专题02 有理数混合运算（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版七年级上学期

专题02 有理数混合运算 考点01：有理数加减法则（同号 / 异号、去括号） 考点02：有理数乘除法则（符号法则、倒数） 考点03：乘方运算及运算顺序 考点04：混合运算（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号） 考点05：运算律简便计算（交换律、结合律、分配律） 考点06：科学记数法与近似数、有效数字 考点01：有理数加减法则（同号 / 异号、去括号） 1．下列说法错误的是（     ） A．两个正数的和一定大于每一个加数 B．两个负数的和一定是负数 C．两个正数的差一定小于被减数 D．两个正数的差一定是负数 【答案】D 【详解】解：有理数加法法则：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；故选项A、B的说法正确； 有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；故选项C的说法是正确的； 例如：，故选项D说法是错误的． 2．下列说法正确的是（     ） A．符号相反的两个数叫做相反数 B．所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来 C．两个数的和一定大于这两个数中的任意一个 D．最大的负数是 【答案】B 【详解】解：A选项：如与符号相反，但不是相反数，故A错误； B选项：所有有理数都可以用数轴上的点表示，故B正确； C选项：如，，故C错误； D选项：如，故不存在最大的负数，D错误． 3．把写成省略加号与括号的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 4．__________． 【答案】 【详解】解： ∵ 对任意正整数，都有，因此每一项去掉绝对值符号后等于本身，即 ∴ 原式 5．已知，，，且，求的值． 【答案】的值为或． 【详解】先根据绝对值的性质确定的所有可能取值，再结合的大小关系筛选符合条件的组合，代入计算即可． 考点02：有理数乘除法则（符号法则、倒数） 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)-28 (2)-3 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．规定：，则__________． 【答案】19 【详解】解：由题意得，． 8．的绝对值除以的倒数的商，再乘14的相反数，结果是__________． 【答案】 【详解】解：． 9．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（     ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：， ∵ 运算结果为正数， ∴ 内的数为负数， 选项中只有符合要求． 10．四个互不相等整数、、、，满足，则的值可以是（     ） A．0或24 B．8或12 C．0或 D．12或24 【答案】A 【详解】解：∵四个互不相等整数满足，81的整数因数为， ∴分类讨论： ①.含时： 含时，剩余三个互不相等整数的乘积为，只能取，和为； 含时，剩余三个互不相等整数的乘积为，只能取，和为； ②.不含时： 取，乘积为，和为； 取时，剩余两数乘积为，可取或，对应和为或； ∴的可能值为， 选项中仅0和24均为可能值． 考点03：乘方运算及运算顺序 11．下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，计算正确； B选项，计算正确； D选项，计算均正确； C选项，计算错误． 12．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和－3 D．和 【答案】D 【详解】解：A：，与不互为相反数； B：，，两数不互为相反数； C：，与相等，不互为相反数； D：，，两数互为相反数． 13．若，，且，则_________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． ∵， ∴分情况筛选计算： 当，时，满足，； 当，时，满足，； 当时，且，不满足，舍去； 综上，的值为或． 14．小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ③ (1)小红开始出错的是第_________步；小亮开始出错的是第_________步； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)②，① (2)解：正确的解答过程如下： 【详解】（1）解：对于小红的计算过程： 在有理数混合运算中，乘除是同级运算，应按从左到右的顺序计算，而小红在②中先计算了，运算顺序错了，所以小红开始出错的是第②步； 对于小亮的计算过程： 因为，，而小亮计算的结果为，计算的结果为， 所以小亮开始出错的是第①步． （2）略 15．如图，点A和点B表示的数分别为a和b．下列式子中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，，故ABC正确； ∴，故D错误． 16．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 17．若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 18．若，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 19．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 20．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①2②4 (2)64 (3)猜想：．理由： 设，，则，， ∴， 由定义得：， ∴ 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 考点04：混合运算（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号） 21．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 22．计算的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：， 原式 ． 23．定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 【答案】A 【详解】解： 24．对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（     ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【详解】解： ． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点05：运算律简便计算（交换律、结合律、分配律） 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． （5）解：原式= ． （6）解：原式= ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解： ； （2）解： ． 考点06：科学记数法与近似数、有效数字 31．据统计，某博物馆2026年共接待参观者3180000人次，将3180000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 32．年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度为每小时亿千米，亿千米用科学记数法表示应为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【详解】解：先把亿写成普通数字：亿； 科学记数法形式：，要求，n是整数．把变成，小数点向左移动位，所以； ． 33．一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 34．南通市简称“通”，江苏省辖地级市，南北朝时期称壶豆洲，周时设狼山镇，五代十国时称静海都镇，宋时称崇州，截至2025年末，南通市常住人口为万人，数据万用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得万． 35．2026年7月10日，国家统计局公布全国夏粮总产量达亿斤，历史首次突破亿斤大关．数据亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：亿． 36．把数精确到百位为_______． 【答案】 【详解】解： 中百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，十位数字是，需向百位进， 百位加得，继续向千位进，千位变为，百位记为， 故把数精确到百位为， 用科学记数法表示结果，保留体现精确到百位的数位，得结果为． 37．把5.187245按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为______． 【答案】 【详解】解：（精确到百分位）． 38．小商店9月份（30天）的利润是6500元，则小商店9月份平均每天的利润大约为___________元（结果精确到个位）． 【答案】217 【详解】解：（元）． 39．的相反数是______，______，近似数精确到______位． 【答案】 3 百 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴， ∴； 将还原为原数，得到，末尾的数字对应原数的百位，因此该近似数精确到百位． 40．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是7.40，这个三位小数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【详解】解：分两种情况推导： 当原三位小数通过“四舍”得到时， ∵ 四舍规则要求千分位上的数小于，舍去后不改变前两位小数， ∴ 千分位最大取，这个三位小数最大是； 当原三位小数通过“五入”得到时， ∵ 五入规则要求千分位上的数大于或等于，进后得到， ∴ 进前原数的前两位小数为，千分位最小取，这个三位小数最小是． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数混合运算 考点01：有理数加减法则（同号 / 异号、去括号） 考点02：有理数乘除法则（符号法则、倒数） 考点03：乘方运算及运算顺序 考点04：混合运算（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号） 考点05：运算律简便计算（交换律、结合律、分配律） 考点06：科学记数法与近似数、有效数字 考点01：有理数加减法则（同号 / 异号、去括号） 1．下列说法错误的是（     ） A．两个正数的和一定大于每一个加数 B．两个负数的和一定是负数 C．两个正数的差一定小于被减数 D．两个正数的差一定是负数 2．下列说法正确的是（     ） A．符号相反的两个数叫做相反数 B．所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来 C．两个数的和一定大于这两个数中的任意一个 D．最大的负数是 3．把写成省略加号与括号的形式是（     ） A． B． C． D． 4．__________． 5．已知，，，且，求的值． 考点02：有理数乘除法则（符号法则、倒数） 6．计算： (1)； (2)． 7．规定：，则__________． 8．的绝对值除以的倒数的商，再乘14的相反数，结果是__________． 9．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（     ） A． B．2 C．0 D．1 10．四个互不相等整数、、、，满足，则的值可以是（     ） A．0或24 B．8或12 C．0或 D．12或24 考点03：乘方运算及运算顺序 11．下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 12．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和－3 D．和 13．若，，且，则_________． 14．小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ③ (1)小红开始出错的是第_________步；小亮开始出错的是第_________步； (2)写出正确的解答过程． 15．如图，点A和点B表示的数分别为a和b．下列式子中，错误的是（     ） A． B． C． D． 16．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 17．若，，则______． 18．若，则______． 19．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 20．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 考点04：混合运算（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号） 21．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C． D． 22．计算的结果是（     ） A． B． C． D．1 23．定义新运算：，如，则的值为（     ） A．28 B．5 C．3 D． 24．对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（     ） A．77 B． C．63 D．13 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点05：运算律简便计算（交换律、结合律、分配律） 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 28．计算： (1)； (2)． 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)． 考点06：科学记数法与近似数、有效数字 31．据统计，某博物馆2026年共接待参观者3180000人次，将3180000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 32．年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的速度为每小时亿千米，亿千米用科学记数法表示应为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 33．一个数用科学记数法表示为，则这个数是（     ） A． B． C． D． 34．南通市简称“通”，江苏省辖地级市，南北朝时期称壶豆洲，周时设狼山镇，五代十国时称静海都镇，宋时称崇州，截至2025年末，南通市常住人口为万人，数据万用科学记数法可表示为__________． 35．2026年7月10日，国家统计局公布全国夏粮总产量达亿斤，历史首次突破亿斤大关．数据亿用科学记数法表示为______． 36．把数精确到百位为_______． 37．把5.187245按四舍五入的方法精确到百分位的近似数为______． 38．小商店9月份（30天）的利润是6500元，则小商店9月份平均每天的利润大约为___________元（结果精确到个位）． 39．的相反数是______，______，近似数精确到______位． 40．一个三位小数四舍五入保留两位小数时，它的值约是7.40，这个三位小数最大是( )，最小是( )． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $