江苏南京市中华中学2026-2027学年高三上学期10月综合练习数学试题

中华中学2027届高三年级10月综合练习 高三数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BD 10．ABD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．4 14．700 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）（2） 【详解】（1）由方程，得，即，解得或， 由方程的两根为和，得，，解得，， 又，因此，所以． 5分 （2）当时，函数， 当时，，则当时，；当时，， 因此当时，函数的值域为， 8分 函数，在上都单调递增，则函数在上单调递增， ，即， 因此当时，函数的值域为， 10分 由对任意的，都存在，使得， 得函数在上的值域包含于函数在上的值域，即， 于是，解得， 所以的取值范围是． 13分 16．解：（1）取中点，连接，． ，， 在菱形中，，可得为等边三角形，， 2分 又，平面，且， 平面， 4分 平面，． 6分 （2），平面平面，平面平面， 且平面，平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 8分 假设存在点满足题意，设，， 则， ， 10分 ，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，． 12分 设与平面所成角为， 则， 解得或． 存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或． 15分 17．【答案】（1）（2） 【详解】（1） ，，， ， 化简得， 即， 即， 3分 在锐角中，，即， ， 又即， 4分 ，即， ． 6分 （2）由余弦定理得， 又，， 8分 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为9，此时，是等边三角形，且， 10分 又， 即， 12分 又，． 函数在上单调递减， 当时． 15分 18．【答案】（1） （2）当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）2． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． 3分 （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 5分 若，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故， 8分 因此当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 9分 （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增， ，且，，， 故存在，使， 又，故， 则当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 故，为的两个极小值点，且满足则 11分 令，得 则， 12分 令， 则， 令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，， 故在内存在唯一零点，即， 14分 且当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 16分 故整数的最大值为2． 17分 19．【答案】解：（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件， 则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后， ①前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为 ； 2分 ②每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为； 4分 所以． 5分 （2）由题意知的所有可能取值为1，3，5， 当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，， 所以， 当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，， 所以， 当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，， 所以， 所以的分布列为： 1 3 5 所以． 10分（概率一个1分，数学期望2分） （3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件， 则某次跳动后距离起点处个单位为事件， 则事件包含以下情况： ①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为 ； 12分 ②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，相应概率 ； 16分 所以， 所以， 即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2027届高三年级10月综合练习 高三数学 本卷考试时间：120分钟 总分：150分 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为（ ） A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．同时抛掷4枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，记4枚骰子的点数之和为，当等于（ ）时，事件发生的可能性最大． A．12 B．13 C．14 D．15 6．某质点从单位圆上的点开始沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，则该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为（ ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A． B． C． D． 8．冯哈伯公式用于计算正整数幂的和，平方和公式是其中一个特例．已知定义在上的函数满足，，且，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．设A，B为两个相互独立的随机事件，且，，则下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知不是直角三角形，内角，，所对边分别为，，，，则（ ） A． B．的最大值为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图象的对称中心坐标为_________． 13．已知函数满足恒成立，则最小值为_________． 14．设，对于有序数组，记为其中包含的不同整数的个数．如，，，．当取遍个有序数组时，的总和为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知且，函数，． （1）方程的两根为和，且，求的值； （2）当时，对任意的，都存在，使得，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的菱形，，，是的中点，点在侧棱上． （1）求证：； （2）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（本小题满分15分） 在锐角中，，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，求边上的高长的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值． 19．（本小题17分） 某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，k可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为k个单位时，则连续向起点处跳动k次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动． （1）若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率； （2）若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处X个单位，求X的分布列与数学期望； （3）若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $