专题05 一次函数与二元一次方程（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题5.5 一次函数与二元一次方程 1.‌理解函数与方程的关系‌：掌握一次函数图像与二元一次方程解之间的对应关系，即一次函数图像上的点坐标均为对应二元一次方程的解，反之亦然； 2.‌掌握转化方法‌：能将二元一次方程（如 2x-y-3=0）转化为一次函数形式（如 y=2x-3），并反之； 3.‌应用数形结合思想‌：通过图像法求二元一次方程组的解，理解交点坐标与方程组解的对应关系； 4.‌解决实际问题‌：综合运用函数、方程等知识解决行程问题等实际应用。 1．一次函数与二元一次方程组 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。（如图1） 图1 图2 图3 2．一次函数与一元一次方程 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标a，所以对应方程kx+b=0的解为x=a。（如图2） 3．一次函数与一元一次不等式 当k>0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x>a；反之，kx+b<0的解集是x<a。（如图2） 当k<0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x<a；反之，kx+b<0的解集是x>a。（如图3） 题型01 一次函数与一次方程的解 【典例1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）一次函数的图象如图所示，那么方程的解是__________． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）直线过点和点，则关于x 的方程的解是____________ 【变式2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【变式4】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 题型02 一次函数与二元一次方程组的解 【典例1】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为______． 题型03 一次函数与不等式 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集． 题型04 一次函数与函数大小比较 【典例1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 题型05 一次函数与方程、不等式综合 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于的不等式的解集是 D．的解集为 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第三象限； ③不等式的解集是；④．其中正确的有（     ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【变式3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线经过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接，．则下列结论：①方程组的解为；②；③为直角三角形；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 一次函数与面积综合问题 【典例1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案．方程的解是______．方程组的解是______．不等式的解集是______．不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ．(1)直接写出二元一次方程组 的解______； (2)直线 上是否存在点 C，使 与 的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线：经过点，，且与轴交于点． (1)求直线的表达式；(2)直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组的解为______；(3)直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 【变式4】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点． (1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围． 题型07 一次函数与新定义、探究规律 【典例1】（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上江苏·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【巩固训练】 1.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2.（25-26八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ． 4.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 5.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 7.（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出一次函数数的图象，并利用图像完成下列问题： (1)方程的解是____；(2)当______时，；当时，相应的取值范围是________． 8．（24-25八年级上·江苏南京·月考）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； (2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 9.（25-26八年级上·广西崇左·月考）直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ． (1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积． 10．（25-26八年级下·湖北宜昌·阶段练习）一次函数图像经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，求的值．(3)将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，求的解析式． (4)若的图像与y轴交于点C，求的面积. 【强化训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（   ） A．B．C． D． 2.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论：①方程组的解为；②不等式的解集为， ③当时，；④关于的方程的解为．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 5．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ． 9．（24-25七年级下·重庆江北·期末）阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． (1)以下选项中在方程的图像上的点有________． ①    ②    ③    ④ (2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值． (3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标． 10.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，(1)如图1：当时，求证：；(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 一次函数与二元一次方程 1.‌理解函数与方程的关系‌：掌握一次函数图像与二元一次方程解之间的对应关系，即一次函数图像上的点坐标均为对应二元一次方程的解，反之亦然； 2.‌掌握转化方法‌：能将二元一次方程（如 2x-y-3=0）转化为一次函数形式（如 y=2x-3），并反之； 3.‌应用数形结合思想‌：通过图像法求二元一次方程组的解，理解交点坐标与方程组解的对应关系； 4.‌解决实际问题‌：综合运用函数、方程等知识解决行程问题等实际应用。 1．一次函数与二元一次方程组 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。（如图1） 图1 图2 图3 2．一次函数与一元一次方程 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标a，所以对应方程kx+b=0的解为x=a。（如图2） 3．一次函数与一元一次不等式 当k>0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x>a；反之，kx+b<0的解集是x<a。（如图2） 当k<0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x<a；反之，kx+b<0的解集是x>a。（如图3） 题型01 一次函数与一次方程的解 【典例1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）一次函数的图象如图所示，那么方程的解是__________． 【答案】 【详解】解：由函数图象可得，直线与轴交点的横坐标为，即方程的解是． 【变式1】（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）直线过点和点，则关于x 的方程的解是____________ 【答案】 【详解】解：∵直线过点和点， ∴直线与x轴交点的坐标为，∴关于的方程的解为． 【变式2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴相交于点， ∴关于x的方程的解是． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知函数（）的图象经过点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【详解】解：函数（）的图象经过点， 当时，，关于的方程的解为. 【变式4】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是，∴当时，， ∴方程的解是，故答案为：． 题型02 一次函数与二元一次方程组的解 【典例1】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若直线与直线的交点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，解得：，∴直线与直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解是． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为，故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为，故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， 又∵直线与相交于点，∴该方程组的解为． 【变式4】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数和的图象的交点坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入，可得，∴方程组的解为， ∵两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴一次函数和的图象的交点坐标为． 题型03 一次函数与不等式 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为，故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【详解】解：由函数的图像可知， 当时，，故A选项错误，不符合题意； 方程的解是，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式的解集是，故D错误，不符合题意．故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】B 【详解】解：A、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论错误，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论正确，符合题意； C、根据图象可知，不等式的解集是，而当时，不等式的解必为小于0的数，故原结论错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，一次函数图象在直线的上方，则不等式的解集是，原结论错误，不符合题意；故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为，∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得，当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 题型04 一次函数与函数大小比较 【典例1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：把代入，得，解得，∴， 当时，，解得，∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 【变式1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）一次函数与的图象如图所示，满足不等式的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知，两直线交点的横坐标为， 当时，直线位于直线的下方，不等式的解集为． 【变式2】（26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，直线分别交轴、轴于点、，直线分别交轴、轴于点、，直线与直线相交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线与直线相交于点，∴不等式的解集为． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线相交于点与轴交于点， 根据函数图象可得当时，自变量的取值范围是故选：C． 【变式4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入，得，解得：， 把代入，得，解得：，∴直线：， 当时，则 ，解出，∴； （2）∵直线：，，∴当时，x的取值范围是； （3），即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 题型05 一次函数与方程、不等式综合 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为， ∴当时，，∴方程的解是，故A选项错误； ∵一次函数与的图象交于点， ∴方程组的解是，故B选项错误； 观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是，故C选项正确； 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的上方， ∴的解集为．故D选项错误．故选：C 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．下列结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：由图象可知，的图象从左向右下降，，故①错误； 的图象与轴交于点，，故②正确； 两函数图象交点的横坐标为，方程的解是，故③正确； 的图象与轴交于点，且随的增大而减小， 当时，，故④错误； 由图象可知，当时，；当时，； 不等式 的解集是，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③，共 2 个． 【变式2】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）如图，一次函数与的图象交于点，则下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第三象限； ③不等式的解集是；④．其中正确的有（     ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【答案】D 【详解】解：观察图像可知函数，函数值y随着x的增大而增大，则①不正确； 函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限，则②正确； ∵两个函数与都经过点，∴不等式的解集是，则③正确； ∵两个函数与都经过点，∴， ∴，即，则④不正确，所以正确的有②③． 【变式3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线经过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接，．则下列结论：①方程组的解为；②；③为直角三角形；④当的值最小时，点的坐标为．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：，， ，， ∴，，， ∵，∴，不是直角三角形，故③错误； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；结论中正确的个数有3个，故选：C． 题型06 一次函数与面积综合问题 【典例1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案．方程的解是______．方程组的解是______．不等式的解集是______．不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；；(2)； (3)或或或． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为，故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为，故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是，故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是，故答案为：； （2）解：把代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，，∴，∴； （3）解：设点的坐标为∵，∴， 当点为顶点时，，∴，∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，，∴点的坐标为； 当点为顶点时，则，∴，解得，∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【详解】（1）解：联立，解得：，所以， 令，则0，解得，所以，所以的面积是； （2）因为点在直线上，所以，所以， 因为的面积是面积的，所以的面积是， 设，因为，所以 ． 因为，即，则或， 当时，解得，所以；当时，解得，所以． 当时，得出，解得； 当时，得出，解得；所以的值为1或，故答案为：10；1或． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ．(1)直接写出二元一次方程组 的解______； (2)直线 上是否存在点 C，使 与 的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由． 【答案】(1)画图见解析，(2)或． 【详解】（1）解：列表如下： 描点连线如下： ∵方程组即方程组，∴由图象可得方程组的解为：； （2）∵，当，，当，则，∴， ∴，，∴， ∵在上，∴，∴， ∴，∴，∴或． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线：经过点，，且与轴交于点． (1)求直线的表达式；(2)直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组的解为______；(3)直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：将，代入得 ，解得，直线的表达式为； （2）解：直线的图象如图所示： 由图象可知其交点坐标为， 方程组的解为，故答案为：； （3）解：设与轴交于点，令，解得，. 令，解得，，， . 【变式4】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点． (1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围． 【答案】(1)6(2)(3) 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，∴，， ∴，，∴，，∴， ∴；∴三角形的面积为6； （2）解：设直线解析式为， 把，代入得：，解得，∴直线解析式为， ∴将直线沿轴向右平移个单位长度后解析式为， 当时，，把代入得，解得； （3）解：∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴，，， ∵三角形的面积不大于三角形的面积的一半，∴，解得， 当在左侧，且时，∵，∴， 由，得直线解析式为，令得， ∴；此时，∴（秒）； 当在右侧，且时，∵，∴， 由，得直线解析式为， 令得，∴；此时，∴（秒）； ∴三角形的面积不大于三角形的面积的一半，t的取值范围是． 题型07 一次函数与新定义、探究规律 【典例1】（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：，得，则；即直线，交于点； 又直线，交于点，所以若，则； 当时，，即交点为；同理交点为； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时； 若，则对应射线与射线，如图；此时或； ∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点； 如图，与直线有4个交点， 当射线：与线段相交时，则交点数为4个； 当经过点B时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图； 当经过点A时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或． 故答案为：；或． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【答案】或 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得，∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，∴，∴， ∴直线的表达式或．故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，在直线上，∴在中，当时，，则， ∵在直线上，∴在中，当时，，则， 同理可得：，，，，，， ∴，，，（为自然数）， ∵，∴的坐标为，即，故选：D． 【变式3】（24-25八年级上江苏·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，，∴，即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形，∴，∴， ∵轴，∴，∴，∴， 当时，，∴，∴，∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为，故选：A． 【巩固训练】 1.（25-26七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，方程组的解为：， ∵，∴，∴的解为：，∴；故选B． 2.（25-26八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是．故选：A 3.（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ． 【答案】 【详解】解：解方程组，得，∴交点M坐标为，故答案为：． 4.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为；故答案为． 5.（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为．故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，故答案为：． 7.（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出一次函数数的图象，并利用图像完成下列问题： (1)方程的解是____；(2)当______时，；当时，相应的取值范围是________． 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）解：列表如下： x ⋯⋯ 2 0 ⋯⋯ y ⋯⋯ 0 4 ⋯⋯ 描点，连线得， 由图象可得时，，所以方程的解是；故答案为：； （2）解：由图象可得时，，由图象可得当时，．故答案为：；． 8．（24-25八年级上·江苏南京·月考）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； (2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 【答案】(1)，见解析(2) 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，，∴，∴，∴，即； 函数图象如下所示： （2）解：在中，当时，， ∵，∴y随x增大而减小，∴当时自变量的取值范围． 9.（25-26八年级上·广西崇左·月考）直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ． (1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积． 【答案】(1)，(2)(3)(4) 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，解得；当时，，解得，∴，； （2）解：∵直线与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1， ∴将代入，则，解得，∴， ∴方程组的解为； （3）解：将，代入直线，则，解得； （4）解：∵，，，∴， ∴． 10．（25-26八年级下·湖北宜昌·阶段练习）一次函数图像经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，求的值．(3)将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，求的解析式． (4)若的图像与y轴交于点C，求的面积. 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，把和代入得： ，解得：，∴一次函数的解析式为：； （2）解：把代入得：； （3）解：∵将的图像向下平移3个单位长度得到的图像， ∴的解析式为； （4）解：把代入得：，∴点C的坐标为， 把代入得： ∴的函数图象与y轴的交点坐标为， ∴． 【强化训练】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，解得：，∴两个函数图象的交点坐标为， ∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意．故选A． 2.（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵过点，∴，解得，∴， 由图可得，当时，，故选A． 3．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论：①方程组的解为；②不等式的解集为， ③当时，；④关于的方程的解为．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为， 故①符合题意； 由图象可得不等式的解集为，故②符合题意； 由图可知，一次函数的图象与轴的交点在，可知当时，，故③符合题意； 由函数图象可知，一次函数与轴交于， 方程的解为，故④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④，共4个．故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】一次函数和交于一点， ，解得：，①正确； 一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1， 把代入得：故②正确； 函数图象它们的交点在直线上，有函数图象可知的解集为，故③正确； 把代入得：，当代入得：，当代入得：， 与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误； 综上所述：正确的有①②③；故选：C． 5．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 【答案】B 【详解】解：令，解得：，把代入得：， ∴两条直线的交点为， 把分别代入，得：，， ∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，， ∴y轴上的“美点”有； 对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个）， 对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，∴“美点”的个数为：（个）．故选：B． 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：把代入得：，∴， 联立，解得∴点的坐标为， 当直线经过点，则，解得， 当直线经过点，则，解得：， ∵直线与线段有交点，∴的取值范围为或．故选：D． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：假设的解析式为，将代入得，，解得，∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ，解得，∴，联立，解得， 所以，交点的坐标为，故答案为：． 8．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：在中，根据勾股定理，得， 点C和点E关于所在直线对称，是的垂直平分线， 又点E是线段（轴）上一点，，的中点坐标为， 设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入， 得到，解得，直线的解析式为． 设直线的解析式为，将，，分别代入， 得到，解得，直线的解析式为．联立直线与直线的解析式， 得到，解得．D点的坐标为．故答案为：． 9．（24-25七年级下·重庆江北·期末）阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． (1)以下选项中在方程的图像上的点有________． ①    ②    ③    ④ (2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值． (3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标． 【答案】(1)①④(2)(3) 【详解】（1）解：①当时，则，，故在方程的图象上； ②当时，则，，故不在方程的图象上； ③当时，则，，故不在方程的图象上； ④当时，则，，故在方程的图象上； 在方程的图象上的点有①④．故答案为：①④； （2）由题意，是关于、方程和图象的交点上， ①，且②，得，，答：的值为； （3）由题意，，，当时，，即当时，， 无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过定点． 10.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，(1)如图1：当时，求证：；(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 【答案】(1)证明见解析(2)        的值是：或 【详解】（1）解：如图所示：过点C作交的角平分线于点M，与相交于E， ∵平分，，∴，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴设直线：，∵，， ∴，解得：，∴直线：， ， ， ∵，，∴同理可求出直线的解析式：， ∴联立：，解得：，∴， ∴，， ∴，从而：，∴； （2）∵由（1）可知直线解析式：，将代入得：， 如图所示：连接，∴， ∴，∴或． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $