高频专练10 锐角三角函数（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

高频专练10锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 题型1 概念辨析 题型2求三角函数值（重） 题型3已知函数值求边长 题型4特殊角三角函数值的混合运算（高频） 题型5由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型6根据特殊角三角函数值求角的度数 题型7已知角度比较三角函数值的大小 题型8根据三角函数值判断锐角的取值范围（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 ◆题型1 概念辨析 1．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 3．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 4．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． ◆题型2求三角函数值 5．在中，，，则的长为（ 　 　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 6．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 7．如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，那么两角的正弦值相等，由此可求出的长． 【详解】解： ． ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． ◆题型3已知函数值求边长 9．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，求角的正切值，勾股定理．根据正弦定义求出对边，再利用勾股定理求出邻边，最后根据正切定义求解，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ， ∴， ∵， ∴， 则根据勾股定理，， ∴， 故选：A 10．在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】解：， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 11．如图，在中，，平分交于点D．若，，则_______．    【答案】/0.5 【分析】本题主要考查求角的正弦值，角平分线的定义，根据角平分线的定义得出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：平分， ∴， ∴， 在中，， 故， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． ◆题型4特殊角三角函数值的混合运算 13．计算： 【答案】 【详解】解：原式． 14．计算： 【答案】 【分析】把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解； （2）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ◆题型5由特殊角的三角函数值判断三角形形状 17．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 18．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 19．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 20．在中，若，则是________． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． ◆题型6根据特殊角三角函数值求角的度数 21．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 22．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 23．在锐角中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，，然后根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：C． 24．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，根据可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． ◆题型7已知角度比较三角函数值的大小 25．______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 26．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 27．若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 28．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数比较大小，根据“”将题干三角函数统一，然后根据“锐角的余弦值随角增大而减小”比较大小按要求排列即可. 【详解】解：， 当为锐角时，的值随的增大而减小， ； 故答案为：． ◆题型8根据三角函数值判断锐角的取值范围 29．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用锐角正弦值随角度增大而增大的性质，结合已知特殊角的正弦值求解范围． 【详解】解：∵是锐角，且，又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 30．已知在中，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意解得、、的度数，进而根据余弦定理判断、选项，根据三角形的边和角的关系判断选项，根据正弦定理和三角函数的三倍角公式解得，进而判断选项． 【详解】解：由题意可得，， 设，则，， ，解得， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， ， 选项错误，选项正确； 大角对大边，可知， 选项错误； ， ， 由三角函数的三倍角公式可得，， 由正弦定理可得，， 当时，， ， 解得， ，与矛盾，故选项错误． 31．当锐角的时，的值为（    ） A．小于 B．小于 C．大于 D．大于 【答案】A 【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析． 【详解】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°． 故选：A． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 32．若tanA=2，则∠A的度数估计在（    ） A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 【答案】D 【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握是解题的关键. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 2．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和正切三角函数的应用，熟练掌握正切三角函数的概念是解题的关键．先用勾股定理求出的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴, ∴． 故选：D． 3．如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据两个正切值求出、，即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为B． 【点睛】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比邻边． 4．在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得角度，进而判断三角形的性质即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 是等腰直角三角形． 故选B 【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（    ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．陡缓程度与的三角函数值无关 【答案】C 【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A不符合题意； B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，故C符合题意； D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数定义与性质，熟记值越大越大；值越小越大；值越大越大是解决问题的关键． 7．如图，在中，，于，平分交于，，．则的值为（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据正弦的定义得出，设，则，勾股定理求得，，，过点作，交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】于， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ， 在中，， ，解得（不合题意，舍去）， ，，， 过点作，交的延长线于点，   平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握是解题的关键． 二、填空题 8．若，，都是锐角，则的度数是_______． 【答案】/105度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出，以及熟知特殊角的三角函数值． 题目已知，由非负数的性质可得，，即可得，，根据特殊角的三角函数值求得，的度数，再利用三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ，都是锐角， ，， ， 故答案为：． 9．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 三、解答题 10．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频专练10锐角三角函数 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 题型1 概念辨析 题型2求三角函数值（重） 题型3已知函数值求边长 题型4特殊角三角函数值的混合运算（高频） 题型5由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型6根据特殊角三角函数值求角的度数 题型7已知角度比较三角函数值的大小 题型8根据三角函数值判断锐角的取值范围（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 锐角三角函数 ◆题型1 概念辨析 1．在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 ◆题型2求三角函数值 5．在中，，，则的长为（ 　 　） A．4 B． C． D． 6．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 7．如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 8．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． ◆题型3已知函数值求边长 9．在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．在菱形中，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 11．如图，在中，，平分交于点D．若，，则_______．    12．如图，在中，，，，求，，的值． ◆题型4特殊角三角函数值的混合运算 13．计算： 14．计算： 15．计算： (1)． (2)． 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． ◆题型5由特殊角的三角函数值判断三角形形状 17．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 18．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 19．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 20．在中，若，则是________． ◆题型6根据特殊角三角函数值求角的度数 21．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 22．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 23．在锐角中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． ◆题型7已知角度比较三角函数值的大小 25．______（选填“”或“”或“”）． 26．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 27．若，，，则由小到大的顺序为______． 28．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． ◆题型8根据三角函数值判断锐角的取值范围 29．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知在中，，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 31．当锐角的时，的值为（    ） A．小于 B．小于 C．大于 D．大于 32．若tanA=2，则∠A的度数估计在（    ） A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间 C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 6．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（    ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．陡缓程度与的三角函数值无关 7．如图，在中，，于，平分交于，，．则的值为（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 二、填空题 8．若，，都是锐角，则的度数是_______． 9．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 三、解答题 10．计算： (1) (2) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高频专练10锐角三角函数 常考题型·精准突破 ●考点一锐角三角函数●— ◆题型1概念辨析 1.B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据锐角三角函数的定义： 正切：tanA=2,tanB=b b b a; 正弦：sinB= b 余弦：CosA= 对式子逐一分析： 因为tanA= =方可得a=btanA,并非a=ctand,所以①不成立； 因为sinB= 。,等式两边同乘。：可得b=csin B:所以②成立： b 因为cosA= ,等式两边同乘c,得到b=ccosA'所以③成立： 因为tanA=g ,等式两边同乘b,有a=btanA,所以④成立； 因为tanB a可得b=atanB,不是c=banB: 所以⑤不成立. 综上，②③④成立，能成立的个数有3个 故选：B 2.D 【详解】解：∠BAC=90°，AD⊥BC, ..sin B=AD BC ABAB,故A错误； cos B=BD AD ABAB 故B错误； 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.tanC= ABAB AC BC, 故C错误； ·tanC=AD , 故D正确， 故选：D 3.D 【详解】解：A· sin A=a 。，正确，故该选项不符合题意： a B cos B= ,正确，故该选项不符合题意： a C,aA=6，正确，故该选项不符合题意； b D·tanB= =。,原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D. 4.A 【详解】解：，∠C=90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∠A的大小没有变， .twA的值不变. 故选：A 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°.把锐角A的对边a与斜边c的比叫 做∠A的正弦，记作sA. ◆题型2求三角函数值 5.B 【详解】解：如图， B C 在Rt△ABC中，∠C=90,AB=6' COSB=2 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC 2 ∴AB3 :BC=4B=4, 3 .AC=VAB2-BC2=V62-42=2V5 6.6 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜AB, ∴.1+∠A0D=90°，∠2+∠B0C=90°， ,∠1=∠2， .∠AOD=∠BOC, :an∠A0D=3 4’ tam∠Boc 4 在RtAOBC中，∠OBC=90°，OB=8, .tan∠BoC= C_BC_3 OB 84 .BC=6 7.6 【详解】解：DE⊥AB, ∴.∠B+∠BDE=90° ∠C=90°，∠A+∠B=90°. .∠BDE=∠A, .·sin∠BDE=sinA= BC3 AB 4' AB=8, .BC=2×8=6, 4 故答案为：6. 8.125 【详解】解：在RtABCD中，BC=12,BD=8√3， ∴cos∠CBD=BC=12V5 BD852, 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBD=30°， 'BD平分∠ABC, ∠ABC=60°， 在R△HBC中，am60e-C=4S-V5 BC=12 AC=125 ◆题型3已知函数值求边长 9.A 【详解】解：在Rt△4BC中，∠C=90, Sin4=3 5, ∴.sinA= BC 3 AB=5, .BC=3, 则根据勾股定理，AC=√AB2-BC2=√25-9=4， .tand=BC_3 AC 4' 故选：A 10.B 【详解】解：·sinA=4 , 设DE=4x,则AD=5x,AE=3x, BE=2, .AB=3x+2. AB=AD, .3x+2=5x, .x=1, .DE=4, :BD=√DE2+BE2=V42+22=2W5, Cos∠DBE= BE 25 BD2V5-5· 故选：B. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. 210.5 【详解】解：BD平分∠ABC, .∠CBD=∠DBA, .sin∠DBA=sin∠CBD 在Rt△BDC中，sin∠CBD=CD=3-1 BD62· 故sin∠DBA= 2 1 故答案为：2： 12.sing= 4, ,tanB= cosB=3 3 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,BC=4, .AC=VBC2-AB2=V42-32=√7， BC=4,CosB=AB、3 ∴sinB=AC-V万 Bc4,tanB=AC、V7 AB 3 ◆题型4特殊角三角函数值的混合运算 13.2 【详解】解：原式 12-2,2.2. 22 +2 5 14.2 1 2 【详解】解： 原式=22 113 -2+22 5 15.- (2)3V3-1 【详解】(1)解：2sin30°-3tan45°+cos60° 5/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2x-3x1+ 1 2 -1-3+2 1 (2)解：2sin60°+4cos60°.tan60°-2cos245° -2x54*5-2 2 2 2 =V3+25-1 =33-1. 16.(1)5-V5 (2)2 (3)1 c0s45 1 【详解】(1)解：sin45 +2sin60°，tan60°- tan30°+tan45o =1+2x 2×V5-5+1 2 =1+3-V5+1 =5-V3; (2)解：sin45°.cos45°+4tan30°.sin60° -5x5+4x5x日 22 32 5 (3)解：cos60°-2sin245°+2tan60-sin30 3 2)2 2 -1+2-1 2 2 =1 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5由特殊角的三角函数值判断三角形形状 17.C 【详解】解：.sin4=5 2’tanB=V3, .∠A=60°，∠B=60°， .∠C=180°-∠A-∠B=60° ∴△ABC是等边三角形， 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意. 故选：C 18.D 【详解】解：~sinA=cos(90°-g= 2 .∠A=45°，90°-∠C=45°， 即∠A=45°，∠C=45°， ∠B=90°， 即△ABC为直角三角形， 故选：D 19.等边 2 【详解】解：simA-27t2cosB】 =0 小根据绝对值和平方均非负，sinA-5 1 =0, --cos B=0 2 sin A=3 1 ，CosB= 2 ∠A、∠B为锐角， .∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°， ∴.△ABC为等边三角形. 20.等腰直角三角形 【详解】根据题意，得 √2 V2sinA-1=0’2 -cos B=0. 可得 7111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin A= 2,cosB= √ 2. 则 ∠A=∠B=45° 所以，∠C=90° 所以，△ABC为等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形， 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记30°，45°，60°的锐角三角函数值是解题 的关键。 ◆题型6根据特殊角三角函数值求角的度数 21.A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C为直角， .tan B=4C_v23 BC63, .∴.∠B=30° 22.B 【详解】解：cos45°=V2 ， 为锐角， .a-10°=45°， .a=55° 23.C 【详解】解：1simA3+amB-少=0 .sin4-3 0,tanB-1=0' sin =3 2’tanB=1' .∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-60°-45°=75°. 故选：C 24.A 【详解】解：2cosA=1, 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .'.cosA 2 .∠A=60°， :∠C=90°， .∠B=90°-60°=30°， 故选：A. ◆题型7已知角度比较三角函数值的大小 25.< 【详解】解：：cos57°=sin(90°-57)=sin33°，且sin33°<sin53°， .cos57°<sin53°， 故答案为：<. 26. < 【详解】(1)解：由正切函数随角增大而增大，得0>34°： (2)解：由正切函数随角减小而减小，得tana<tan62°： 故答案为：(1)>；(2)<. 27.b<a<c 【详解】解：cos48°=sin42°<sin48°<1，tan48°>tan45°=1， ∴.b<a<c. 故答案为：b<a<c, 28.sin41°<cos46°<cos37°<cos21° 【详解】解：sin41°=cos49°， 当a为锐角时，cosc的值随a的增大而减小， ∴.sin41°<cos46°<cos37°<cos21°： 故答案为：sin41°<cos46°<c0s37°<cos21° ◆题型8根据三角函数值判断锐角的取值范围 29.A 【详解】解：“a是锐角，且sin30°= ,又：当a为锐角时，sina随角度的增大而增大， 1 :由sina>2可得a>30, ,锐角满足a<90°， 9111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .30°<a<90°. 30.B 【详解】解：由题意可得，∠A:∠B:∠C=6:3:2, 3 设∠C=x,则∠B=,∠A=3x, 3 3x+二x+x=180°，解得x= 360° 2 11, ∠A=3x=1080 98.18°>90，∠C=x=360 ≈32.73° 11 11 .cos <0. 由余弦定理可得，cosA= 6+c2-d<0, 2bc 即b2+c2-a2<0, b2+c2<a2, ∴A选项错误，B选项正确： :大角对大边，可知a>c, ∴C选项错误； ∠A=3∠C, .'sin A=sin3C, 由三角函数的三倍角公式可得，sin3C=3sinC-4sin3C, asind sin3C=3-4sin'C, :.由正弦定理可得，c=sinc=sinC 当a>2c时，e =3-4sim2C>2, ∠C>0° 解得0<sinC<, .∠C<30°，与∠C≈32.73°矛盾，故D选项错误. 31.A 2 【详解】解：根据c0s45°=，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45， 故选：A. 【点睛】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键. 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.D 【详解】解：：tan60°=V3<tanA=-2, .∠A>60°， ∴.60°<∠A<90°. 故选：D. 【点時】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握an30= 3 ,tan45°=l,tan60°=V5是解题的关键. 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.B 二、填空题 8.105°/105度 8 9.15 三、解答题 10.(1)解：sin30°.cos45°-tan45°+tan30°.tan60° =1x2 22 1 ×V3 3 =5-1+1 4 4； +(sin60°-1)°-2cos30°-(1-tan60） (2)解： =2+1-2× --5) 2 =2+1-√5-1+5 =2. 11/11