专题06 一次函数选填题压轴（一）（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题01 一次函数选填题压轴（一） 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 1．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，顶点，，点C在y轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为________．    2．（2026·安徽池州·二模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C．边所在直线的解析式为 D．的面积为 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ． 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 6．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 7．（25-26八年级下·江苏常州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为____________． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交于点，点B在y轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，，，若点D为线段上一动点．连接，将沿着直线翻折，使得点A的对应点恰好落在直线下方的y轴上，则点D的坐标为_______． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交直线于点，在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后点的对应点恰好落在直线上，则点的坐标为______． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线的表达式为（n为正整数）．其中，当时，；当时，．已知直线的表达式为，其图象如图所示，则直线的表达式为____________；已知直线与，分别交于A，B两点，直线与交于点C，点P为y轴上一点，将绕点P顺时针旋转得到，直线交的边于点M，N，则的长为____________． 12．（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 14．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 15．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________． 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 16．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为 ． 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上从点向点运动，且，为线段的中点，以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，则点运动的总路程是（   ） A． B．8 C． D． 18．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点．经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ． 20．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ． 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 21．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点是x轴上的一点．点M是直线上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则的最小周长为________． 24．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D为线段上的一点且其纵坐标为2，P为y轴上的一个动点，点，连接、，当的周长最小时，这个最小周长为_____． 25．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 26．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为___________；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为___________． 27．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点B的坐标为 ___________ ；若点E，F分别是的边，上的动点，且，则的值最小为 __________________ ． 28．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点E在边上、点D在边上，且，当最小时，D点坐标为______． 29．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知直线分别交轴、轴于点，两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为________． 30．（2025·山东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 31．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点 是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线 交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 时，的值最小为 ． 32．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ． 34．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 35．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是 ．    模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 36．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ． 37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．    39．（24-25八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2:相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，此时的最小值为 ． 40．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 41．（25-26八年级下·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 42．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，直线经过原点O，点C在y轴上，点D为线段上一个动点，若，，则线段长度的最小值为_________． 43．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 44．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C为中点(O为坐标原点)，D点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于 ． 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 46．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 47．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 48．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 49．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形（点，，，…为直角顶点），那么点的纵坐标是________． 50．（2026·辽宁丹东·模拟预测）在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点B3，以为边长作等边，…，则等边的中心坐标是_____． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数选填题压轴（一） 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 模型一：一次函数与几何变换综合压轴-平移 1．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，顶点，，点C在y轴的正半轴上，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为________．    【答案】 【详解】解：∵点，，∴， ∵，∴，∴，∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为， ∵将向右平移得到，∴，∴可设直线的解析式为， 把点代入得：，∴直线的解析式为， 当时，，解得：，∴点的坐标为． 2．（2026·安徽池州·二模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C．边所在直线的解析式为 D．的面积为 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当秒时，直线经过点， 当秒时，的值最大，即直线经过点，当时，直线经过点， 当时，可得：，解得：，点的坐标是， 由图象可知，直线移动到点用了秒，移动到点用了秒， 个单位长度，个单位长度， 点的横坐标为，点的横坐标是，， 三角板是等腰直角三角形，，点的坐标是，故A选项正确； ，， 当直线经过点时，的值最大，最大值为；故B选项正确； 点的坐标是，点的坐标是，设直线的解析式是， 可得：，解得：，边所在直线的解析式是，故C选项正确； ，的面积为，故选项错误． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【答案】D 【详解】解：、，， 在中，，则，， 设直线的解析式为，过，， ，解得，， 如图，当向右平移，当点B落在直线上时， 即当时，，解得，向右移动的距离为， 则线段扫过的面积是．故选：D． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入得，解得，所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，，解得， 所以此时直线的函数解析式为，则． 当平移后的直线经过点D时，，解得， 所以此时直线的函数解析式为，令得，，解得， 所以，所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：．故选：A． 5．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段沿轴正方向平移至，若为等腰三角形，则平移的距离为 ． 【答案】13或24或 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，解得：，将代入，则，,∴点，， ∴，由平移可知：，， ∵为等腰三角形，当时，如图1：设，则， ∵，∴，解得：，即； 当时，如图2： 当时，如图3：则，∴， 综上所述平移的距离为或或．故答案为：或或． 模型二：一次函数与几何变换综合压轴-对称（翻折） 6．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于点和，是上的一点，若将沿着折叠点恰好落在轴上的点处．则点的坐标是_____ 【答案】 【详解】 解：对于直线：令，得，解得，得； 令，得，得．∴，，∴．由折叠知，． ∵，∴，∴C点坐标为． 设，则，． 得． ∵是直角三角形，，∴ ， ∴ ，解得，∴M点坐标为． 7．（25-26八年级下·江苏常州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上的点（不与点B重合），若将沿直线翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为____________． 【答案】 【详解】解：对于直线，令，则，即， 令，则，即，∴，， ∵，∴，点在轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知，，，∴， 设，则，在中，得， 即，解得，∴，∴． 8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交于点，点B在y轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，，，若点D为线段上一动点．连接，将沿着直线翻折，使得点A的对应点恰好落在直线下方的y轴上，则点D的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∵点B在y轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，，， ∴，，设，∵直线交于点， ∴，∴，∴， 设点A关于直线对称点为，由翻折的性质得， ∴，∴，设，则 ，， 由翻折的性质得，∴，∴， 将代入得，∴，故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交直线于点，在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后点的对应点恰好落在直线上，则点的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：∵直线交轴于点，交轴于点， ∴令，则；令，则；解得，故， 把代入，∴．∴，设直线的解析式为， 把，代入，得，解得，∴直线的解析式为， ∵将沿直线翻折后点的对应点恰好落在直线上，∴设， ∵动点在轴上，∴设，∵折叠，∴， ∴∴∵，，，， ∴，， ∴，， ∵∴，， 整理得，解得， 当时，则，解得，即； 当时，则，解得，即；故答案为：或． 10．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知中，当时，，当时，，得到； ∴点，点，∴，∴，    ∵点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则． 作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点， 则， ∴共线，，∵，即； ∴．故选：A． 模型三：一次函数与几何变换综合压轴-旋转 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线的表达式为（n为正整数）．其中，当时，；当时，．已知直线的表达式为，其图象如图所示，则直线的表达式为____________；已知直线与，分别交于A，B两点，直线与交于点C，点P为y轴上一点，将绕点P顺时针旋转得到，直线交的边于点M，N，则的长为____________． 【答案】 【详解】解：∵当时，；当时，，∴当时，， 当时，，当时，，当时，， ∴直线的表达式为；由上述结论得，随着n的数值增加，的数值依次为，，2进行循环， ∵，∴，，， ∴与，的解析式分别为，，， 将直线向下平移2025个单位得：，将直线向下平移2025个单位得：， 将直线向下平移2025个单位得：，得到的如图所示： ∵将绕点P顺时针旋转，交直线于， ∴等效转化为将直线绕点P逆时针旋转为，交于， 如图，点P为y轴上任意一点，则旋转后直线必过， 联立与，得：，∴，∴， 联立与，得：，∴，∴， ∴． 12．（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①函数沿轴翻折后的解析式为，∴， 当时，代入得，，∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，，∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴，∴∴，∵点关于直线对称，∴， ∴，解得或（舍去）∴, 当时，，∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点∴∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，，∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，，∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 13．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：如下图所示，把部分沿轴翻折，对应的部分的解析式为 当时，可得：，当时，可得：，当时，； 当时，对应的部分的解析式为， ，，解得：，，． 14．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 【答案】 【详解】解：设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点． 在上，令，则；令，则；，， 由旋转得，∴，， ，． 15．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________． 【答案】 【详解】解：直线与y轴交于点A，令，，则， 直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，令，，令，， 则，，，直线绕点A逆时针旋转得到直线， 如图，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴， 则，轴，，， ，， 在与中，，， ，，，， ，轴，；设直线的解析式为， ，解得：，则直线的表达式为，故答案为： 模型四：一次函数与轨迹问题综合压轴 16．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点Q为线段的中点，则点Q的坐标为， ∵，∴，（，）， ∵当时，，∴，∴， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，∴此时点Q的运动路径长为； ∵当时，，∴，∴， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为，另一端在y轴的非负半轴上，坐标为，∴此时点Q的运动路径长为； 综上分析可知，点Q运动路径的长为．故答案为：． 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上从点向点运动，且，为线段的中点，以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，则点运动的总路程是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，    ∵以点为旋转中心将点逆时针旋转至点，∴，， ∵为线段的中点，∴，∴， ∴点Q可以看作是点N绕点P顺时针旋转得到， ∵点在轴上从点向点运动，∴点Q的轨迹是一条线段，且运动的路程等于点N运动的路程， ∵点N运动的总路程为，∴点运动的总路程是8．故选：B． 18．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 【答案】 【详解】解：直线与直线平行，可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得，直线的解析式为， 令，则，解得，， 点在线段上运动，，且， 设点N的坐标为，N为线段的中点， ，消去m，得， ，，，解得， 令，则，令，则，设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且．故答案为：． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点．经过点A且与直线平行的直线交x轴于点B，现有点在线段上运动，点在x轴上，M为线段的中点．当C从点A开始运动，到点B停止运动，M点的运动路径长为 ． 【答案】) 【详解】解：设直线的解析式为，将代入关系式，得， ∴直线的解析式为：，令时，解得：， ∴，，， 取的中点，连接，，，∴； 将代入直线解析式可得，， 点M是的中点，，， 点C在直线上运动，点C从点A开始运动，到点B停止运动， 当时，此时的中点坐标为，当时，此时的中点坐标为， 设过这两个中点坐标的直线解析式为，代入这两点，得：， 解得：∴过这两个中点坐标的直线解析式为， 将点代入直线解析式，即，点M满足直线解析式， ∴点M的运动轨迹是一条从点运动到的线段， ，∴M点的运动轨迹长度为；故答案为：． 20．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为 ． 【答案】 【详解】解：当点M和点N都在正半轴上时，设点M的坐标为，点N的坐标为，则点Q的坐标为，此时点Q在第一象限， ∵，∴，∴，即， ∴此时点Q在一条线段上运动，线段的两个端点都在正半轴上，坐标为和， ∴此时点Q的运动路径长为；同理，点Q可能在第二、三、四象限， 综上分析可知，点Q运动路径的长为．故答案为：． 模型五：一次函数与几何最值综合压轴-将军饮马 21．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．设线段，的中点分别为，，为上一动点，则当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于轴对称点，连接和，如图所示， ，，三点共线时，为最小值． ，，线段，的中点分别为，，，，． 设直线解析式为，将和代入得，，， 在直线上，且在轴上，令，则，． 22．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，∴ ，，， 设直线 解析式为 ，将代入得，解得，∴直线 解析式为 ， ，，， 为 中点， ， ∵四边形 周长 ，其中 为定值， ∴要使周长最小，需 最小 ，过作交轴于， ∵，∴，∴，， ∴， 点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于点 ，此时 最小， 直线 为 ，设直线解析式为 ， 将 ，代入得 ，解得 ，直线解析式为， 联立 ，解得 ， 点的坐标为． 23．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点是x轴上的一点．点M是直线上的一个动点，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，则的最小周长为________． 【答案】 【详解】解：如图1，过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F， 设点M坐标为，则，由旋转可知：， 由作图可知：∴， ∴，∴，∴， ∴，∴点N坐标为， ∴，即，∴点N的移动路径为直线， 设直线与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当时，，当时，，如图所示， ∴，是等腰直角三角形，∴， 过点作点关于直线的对称点，与直线交于点， ∴，∴，即是等腰直角三角形， ∵，∴，∵对称，∴，且， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， 连接交直线于点N，连接， ∴，，此时的周长最小， ∵点，点，点，∴，， ∴的周长最小值为，故答案为：． 24．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D为线段上的一点且其纵坐标为2，P为y轴上的一个动点，点，连接、，当的周长最小时，这个最小周长为_____． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，连接，过点作轴于点． 当点与重合时，的周长最小，的周长， ∵点，是定点，∴的长不变．∵，点D为线段上的一点且其纵坐标为2， ∴，解得，∴．∴，． ∵点，点是关于轴对称的点，∴，∴点与点重合， ∴，∴，， ∴的最小周长为．故答案为：或． 25．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、，∴点， 设直线的解析式为，∴，解得：， ∴直线的解析式为，当时，，∴点．故答案为： 模型六：一次函数与几何最值综合压轴-逆等线 26．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为___________；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：作轴于点D，则， ∵点，中，，，∴∴ ∵，∴，解得， ∴，∴点D的坐标是，∴点B的坐标是， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则， ∵∴，∴， ∴，，∴，∴点C的坐标为， 连接交于点P，连接，设直线的函数解析式为， 则，解得，∴，设直线的解析式为， ，解得，∴直线的解析式为， 联立得到，解得，∴点P的坐标为， ∵，∴，∴， ∵，，∴当点E与点P重合时，取得最小值， ∴当的值最小时，点的坐标为，故答案为：， 27．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点B的坐标为 ___________ ；若点E，F分别是的边，上的动点，且，则的值最小为 __________________ ． 【答案】 【详解】解：过点B作于点D，，， ，， ，，解得， 在中，， 点B的坐标为．故答案为：． 过点A向左上方作线段，使得，且，过点C作轴于点H，连结，，与交于点P，， ，，， ，，，， 当点E移运动到点P的位置时，O，E， C三点共线，此时取最小值， ，，，， ，，在中，， 的值最小为．故答案为: ． 28．（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点E在边上、点D在边上，且，当最小时，D点坐标为______． 【答案】 【详解】解：延长至点，使得，连接，交于点 ∵四边形是矩形，，∴，， ∵，∴，∴，∴， 当点共线时，取得最小时，此时点重合， ∵，∴，∵，， ∴，∴，∴，故答案为：． 29．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知直线分别交轴、轴于点，两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：对于直线：， 当时，可有，当时，可有，解得，∴，， 又∵，∴，如下图，取点，连接， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴的最小值为线段的长， 即当共线时，的值最小，设直线的解析式为， 将点，代入，可得，解得， ∴直线的解析式为，令，则，∴点， ∴当的值最小时，点的坐标为．故答案为：． 30．（2025·山东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图：过点C作使，连接， 在和中，，∴，∴，， ∴最小值可转化成最小值， 当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度； ∵，∴，∴ 设表达式为:，由题意可得： ，解得：， ∴表达式为:， 将代入得: ，解得：，∴D点坐标为．故答案为：． 模型七：一次函数与几何最值综合压轴-瓜豆原理 31．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，，过点 B 作直线l x 轴，点 是直线上的动点，以 为边在右侧作等腰，，直线 交 y 轴于点 C ．当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 时，的值最小为 ． 【答案】 【详解】解：作轴，，则：， ∵为等腰直角三角形，，∴， ∵轴，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即：，令，则：， ∴，∴点在直线上运动， 设直线与轴分别交于点，当时，，当时，， ∴，∴，∴， 作点关于直线的对称点，连接，则，，， ∴，即：，∴，∵，∴， ∴当点在直线上时，的长最小，为的长， ∵，，∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得，∴， 联立，解得，故当，即，解得时，的值最小为； 故答案为：，． 32．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设，过点作轴， ，，， ，，， ，∴，∵，，点在上， 当垂直直线时，取得最小值，设直线与轴和轴的交点分别为， 令，得，令，得，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，即的最小值是，此时，点的坐标为， ∴点的坐标为，∵，∴，∴点的坐标为，故答案为：，． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在x轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得． ，，， ，，， ，，， ，，，，， 设直线的解析式为，，直线的解析式为， 点C在直线上运动，作于点P，， 此时点，即，设， ，，解得，点故答案为：． 34．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点，，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线分别与轴交于两点，令，则，∴，且， ∵为轴正半轴上的一动点，∴设，∴在中，， ∵是等腰直角三角形，，∴；如图所示，过点作轴于， 在中，，， ∴，∴，∴， ∴，，∴， ∴，且轴，∴是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上，如图所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，， ∵是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ∴，∴轴，且，∴，则， 如图所示，当点在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； ∴由勾股定理得：，故答案为：． 35．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是 ．    【答案】3． 【详解】如图，作DH⊥x轴于H．     ∵∠AOB=∠ABD=∠BHD=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠DBH=90°，∴∠BAO=∠DBH， ∵AB=DB，∴△ABO≌△BDH（AAS），∴OA=BH=3，OB=DH，∴HD=OH-3，∴点D在直线y=x-3上运动， 作O关于直线y=x-3的对称点E′，连接AE′交直线y=x-3于D′，连接OD′,则OD′= D′E′ 根据“两点之间，线段最短”可知此时OD+AD最小，最小值为AE′， ∵O（0，0），O关于直线y=x-3的对称点为E′，∴E′（3，-3）， ∵A（0，3），∴AE′=3，∴OD+AD的最小值是3，故答案为：3． 模型八：一次函数与几何最值综合压轴-胡不归 36．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴交于，两点，点为线段的中点，点为上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：直线与轴、轴交于，两点， 令，则有，令，则有，解得， ，，即，，， ，，，如图所示，连接， 点为线段的中点，，， ，为等边三角形， 过点作并延长与轴的交点即为所求的点，作点关于轴的对称点，连接， 则有，， 为等边三角形，，， ，为线段的垂直平分线， ，，，， 当、、三点共线时，值最小，最小值即为的长， 轴，轴，，， ，．故答案为： ． 37．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 如图，分别作轴，轴，使直线交于点， ∵与x轴交于点B，∴时，，即， ∵点C的横坐标为，∴点C的纵坐标为，，， 又，为等腰直角三角形，过点作于点，连接， ，∴， 又当时，取得最小值此时即此时与交于 的横坐标等于的横坐标把代入得 即当时，在整个运动过程中用时最少．故选：A 38．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，直线交x轴于点，交y轴于点C，点D在直线上，且D的横坐标为3，E是线段上的点（不和端点重合），连接，一动点M从点A出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到E，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点E的坐标是 时，点M在整个运动过程中用时最少．    【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，轴点．过点作，交延长线于点．    动点从点出发沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止点在整个运动过程的用时， 点在直线上，，解得， 直线的解析式为：点的坐标为：， ，即点在整个运动过程所用的时间是线段与的长度之和， 当、、三点共线时，取得最小值．点的横坐标与点的横坐标相等，点在直线上 点的坐标为：点的坐标为故答案为：． 39．（24-25八年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2:相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，当EF＋CF最小时，此时的最小值为 ． 【答案】F（1，），PF+OP的最小值为 ； 【详解】解：令x=0，则y=，∴B（0，），∴OB=， ∵∠OBC=30°，∴OC=×，∴C（1，0）， 令y=0，则，∴x=3，∴A（3，0），∴OA=3，∴AB=2， ∴∠ABO=60°，∴∠ABC=90°，∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上， 如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点， ∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，∴△C'KB≌△COB（AAS），∴BK=BO=， ∴C'的纵坐标为2，∴，∴x=1，∴C'（1，2）， 连接C'E交l1于F，∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E， 设直线C'E的解析式为y=kx+b， ∵E（5，0），C'（-1，2），则，∴，∴， ∴，解得x=1，∴F（1，）， 作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q， 在Rt△PQO中，∠POQ=45°，∴，∴PF+OP=PF+PQ≥FQ， 当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小， 过F作FG⊥x轴交l3，于点G，∴△FQG为等腰直角三角形，∴FQ=FG， ∵l3，的解析式为y=x，∴G（1，1），∴FG=1+，∴FQ=+， ∴PF+OP的最小值为+． 40．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】6 【详解】如图所示，作，过点C作于D，则； 在中，当时，，当时，， ∴，∴，， ∴，∴；∵， ∴当有最小值时有最小值，此时B、C、D三点共线， 在中，BD=3，∴的最小值为6． 模型九：一次函数与几何最值综合压轴-其他类型 41．（25-26八年级下·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 将点 向左平移 个单位得到点 ，此时 ， ， 点 与点 分别在 轴两侧， 当 三点共线时， 最小，即 最小， 设直线 的解析式为 ，把 代入得，解得 ， ，当 时，， 点 的坐标为 ． 42．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，直线经过原点O，点C在y轴上，点D为线段上一个动点，若，，则线段长度的最小值为_________． 【答案】/ 【详解】解：设点C到的距离为h，，，， ，，， ，根据垂线段最短，故线段长度的最小值为． 43．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于点、两点，点为线段外一动点，且，以为直角边作等腰直角三角形，其中．连接，求线段长的最大值 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线：与坐标轴交于点、两点， 当时，，即，当时，，即， ∴，是等腰直角三角形，∴， 如图，以为直角边作等腰直角三角形，连接，∴，， ∵等腰直角三角形，，∴， ∴即，∴，∴， ∵，∴∴，当在上时取得等于号， 此时，即线段长的最大值为； ∵等腰直角三角形，在上，∴ ∵∴又∵∴ ∵是等腰直角三角形，∴∴ 如图所示，过点作轴于点，∴是等腰直角三角形，∴ ∵∴，∴．故答案为：；． 44．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴； 设，∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，，∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线，∴，∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时，∴，∴的最小值为， 故选：D． 45．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，C为中点(O为坐标原点)，D点在第四象限，且满足，则线段长度的最大值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵直线分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴，∴，∴， 取中点E，连接、、，作交延长线于M， ∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，故的最大值为，故答案为： 模型十：一次函数与探究规律综合压轴 46．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，从点出发， 过作轴的垂线交于，则的横坐标为，代入得，， 过作轴的垂线交于，则的纵坐标为，代入得，， 过作轴的垂线交于，则的横坐标为，代入得，， 过作轴的垂线交于，则的纵坐标为，代入得，， 过作轴的垂线交于，则的横坐标为，代入得，， 同理，过作轴的垂线交于，则的纵坐标为，代入得，， 观察各点横坐标：， 即横坐标为；横坐标为；横坐标为；， 规律：的横坐标为，的横坐标为， ，即，的横坐标为． 47．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【详解】解：∵，，，，…，， ∴，，，…… ∴，∴． 48．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵∴，∴∴ 将代入，得∴直线的解析式是 将代入∴，∴，，∴， 同理可得，，．．．．．．，∴．∴点的坐标是． 49．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，和，，…分别在直线和x轴上，，，，…都是等腰直角三角形（点，，，…为直角顶点），那么点的纵坐标是________． 【答案】32 【详解】解：过点作轴于点, 是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形， ∴,的横坐标与纵坐标相等， 在直线上．，解得，， 设，则，解得，， 设，则有，解得，， 设，则，解得，， 设，则有，解得，，即点的纵坐标是32． 50．（2026·辽宁丹东·模拟预测）在直角坐标系中，直线与轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点B3，以为边长作等边，…，则等边的中心坐标是_____． 【答案】 【详解】解：设直线与轴的交点为点，过点作交于点， 令，则，解得，∴点的坐标为， ∵是等边三角形，∴的边长为1，， 令，则，∴，则，∴，则， 又∵，∴，∵，∴， ∴，解得，同理可得， 研究规律可得，∴的边长， ∵是等边三角形，，∴，解得，∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入，解得，∴直线的解析式为， ∵轴，∴点与点的纵坐标相等，∴令点与点的纵坐标为， 则点的横坐标为，点的横坐标标，则， ∵，∴，则点的横坐标为； 等边三角形的中心在其三条边的垂直平分线上，如下图所示， ∴，∴， ∴，∴等边中心的横坐标为， 纵坐标为， ∴等边中心的坐标为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $