专题02 一次函数的概念（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题5.2 一次函数的概念 1.能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念， 体会一次函数的意义，发展抽象能力； 2.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数； 3.能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中“k”、“b”的实际意义； 4.会根据实际情境中的数量关系确定一次函数表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式； 5.在确定一次函数表达式的过程中体会一次函数是刻画“匀速变化”的有效模型。 1. 一次函数的概念 一般地，形如 y=kx+b （k，b为常数，）的函数叫作一次函数（linear function）。 其中：x为自变量，y是x 的函数。 特别地，当b=0时， y=kx （k为常数，）叫作x的正比例函数（direct proportion function）。 2.待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法。 3.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）设表达式y=kx+b； （2）根据已知条件得到k，b的方程组； （3）解方程组，求出k，b的值； （4）写出函数的表达式。 题型01 正比例函数的辨别 【典例1】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）下列函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正比例函数形式为（为非零常数）， ∴含常数项，含项，中的次数为，均不符合要求；即，符合要求. 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 【答案】C 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意；B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意；D、，不是正比例函数，不符合题意；故选C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期中）给出下面函数：①；②；③；④．其中是的正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①可化为形式（），是正比例函数； ②含有常数项，不符合形式，不是正比例函数； ③ 可化为形式（），是正比例函数； ∵ ④不符合形式，不是正比例函数； 综上，只有①和③是正比例函数，共2个．故选：C． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）下列函数中，是正比例函数的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、含常数项，故不是正比例函数；B、中的次数为2，故不是正比例函数； C、不是整式形式，故不是正比例函数；D、是正比例函数． 题型02 利用正比例函数的概念求参数 【典例1】（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如果函数是的正比例函数，那么的值为（     ） A．0 B．1 C．0或2 D．2 【答案】C 【详解】解：∵函数是的正比例函数，∴，解得或． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 【答案】1 【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵函数是正比例函数，∴且解得且∴．选：C． 【变式3】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【详解】解：∵是正比例函数，∴，，． 由得或． ∵，∴，即．由得．∴． 题型03 一次函数的辨别 【典例1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列函数中，一次函数的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项与D选项的分母均含自变量，不符合一次函数是含自变量的整式的要求； B选项中自变量的最高次数为2，不符合一次函数定义； C选项符合一次函数（为常数，）的形式． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】∵ 一次函数的一般形式为 （）， ① ，符合定义；② ，分母含自变量 ，不是整式，不符合定义； ③ ，符合定义；④ ，符合定义； ⑤ ，最高次项为2次，不符合定义； ∴ 是一次函数的有①、③、④，共3个.故选：C. 【变式2】（25-26八年级上·广西梧州·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】∵一次函数需满足， A：，x在分母，不符合；B：，x次数为2，不符合； C：，符合；D：，为常数函数，，不符合;故选C 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（   ） A． … … … … B． x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … C． x … 1 2 3 … y … 4 6 12 … D． x … 0 1 2 … y … 0 1 8 … 【答案】A 【详解】解：A、y随着x的增大而减小，且自变量每增加1，函数值减小3，均匀变化，是一次函数，符合题意；B、y随着x的增大先减小后增大，不是一次函数，不符合题意； C、y随着x的增大先增大后减小再增大，不是一次函数，不符合题意； D、y随着x的增大而增大，但变化不均匀，不是一次函数，不符合题意；故选：A． 题型04 利用一次函数的概念求参数 【典例1】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，解得． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：函数是一次函数，且，解得．故选：A． 【变式2】（26-27八年级上·广东·单元复习）若函数是一次函数，则________． 【答案】3 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且，即且，∴． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）是关于x的一次函数，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵是关于x的一次函数，∴，解得．故答案为：3． 题型05 待定系数法求函数解析式 【典例1】（25-26八年级上·广东·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，∵“帅”位于点，∴“马”， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴，∴．∴．故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知与成正比，当时，，则与的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设y与x的函数关系式为． 当时，，代入得，解得． 因此y与x的函数表达式为．故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上江苏·期中）已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，解得， ∴ 这个一次函数表达式是．故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例函数关系，且当时，，与之间的函数表达式是 ． 【答案】 【详解】解：设，当时，，代入得，即，解得， 所以与之间的函数表达式为．故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式． 【答案】 【详解】解：设直线的函数表达式为．因为直线经过点，所以． 因为直线与轴正半轴交于点，所以，解得， 所以直线的函数表达式为． 题型06 一次函数（正比例函数）的坐标特征 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设这条直线表达式为， 则两式相减得，∴只有D符合题意，故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵点在直线上， ∴，∴，故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点P的坐标为，则，∴， 代入，得．∴点P始终在直线上．故选：D． 【变式3】（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意．故选C． 题型07 几何图形与一次函数的解析式 【典例1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作轴于，过作轴于． 是含角的直角三角尺，，，，， 又，． 在和中，，， ，，，，，∴． 设直线的解析式为，把，代入得： 两式相减得：，，把代入得：，， 直线的解析式为，故选C ． 【变式1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：过点C作于D，如图， 是等腰直角三角形，，， ∵，∴，∴， 直线，当时，，，，， ， ∵关于轴对称的，∴， 把点代入直线得：，解得：．故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：①点P在点A右侧，如下图所示，过点作，， 设直线的解析式是，把点的坐标代入， 可得：，解得：，直线的解析式是， 当时， 可得：，解得：，点坐标是． ②点P在点A左侧，如图所示：交于点， ，，点在直线上，设， 当时，，，得，解得， ，，设直线为，分别代入，， 得，解得，直线为， 时，，，，故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是、、、，将沿对角线翻折得到，边交x轴于点E．则点E的坐标是 ，点D的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是、、、， ∴，，，∴为等腰三角形， 设，则，∴，即，解得：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴设直线解析式为， 将，代入中得：，解得：， ∴直线解析式为：，∵，， 设点的纵坐标为，∴，解得：， 将代入中得：，∴，故答案为：①，②． 题型08 新定义与一次函数的解析式 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数图像经过点，我们就称此函数为“族函数”，例如：正比例函数经过点，所以正比例函数就是“族函数．” (1)已知正比例函数是“族函数”，则的值是_____； (2)若一次函数是“族函数”，且经过点，求一次函数的解析式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把代入得，解得；故答案为：； （2）解：∵一次函数 是“族函数”，且经过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：如果函数图象经过点，我们就称此函数作“族函数”．例：正比例函数的图象经过点，则正比例函数是“族函数”，已知一次函数（为常数，）是“族函数”，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：将点 代入 ， 得 ，即 ，整理得 ， 移项得 ，解得 ，故答案为 ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南常德·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点“坐标是 _______ ；②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 _______ ； (2)若点的“美好点”在直线上，求a的值． 【答案】(1)①；②；(2)a的值为． 【详解】（1）解：①点的“美好点“坐标为；故答案为：； ②设P点坐标为，根据题意得，， 解得，，∴点P的坐标为；故答案为：； （2）解∶ 点的“美好点”为， 把代入中得，解得，即a的值为． 【变式3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)点与点_____是一对“对偶点”． (2)判断：点的对偶点__________函数的图像上（填写“在”或“不在”）； (3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； (4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 【答案】(1)(2)不在(3)点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3(4) 【详解】（1）解：由题意得点与点是一对“对偶点”； （2）解：由题意得，点的对偶点为， 在中，当时，， ∴点不在直线上，∴点的对偶点不在直线上； （3）解：∵点在直线上运动，∴可设， ∴的对偶点的坐标为， ∴点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系为点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3； （4）解：设点是一次函数的图像上一对“对偶点”， ∵关于的一次函数是“对偶函数”， ∴点是一次函数的图像上一点， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵点和点不重合，∴， ∴，∴，∴，∴． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．含常数项，不是正比例函数；B．中的次数为2，不是正比例函数； C．即（），是正比例函数；D．中的次数为，不是正比例函数；故选：C． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式，故选B． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①是一次函数；②不是一次函数；③不是一次函数； ④是一次函数；⑤，若则不是一次函数，因此不一定是一次函数； ⑥不是一次函数；∴一定是一次函数的只有①和④，共2个；故选C． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若一次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】解：∵ 点在函数图象上， ∴ 代入，得： ，解得：．故选：A． 5．（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴一次项系数和常数的值分别是，故选：C． 6．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为 ． 【答案】8 【详解】解：∵点 在函数 的图像上，∴ ，∴ ， 又 ∵ ，∴ ，故答案为：8. 7．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若函数（为常数）是一次函数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵函数（为常数）是一次函数， ∴，解得，故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标．(2)求直线的解析式． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解∶ ∵，，∴，， ∵，∴，∴， 又点C在y轴正半轴上，∴； （2）解：设直线解析式为， 则，解得，∴． 9．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，直线l和x轴交于，和y轴交于． (1)求直线l的表达式；(2)在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，求出点P的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：设直线l的表达式为， ∵直线l和x轴交于，和y轴交于， ∴，解得：，∴直线l的表达式为； （2）解：∵在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，∴点P的纵坐标为10， 当时，，解得：，∴点P的坐标为． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____．(2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：，解得，∴； （2）解：∵，，∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴，∴，即，∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，，∴，∴， 当时，∴； 当时，且点在点的下方，如图：同理，； 综上，点C的坐标为或或． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴，且，∴．故选：C． 2．（25-26八年级上·江西九江·期中）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第 象限． 【答案】二 【详解】解：∵“关联数”为的一次函数是正比例函数， ∴是正比例函数，∴，解得， ∴则点坐标为，∴点在第二象限．故答案为：二 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，A，B两点的坐标分别是，，M是y轴上的一点，沿折叠，点B刚好落在x轴上点处，则直线的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：由折叠可知： A，B两点的坐标分别是，，， ，，设，则， 在中，，解得，，设直线的解析式为， 把点A的坐标和M点坐标代入得：，解得，．故答案为：． 4．（2025八年级上·江苏·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为，则有，， 由，可得：，由，可得：，．故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴交于点，且，则直线的函数表达式为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当与轴交点在负半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点，则， ∴，，，∴，， ∵，∴，∴，， 由直线得，当时，；当时，， ∴，，∴，，∴，∴， 设直线的函数表达式为， ∴，解得：，∴直线的函数表达式为； 如图，当与轴交点在正半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点，则， ∴，，，∴，， ∵，∴，∴，， 由直线得，当时，；当时，， ∴，，∴，，∴，∴， 设直线的函数表达式为，∴，解得：，∴直线的函数表达式为； 综上，直线的函数表达式为或；故答案为：或． 6．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点，，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形，则边所在直线的函数解析式为 ． 【答案】 【详解】解：如图：如图：过点C作轴，垂足为D， ∵，，∴， ∵等腰， ∴， ∴，∴，∴，∴，∴， 设直线解析式为 则，解得，∴设BC直线解析式为．故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，． (1)直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______； (2)求直线的函数表达式；(3)若直线上有一点M，使得，求点M的坐标． 【答案】(1)2；；0；3；(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，∴，∴； ∵，∴，∴，∴， 又∵点A在原点左侧，∴；∵，∴，即； （2）解：设直线的函数表达式为，由（1）可得， ∴，∴，∴直线的函数表达式为； （3）解：∵，，∴， ∵，∴，∴， 当点M在点C的左侧时，则点C为的中点， ∵，，∴； 当点M在点B右侧时，则点B为点C与的中点所连的线段的中点， ∴的中点坐标为，∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 8．（25-26八年级上·河北张家口·期中）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：．(1)写出y与x的函数关系式；(2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 【答案】(1)(2)储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度 【详解】（1）每分钟加水量为（升），则， ∴y与x的函数关系式为． （2）当时，解得，当时，， ∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“关联点”坐标为_____；(2)若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：点， 点的“关联点”坐标为，即，故答案为：； （2）当时，点的“关联点”为， 点在函数的图象上， ，，此时，不符合题意； 当时，点的“关联点”为， 点在函数的图象上， ，；点 综上所述：点 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）【预备知识】 （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小明同学经过思考，给出以下解答：在图1中过作于点. 是的中线，，. 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积. （2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，设点为线段的中点，则点的坐标为. 【理解内化】如图2，在中，为边中点，连接，若，则_____； 【综合应用】如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点有一条直线将面积平分，求直线的表达式． 【拓展延伸】如图4，在平面直角坐标系中，四边形为小区的一块花园用地，其中为原点，，，，为了方便人们观赏，现计划过点修一条小路(小路宽度忽略不计)，并且可将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的函数表达式，若不存在，请说明理由． 【答案】[理解内化]；[综合应用]；[拓展延伸] 直线存在，表达式为： 【详解】[理解内化] 解：为边中点， ，；故答案为：； [综合应用] 设线段的中点为，如图： ，，，即， 直线平分面积，在直线上， 设直线的表达式为，，解得，直线的表达式为； [拓展延伸] 直线存在，理由如下： 延长交轴于，设直线交轴于，如图： 设直线函数表达式为， 把，代入得：，解得， 直线函数表达式为，令得，， ，，，，， 直线平分四边形面积，，，，， 设直线函数表达式为把，代入得：， 解得，直线函数表达式为． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 一次函数的概念 1.能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念， 体会一次函数的意义，发展抽象能力； 2.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数； 3.能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中“k”、“b”的实际意义； 4.会根据实际情境中的数量关系确定一次函数表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式； 5.在确定一次函数表达式的过程中体会一次函数是刻画“匀速变化”的有效模型。 1. 一次函数的概念 一般地，形如 y=kx+b （k，b为常数，）的函数叫作一次函数（linear function）。 其中：x为自变量，y是x 的函数。 特别地，当b=0时， y=kx （k为常数，）叫作x的正比例函数（direct proportion function）。 2.待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫做待定系数法。 3.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： （1）设表达式y=kx+b； （2）根据已知条件得到k，b的方程组； （3）解方程组，求出k，b的值； （4）写出函数的表达式。 题型01 正比例函数的辨别 【典例1】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）下列函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（    ） A．正方形的面积与边长之间的关系 B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期中）给出下面函数：①；②；③；④．其中是的正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江伊春·期末）下列函数中，是正比例函数的是(     ) A． B． C． D． 题型02 利用正比例函数的概念求参数 【典例1】（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如果函数是的正比例函数，那么的值为（     ） A．0 B．1 C．0或2 D．2 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 【变式2】（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）若是正比例函数，则的值为（     ） A． B． C．4 D．12 题型03 一次函数的辨别 【典例1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列函数中，一次函数的式子是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26八年级上·广西梧州·期中）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（   ） A． … … … … B． x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … C． x … 1 2 3 … y … 4 6 12 … D． x … 0 1 2 … y … 0 1 8 … 题型04 利用一次函数的概念求参数 【典例1】（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（26-27八年级上·广东·单元复习）若函数是一次函数，则________． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）是关于x的一次函数，则 ． 题型05 待定系数法求函数解析式 【典例1】（25-26八年级上·广东·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知与成正比，当时，，则与的函数表达式为 ． 【变式2】（25-26八年级上江苏·期中）已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例函数关系，且当时，，与之间的函数表达式是 ． 【变式4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式． 题型06 一次函数（正比例函数）的坐标特征 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ） A． B． C． D． 题型07 几何图形与一次函数的解析式 【典例1】（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是、、、，将沿对角线翻折得到，边交x轴于点E．则点E的坐标是 ，点D的坐标是 ． 题型08 新定义与一次函数的解析式 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数图像经过点，我们就称此函数为“族函数”，例如：正比例函数经过点，所以正比例函数就是“族函数．” (1)已知正比例函数是“族函数”，则的值是_____； (2)若一次函数是“族函数”，且经过点，求一次函数的解析式． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：如果函数图象经过点，我们就称此函数作“族函数”．例：正比例函数的图象经过点，则正比例函数是“族函数”，已知一次函数（为常数，）是“族函数”，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南常德·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点“坐标是 _______ ；②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 _______ ； (2)若点的“美好点”在直线上，求a的值． 【变式3】（25-26九年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)点与点_____是一对“对偶点”． (2)判断：点的对偶点__________函数的图像上（填写“在”或“不在”）； (3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系； (4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件． 【巩固训练】 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若一次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 5．（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为 ． 7．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若函数（为常数）是一次函数，则 ． 8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标．(2)求直线的解析式． 9．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，直线l和x轴交于，和y轴交于． (1)求直线l的表达式；(2)在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，求出点P的坐标． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____．(2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【强化训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 2．（25-26八年级上·江西九江·期中）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第 象限． 3．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，A，B两点的坐标分别是，，M是y轴上的一点，沿折叠，点B刚好落在x轴上点处，则直线的解析式为 ． 4．（2025八年级上·江苏·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴交于点，且，则直线的函数表达式为 ． 6．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点，，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形，则边所在直线的函数解析式为 ． 7．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，． (1)直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______； (2)求直线的函数表达式；(3)若直线上有一点M，使得，求点M的坐标． 8．（25-26八年级上·河北张家口·期中）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：．(1)写出y与x的函数关系式；(2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度． 9．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“关联点”坐标为_____；(2)若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标． 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）【预备知识】 （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小明同学经过思考，给出以下解答：在图1中过作于点. 是的中线，，. 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积. （2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，设点为线段的中点，则点的坐标为. 【理解内化】如图2，在中，为边中点，连接，若，则_____； 【综合应用】如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点有一条直线将面积平分，求直线的表达式． 【拓展延伸】如图4，在平面直角坐标系中，四边形为小区的一块花园用地，其中为原点，，，，为了方便人们观赏，现计划过点修一条小路(小路宽度忽略不计)，并且可将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的函数表达式，若不存在，请说明理由． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $