专题03 函数与几何图形的综合（填空题2种题型30道）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（安徽专用）

专题03 函数与几何图形的综合（填空题2种题型30道） 目录 【题型1反比例函数与几何图形的综合】 1 【题型2 二次函数与几何图形的综合】 8 【题型1反比例函数与几何图形的综合】 1．（2024·安徽六安·二模）如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A． B．18 C． D．6 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知点，分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为 ． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交双曲线于点C，且，点A在双曲线上． （1）若点A的横坐标为2，，则m的值是 ； （2）在（1）的条件下，若，则点C的坐标是 ． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知，在中，，其底边在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将沿折叠；点A落在点的位置，若反比例函数的图象经过的中点C，且点A的坐标为，则k的值为 ． 7．（2024·安徽·三模）如图 ，为坐标原点，过第一象限上的点 作 轴于点，交反比例函数的图象于点 ，作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为． （1）   ； （2）连接 交反比例函数的图象于点， 若，则四边形的面积为 ． 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为 ． 9．（2023·江苏南京·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为，则的值为 ． 10．（2024·安徽合肥·二模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线、的交点与坐标原点重合，与y轴的交点为E．已知点，且． （1）双曲线恰好经过点D，则k的值为 ； （2）若经过点E的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的关系式为 ． 11．（2024·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长交轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．    ①若，设点A的横坐标为a，点的横坐标为b，则a与b关系为______； ②在①的条件下，若的面积是，则k的值为______． 12．（2024·安徽合肥·三模）如图，把一块直角三角板（）的直角顶点放在坐标原点处，顶点在函数的图象上，顶点在函数的图象上，则＝ ． 13．（2024·安徽池州·三模）如图，已知点，以点O为圆心，长为半径画弧交反比例函数的图象于点B，连接，若线段与该反比例函数图象的另一交点C恰为的中点，则k的值为 ． 14．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在第一象限，点．双曲线（，）把分成两部分，与边，分别交于C，D两点，若． （1）k的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 15．（2024·安徽淮北·二模）如图，是等边三角形，在轴上，已知，反比例函数的图象交于点． （1） ． （2）反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 16．（2023·安徽池州·三模）如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    17．（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ． 18．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为 ，的坐标为 ． 19．（2024·安徽安庆·二模）如图，点A 、B在反比例函数 图象上，直线交x 轴于点C，过点B 作 垂足为D．已知，， 求 k 值． 20．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，反比例函数的图象经过边OA的中点C．    （1） ． （2）若反比例函数的图象与边AB交于点D，则 ． 【题型2 二次函数与几何图形的综合】 21．（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   22．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A．B． C． D． 23．（2024·安徽合肥·一模）如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 24．（2022·广东湛江·模拟预测）如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   25．（2023·安徽·一模）如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A．B．C．D． 26．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 27．（2022·山东聊城·二模）如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 28．（2022·安徽滁州·二模）如图，在中，，，，点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，直到两点都到达点即停止运动．设点，运动的时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 29．（2022·安徽合肥·三模）如图，菱形的边长为6，，点E为的中点，动点P以2的速度沿A→B→E运动，动点Q以1的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为s，的面积为y，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（    ）    A．  B．  C．   D．   30．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数与几何图形的综合（填空题2种题型30道） 目录 【题型1反比例函数与几何图形的综合】 1 【题型2 二次函数与几何图形的综合】 32 【题型1反比例函数与几何图形的综合】 1．（2024·安徽六安·二模）如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（    ） A． B．18 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是关键．先求出点、坐标，再求出线段的中点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，依据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可． 【详解】解：矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上， ，3，， 线段的中点坐标为， 为矩形， 线段的中点坐标为也是线段中点的坐标， ，， 解得，， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：B 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知点，分别在反比例函数，的图象上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点M，过点作轴于点，根据反比例函数中k的几何意义得，，利用相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：如图，分别过点，作轴于点，轴于点． 根据反比例函数中k的几何意义得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，证出，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键． 3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴，B，D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将其代入得：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 4．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，点在对角线上，且满足，反比例函数的图像经过点、与相交于点，的面积为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，作轴于点E，证明，得出，根据，得出，设点，则，点，，根据，求出结果即可． 【详解】解：作轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则，点，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交双曲线于点C，且，点A在双曲线上． （1）若点A的横坐标为2，，则m的值是 ； （2）在（1）的条件下，若，则点C的坐标是 ． 【答案】 4 【分析】（1）过点A作轴，垂足为D，则，利用勾股定理可求得，即可得点，将点A代入反比例函数即可求得； （2）过点C作轴，过点B作，垂足分别为H，G，则，即可判定为等腰直角三角形，结合平行线的性质可知，则．求得，则有点C的横坐标，代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作轴，垂足为D，则． 点A的横坐标为2， ． 在，由勾股定理得， 点在双曲线上， ， ． （2）如图，过点C作轴，过点B作，垂足分别为H，G，则． ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ， ， 点C的横坐标为． 由（1）知双曲线的解析式为． 点C在双曲线上， ， ， ． 【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的结合，涉及勾股定理、待定系数法求解析式、等腰三角形的判定和性质和平行线的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质和等腰三角形的性质． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知，在中，，其底边在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将沿折叠；点A落在点的位置，若反比例函数的图象经过的中点C，且点A的坐标为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于D，证明，再证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质得出，解直角三角形求得，从而得到，进一步求得点C的坐标，代入即可求得k的值． 【详解】解：延长交于D， 在中，， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 点A的坐标为，， ， ， ，， ， 点C是的中点 ， ， 点C在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判断和性质，三角形内角和定理，解直角三角形，坐标与图形变化-对称，求得点C的坐标是解题的关键． 7．（2024·安徽·三模）如图 ，为坐标原点，过第一象限上的点 作 轴于点，交反比例函数的图象于点 ，作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为． （1）   ； （2）连接 交反比例函数的图象于点， 若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】（）利用比例系数的几何意义即可求解； （）延长交轴于，易得，设点的坐标为，则，根据，得，，，然后利用面积和差即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， ∴， 故答案为：； 延长交轴于，易得， 设点的坐标为，则， ∵， ∴，，， ∴四边形的面积． 8．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】设交于，交于点，设，则，，证明，，相似三角形性质求出，最后运用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设交于，交于点，设，则，， ，点A在双曲线上， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学会利用参数解决问题是解题的关键． 9．（2023·江苏南京·一模）如图，点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数图象上，连接，，且轴，轴，．若点的横坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 先根据题意确定点的坐标，再点的坐标的特征表示出的坐标，最后根据列方程即可解答． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点在上， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， 即 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，都是原方程的解， ∴，（舍去）， ∴， 故答案为． 10．（2024·安徽合肥·二模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线、的交点与坐标原点重合，与y轴的交点为E．已知点，且． （1）双曲线恰好经过点D，则k的值为 ； （2）若经过点E的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的关系式为 ． 【答案】 8 或 【分析】（1）根据题意得到，利用相似求出点坐标即可得到反比例函数值； （2）分两种情况：经过点E的直线平行于x轴和经过点E的直线不平行于x轴，利用中点坐标公式求出点坐标，设经过点的直线解析式为，与反比例解析式联立方程后根据判别式求出值即可得到直线解析式． 【详解】（1）如图交轴于点，交轴于点， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴轴 （菱形的两条对角线垂直）， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ， ． ， ， ，即，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：8． （2）∵ ∴ ∴ ∴点E是的中点 ，， ， 当经过点E的直线平行于x轴时， 此时与（1）中的双曲线仅有一个交点， ∴经过点E的直线表达式为； 当经过点E的直线不平行于x轴时， 设经过点的直线解析式为， 经过点的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点， ，整理得：， ， 解得， 直线解析式为：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 11．（2024·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长交轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．    ①若，设点A的横坐标为a，点的横坐标为b，则a与b关系为______； ②在①的条件下，若的面积是，则k的值为______． 【答案】①；②6 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是运用等高的两个三角形，面积比等于底边之比； ①过点B作于点F，连接，证，即可求出a与b关系； ②根据等高的两个三角形，面积比等于底边之比，求出，再利用面积公式建立方程，即可求出k； 【详解】①过点B作于点F，连接，    设点A的坐标为，点B的坐标为，则，，， ， ， 轴于点， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②的面积是，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：6； 12．（2024·安徽合肥·三模）如图，把一块直角三角板（）的直角顶点放在坐标原点处，顶点在函数的图象上，顶点在函数的图象上，则＝ ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数和锐角三角函数，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据，为直角三角形，设，则，设，证得，根据三角函数可得点，点，将两点坐标代入和即可求得． 【详解】解：过点、分别作轴于点，轴于点，如图所示， ，为直角三角形，设， ， 设， ， ，又， ， 在中，，， 点， 在中，，， 点， 点在上， ，得， 点在上， ， ． 故答案为：3． 13．（2024·安徽池州·三模）如图，已知点，以点O为圆心，长为半径画弧交反比例函数的图象于点B，连接，若线段与该反比例函数图象的另一交点C恰为的中点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．连接，过点B作于点D，过点C作于点E，先求得E为的中点，且，可得，从而求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接，过点B作于点D，过点C作于点E， 则， ， ， ∵C为的中点， ∴E为的中点，且， 又∵点B，C都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点A在第一象限，点．双曲线（，）把分成两部分，与边，分别交于C，D两点，若． （1）k的值为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，由等边三角形的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，设，则，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，在中，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，进而可得，将、两点坐标代入双曲线，由此即可求出的值； （2）过点作轴于点，过点作于点，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由平行线分线段成比例定理可得，由三线合一可得，由勾股定理可得，进而可得，由（1）得，易证得四边形为矩形，于是可得，进而可得，连接，由三角形的面积公式可得，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）得，则，，于是可得，由三角形的面积公式可得由此即可求出的面积． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 是等边三角形， ， ， ， 设， 则， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 又、在双曲线上， ， ，， ，， 故答案为：； （2）如图，过点作轴于点，过点作于点， ，， ， 是等边三角形，且轴， ，， ， ， 由（1）得：， 且易证得四边形为矩形， ， ， 如图，连接， ， ， 轴，轴， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三线合一，矩形的判定与性质，三角形的面积公式，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 15．（2024·安徽淮北·二模）如图，是等边三角形，在轴上，已知，反比例函数的图象交于点． （1） ． （2）反比例函数的图象交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）过点D作交于点G，过点D作交于点H，证明，结合，是等边三角形，求出，再利用等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，得到，代入即可求出； （2）过点A作交于点P，根据等边三角形的性质易得，求出直线的解析式，联立，求出点C的坐标，利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：过点D作交于点G，过点D作交于点H， ， ， ，是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点A作交于点P， 是等边三角形，， ，， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 联立，即， 解得：或（舍去）， 则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，坐标与图形，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，综合较强，正确作出辅助线，构造相似是解题的关键． 16．（2023·安徽池州·三模）如图，菱形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，对角线、的交点在第一象限，反比例函数的图像经过点，已知轴． （1）若菱形的面积为6，则的值为 ． （2）若反比例函数的图像与边交于点，则 ．    【答案】 3 【分析】（1）由，可得，由，即可求出k的值； （2）过A点作轴，过F点作于H点，构造相似三角形．设，，由“相似三角形对应边成比例”列比例式得，即，求出的值即可得的值． 【详解】（1）， ． ∵E点在反比例函数的图像上， ， ， ， ， 故答案为：3． （2）过A点作轴，过F点作于H点，    则． 设，， 则， ，， ， ， ，，，， ， 得， ， 解得或（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识，及数形结合的思想是解题的关键． 17．（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知． 【详解】过点A作于点E，于点F， ， ， 轴， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， ． 18．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、，分别在x轴和y轴的正半轴上，、横坐标相等，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则正方形的面积为 ，的坐标为 ． 【答案】 4 【分析】过点作轴于点C，根据正方形的性质，反比例函数的性质，构造一线三直角全等模型，一元二次方程的解法，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解方程是解题的关键． 【详解】过点作轴于点C， 正方形， 则， ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上，且、横坐标相等， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故正方形的面积为4， 故答案为：4； 过点作轴于点D，过点作轴于点E，轴于点F， ∵正方形， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故， 故答案为：． 19．（2024·安徽安庆·二模）如图，点A 、B在反比例函数 图象上，直线交x 轴于点C，过点B 作 垂足为D．已知，， 求 k 值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，再利用三角形相似进行求解．设，则，作轴于点，证明，通过三角形相似，得到的长度，利用反比例函数表示出点的坐标，然后通过减去表示出的长度，最后根据表示出，再结合题目中，计算出． 【详解】设，则，作轴于点， 轴， ， ， ，， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 20．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，是边长为4的等边三角形，反比例函数的图象经过边OA的中点C．    （1） ． （2）若反比例函数的图象与边AB交于点D，则 ． 【答案】 【分析】（1）利用角的直角三角形的性质结合勾股定理求出点C坐标即可； （2）先求直线AB与反比例函数图像的交点，再过点D作的垂线，解三角形即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点E，    ∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵ C为 中点，轴， ∴在中，， ∴，∴， ∴点C坐标为，代入，得， 故答案为：． （2）解：过点A作于F，过点D作于H，    同理可求点，而， 设，代入A、B得： ， 解得：， ∴ 联立：， 解得： 或（舍）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数交点的求解，以及锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 【题型2 二次函数与几何图形的综合】 21．（2024·安徽合肥·三模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，   ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断B正确， 故选：B． 22．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 23．（2024·安徽合肥·一模）如图所示，直角边为2的等腰直角三角形和长为4宽为2的矩形在同一水平线上，等腰直角三角形沿该水平线从左向右匀速穿过矩形．设穿过的时间为x，等腰直角三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系．此题可分为三段求解，当或或时，列出面积随动点变化的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为， ∴， 当时，如图， ∴， ； 当时，如图， ； 当时，如图， ， ， ∴与之间的函数关系， 由函数关系式可看出D中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：D． 24．（2022·广东湛江·模拟预测）如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数的解析式与图像，利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图像即可解答． 【详解】∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 当时，如图所示，    则，，，， 此时， 此时函数图像为开口向上的一段抛物线； ②∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 当时，如图所示，    则，，，， 此时， 此时，函数图像是线段的一部分； ③当时，如图，   ，    ∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 则， ，， 则，，，， 此时， 此时函数图像为开口向下的一段抛物线； 故选：A． 25．（2023·安徽·一模）如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作于M，过点B作于N，交于F，得到四边形是矩形，即，证明，列得，求出，即可得出函数关系式，由此判断图象． 【详解】过点D作于M，过点B作于N，交于F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，又， ∴函数图象是以直线为对称轴的抛物线，位于x轴上方的部分， 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，求函数关系式，判断函数图象，正确掌握相似三角形的判定求出是解题的关键． 26．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 27．（2022·山东聊城·二模）如图，点P，Q从边长为2的等边三角形的点B出发，分别沿着，两边以相同的速度在的边上运动，当两点在边上运动到重合时停止．在此过程中，设点P，Q移动过程中各自的路程为x，所得的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3两部分讨论，当0≤x≤2时，得到，由于当2＜x≤3时，四个选项图象相同，根据二次函数图象与性质即可求解． 【详解】解：如图，当0≤x≤2时，作QD⊥BP，垂足为D， 由题意得△BPQ是等边三角形， ∴BD=BP=x， ∴QD， ∴， ∴当0≤x≤2时，y是x的二次函数，且开口向上，对称轴为y轴， 由于当2＜x≤3时，图象相同， ∴A选项符合条件． 故选：A 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的图象与性质等知识，理解题意，分类讨论，得到y与x的函数关系式进而确定图象是解题关键． 28．（2022·安徽滁州·二模）如图，在中，，，，点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，直到两点都到达点即停止运动．设点，运动的时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，可分为三种情况分别讨论：①当点P在AB边，点Q没有到点C处；②当点P在AB边，点Q到达点C处；③当点Q在点C，点P在BC边． 【详解】∵，，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，， ∴，△APQ的高， 当点Q到达点C时，即当时，点P在AB边上， ∴分三种情况讨论： ①当点P在AB边，点Q没有到点C处，即时， ； ②当点P在AB边，点Q到达点C处，即时， ∵， ∴△APQ的高， ； ③当点Q在点C，点P在BC边，即时， ∵，，， ∴，， ， 综上根据函数解析式可得图象， 故选D． 【点睛】本题主要考查动点运动，三角形面积以及函数的图象．分情况进行讨论是解答本题的关键． 29．（2022·安徽合肥·三模）如图，菱形的边长为6，，点E为的中点，动点P以2的速度沿A→B→E运动，动点Q以1的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为s，的面积为y，则y与x之间的关系用图象大致可表示为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，分别求出解析式即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ①当点P在上运动，即时，   ，， 过点P作于点N， ∵是等边三角形， ∴， ∴在中，， ∴， 即y与x之间的函数解析式为； ②当点P在上运动，即时，   ， 过点P作于点M， ∵是等边三角形， ∴， ∴在菱形中， ∴在中，， ∴， 即y与x之间的函数解析式为； 综上所述，y与x之间的函数解析式为， 图象为：  ． 故选：B 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解题的关键． 30．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． / 学科网（北京）股份有限公司 $$