第二章《有理数的运算》 高频考点复习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章 《有理数的运算》期中高频考点复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 有理数的加减法运算 题型02 有理数加减法的应用 题型03 有理数加法运算律及符号问题 题型04 有理数加减混合运算（提高） 题型05 有理数加减中的简便运算 题型06 省略加法和括号的形式 题型07 有理数的乘除法运算 题型08 有理数乘除法的实际应用 题型09 有理数乘法运算律 题型10 有理数四则混合运算 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 题型12 有理数的乘方运算 题型13 程序流程图与算24点 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 考点01 有理数的加减法 1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0. 3.一个数与0相加,仍得这个数. 有理数加法交换律：交换两个加数的位置，和不变; 有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变; . 减去一个数，等于加上这个数的相反数 【针对训练】 1．计算的结果等于（    ） A． B．8 C． D．6 2. ． 3. 计算： (1)． (2)． (3)． 考点02 有理数的乘除法： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0. 互为倒数的两数相乘等于1 乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变; 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等; 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加; . 有理数的除法法则:除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 正数的奇次幂是个正数，正数的偶次幂是个正数 负数的奇次幂是个负数，负数的偶次幂是个正数 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1.-1的奇次幂是-1 0的任何正整数次幂都是0 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 【针对训练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 2．使用计算器计算时，按键顺序为：，则计算结果为 ． 3．计算：． 考点03 有理数的乘方运算 1.有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2.有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3.拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【针对训练】 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 2．若，则 ． 3．计算： 考点04 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【针对训练】 1．（ ）． A． B． C． D． 2．现对整数定义一种新的运算，运算符号记为☆，其运算法则如下：a☆b=，则2☆4= ． 3．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 考点05 科学记数法 科学记数法：把大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数(即)， 是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 【针对训练】 1．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 2．某生态学研究团队在分析不同植物的花粉传播效率时，发现一种植物花粉颗粒极为微小．研究人员使用高精度电子显微镜进行测量，结果显示其直径约为米．将用科学记数法表示为 ． 典例精析 题型一 有理数的加减法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 题型二 有理数加减法的应用 【典例1】王大伯把收获的土豆装在同样大的袋子里，一共装了袋．他任意称了其中的袋，结果如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 21千克 20千克 18千克 22千克 19千克 估一估，王大伯大约一共收获了 千克的土豆． 【变式1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻时间之差，如北京时间为，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为，李教授搭乘北京早上的飞机经过到达巴黎，那么李教授到达巴黎时，巴黎时间为 ． 题型三 有理数加法运算律及符号问题 【典例1】计算：． 【变式1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四 有理数加减混合运算（提高） 【典例1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式1】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 题型五 有理数加减中的简便运算 【典例1】用简便方法进行运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 题型六 省略加法和括号的形式 【典例1】把写成省略加号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 题型七 有理数的乘除法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】规定一种运算!：，则 ． 题型八 有理数乘除法的实际应用 【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【变式1】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 题型九 有理数乘法运算律 【典例1】简便运算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2) 题型十 有理数四则混合运算 【典例1】选择合理的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算：． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下： 汽车价格 购置税税费 当售价低于或等于30万时 免税 当售价高于30万时 售价万 淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元． (1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？ (2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？ 【变式1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 题型十二 有理数的乘方运算 【典例1】在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果n是正整数，则 ． 题型十三 程序流程图与算24点 【典例1】按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【变式1】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 1．计算的结果是（     ） A．1 B． C．5 D． 2．把写成省略括号和加号的形式为（   ） A． B． C． D． 3．2026年福建省城市足球联赛，首轮赛事人气爆棚，线下观赛氛围浓厚，累计吸引99042名球迷亲临现场．其中“99042”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ） 甲：． 乙：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 5．应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法对加法的分配律 6．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则______． 7．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或．其中正确的有______．（填序号） 8．已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数．求代数式的值． 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．在计算“”时，甲同学的做法如图所示，开始出错的步骤是（   ） 原式① ② ③ =7④ A．① B．② C．③ D．④ 12．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式： ①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．②③ D．①②⑤ 13．若，，且，则的值是______． 14．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 15．已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 16．已知的绝对值为3，、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数．试求的值． 17．一列数，其中，则（     ） A． 1 B． C．2026 D． 18．规定是一种特殊运算符号，且，…，则的值为（     ） A．2027 B． C． D． 19．设a、b、c是两两不等的有理数，那么，，中有（     ）个是负数． A．2 B．0 C．2或0 D．1或2或0 20．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始，在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2026时停止运动，此时与2026重合的点是（     ） A．点C B．点B C．点A D．点O 21．对于有理数，，定义一种新运算：．则的值为________，的值为________． 22．如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 23．如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中为半圆周的中点，为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积是___________（结果保留） 24．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 《有理数的运算》期中高频考点复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 有理数的加减法运算 题型02 有理数加减法的应用 题型03 有理数加法运算律及符号问题 题型04 有理数加减混合运算（提高） 题型05 有理数加减中的简便运算 题型06 省略加法和括号的形式 题型07 有理数的乘除法运算 题型08 有理数乘除法的实际应用 题型09 有理数乘法运算律 题型10 有理数四则混合运算 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 题型12 有理数的乘方运算 题型13 程序流程图与算24点 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 考点01 有理数的加减法 1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0. 3.一个数与0相加,仍得这个数. 有理数加法交换律：交换两个加数的位置，和不变; 有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变; . 减去一个数，等于加上这个数的相反数 【针对训练】 1．计算的结果等于（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2 . ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键． 本题利用异号两数相加的法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 3.计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将分母相同的分数分组，简化计算. （2）将互为相反数或相加为整数的小数结合，简化计算. （3）将小数和分数分别分组，简化计算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 考点02 有理数的乘除法： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0. 互为倒数的两数相乘等于1 乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变; 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等; 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加; . 有理数的除法法则:除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 正数的奇次幂是个正数，正数的偶次幂是个正数 负数的奇次幂是个负数，负数的偶次幂是个正数 1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1.-1的奇次幂是-1 0的任何正整数次幂都是0 互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数 【针对训练】 1．计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则可以解答本题． 【详解】解： ， 故选：D． 2．使用计算器计算时，按键顺序为：，则计算结果为 ． 【答案】 【分析】按照计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：根据按键顺序知，所求算式为． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了有理数的计算，解题关键是明确运算顺序，准确进行计算． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则． 考点03 有理数的乘方运算 1.有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2.有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3.拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【针对训练】 1．表示的意义是（　　） A．3个相乘 B．3个2相乘的相反数 C．个相加 D．2个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查乘方的意义，注意中没有括号，所以负号不参与乘方运算． 【详解】解：表示的意义是3个2相乘的相反数， 故选：B． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方计算，掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘方计算即可． 【详解】解：， ∵7和的平方等于49， ∴， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 考点04 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【针对训练】 1．（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的四则运算求解即可． 【详解】解： 故选：C 【点睛】此题考查了有理数的四则运算，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则． 2．现对整数定义一种新的运算，运算符号记为☆，其运算法则如下：a☆b=，则2☆4= ． 【答案】/ 【分析】根据定义的新运算直接代入计算即可． 【详解】解：由题意得：2☆4＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确计算是解题的关键． 3．计算： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）3；（2）12；（3）24；（4）11；（5）30；（6）30 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的运算法则逐题计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 考点05 科学记数法 科学记数法：把大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数(即)， 是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 【针对训练】 1．已知，则用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2．某生态学研究团队在分析不同植物的花粉传播效率时，发现一种植物花粉颗粒极为微小．研究人员使用高精度电子显微镜进行测量，结果显示其直径约为米．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 典例精析 题型一 有理数的加减法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二 有理数加减法的应用 【典例1】王大伯把收获的土豆装在同样大的袋子里，一共装了袋．他任意称了其中的袋，结果如下： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 第五袋 21千克 20千克 18千克 22千克 19千克 估一估，王大伯大约一共收获了 千克的土豆． 【详解】解： （千克） ∴王大伯大约一共收获了千克土豆． 故答案为：． 【变式1】甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻时间之差，如北京时间为，东京时间为，巴黎时间为，那么东京与北京的时差为，巴黎与北京的时差为，李教授搭乘北京早上的飞机经过到达巴黎，那么李教授到达巴黎时，巴黎时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，先求出李教授搭乘北京早上的飞机经过10小时到达巴黎的北京时间，然后加上巴黎与北京的时差小时，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： （时）， ∴李教授到达巴黎时，巴黎时间为11时， 故答案为：． 题型三 有理数加法运算律及符号问题 【典例1】计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式1】把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 题型四 有理数加减混合运算（提高） 【典例1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先根据去括号法则去括号，再算加减法即可； （2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律计算即可； （3）先根据绝对值的性质化简绝对值，再算加减法即可； （4）先算中括号里的式子，再根据加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 计算：． 解：原式 ． 以上解题方法叫作“拆项法”． 请你利用“拆项法”计算下面式子的值： ． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 根据题意，将带分数拆成成整数部分和分数部分的和，然后整数部分相加减，分数部分相加减，分别计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型五 有理数加减中的简便运算 【典例1】用简便方法进行运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算法则． （1）利用符号相同的两个数分别结合进行求解； （2）将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解； （3）将分母相同的两个数分别结合为一组进行求解； （4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解． 【详解】（1）（1）解： （符号相同的两个数分别结合为一组） （互为相反数的和为0） ； （2）解： （将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ； （3）解： （将分母相同的两个数分别结合为一组） ； （4）解： （将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ． 【变式1】例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 题型六 省略加法和括号的形式 【典例1】把写成省略加号的和的形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确的去括号是解题的关键．根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 题型七 有理数的乘除法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据有理数乘除法运算法则计算即可． （2）先将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式1】规定一种运算!：，则 ． 【答案】9900 【分析】本题考查新运算的计算，解题的关键是根据题意得到新运算的规律． 根据新运算直接代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 题型八 有理数乘除法的实际应用 【典例1】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 【变式1】某年级进行数学竞赛，评出一等奖4人、二等奖6人、三等奖20人，年级组决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同（不同等次的奖品不相同），并且只能从下表所列物品中选取一件： 品名 足球 排球 羽毛球拍 文具盒 相册 钢笔 圆规 笔记本 圆珠笔 单价/元 32 20 16 10 8 5 4 3 2 (1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，则年级组最少要花多少钱买奖品？ (2)若要求一等奖的奖品单价是二等奖的2倍，二等奖的单价是三等奖的2倍，在总费用不超过200元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种需用多少钱？ 【分析】本题考查了简单的最佳方案选择，解题的关键是在理解题意的基础上列出算式． （1）要用最少的钱买奖品，则一等奖为圆规，二等奖为笔记本，三等奖为圆珠笔，据此求出所花的钱； （2）根据要求可以得到两种方案，在总费用不超过元的前提下，即可确定花费最多是多少元． 【详解】（1）解：花钱要少，尽可能地买最便宜的物品，三等奖选2元，二等奖选3元，一等奖4元，共花（元），答：年级组最少要花元买奖品； （2）解：方案一：一等奖8元，二等奖4元，三等奖2元， 总费用：（元），，符合题意； 方案二：一等奖16元，二等奖8元，三等奖4元， 总费用：（元），，符合题意； 方案三：一等奖元，二等奖元，三等奖元， 总费用：（元），，不符合题意． 答：有两种购买方案，花费最多的需用元． 题型九 有理数乘法运算律 【典例1】简便运算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律， （1）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加法即可得到答案； （2）将变形为，再利用乘法分配律进行简便计算即可得答案. 【详解】（1）解： ． （2） 【变式1】计算： (1)； (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先将式子分组，再利用乘法分配律计算即可 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型十 有理数四则混合运算 【典例1】选择合理的方法计算 (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算与简便计算，熟练掌握有理数的运算、简便计算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算，计算即可； （2）根据“连续减去两个数等于减去这两个数的和”，简便计算即可； （3）根据加法交换律与加法结合律，简便计算即可； （4）逆用乘法分配律，简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】近年来，我国大力发展新能源汽车，对新能源汽车的购置税有优惠政策．淘气的爸爸最近想购置一款新能源汽车．他了解到，最近的购置税政策如下： 汽车价格 购置税税费 当售价低于或等于30万时 免税 当售价高于30万时 售价万 淘气的爸爸看中的这款新能源汽车售价是38万元． (1)如果一次性付款，淘气的爸爸一共需要支付多少钱？ (2)某新能源汽车专卖店推出活动：购买汽车时，如果分期付款，可以享受售价的九八折优惠，但需额外支付一笔利息，利息总额约占汽车售价的，淘气的爸爸购买新能源汽车一共需要付多少钱？ 【分析】本题考查了百分数计算，涉及折扣、利息及购置税的计算．解题关键是准确理购置税的计算方法，同时在分期付款情境中，先计算折扣和利息得到分期总价，再根据售价计算相应的购置税，最后求和得出总支付金额． （1）一次性付款时，需先根据购置税政策计算购置税，再将购置税与汽车售价相加得到总支付金额。由于汽车售价38万元高于30万元，购置税为“售价万”，因此总支付金额为购置税加上汽车售价； （2）分期付款时，需先计算九八折后的售价，再加上利息得到分期付款的总价，最后根据购置税政策计算该售价对应的购置税，将分期付款总价与购置税相加得到最终总支付金额．九八折即原价的，利息为售价的，购置税按“售价万”计算． 【详解】（1）解：（万元）， 答：淘气的爸爸一共需要支付38.8万元； （2）解：（万元），（万元）， （万元）， （万元） 答：一共需要支付万元． 【变式1】某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下． 标准 支付方法 一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用 650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付 (1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？ (2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？ 【分析】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键． （1）根据分段收费方法计算即可求解； （2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：他本次住院需要个人支付元钱； （2）解：（元）， 答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元． 题型十二 有理数的乘方运算 【典例1】在，，，中，最大的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简绝对值，乘方运算，以及有理数大小比较．先将各项化简计算出结果，再进行比较大小，即得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴最大的数为 故选：B 【变式1】如果n是正整数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 题型十三 程序流程图与算24点 【典例1】按如图所示的程序计算，当输入x的值为时，输出的值为（   ） A．63 B．8 C．64 D．80 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂图表运算方法，准确列出算式是解题的关键．根据运算程序，把代入进行计算，然后和10比较逐步求解即可． 【详解】当输入x的值为时，， ∴，∴，∴输出的值为63．故选：A． 【变式1】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 1．计算的结果是（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】． 2．把写成省略括号和加号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据减法法则及加法法则进行解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．2026年福建省城市足球联赛，首轮赛事人气爆棚，线下观赛氛围浓厚，累计吸引99042名球迷亲临现场．其中“99042”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：根据科学记数法的定义，确定和的规则为是小数点左移后满足的数，等于原数的整数位数减， ∵原数是位整数，将小数点左移位可得，满足，， ∴． 4．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ） 甲：． 乙：． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，重点检查对负号的处理和简便方法的正确使用．减去一个数等于加上这个数的相反数，甲在计算中把减法转化为了加法，却没有把减数转化为它的相反数，导致计算错误；乙正确运用了运算法则和加法结合律，计算正确． 【详解】解：对于甲： ， 但甲计算为10， 甲计算错误； 对于乙： ， 乙计算正确， 只有乙正确． 故选：D． 5．应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法对加法的分配律 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 【详解】解：应用了乘法结合律， 故选：B 6．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则______． 【答案】或/16或 【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得：，，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】 解：，b互为相反数，c，d互为倒数，， ∴，，， 当时，； 当时，； 综上所述：或16， 7．下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则或．其中正确的有______．（填序号） 【答案】③④ 【详解】解：①根据绝对值的性质，若，则，故①错误． ②根据绝对值的性质，若，则或，故②错误． ③由，根据有理数的乘方运算可得，所以，而，所以，故③正确． ④根据有理数乘法法则，若两个数的乘积为0，则至少有一个数为0，即或，故④正确． 综上，正确的有③④． 8．已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数．求代数式的值． 【答案】或9 【分析】根据相反数，倒数，平方求出，，，再分两种情况代入求出答案即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得4的数， ∴，，， ∴当时， ； 当时， ． 综上所述，代数式的值为或9． 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 10．为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 11．在计算“”时，甲同学的做法如图所示，开始出错的步骤是（   ） 原式① ② ③ =7④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键．要判断甲同学开始出错的步骤，需依据有理数的减法法则和加法结合律来分析． 【详解】解：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数， ∴，步骤①是正确的， 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 对于，根据加法结合律， 应该是，而甲同学在步骤②中错误地写成了，符号处理错误， ∴开始出错的步骤是②； 故选：B． 12．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，给出下列关系式： ①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．②③ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，有理数的运算． 根据数轴得到，进而判断即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴，，，，故①正确，②错误，③错误，④正确； ，故⑤正确， 故①④⑤正确． 故选：B． 13．若，，且，则的值是______． 【答案】或 【分析】先根据，，得，，又因为，所以，异号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，异号， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值是8或． 14．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 15．已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 16．已知的绝对值为3，、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数．试求的值． 【答案】24或 【分析】根据绝对值性质，倒数定义，相反数定义，最大的负整数概念，推出或，，再分情况代入求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握相关性质与定义，并正确计算． 【详解】解：的绝对值为3，、互为倒数，、互为相反数，是最大的负整数． 或，， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为24或． 17．一列数，其中，则（     ） A． 1 B． C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．规定是一种特殊运算符号，且，…，则的值为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新运算的定义，将分子分母转化为连乘形式，约分后计算结果． 【详解】解：由题意得，， ． ． 19．设a、b、c是两两不等的有理数，那么，，中有（     ）个是负数． A．2 B．0 C．2或0 D．1或2或0 【答案】A 【分析】通过三个式子的乘积为正确定负数个数为偶数，再结合三个差的和为0排除全正的情况． 【详解】解：∵三个式子的乘积为， ∴负数的个数为偶数，即0或2． ∵ ， ∴ ，，不可能全正或全负， ∴负数的个数为2． 20．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始，在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2026时停止运动，此时与2026重合的点是（     ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】B 【详解】解：根据题意，可知正方形的顶点每4次滚动为一个循环组，依次落在题中数轴上． 因为， 所以正方形在数轴上经过了506次循环后，再进行2次滚动停止运动，此时与2026重合的点是． 21．对于有理数，，定义一种新运算：．则的值为________，的值为________． 【答案】 【分析】按照新运算定义，分步代入计算，有括号先计算括号内的部分． 【详解】解：计算，将，代入得： ． 计算，先算括号内的： 将，代入得： ． 再计算括号外的，将，代入得： ． 因此，的值为，的值为． 22．如图，A，B，C，D四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过的顺序进行运算，可列式为；8经过的顺序进行运算，可列式为，则经过的顺序进行运算的结果为_______． 【答案】23 【详解】解：由题意，得， 所以经过的顺序进行运算的结果为23． 23．如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中为半圆周的中点，为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积是___________（结果保留） 【答案】 【分析】连接，分别求出正方形的面积，半圆的面积，三角形的面积和三角形的面积，然后求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接， 正方形的面积， 半圆的面积， 三角形的面积， 三角形的面积， 阴影部分的面积． 24．【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． (1)若折叠纸面，表示的点与表示3的点重合，则表示15的点与表示__________的点重合； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合（A在B的左侧，且折点与（1）折点相同），求点A和点B表示的数； (3)一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点是点，并且，求点C表示的数． 【答案】(1) (2)A点表示，B点表示1014； (3)或 【分析】（1）求出折叠中心，根据折叠中心到两个点的距离相等，进行求解即可； （2）根据折叠中心到两个点的距离相等，以及两点间的距离公式进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，折叠中心表示的数为， ， 故表示15的点与表示的点重合； （2）解：由（1）知，折叠中心表示的数为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为2026，且A、B两点经折叠后重合，A在B的左侧， ∴点表示的数为；点表示的数为； （3）解：∵，点A、B表示的数分别是、10， ∴点表示的数为或， ∴点表示的数为或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $