之间的公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，则汽车加快速度后可以早到（   ）小时 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意，确定数量关系． 早到的时间为原来所用的时间减去加速后所用的时间，据此列代数式即可． 【详解】解：∵原来所用时间， 加速后所用时间， ∴早到时间为． 故选：B． 61．为了回馈客户，商场将定价为a元/件的某种儿童玩具降价进行销售．六一儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（    ） A．元/件 B．元/件 C．元/件 D．元/件 【答案】D 【分析】根据题意，定价为元件，第一次降价后的价格为元件，第二次按新定价又降价后的价格为元件，即可选出答案. 【详解】解：定价为元件， 第一次降价后的价格为元件， 第二次按新定价又降价后的价格为元件． 选项、、不符合题意， 故选：. 【点睛】本题考查了销售问题中的降价问题，解题的关键是掌握定价与降价百分比与售价关系． 62．已知无风时飞机的航速为，当风速为时，飞机顺风飞行的行程比逆风飞行的行程多__________km． 【答案】 【分析】根据题意，可以用代数式表示出飞机顺风飞行的行程比逆风飞行多行驶的路程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 飞机顺风飞行的行程比逆风飞行多行驶： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【解答高频】 【题型 20绝对值非负性·+·代数式综合求值】 63．若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义，的符号，求出的值，再进行加法运算即可； （2）根据绝对值的非负性，求出的值，再进行减法运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或． 64．若，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质求出，代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 65．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平方和绝对值的非负性，求代数式的值；由已知等式，根据平方和绝对值的非负性，可得和，从而求出和的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，即， ∴ ，即， 当，时， ． 【题型 21数轴相关解答(数轴描点、排序、求距离)】 66．在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”号连接． 【答案】； 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 由数轴知：． 67．如图，点、在数轴上，点表示，点表示2． (1)点表示的数是_____，点表示的数是_____； (2)在数轴上表示出点和点； (3)写出数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先确定数轴的单位长度，再根据点A、B在数轴上的位置，直接读取对应的数值即可． （2）先明确3.5和2在数轴上的位置区间，因为要表示正数，所以在0的右侧对应刻度处标记出点C和点D． （3）因为与点A距离为4个单位长度的点可能在A的左侧，也可能在A的右侧，所以分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知点表示的数是，点表示的数是； （2）解：点D表示2，对应数轴上标有“2”的刻度位置；点C表示3.5，位于刻度3和4的正中间，在对应位置标注两个点并写上对应字母． （3）解：由数轴知，在点的左侧且与点的距离为4个单位长度的点所对应的数为，在点的右侧且与点的距离为4个单位长度的点所对应的数为， 故数轴上与点的距离为4个单位长度的点所表示的数为 或． 68．已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是 ，点A表示的有理数是 ； A、C两点之间的距离为 个单位长度； (2)在数轴上用点M，点N分别表示有理数和1，标出点M和点N的位置； (3)将这四个数用“”连接起来． 【答案】(1)B，，5 (2) 如图所示： (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴即可得到点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解； （2）根据数轴的特征即可把和1表示出来； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数即可比较大小． 【详解】（1）解：表示有理数3.5的点是B，点A表示的有理数是，A、C两点之间的距离为． 故答案为：B，，5； （2）略 （3）解：由数轴可知，． 【题型 22相反数、倒数、绝对值综合代入求值】 69．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 【答案】0或 【分析】根据，，，求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 当时，， 当时，． 则代数式的值为0或． 70．已知a与b互为倒数，c与互为相反数，，求的值． 【答案】5或 【分析】根据倒数、相反数、绝对值的概念可得，，再代入计算即可求解． 【详解】解：a与b互为倒数，c与互为相反数，， ，， ， 当时，； 当时，； 综上，的值为5或． 【题型 23列式表示数量关系(列代数式·+·简单求值)】 71．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合图形的特点可知阴影部分由长、宽的长方形和边长为的正方形两部分组成，依此列出代数式并化简； （2）将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：将，代入得， ． 72．暑假两名教师带8名学生外出旅游，旅游费教师每人元、学生每人元，因是团体，给予优惠，教师打八折，学生按六五折优惠，共需旅游费多少元？并计算当，时，旅游费的总金额． 【答案】元；（元） 【分析】根据旅游费用等于教师的费用与学生的费用之和列式整理，再将、的值代入计算即可得解． 【详解】旅游费元， 当，时，旅游费用（元）． 73．已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积是 ； (2)若长方形广场的长为200米，宽为150米，正方形的边长为10米，若种植草地每平方米价格120元，问种植这块草地需要多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式及代数式求值． （1）阴影部分的面积长方形广场面积正方形草地，据此即可列出代数式； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积． （2）解：根据题意可得这块草地的面积为， 当时，代入得（平方米）， 元， 答：种植这块草地需要元． 【题型 24有理数实际应用题(盈亏、温差、水位、行车里程)】 74．某文创店销售一种“悟空”主题盲盒，每个盲盒的进价为12元，售价为18元． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与每天30个的差（个） 0 (1)若某天售出25个盲盒，求这天销售这种盲盒的利润； (2)上表是该店一周的销售记录（以每天售出30个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负），求这一周共售出多少个盲盒； 【答案】(1)这天销售这种盲盒的利润为150元 (2)这一周共售出222个盲盒 【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量列式求解即可． （2）把这一周与每天30个的差相加，再加上一周售出的标准数量即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）； 答：这天销售这种盲盒的利润为150元； （2）解：（个）； 答：这一周共售出222个盲盒． 75．2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 【答案】(1)检修小组最终停在距地2千米的地方 (2)当天从出发到收工回到地共耗油升，该检修小组这一天的油费是元 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）先将行驶记录的各数绝对值相加，再加上（1）中求得的回到地的路程求得总路程，然后将其与相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：检修小组最终停在距地2千米的地方. （2）解： （千米）， （千米）， （升）， （元）， 答：当天从出发到收工回到地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； 76．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 记录 (1)请求出小明家的新能源纯电动汽车这七天一共行驶了多少？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，这7天汽油的平均价格为8元/升，而新能源纯电动汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请估计新能源纯电动汽车这7天的行驶费用比燃油汽车节省多少元？ 【答案】(1)七天一共行驶了 (2)这7天的行驶费用比原来节省元 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）计算出表格中的和再加上7天每天，求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：， 答：七天一共行驶了； （2）解：油车的费用：（元）， 电车的费用：（元）， 改用电车，节省的费用为：（元）， 答：这7天的行驶费用比原来节省元． 77．某厂计划一周生产零件140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 0 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产零件______个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产零件______个； (2)本周实际生产多少个零件？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一个零件可得50元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖15元，少生产一个扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)18，10 (2)本周实际生产138个零件 (3)该厂工人这一周的工资总额是6860元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的减法运算，有理数的加减运算，有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意以及表格数据，得该厂星期四生产零件18个；再找出产量最多的一天是星期一，最少一天是星期二，再列式计算，即可作答． （2）理解题意，根据某厂计划一周生产零件140个，以及结合表格数据，进行列式计算，即可作答． （3）结合每生产一个零件可得50元，超过部分每个另奖15元，少生产一个扣20元，进行列式计算，得出该厂工人这一周的工资总额，即可作答． 【详解】（1）解：根据记录的数据可知该厂星期四生产零件18个； 则（个） ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产零件个， （2）解：（个）， 答：本周实际生产138个零件； （3）解：（元） 答：该厂工人这一周的工资总额是6860元． 【解答压轴】 【题型 25有理数混合运算】 78．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加法即可得到答案； （2）先计算乘除法，再计算加法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 79．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）有理数的混合运算，应先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减； （2）有理数的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减； 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解： 原式 ． 【题型 26数轴数形结合·+·绝对值化简】 80．已知是最小的正整数，且，，满足． (1)填空：________，________，________； (2)有理数，，在数轴上对应的点分别是，，，点为数轴上一动点，其对应的有理数为，当点在1到2之间运动时（即），请化简式子：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． （1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， 根据题意得：，， ，，； 故答案为：；； （2）解： ， 81．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 【题型 27数轴动点问题】 82．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)65，13 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁． 83．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为： 秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为： 秒， ∴， ∴P表示的数为：． 84．已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点． (1)写出点所对应的数_____； (2)如果点从点出发，沿数轴先向右移动6个单位长度，再向左移动1个单位长度，求此时点所表示的数_____，以及，两点之间的距离_____； (3)如果分别从点同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点，之间的距离是多少？ 【答案】(1)1 (2)2；5 (3)7或1 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离、有理数的运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据点的移动方式得出点所表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式即可求解； （3）分2种情况讨论：①均沿数轴向右运动；②均沿数轴向左运动，分别求出3秒后点所表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度， ∴点所对应的数为， 故答案为：1； （2）解：由题意得，点所表示的数为， ，两点之间的距离为， 故答案为：2；5； （3）解：①若均沿数轴向右运动，3秒后， 点所表示的数为， 点所表示的数为， ∴点，之间的距离是； ②若均沿数轴向左运动，3秒后， 点所表示的数为， 点所表示的数为， ∴点，之间的距离是； ∴综上所述，点，之间的距离是7或1． 85．“距离”再探究． 【概念理解】 “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上，点A，B表示的数分别是x，2，则A，B两点之间的距离可以表示为 ． A．    B．   C．    D． (2)【数学思考】数轴上，点C，D，E表示的数分别是2，4，10．点P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … … ① ② 9 10 … ①处应填 ．②处应填 ．当 时，取最小值． (3)【实际应用】在一条笔直的道路l上依次建有A，B，C，D四个停车场，其中B停车场靠近风景区，现准备在道路l上修建一个充电站P，请为充电站P选择一个合理的建造地点，并简要说明理由． 【答案】(1)D (2)（Ⅰ）2（Ⅱ）9；8；4 (3)点P在点B停车场最合适．理由：由奇中点偶中段可知，点P在线段BC上任何一点都可以使点P到四点距离之和最短，又由于点B停车场靠近风景区，所以点P在点B停车场最合适． 【分析】本题考查数轴上两点的距离，化简绝对值，整式的加减，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． （1）由已知直接可得答案； （2）（Ⅰ）是表示x的点P到表示2和4的点的距离之和，分类讨论根据绝对值的性质即可得答案； （Ⅱ）将，分别代入即可求得空1和空2；分类讨论根据绝对值的性质即可得空3答案； （3）利用（2）的结论即奇中点偶中段解决即可． 【详解】（1）由A，B两点之间的距离表示为． 故选：D． （2）（Ⅰ）是表示x的点P到表示2和4的点的距离之和， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当时，的最小为2； 故答案为：2． （Ⅱ）当时，； 当时，； 表示数轴上有理数x所对应的点P到2、4和10所对应的点的距离和， 当时，原式； 当时，原式， ∴ 当时，原式， ∴； 当时，原式， ∴； ∴当时，有最小值． 故答案为：9；8；4． （3）点P在点B停车场最合适． 理由：由奇中点偶中段可知，点P在线段上任何一点都可以使点P到四点距离之和最短，又由于点B停车场靠近风景区，所以点P在点B停车场最合适． 【题型 28整体代入求值】 86．理解与思考：整体代换是数学中的重要思想方法之一．例如，若，求代数式的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，回答下面的问题： (1)若，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)15 (2)36 【分析】（1）利用整体化思想将代入所求的代数式即可． （2）利用整体化思想将，，代入所求的代数式即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：，， ． 87．【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 88．【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 【答案】(1) (2)2021 (3)18 【分析】本题考查“整体思想”的应用，正确理解“整体思想”的定义与运用是解题的关键． （1）将看成一个整体，进行加减法运算即可； （2）利用整体思想的方法将所求式子化简为，将代入化简后的式子进行计算即可； （3）先去括号运算，将所求式子化简为，将，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由得： ， ； （3）解： 当，时，原式． 【题型 29数字·/·图形规律探究大题】 89．用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)，n (3)不存在，理由如下： 当一个图案中有30个六边形时， 该图案中三角形的个数为：， 所以不存在这样的图案． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形及六边形的个数，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为1， 第2个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为2， 第3个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为3， …， 所以第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n， 当时， 第4个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为4； （2）解：由（1）知， 第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n； （3）解：略 90．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为； （2）由（1）得求的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为，用总面积减去阴影部分面积即可解题； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：正方形边长为1， 正方形面积为1， ①是边长为1的正方形纸片面积的一半， ①的面积为， 依此类推，②的面积为， ③的面积为； （2）解：求的值， 即为求将图形分割下去空白部分的面积， 此时剩余阴影部分面积为：， ； （3）解：令①， 等式两边同时乘以5，得②， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令①， 等式两边同时乘以4，得②， ②一①得，， ， 即． 91．阅读理解，并解答问题： 观察下列各式：，，，… (1)若为正整数，请你猜想________． (2)请利用上述方法计算（要求写出计算过程）： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察给出的式子，归纳裂项相消的规律，直接写出猜想结果． （2）①利用（1）发现的裂项公式，把每一项拆成两个分数相减，中间项相互抵消，只剩下首尾两项再计算． ②先推导分母是两个相差2的奇数乘积的裂项公式，提取系数，再裂项相消，抵消中间项，最后化简求值． 【详解】（1）解：观察式子： ， ， ， 根据规律可得： ； （2）① ； ② ， ， ． 92．观察下列三行数 第一行：2，，8，，32，，······ 第二行：4，，10，，34，，······ 第三行：1，，4，，16，，······ (1)第一行中的第9个数为 ，第二行中的第9个数为 ，第三行中的第9个数为 ； (2)第二、三行中的数与第一行中对应的数分别有什么关系？ 【答案】(1)512；514；256 (2)第二行中的数是第一行中对应的数加上2；第三行中的数是第一行中对应的数除以2 【分析】（1）通过观察可得到第一行数第个数的规律，写出第一行第9个数，再根据第二行的数是第一行数加2，第三行中的数是第一行中对应的数除以2，求出结果即可； （2）观察各行数的规律来求解即可． 【详解】（1）解：∵2，，8，，32，， 第一行的第个数是， ∴第一行中的第9个数为； 观察可知，第二行的数是第一行对应的数加2，第三行中的数是第一行中对应的数除以2， ∴第二行中的第9个数为；第三行中的第9个数为； （2）略 【题型 30新定义运算解答大题】 93．七年级小莉同学在学习了有理数的加、减、乘、除法后，对运算产生了浓厚的兴趣．为庆祝国庆节，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”和“”，规则如下：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴原式． 94．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把写作读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）①1的圈次方等于________； ②比较大小________（填“”“”或“”）； 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算同样可以转化为乘方运算，如下所示： 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：________； （4）计算：． 【答案】（1）1，；（2）①1；②；（3）；（4）12 【分析】本题考查了有理数的除法、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义列式，计算有理数的除法即可得； （2）①根据除方的定义列式，计算有理数的除法即可得； ②根据除方的定义列式，计算有理数的除法，再比较大小即可得； （3）根据除方的定义列式，再将除法转化为乘法，然后根据乘方的定义即可得； （4）根据除方的定义、（3）的结论进行转化，再计算除法与乘方，最后计算减法即可得． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1，． （2）①， 故答案为：1． ② ， ， ∵， ∴， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． （4） ． 95．【阅读材料】 （一）当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …； 特别地，规定． （二）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义一种新运算：． 【解决问题】 (1)若，则______；______． (2)______；则的值______． (3)计算：． 【答案】(1)4，9 (2)24，8 (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义，有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； ； （2）解：； ∵，， ∴； （3）解： ． 【题型 31方案选择应用题】 96．某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班x名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有A、B两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，全部六折优惠． (1)请用含x的代数式分别表示：A方案所需的费用为______元，B方案所需的费用为_____元 (2)当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)方案：，方案： (2)选择方案更为优惠 【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）将分别代入计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元； （2）解：当学生人数时， A方案所需的费用为元， B方案所需的费用为元 ； ∴选择方案更为优惠． 97．小明家新买了一套住宅，其建筑平面图如图所示（图中长度单位：）．现准备铺设地面，其中客厅和卧室铺设木地板，厨房和卫生间铺设地砖．按市场价格，木地板单价为500元/，地砖单价为200元/．现装修公司有甲，乙两种活动方案，如下表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 安装费 甲 8折 8折 3000元 乙 9折 9折 免收 (1)请用含有x，y的代数式表示这套住宅的建筑面积为：_______（结果保留最简形式）； (2)请用含x，y的代数式表示出装修公司两种方案的铺设总费用（含材料费及安装费，结果保留最简形式）： 甲方案总费用为_______元，乙方案总费用为_______元；并请你帮助测算一下，当，时小明家选择哪种活动方案更省钱，请说明理由． 【答案】(1) (2)；； 甲方案更省钱，理由如下： 当，时， （元）； （元）， ， ∴甲方案更省钱． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）分别计算每个长方形面积，随后相加，即可求解； （2）根据表格分别求得两种方案的费用，再将，分别代入，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意可得这套住宅的建筑面积为， 故答案为：； （2）解：甲方案总费用为 （元）； 乙方案总费用为 （元）； 故答案为：；； 98．为进一步推广“匹克球之城”的校园体育运动，丰富学生社团活动内容，鹤壁市某中学计划利用专项经费购置一批匹克球运动器材．经市场调研，A、B两商店定价相同：一副匹克球拍元，一个匹克球元．两商店均有优惠活动，A商店：购买一副匹克球拍即赠送一个匹克球；B商店：购买匹克球拍和匹克球均享受九折优惠． 已知学校计划购买副匹克球拍，个匹克球（其中）． (1)若在A商店采购，共需付款多少元？若在B商店采购，共需付款多少元？（用含有的代数式表示） (2)若时，你认为在哪个商店购买更省钱？并说明理由． (3)若时，请你设计最省钱的购买方案，直接写出购买方案即可． 【答案】(1)A商店：元；B商店：元 (2)在B商店购买更省钱．理由： 当时，在A商店购买的费用为（元）， 在B商店购买的费用为（元）， ， 则在B商店购买更省钱． (3)在A商店买副匹克球拍，B商店买个匹克球 【分析】本题考查代数式的应用，熟读题意并正确地列出代数式是解题的关键． （1）根据A、B两商店的优惠方案，分别计算在两商店购买所需的费用，用含有的代数式表示； （2）将代入（1）中的两个代数式，比较两个结果的大小，从而判断在哪家商店购买更省钱； （3）综合考虑A、B两商店的优惠方案，设计出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：在A商店采购，共需付款（元）， 在B商店采购，共需付款（元）， 答：在A商店共需付款元；在B商店共需付款元． （2）略 （3）当时，在A商店购买副匹克球拍，花费元，同时得到赠送的个匹克球； 在B商店购买个匹克球，花费元； 合计花费元， 答：最省钱的购买方案为在A商店买副匹克球拍，B商店买个匹克球 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $