专题05 实数的十类压轴题（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理和表格对比构建实数压轴题知识体系，系统呈现新定义运算、规律探究、估值比较等十类题型，用对比表格归纳平方根与立方根小数点移动规律，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“问题转化”的方法指导，如新定义运算压轴题通过提取符号与参数将陌生问题转化为已学知识，培养抽象能力与推理意识。设置巩固与强化分层训练，基础题巩固估值技巧，综合题提升分类讨论能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可按需突破。

专题05 实数的十类压轴题 1.读懂实数相关新定义、阅读理解题型，把陌生问题转化为已学实数知识求解。提升阅读理解能力，从题干提取条件，处理符号、参数、隐藏限制条件。 2.会实数估值、比较大小，能借助数轴实现实数与点一一对应，解决数形结合类压轴。 3.掌握实数十类压轴题型的解题套路，能处理多条件综合、多答案、分类讨论问题，规范书写步骤。训练压轴题审题，识别陷阱条件，检验结果的合理性，排除增根、错解。 4.体会分类讨论、数形结合、转化思想，把无理数问题转化有理数分析。 5.克服实数压轴题符号多、条件复杂的畏难心理，养成先定范围、再计算、后检验的解题习惯。 新定义运算压轴：定义陌生运算符号，基于实数运算法则计算。 实数规律探究压轴：根式数列、循环运算，找规律求第 n 项。 无理数整数、小数部分压轴：已知无理数，求整数部分 a，小数部分 b，求含 a、b 代数式的值。 实数与方程结合：平方根、立方根定义列方程，分类讨论，多解。 实际综合压轴：面积、正方形边长等实际情境，结合开方、估值解决问题。 题型01：平方根的新定义问题 1．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算：；；，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（   ）次运算后的结果为1． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，． （1）仿照以上方法计算： ； ．（2）若，写出满足题意的所有x的整数值 ．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对290连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 5．（25-26七年级下·湖南常德·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 题型02 立方根的新定义问题 1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；(2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请解答下列问题： (1)的“青一区间”是______；的“青一区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：．求m的算术平方根的“青一区间”． 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 5．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根。 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______；(3)求x的值：． 题型03 估算类的新材料（新方法）问题 1．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近，的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务：(1)的最初近似值是__；二级近似值是__(2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中） 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：，． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． (1)按照以上方法，可知，此时______； (2)某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即，设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 4．（24-25八年级上·成都·期中）在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值．，，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． ∵，∴，即． ∴的整数部分为2．∴的小数部分为． 材料二：我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中．画出边长为的正方形，如图：根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得．解得．∴． 任务：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；(2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数）．（备注：请画出示意图、标明数据，并写出求解过程） 题型04 平方根的小数点移动规律问题 1.（24-25七年级下·重庆·阶段练习）根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________．(2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 3．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知，则_____． 4.（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)______，______，______； (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数有______个． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）按要求填空：（1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空：已知：，则______；已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 题型05 立方根的小数点移动规律问题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，……小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 2．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 3.（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______；(2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，.①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 5．（25-26七年级下·广东·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答：①已知，则介于哪两个整数之间？②已知，则______．③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 题型06 立方根的性质 1．（24-25七年级下·湖北·阶段练习）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）（1）已知的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．（2）已知与互为相反数，求的值． 4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①；②； ③；④；… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 5．（24-25八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)= ；(2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 题型07 大数的立方根（平方根）求法 1．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是________位数； ②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 3．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题： （一）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，则_____，_____． （2）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根． （二）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，，能确定是两位数； （2）由59319的个位上的数是9，能确定的个位上的数是9； （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此能确定的十位上的数是3； （4）已知110592是整数的立方，按照上述方法，请你直接写出：_____． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 题型08 根式的规律探究 1．（2026·江苏扬州·一模）已知，，，…，设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 3．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 4．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 题型09 实数的相关运算综合 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）阅读下面的文字，解答问题： 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么 ， ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读并理解： 已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值． 解：∵，∴． 根据：有理数部分和无理数部分对应相等， 可得，解得． 请解答：(1)若1，其中a，b为有理数，则____， ______． (2)已知a、b是有理数，若，求的平方根． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 题型10 实数的实际应用 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是 ．（要求：精确到十分位） 2．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________；(2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm；(3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽；(2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【巩固训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 4．（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）定义新运算：对任意实数、，都有，例如：，那么 ． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是______． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是________ ． 10.（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读一：数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”请你解答：已知，其中x是一个整数，且，请你求出的立方根． 阅读二：我们知道时，也成立，若将a看成的立方根，b看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求的值． 【强化训练】 1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 2．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】（3）①计算：_____；②比较大小：_____． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中a、b为有理数，求的值； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 5．（2026·山西·校考一模）阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为， 根据图中面积关系，得， 略去，得，解得，∴， 易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，    (1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可） ．数形结合    ．统计    ．分类讨论    ．转化 (2)把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到） 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1)_____________________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算：； (4)求：． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 9．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且，则，即 ① ． 因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则．所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数． 【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数． 10.（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下面材料，并完成相应任务． 用夹值法估计无理数的大小 通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小． 例：探究的大小． 解：∵，，而，∴． ∵，，而，∴． ∵，，而，∴．…… 如此进行下去，可以得到的更精确的近似值． 任务：(1)根据下表回答问题： x 18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 ①的平方根是______；②______（精确到0.1）； ③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间． (2)请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数的十类压轴题 1.读懂实数相关新定义、阅读理解题型，把陌生问题转化为已学实数知识求解。提升阅读理解能力，从题干提取条件，处理符号、参数、隐藏限制条件。 2.会实数估值、比较大小，能借助数轴实现实数与点一一对应，解决数形结合类压轴。 3.掌握实数十类压轴题型的解题套路，能处理多条件综合、多答案、分类讨论问题，规范书写步骤。训练压轴题审题，识别陷阱条件，检验结果的合理性，排除增根、错解。 4.体会分类讨论、数形结合、转化思想，把无理数问题转化有理数分析。 5.克服实数压轴题符号多、条件复杂的畏难心理，养成先定范围、再计算、后检验的解题习惯。 新定义运算压轴：定义陌生运算符号，基于实数运算法则计算。 实数规律探究压轴：根式数列、循环运算，找规律求第 n 项。 无理数整数、小数部分压轴：已知无理数，求整数部分 a，小数部分 b，求含 a、b 代数式的值。 实数与方程结合：平方根、立方根定义列方程，分类讨论，多解。 实际综合压轴：面积、正方形边长等实际情境，结合开方、估值解决问题。 题型01：平方根的新定义问题 1．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：由题意得：2025， ∴对2025只需进行4次操作后变为2；故选：B． 2.（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算：；；，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（   ）次运算后的结果为1． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：依题意，∵，∴， 即，∴第一次运算：， ∵，∴，∴第二次运算：， ∵，∴，∴第三次运算：， ∵，∴，∴第四次运算：， ∴数字1234经过次运算后的结果为1，故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，． （1）仿照以上方法计算： ； ．（2）若，写出满足题意的所有x的整数值 ．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．（3）对290连续求根整数， 次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是 ． 【答案】（1）5；7；（2）；（3）4；（4）255 【详解】解：（1）；∵，∴，∴，故答案为：5；7． （2）∵，∴，∴， ∴整数；故答案为． （3）∵，，，， ∴对290连续求根整数4次之后结果为1；故答案为：4． （4）∵， ∴对256进行4次连续求根整数运算需要4次结果为1， ∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255． 理由如下：∵， ∴对255进行3次连续求根整数运算需要4次结果为1．故答案为：255． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【答案】(1)4，6；(2)1，2，3；(3)①3次；②255 【详解】（1）解：∵，，， ，即，，， 故答案为：4，6； （2）解：，， ，，∴，或或，故答案为：1，2，3； （3）解：①第一次：，第二次：，第三次：， 第3次之后结果为1，故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，，进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，，进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255，故答案为：255． 5．（25-26七年级下·湖南常德·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 【答案】(1)解：，，这三个数是“优美数组”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“优美数组”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12，∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵，∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意；综上所述，； （3）解：∵三个数是“优美数组”，∴是负整数，且， ∵是整数，∴只需是整数即可， 令（为正整数，且）则， ∵为整数，设，则（为偶数）， 令（t为正整数），则，此时也为整数， ∴（排除，此时；排出，此时）， ∴时，；时，；时，； 以此类推，，为正整数． 题型02 立方根的新定义问题 1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；(2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根(2)(3)，为任意实数(4)或 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：；故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方，∴，∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方，∴为任意实数．故答案为：，为任意实数； （4）解：，∴，∴， ∴，∴或，∴或． 2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____．(2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和(2)；(3)的值为0或． 【详解】（1）解：∵，， 又∵，∴点是“理想点”；∵，， 又∵，∴点不是“理想点”；∵，， 又∵，∴点是“理想点”；故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”，∴，∴，解得； （3）解：∵点是“理想点”，∴，整理可得，∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请解答下列问题： (1)的“青一区间”是______；的“青一区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：．求m的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)；(2)2或(3) 【详解】（1）解：，，，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是，故答案为：，； （2）解：无理数的“青一区间”为，，，即， 的“青一区间”为，， ，即，，，为正整数，或， 当时，，当时，，的值为2或； （3）解：， ∴，，， ∴，，，的算术平方根为， ，，的算术平方根的“青一区间”是． 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出， ∵∴∴不小于的最小整数为3， 即得到的输出数是3；故①是符合题意； 输入数，经过一次变换，即先求出，则 ∴得到的输出数是3；故②是符合题意； ∵输入数经过一次变换得到，∴， ∵，∴，∴， ∴，即，∴，故③是符合题意； ∵再经过一次变换得到1，∴，∴，∴， ∵经过一次变换得到，即不小于的最小整数是， ∵∴的取值范围是． 故④不符合题意；故答案为：①②③ 5．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根。 (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则a的取值范围是______；(3)求x的值：． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方，∴，∴； ∴若有意义，则的取值范围是；故答案为：； （3）解：，∴，∴， ∴，∴或，∴或． 题型03 估算类的新材料（新方法）问题 1．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近，的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务：(1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，与最接近，的最初近似值为； 的二级近似值是； （2）解：设，最初近似值，得， 二级近似值，解得，． 2．（24-25七年级下·江苏南通·期中） 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了改进求算术平方根近似值的方法，其核心思想是通过“以面命之”和“求其微数”来处理开方开不尽的情况．其近似公式可概括为：设N为待开方的正数，若其算术平方根的整数部分为a（即），余数为，则N的算术平方根的近似值为：． ， 即，的整数部分为，的小数部分为． 以为例：，． 代入公式得． 这一结果与现代方法所求近似值虽有误差，但在古代数学中已属先进成果． 任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分等于_______； (2)利用材料二中的方法，的近似值为_______（结果保留两位小数）； (3)已知，其中x为整数，且，结合所给材料，求式子的算术平方根的近似值（结果保留两位小数）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，即， 的整数部分为5，的小数部分为．故答案为：； （2）解：，，，， 代入公式得．故答案为：； （3）解：∵，∴， ∵，且，∴，， ∴， ∴的算术平方根为， ，，，，代入公式得． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）为正整数的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．如：，这与科学计算器计算的结果，很接近． (1)按照以上方法，可知，此时______； (2)某数学兴趣小组提出以下求的方法： 解：，即，设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 请任选一种方法求的近似值精确到． 【答案】(1)25(2)5.8 【详解】（1）解：最接近26的完全平方数25，，故答案为：25； （2）解：方法1：； 方法2：，即， 设，其中，则，即， 当时，可忽略，所以，解得，即． 4．（24-25八年级上·成都·期中）在没有带开方功能的计算器的情况下，我们可以用下面的方法得到（为正整数）的近似值（为正整数），并通过迭代逐渐减小的值来提高的精确度，以求的近似值为例，迭代过程如下： ① 先估计的范围并确定迭代的初始值．，，取． ② 通过计算和得到精确度更高的近似值． 请根据以上信息，完成下面的问题（此题中记，以下结果都要求写成小数形式）： (1)当时，____，________，______； (2)当时，求（精确到 0.001）、的值． 【答案】(1)，，(2)，， 【详解】（1）解：由题干所给的信息分析可得： 当时，将带入得， ∴，； （2）解：当时，将代入得， ∴，． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． ∵，∴，即． ∴的整数部分为2．∴的小数部分为． 材料二：我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中．画出边长为的正方形，如图：根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得．解得．∴． 任务：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；(2)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数）．（备注：请画出示意图、标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，，即， 的整数部分为9，的小数部分为． （2）解：∵面积为123的正方形的边长是，且， ∴设，其中．画出边长为的正方形，如图：   根据图中面积，得， 当较小时，忽略，得，解得．． 题型04 平方根的小数点移动规律问题 1.（24-25七年级下·重庆·阶段练习）根据以下表格里的数据： 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵∴故选：A． 2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________．(2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10(2)①0.245；②600 【详解】（1）根据算术平方根的定义得，故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，所以由可知，故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，，所以的值为600． 3．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知，则_____． 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位求解即可． 【详解】解： ∴． 4.（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)______，______，______； (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数有______个． 【答案】(1)15.6；154；0.152(2)158，(3)306 【详解】（1）解：由表格可知，，；，； ，．故答案为：15.6；154；0.152； （2）解：， 又，， 与158最接近； ，． （3）解：对两边同时平方可得， 计算可得，的取值范围是， 则满足条件的整数的个数为个．故答案为：306． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______；已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析（2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，，填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，，∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴；故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 题型05 立方根的小数点移动规律问题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． （3），，，……小数点的变化规律是_______________________． （4）已知，，则______． 【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01 【详解】解：（1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873； （3），，，…… 小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4）∵，，∴， ∴，∴y=-0.01． 2．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：根据图表中的规律得，，故答案为：． 3.（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______；(2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，.①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10(2)(3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；；故答案为：0.1；10； （2）解：∵，，∴，故答案为：； （3）解：①； ；故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则，∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①，，介于整数12和13之间； ②，； ③设正方体的棱长为a米，则，由②知， ；，（平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 5．（25-26七年级下·广东·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答：①已知，则介于哪两个整数之间？②已知，则______．③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵，∴∴介于整数12和13之间； ②∵∴故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则，，（平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 题型06 立方根的性质 1．（24-25七年级下·湖北·阶段练习）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】，，或者，，或者， 【详解】，， ∵一个数的立方根等于本身，所以这个数可以是0,1，-1 ∴，或者，或者，∴，或，或， ∵与，∴， ∴，∴，∴， 当时，，当时，，当时，， 即，，或者，，或者，． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数，即，解得，故选：． 3（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）（1）已知的立方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．（2）已知与互为相反数，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【详解】解：（1）根据题意，可得，，， 解得，，，∴，∴的平方根为； （2）根据题意，可得， ∴，解得，∴，． 4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①；②； ③；④；… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则，解得：． ∴ 5．（24-25八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)= ；(2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求的值． 【答案】(1)(2)3(3)，；，；， 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵，∴和 互为相反数，∴，∴；故答案为：3． （3）解：，即，∴或1或 解得：或3或1 ∵与互为相反数，即，∴，即， ∴时，；当时，；当时，． 题型07 大数的立方根（平方根）求法 1．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是________位数； ②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7， ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是4；因，而，所以选择较小的个位数字，则． (2)，理由如下： ①由，可以确定是两位数； ②由3136的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是4或6， ③如果划去3136后面的两位36得到数31，而，，可以确定的十位上的数是5；因，而，所以选择较大的个位数字，则． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【详解】解：， 又，， ∴能确定314432的立方根是个两位数．314432的个位数是2， 又，∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68，故答案为68． 3．（24-25七年级下·陕西延安·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是 ． 【答案】42 【详解】解：设74088的立方根是， ，∴可以确定是两位数， ，∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方，∴确定的个位数字是2，即．故答案为：42 ． 4．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题： （一）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，则_____，_____． （2）已知是的整数部分，是它的小数部分，求的平方根． （二）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： （1）由，，，能确定是两位数； （2）由59319的个位上的数是9，能确定的个位上的数是9； （3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此能确定的十位上的数是3； （4）已知110592是整数的立方，按照上述方法，请你直接写出：_____． 【答案】（一）（1），3；（2）；（二）48 【详解】解：（一）（1）∵，∴，∴， ∵∴，∴ （2）∵，∴，∴，， ∴，∴的平方根为． （二）由，，而，则110592的立方根也是两位数； 由110592的个位数字是2，因此可知110592的个位数字为8， 划去110592后面的三位592得到数110，而，， 由此可以确定义110592的十位数字为4；所以110592的立方根，即． 5．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 【答案】(1)①二；②9；③；(2)①；②；③；④． 【详解】（1）解：①因为，，， 所以是两位数．故答案为：二； ②因为只有个位数字是，所以个位数字是．故答案为：9； ③划去后面三位得，，，， 所以十位数字是，故 ．故答案为：； （2）解：①，，，是两位数；个位， 因为个位是，所以个位是； 划去后三位得，，，，十位是，即 ． ②，，，是两位数（实际是 ，按步骤：个位，个位，个位是； 划去后三位得，，，，十位是 ），即 ． ③，，，是两位数；个位， ，按步骤：个位，个位，个位是；划去后三位得，，，，十位是，即 ． ④，，，是一位小数；个位，， ，这里看小数， ，按步骤：个位（对应个位 ）；，，在与之间，划去后三位（小数三位 ）得，接近，更准确计算得 ． 题型08 根式的规律探究 1．（2026·江苏扬州·一模）已知，，，…，设（为正整数），则值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 3．（25-26七年级下·河北唐山·期中）阅读观察下列算式，探究规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： (1)计算：； (2)计算：； (3)按照你所发现的规律，猜想第个等式：（为正整数）=________． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：，，； （3）解：． 4．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵． 根据数阵规律，第八行第十三个数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一行有个数，第二行有个数，第三行有个数，，第行有个数， 前行包含第行数的总个数为：， 第八行数的个数为：，前八行包含第八行数的总个数为：， 根据规律，可知第八行的最后一个数为：， ，，第八行第十三个数是故选：D． 题型09 实数的相关运算综合 1．（24-25七年级下·广东珠海·期中）阅读下面的文字，解答问题： 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______； (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值； (3)若，其中x是整数，且，求． 【答案】(1)3，(2)1(3) 【详解】（1）解：∵，即，∴的整数部分为3，即， ∵，即∴的小数部分为，即故答案为：3，； （2）解：∵，∴，∴的小数部分为，即； 由可得，，∴， ∴的小数部分为，即；∴． （3）解：∵，即，∴， ∴的整数部分为12，小数部分为，∴， 又∵，其中x是整数，且，∴， ∴，∴． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么 ， ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)－1或－5 【详解】（1）解： ，其中m是整数，且，故答案为：，． （2）解： 的整数部分为b的立方根为． （3）解：且，解得， 当时，当时， 答：的值为或． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中、为有理数，那么_________，_________； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根； (3)若、都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)  (2)的算术平方根为5(3)的立方根为1或 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，，，，故答案为：；； （2）解：，， ∵a、b为有理数，∴，解得：，∴，∴其算术平方根为5； （3）解：，， ∴，解得：或， ∴∴当，时，，的立方根为1； 当，时，，的立方根为． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读并理解： 已知a、b是有理数，并且满足等式，求a、b的值． 解：∵，∴． 根据：有理数部分和无理数部分对应相等， 可得，解得． 请解答：(1)若1，其中a，b为有理数，则____， ______． (2)已知a、b是有理数，若，求的平方根． 【答案】(1)，2(2) 【详解】（1）解：，∴， ∴，解得，故答案为：，2； （2）解：∵，∴，∴， ∴，解得，∴，∴的平方根为． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题： (1)若m、n均为有理数，且，求的立方根； (2)若m、n均为有理数，且，求和的值． 【答案】(1)1 (2)， 【详解】（1）解： ，其中，均为有理数， ，．解得，， 则，1的立方根为1，的立方根为1． （2）解：将原式整理，得，即， ∵m、n均为有理数，，．解得，． 题型10 实数的实际应用 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，则x的取值范围是 ．（要求：精确到十分位） 【答案】 【详解】解：∵一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为x厘米，∴， ，，∴．故答案为：． 2．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________；(2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm；(3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)能，理由见详解 【详解】（1）解：∵，∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为；故答案为：； （2）解：∵，∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为；故答案为：； （3）解：能，理由如下：设长方形纸片的长为，宽为，则有：，解得，， ∵为长方形的长，∴，∴，则长为，∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）蓝印花布是中国传统镂空版白浆防染印花工艺品，被列入国家级非物质文化遗产名录，其以蓝白两色为主，图案朴素优雅，具有深厚的文化底蕴． 现有一块长方形蓝印花布面料，长和宽之比为，面料面积为． (1)求这块长方形蓝印花布面料的长和宽； (2)某工人想用这块面料沿着与边平行的方向裁出一块面积为的正方形布料，他能裁出来吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为(2)不能裁出来，理由见解析 【详解】（1）解 ：设这块长方形蓝印花布面料的长为，宽为，其中 已知面料面积为，根据长方形面积公式可得： 整理得 化简得 因为， 所以 因此长为，宽为。 这块面料长为，宽为 ； （2）解：设裁出的正方形布料边长为，其中 已知正方形面积为，可得： 因为， 所以 因为长方形面料的宽为，且，， 所以， 即正方形边长大于长方形面料的宽， 因此不能裁出来 答：他不能裁出来符合要求的正方形布料． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 【答案】/6厘米 【详解】解：设圆柱体玻璃杯的底面半径为. 由正方体体积公式可得，正方体铁块的体积为：. 水位上升部分水的形状为圆柱体，由圆柱体体积公式可得，上升部分水的体积为：. 根据题意可得方程：化简方程得：∴ 因为圆的半径为正数，因此． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【答案】 【详解】解：根据题意，图1中五个小正方形的总面积为，∴大正方形的面积为5， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式得，解得(负值舍去)．故答案为：． 【巩固训练】 1．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵，∴，D正确． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，剪掉的两个小正方形的边长分别为，； 由图可知，大正方形的边长为，所以剩余部分的面积为． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．8和9之间 【答案】C 【详解】解：当，时，， ∵，∴，∴该微观粒子的能量的值在6和7之间．故选：C． 4．（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（    ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 【答案】A 【详解】解：由题意，，，∴，， ∴m为有理数，n为无理数，故选：A． 5．（25-26八年级上·河北唐山·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确 【答案】B 【详解】解：甲：当时，，正确；乙：时，，错误； 丙：当时，，正确；故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为___________． 【答案】 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为，∴大正方形的边长为．故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）定义新运算：对任意实数、，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，故答案为： 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是______． 【答案】 【详解】解：由题意知第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步计算结果为， 第7步计算结果为，…… 运算的结果以，，，，，六个数为周期循环， ∵，∴第步之后显示的结果为，即， ∴输入的数是．故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是________ ． 【答案】 【详解】解：， 故 的算术平方根是 ．故答案为：． 10.（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读一：数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”请你解答：已知，其中x是一个整数，且，请你求出的立方根． 阅读二：我们知道时，也成立，若将a看成的立方根，b看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求的值． 【答案】阅读一：19；阅读二：（1）见解析；（2）1 【详解】解：阅读一：∵，∴，∴， ∵，其中x是一个整数，且，∴，， ∴； 阅读二：（1）设两个数的立方根分别为和，那么这两个数分别为， ∵，∴当两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数； （2）∵与互为相反数，∴，∴， ∴． 【强化训练】 1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6560 D．6561 【答案】C 【详解】解：∵，，，∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，∴m的最大值为6560．故选：C． 2．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1)(2)②，③(3) 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵，∴是“望一”数对； ③∵∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，，…… ，，，， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】（3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【答案】（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【详解】解：（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①∵∴的四次方根是； ②0的四次方根是0；③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）①；故答案为：；②，∴．故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中a、b为有理数，求的值； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)，3(2)9(3)1或 【详解】（1）解：∵，其中a、b为有理数， ∴，，∴，，故答案为：，3； （2）解：∵， ∴，解得，∴； （3）解：∵，∴，，∴，， 当，时，，1的立方根为1； 当，时，，的立方根为．∴的立方根为1或． 5．（2026·山西·校考一模）阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为， 根据图中面积关系，得， 略去，得，解得，∴， 易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，    (1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可） ．数形结合    ．统计    ．分类讨论    ．转化 (2)把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到） 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想，故选：； （2）根据图中面积关系，得，整理得， 略去，得，解得，∴ 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1)_____________________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算：； (4)求：． 【答案】(1)；(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， （2）解：； ； ； ． …… ； （3）解： ． （4）解： ． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25；(2) 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：，第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵，∴，∴直角三角形的面积， ∴，∴，故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，见解析 (2) 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下：，，，且6，3，2都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24，这两个数的乘积为576， 当时，则， ，， ，，此时符合题意； 当时，则不符合题意；． 9．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且，则，即 ① ． 因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则．所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数． 【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；②(2)见解析 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且，则 即． 因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且），则．所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则，所以， ∵a，b是整数且不为0，∴a为6的倍数．设（n是整数），∴，∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾，∴是无理数． 10.（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下面材料，并完成相应任务． 用夹值法估计无理数的大小 通过学习，我们知道很多正有理数的算术平方根或立方根是无理数，例如，，，等都是无理数，我们可以用有理数近似的表示它们，一般用科学计算器进行计算．当没有计算器时，我们可以用夹值法估算其大小． 例：探究的大小． 解：∵，，而，∴． ∵，，而，∴． ∵，，而，∴．…… 如此进行下去，可以得到的更精确的近似值． 任务：(1)根据下表回答问题： x 18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 ①的平方根是______；②______（精确到0.1）； ③请直接写出在表中哪两个相邻的数之间． (2)请仿照上述方法求在哪两个相邻的数之间（精确到0.1）． 【答案】(1)①；②；③在和之间(2)在和之间 【详解】（1）解：①∵ ，∴的平方根是；故答案为：； ②∵，∴；故答案为：； ③∵，，∴在和之间； （2）解：∵，，而，∴． ∵，，而， ∴，∴在和之间． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $