江苏省常州高级中学、镇江第一中学、南京市第二十九中学2026-2027学年高三上学期10月调研测试数学试题

2026年10月数学学科调研测试答案及评分标准 2026.10 一、选择题： 1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．B 二、选择题： 9．BCD 10．ACD 11．ABC 三、填空题： 12． 13．11 14． 四、解答题： 15．解：（1）由及，得， 因为，所以， 即，整理得， 即． 4分 因此，或，其中， 即或，其中． 因为不符合条件，所以． 因为，，所以，故． 6分 （2）由正弦定理得，又，， 又，则，解得， 8分 所以， 所以， 因为，所以，得， 因为，所以，得，于是，． 11分 所以的面积． 13分 16．解：（1）当时，，， 因为时，有， 1分 所以当即时，取最小值； 4分 当即时，取最大值42； 7分 （2）． 当时，，又，则，， 故，与的最小值为矛盾； 10分 当时，，从而当，即时，取最小值． 又因为的最小值为，所以，即， 而为锐角，，则； 15分 17．（1）在三棱柱中，，又，所以， 1分 因为平面平面，平面平面，， 且平面，则平面， 4分 又平面，则， 又，，平面，平面． 5分 （2）由（1）可知平面，，平面， 所以且，又由题设，因此，，，两两垂直， 以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，，所以，，， 设的坐标为（）， 由于， ，所以， 解得， 8分 所以，则， 所以，，， 设，其中，，所以， 设平面的法向量为，，， 则，令，则，，所以， 10分 设平面的法向量，，， 则，令，则，， 所以， 12分 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 因为，所以，所以， 14分 化简得，又，解得，此时． 15分 18．（1）当时，函数，定义域为，且， 令，，列三行表如下： 1 + 0 - 极大值 当时，取极大值，无极小值． 3分 （2）． ①当时，则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令得，令得或， 故在，上单调递增，上单调递减． ③当时，（仅处取等），故在上单调递增． ④当时，令得，令得或， 故在，上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，上单调递减． 11分 （3）（），则． ①当时，，在单调递增，且无最小值； 当时，取， 则，矛盾； 当时，恒成立，符合条件． 13分 ②当时，令得，令得，则在上递减，在上递增，故最小值为， 令得，解得，又因为，所以． 16分 综上所述，的取值范围是． 17分 19．解：（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为，所以． 3分 （2）因为，所以． 设切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个零点，所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为． 8分 （3）存在，理由如下：因为，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 11分 所以的所有极大值为， 当时，极大值为0，即． 当为正整数时，极大值均小于0，所以在无零点． 当为负整数时，极大值均大于0，的所有极小值为 ， 当时，极小值， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点（）处的切线为切线，等价于有三个零点， 等价于，即有解． 14分 令（），则， 所以在单调递增，又， 注意到（）的值域为，所以存在，使得， 则，又图象不间断， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月数学学科调研测试试卷 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，是不共线的向量，且，，，则 A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 3．已知正实数，满足，则的最小值是 A．6 B．8 C．12 D．16 4．已知为锐角，，，若，则 A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，已知，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 A． B． C． D． 6．若函数是上的单调函数，则实数的取值集合为 A． B． C． D． 7．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则 A． B． C． D． 8．已知函数，其中，为自然对数的底数．若将曲线绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是某函数的图象，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知单位向量，满足，则 A． B． C． D． 10．已知函数的极大值为4，则下列说法正确的是 A． B．函数有3个零点 C．若，则 D．过点有且仅有2条直线与函数的图象相切 11．已知三个内角满足，则下列结论正确的是 A． B． C． D．若的面积为3，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，是函数（）的两个极值点，且的最小值为，当的图象向左移动（）个单位后为一个偶函数的图象，则实数的最小值为 ▲ ． 13．设分别为定义在上奇函数和偶函数，若，则曲线与曲线在区间上的公共点个数为 ▲ ． 14．在棱长为3的正四面体中，是棱上一点，且，过点作平面使得，且平面分别交，，于点，，．若，则四边形的面积为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 16．（本题满分15分） 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求在区间上的最值及取最值时的值； （2）若的最小值为，求． 17．（本题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，四棱锥的体积为，点在线段（不含端点）上运动． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 18．（本题满分17分） 已知函数，． （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）令，若恒成立，求的取值范围． 19．（本题满分17分） 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线?若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $