专题11 锐角三角函数计算压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题11 锐角三角函数计算压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 题型二、同角关系式化简求值 题型三、互余关系求值 题型四、构造直角三角形求值（网格、坐标系） 题型五、由三角函数值求锐角 题型六、增减性与比较大小 题型七、综合压轴题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法一 · 定值代入法 题目中一旦出现30°、45°、60°角，先将对应的三角函数值准确代入，再按实数的运算顺序（先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号先算括号）逐步化简。关键是把“三角计算”转化为“实数运算”。 通法二 · 定义还原法 求某个锐角的三角函数值时，回到“对边、邻边、斜边”的定义本身：先锁定该角所在的直角三角形（或补作高构造直角三角形），再写出三边之比。定义求值永远是最可靠的起点。 通法三 · 关系式转化法 凡出现 sin²+cos² 的和、 的比等结构，优先运用同角关系 sin²A+cos²A=1 与 tanA=化简；出现互余角（和等于90°）时，用互余关系把角统一后再合并。 通法四 · 构造图形法 在网格、坐标系或非直角三角形情境中求三角函数值时，通过作高、连线或过点作坐标轴的垂线，把所求角放进一个可解算的直角三角形里，再用勾股定理求边长。 通法五 · 整体代入法 当三角函数式含有未知角、含参数或与方程、函数结合时，先把 sin²+cos² 等恒等式看作整体，或将已知比值整体代入，避免求出具体角而陷入计算繁琐。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）计算：． 题型模版 1.定值代入法：先把三个特殊角的值逐一代入，再合并同类二次根式。 2. 【变式1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）计算： 【变式3】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2) 题型二、同角关系式化简求值 【典例2】．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 题型模版 1. 2. 【变式1】．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（    ） A．tanA= B．sin2A+sin2B=1 C．sin2A+cos2A=1 D．sinA=sinB 【变式2】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）已知为锐角，tan2sin 30，那么_____°． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 题型三、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例3】．（2024九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知，则锐角的取值范围是______． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 题型四、构造直角三角形求值（网格、坐标系） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为__________． 【典例5】．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出，并写出的坐标__________； (2)的正弦值为__________． 题型模版 1.构造图形法：过 A 作 AH⊥BC 于 H，把 ∠ABC 放进 Rt△ABH。 【变式1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）在正方形网格中，在网格中的位置如图，则_______． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)_______；_______ ； (2)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为：； (3)在网格中找到点，使得，并写出点的坐标_________． 题型五、由三角函数值求锐角 【典例6】．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）若，则锐角的度数应是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知，则锐角_____．（填写的度数） 【变式3】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）（1）计算：．         （2）求中锐角α的值． 题型六、增减性与比较大小 【典例7】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【变式3】．（22-23九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 题型七、综合压轴题 【典例8】．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式1】．（2024·安徽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【变式3】．（2024·安徽蚌埠·三模）如图1，在中，，，，点D是斜边的中点，点E是边上一动点，连接，过点D作，交线段于点F． (1)求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 3．如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 4．在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．因为 ， ，所以，我们发现：一般地，当α为锐角时，有，由此可知的值是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·安徽亳州·一模）我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为正方形内一点，，连接，在边上取一点，使得，连接，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，垂足为点D，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知中，，则_____（用、、填空）． 10．若角是直角三角形的两个锐角，则的值为________． 11．在中，均为锐角，且满足，则___________． 12．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 三、解答题 12．计算： 13．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）计算： 14．若，，为的内角，试确定三角形的形状． 15．如图，已知在中，于点，，，． 求： (1)的长； (2)的值． 16．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，， (1)求的长； (2)求的值． 17．定义：如图，在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝ ．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C＝30°． （1）若∠A＝45°，求thi A的值； （2）若thi A＝，则∠A＝ °； （3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系． 18．（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 19．观察下列等式： ①sin30°=，cos60°=； ②sin45°=，cos45°=； ③sin60°=，cos30°=． （1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 20．如图直角三角形中，的度数为． (1)如果，计算 (2)如果为锐角时，计算 (3)根据（2）的计算结果计算 21．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数计算压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 题型二、同角关系式化简求值 题型三、互余关系求值 题型四、构造直角三角形求值（网格、坐标系） 题型五、由三角函数值求锐角 题型六、增减性与比较大小 题型七、综合压轴题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法一 · 定值代入法 题目中一旦出现30°、45°、60°角，先将对应的三角函数值准确代入，再按实数的运算顺序（先乘方、开方，再乘除，后加减；有括号先算括号）逐步化简。关键是把“三角计算”转化为“实数运算”。 通法二 · 定义还原法 求某个锐角的三角函数值时，回到“对边、邻边、斜边”的定义本身：先锁定该角所在的直角三角形（或补作高构造直角三角形），再写出三边之比。定义求值永远是最可靠的起点。 通法三 · 关系式转化法 凡出现 sin²+cos² 的和、 的比等结构，优先运用同角关系 sin²A+cos²A=1 与 tanA=化简；出现互余角（和等于90°）时，用互余关系把角统一后再合并。 通法四 · 构造图形法 在网格、坐标系或非直角三角形情境中求三角函数值时，通过作高、连线或过点作坐标轴的垂线，把所求角放进一个可解算的直角三角形里，再用勾股定理求边长。 通法五 · 整体代入法 当三角函数式含有未知角、含参数或与方程、函数结合时，先把 sin²+cos² 等恒等式看作整体，或将已知比值整体代入，避免求出具体角而陷入计算繁琐。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊角三角函数值的混合运算 【典例1】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值运算即可． 【详解】解：原式 题型模版 1.定值代入法：先把三个特殊角的值逐一代入，再合并同类二次根式。 2. 【变式1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】根据，计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值计算，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，先计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，算术平方根，然后计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的实数的混合运算，特殊角的锐角三角函数值，求一个数的算术平方根，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值，算术平方根和负整数指数幂运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二、同角关系式化简求值 【典例2】．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 题型模版 1. 2. 【变式1】．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（    ） A．tanA= B．sin2A+sin2B=1 C．sin2A+cos2A=1 D．sinA=sinB 【答案】D 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可． 【详解】根据同角的三角函数的关系：tanA=,sin2A+cos2A=1,sinB=sin(90°−A)=cosB，可知只有D不正确. 故选D. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 【变式2】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）已知为锐角，tan2sin 30，那么_____°． 【答案】45 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】先由特殊角三角函数值求出tanα，再求出α的值即可. 【详解】∵tan2sin 30， ∴tan2×=1， ∴α=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查了锐角三角函数.熟记三角函数值是解答此题的关键. 【变式3】．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值． 【答案】 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】根据，，可得，，代入所求式子可得答案． 【详解】解：为锐角，，得 ， ． ． 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用，是解题关键． 题型三、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【典例3】．（2024九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）已知，则锐角的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角函数值的性质，根据，且随着的增大而减小，随着的增大而增大，即可得出结果． 【详解】解：∵，且随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∴当时，； 故答案为： 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、求角的正切值、根据特殊角三角函数值求角的度数、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 题型四、构造直角三角形求值（网格、坐标系） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为__________． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．利用网格构造直角三角形，再找到对应的斜边长，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， ∴在中，，， ∴ ∴． 故答案为：． 【典例5】．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出，并写出的坐标__________； (2)的正弦值为__________． 【答案】(1) 解：如图所示，为所求作三角形，           (2) 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求角的正弦值 【分析】本题考查坐标与位似，求角的正弦值，熟练掌握位似的性质，正弦的定义，是解题的关键： （1）根据位似的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）设的中点为，连接，勾股定理及其逆定理推出，位似的性质，得到，进而得到，即可． 【详解】（1）略 （2）如图，设的中点为，连接，则：，，， ∴， ∴， ∵以点为位似中心，将缩小为原来的得到， ∴， ∴． 题型模版 1.构造图形法：过 A 作 AH⊥BC 于 H，把 ∠ABC 放进 Rt△ABH。 【变式1】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质，取格点，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，由网格的特征可得，得到，由即可得出结果． 【详解】解：如图，取格点，连接， ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，且， 由网格的特征得， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）在正方形网格中，在网格中的位置如图，则_______． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理，求角的余弦值，作于，设小正方形的边长为，则，，由勾股定理可得，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于， ， 设小正方形的边长为，则，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)_______；_______ ； (2)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为：； (3)在网格中找到点，使得，并写出点的坐标_________． 【答案】(1)； (2) 如图，即为所求． (3) 如上图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求， 由图可得，点的坐标为． 【知识点】线段垂直平分线的性质、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求角的正切值 【分析】本题考查了解三角形，作位似作图，垂直平分线的性质，熟练掌握相应的作图方法是解题关键． （1）根据网格构造直角三角形即可求解； （2）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点即可； （3）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： 由正方形网格的特征可知，， 在中，， 在中，，， ， 故答案为：；； （2）略 （3）略 题型五、由三角函数值求锐角 【典例6】．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）若，则锐角的度数应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，由可得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）已知锐角满足，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了锐角三角函数的特殊值，解题的关键是熟知特殊角的余弦值． 根据特殊角的余弦值，由得出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：因为，且是锐角，所以， 解得． 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知，则锐角_____．（填写的度数） 【答案】/30度 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 通过解方程得到的值，再根据特殊角的三角函数值确定锐角A的度数． 【详解】解∶∵， ∴． ∵是锐角，且， ∴． 故答案为∶． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）（1）计算：．         （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型六、增减性与比较大小 【典例7】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【答案】A 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题主要考查了三角函数，利用互余角的三角函数转换关系，将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小． 【详解】解：， ， 在范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又， ， 即． 【变式1】．（25-26九年级上·安徽六安·期中）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互余两角三角函数的关系、特殊角三角函数值的混合运算、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【知识点】已知角度比较三角函数值的大小 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 【变式3】．（22-23九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． (1)若，，，试比较、的大小； (2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由： 由（1）得，， ， ， ． 【知识点】已知正弦值求边长、已知角度比较三角函数值的大小 【分析】（1）根据三角函数的定义，分别表示出，进而根据角度比较函数值的大小即可求解； （2）同（1）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 在中，， ， 又， ； （2）解：略． 【点睛】本题考查了正弦的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键． 题型七、综合压轴题 【典例8】．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【知识点】根据三角形中线求长度、用勾股定理解三角形、求角的正弦值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识点，熟知锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，解直角三角形求出，再运用线段的和差即可解答； （2）根据三角形中线的定义求出，进而求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，由勾股定理得：． 在中，， ，解得， ． （2）解：是边上的中线，， ， 在中，由勾股定理得：， ． 【变式1】．（2024·安徽·一模）已知的三个内角，，的对边分别为，，． 观察：若， 则有，． ． 模仿：已知，． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数综合 【分析】本题考查三角函数边角关系，及三角形面积． （1）根据题意，观察式子由边角关系即可求解； （2）先求出c的值，由边角关系求出，根据即可求解． 【详解】（1）解：由观察可知，， ， ； （2）解：， 由观察得， ， ， 又由观察得， ， ． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】全等三角形的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【变式3】．（2024·安徽蚌埠·三模）如图1，在中，，，，点D是斜边的中点，点E是边上一动点，连接，过点D作，交线段于点F． (1)求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数待知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点D作于点G，作于点H，先证明四边形为矩形，再根据点D是斜边的中点，得到，，再证明即可求解； （2）过点F作于点M，由勾股定理求出，得到，再得到，利用三角函数即可求解； （3）延长至点N，使，连接和，设，根据勾股定理求出，点D是斜边的中点，得到，再证明，得到，，，再进一步得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点G，作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ， ∴，即， ∵点D是斜边的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作于点M，在中，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长至点N，使，连接和，设， 由已知可得，， 在中，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的三角函数定义及勾股定理的应用，根据题意，可设，，利用勾股定理求出，再根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，， ∴设，， 由勾股定理得：， 在中， ． 故选：D． 2．当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 【答案】C 【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答． 【详解】∵cos60°=，cos30°=， ∴30°＜∠A＜60°． 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单． 3．如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、正切的定义等知识点．如图：连接，再利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图：连接， 设每个小正方形的边长为1， 则由勾股定理得：，，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 4．在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，三角形内角和定理等知识．由题意得，，即，由、都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可，熟练掌握特殊角的三角函数值，非负数的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 、都是锐角， ， ， ， 故选：B． 5．因为 ， ，所以，我们发现：一般地，当α为锐角时，有，由此可知的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用，将原式变形进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6．（2025·安徽亳州·一模）我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，新定义，根据，得到，进而得到，再根据新定义，代值计算即可． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 由题意，． 故选：D． 7．如图，为正方形内一点，，连接，在边上取一点，使得，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求特殊角的正弦值．先利用证明求得，，，过点P作于点M，证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，， 如图，过点P作于点M， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，中，，垂足为点D，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．已知中，，则_____（用、、填空）． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义表示出与，结合直角三角形斜边大于直角边的性质比较大小即可． 【详解】解：在中，， 设的对边为，邻边为，斜边为，则， ∵，，，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 10．若角是直角三角形的两个锐角，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键，还要熟记特殊角三角函数值．根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为： 11．在中，均为锐角，且满足，则___________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角函数的计算，偶次幂、绝对值的非负性，利用非负数的性质，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求． 【详解】解：∵ ，，且它们的和为0， ∴ ，， 即 ，， ∵ 均为锐角， ∴ ， ∴ ． 12．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则___________． 【答案】 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【详解】解：由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 三、解答题 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算顺序是解题关键． 先分别计算乘方、二次根式、特殊角三角函数值和负整数指数幂，再按运算顺序合并同类项，最终得到结果． 【详解】解：原式 ． 13．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，将特殊三角函数值代入，按照实数混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 14．若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【答案】为直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据非负数的性质得出，进而求得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由， 得， 则， 度． 为直角三角形． 15．如图，已知在中，于点，，，． 求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． ∴的值为． 16．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，， (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键． （1）根据锐角三角函数分别求出，即可得到的长； （2）求出的长，根据锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解：在中， ， ， 在中，， ， ， ； （2）是的垂直平分线， ， ， 在中， ． 17．定义：如图，在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝ ．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C＝30°． （1）若∠A＝45°，求thi A的值； （2）若thi A＝，则∠A＝ °； （3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系． 【答案】（1）thiA＝； （2）60或120； （3）thiA＝2sinA 【知识点】三角函数综合 【分析】（1） 根据已知找到BC和AB的关系，依据定义计算出答案即可； （2） 过点B向AC所在直线作垂线，根据thi A＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°． （3） 根据题意，由thiA＝， sinA＝， sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案． 【详解】（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H． 在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH． 在Rt△BHA中，sinA＝＝ ，即AB＝BH． ∴thiA＝＝． （2）如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵thi A＝， ∴thi A＝＝=， ∴设AB=x，则BC=， ∵∠C=30°，∠BDC=90°， ∴BD=， 在Rt△ABD中，sinA=， ∴∠A=60°； 如下图所示时，则∠BAC=120°， 故答案为：60或120． （3）在Rt△ABC中，thiA＝． 在Rt△BHA中，sinA＝． 在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH． ∴thiA＝2sinA． 18．（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）解直角三角形可得，，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，，得到，则可证明是等腰直角三角形，则； （2）根据特殊角三角函数值可得的度数，进而可得答案； （3）构造解析图中的，可证明；同理可证明，解直角三角形得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接， 在中，， 在中，， ∴ 由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）∵，均为锐角，，， ∴， ∴； （3）如图所示，， ∴， ∴， ∴； 由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．观察下列等式： ①sin30°=，cos60°=； ②sin45°=，cos45°=； ③sin60°=，cos30°=． （1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°-α）= ． （2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°． 【答案】（1）1（2） 【详解】分析： （1）观察、分析所给等式可得：，结合即可求得本题的答案为1； （2）把原式化为（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°，再结合（1）中所得结论进行计算即可求得本题答案. 详解： （1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°-α）=cosα， ∴sin2α+sin2（90°-α）= sin2α+cos2α=1； （2）由（1）中结论可得： sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245° =1+1+…1+ =44+ =． 点睛：本题的解题要点是：（1）；（2）. 20．如图直角三角形中，的度数为． (1)如果，计算 (2)如果为锐角时，计算 (3)根据（2）的计算结果计算 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值求解即可； （2）由余弦的定义及勾股定理即可求解； （3）由（2）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由（2）知， ． 【点睛】掌握余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． 21．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $