专题02 全等三角形的性质与判定（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形的性质与判定核心知识点，系统梳理从概念（全等图形、对应关系）到性质（对应边、角、中线等相等），再到判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）及SSA不确定性的递进式学习支架。 资料通过分层题型（概念辨析、性质求值、判定证明等）和实际应用案例（如测量池塘距离）设计，培养学生推理能力与几何直观，课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化逻辑思维与应用意识。

专题02 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的‌对应关系的理解：对应边相等、对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等；周长相等、面积相等；对全等三角形‌基本性质的灵活运用。 2.探索三角形全等条件的过程-‌SAS、‌ASA、‌AAS、‌SSS、‌HL公理； 3.灵活选择判定方法解决复杂问题，特别是实际图形中的对应关系识别。 4.会添加辅助线，利用分析法、综合法寻求解题思路； 5.深入理解‌SSA的不确定性及‌HL的适用范围。 1、全等图形：能够完全 重合 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形 。 3、对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 对应顶点 ，重合的边叫 对应边 ，重合的角叫 对应角 。 4、全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应边上的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 5、全等三角形判定1——“边角边”公理 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“ 边角边 ”或“ SAS ”）. 如图1，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△（SAS）. 图1 图2 图3 注意：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形 不一定 全等。 如图2，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 6、全等三角形判定2——“角边角”公理 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ 角边角 ”或“ ASA ”）. 如下图，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（ASA）. 7、全等三角形判定3——“角角边”公理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“ 角角边 ”或“ AAS ”）。 如图4，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（AAS）。 图4 图5 图6 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等，这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。 注意：三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 如上图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 8、全等三角形判定4——“边边边”公理 三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“ 边边边 ”或“ SSS ”）. 如图5，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS） 9、三角形的稳定性：三角形具有 稳定性 （三边长度确定，形状不会改变）。 10、直角三角形全等的判定——HL定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“ HL ”）。 如下图，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，则△ABC≌△（HL） 这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。 题型01 全等三角形的概念与性质 【典例1】（25-26八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【详解】解：由得：①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意；③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意；故正确的有②③，故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·校考期中）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个．故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　） A．两个等边三角形全等 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的对应高相等 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高、全等三角形的中线和三角形的外角，根据以上定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 、三角形的三条高可能在三角形的内部、外部或边上，该选项说法错误，不合题意； 、全等三角形的对应中线相等，该选项说法错误，不合题意； 、全等三角形的对应高相等，是真命题，符合题意；故选：D． 题型02 运用全等三角形的性质求值（角度、长度、面积等） 【典例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴，故答案为：． 【典例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·校考期中）如图，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∴，∴．故选B． 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则 °． 【答案】80 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，故答案为：80 【变式3】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故选：B． 【变式4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵的面积比的面积大25，∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵，∴，∴， ∴点到线段和线段的距离之和为，故答案为：． 【变式5】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，∴，故选：C 题型03 利用“SAS”证明三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：∵，，∴， ∴，即， 在和中，，∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．(1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，∴，， 又∵，∴； （2）由（1）知：，∴， ∴，∴，∴． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知，由作图可知，， ∴，故选：A． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【详解】解：（1），理由如下：设，则， 如图1，延长到点，使，连接，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵，∴，由（1）同理得：，∴， ∵，∴，∴；故答案为：； （3），理由如下：如图3，在上截取，连接， 同理得：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴． 题型04 利用“ASA”证明三角形全等 【典例1】（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．(1)求证：；(2)已知，，求的长度．    【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴； ∵，∴，∴； 在和中， ，∴； （2）解：∵，，∴，， ∵，∴，∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 在和中，，； 则的依据是；故选：D 【变式2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等，带③去就可以，故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 【答案】6 【详解】解∶过D作于E，则，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴，∴， ∴，故答案为：6． 【变式4】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，，． 在和中，，，． 题型05 利用“AAS”证明三角形全等 【典例1】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°；(2)若，求证：． 【答案】(1)36(2)见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即，而，， 在和中，，． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【详解】解：与全等的理由如下：∵是边的中线，∴， ∵，∴，∴． 【变式2】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，．    (1)求证：；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）解：∵，∴，∵，∴， ∵，是的外角，． 【变式3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角，∴，∴， ∵，∴，在和中，，∴， ∴，，∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，同理可证明：，∴，∴， ∵，，∴． 题型06 利用“SSS”证明三角形全等 【典例1】（24-25八年级上·河北·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，．求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，；②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点；③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接．在和中，（_____________）， （____________________）． 【答案】(1)见详解(2)，，全等三角形的对应角相等 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）证明：连接，由作图可知，， 在和中，， （全等三角形的对应角相等）．故答案为：，，全等三角形的对应角相等． 【变式1】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在与中， ∵，∴．故选：C 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【答案】C 【详解】解：根据题意，嘉嘉与淇淇两名同学拼成的三角形全等， 则两个三角形的三个内角分别相等；两个三角形中长为的边上的中线相等． 故两人的说法都正确，故选：C． 【变式3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题：(1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等(2)见解析 【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）证明：在和中，∵，，， ∴  ∴， ∴平分． 题型07 利用“HL”证明三角形全等 【典例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点D，A，E在直线l上，，于D点，于E点，且若，，则 ． 【答案】5 【详解】解：，，， 在和中，，∴，， ，，故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：，， 在和中，，，，， ，，，故选：A． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，于点，于点，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，，， 在和中，，；， 在中，，，即；． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证：(1)．(2)． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：是的高，， 在和中，，，； （2）如图，延长与交于点， ，，， 又，，， ，． 题型08 添加条件使三角形全等 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 当添加时，可根据“”证明，故A选项符合题意； 当添加时，∵，，∴， ∴，，∴，即， 进而可用“” 证明，故B选项不符合题意； 当添加时，不能证明，故C选项符合题意； 当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意；故选：C． 【变式1】（2025·四川成都·二模）如图，已知，，添加下列条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，，，故A不符合题意； B、，，，和不一定全等，故B符合题意； C、，，，，故C不符合题意； D、，，即， ，，，故D不符合题意；故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意．故选：C． 【变式3】（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（   ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意；    B. ，，，运用HL可证，故符合题意； C. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意； D. ，再加上隐含条件,运用SSA不能证得，故不符合题意．    故选B． 题型09 全等三角形中的尺规作图 【典例1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．根据作图痕迹，利用即可证明． 【详解】解：由作图知，，，， ∴，故答案为：B． 【变式1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【详解】解：如图，连接 甲：由作图可知，，    ∵，∴，∴，∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，，∵，∴，∴， ∴是平分线，故乙的作法正确．故选A． 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【详解】解：连接，，由作图可知，，，    在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴．故答案为：． 【变式3】（2025·湖北·模拟预测）如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【详解】解：由作图痕迹，得，，∴，故选：A． 题型10 全等三角形的实际应用 【典例1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中，，∴，； 选乙：，，， 在和中，，∴，； 选丙：在和中，，∴，． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 【答案】1.8 【详解】解：点距离地面的高度为，点距离地面的高度是， 点距离地面的高度为，点距离地面的高度是，， ，，， 又由题意可知，，，，， ，点到的距离为，故答案为：1.8． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在和中，，，故选项A不符合题意； ∴，∴，即， ∵、，∴，故选项B不符合题意； ∴，∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意；故选：D 【变式3】（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等，∴， 在与中，∴，∴（米），故选：A． 题型11 全等三角形的判定与性质综合 【典例1】（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】解：（1）证明：，．平分，． 又，，． （2）①如图，在上截取，连接．平分，， ∵，，． ，∴，，，． ． ②证明：如图，连接，在和中，，． ，，，． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）， 理由如下：如图所示：∵和都是等腰三角形，∴， 又 ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴； （2）如图所示：证明：∵，，即， 又 ∵和都是等腰三角形，，， ，，，， ，故答案为：；； （3）如图：∵和都是等腰三角形，， ，即：，，， ，， ，，，且，，故答案为：； 【变式2】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知：如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：； （3）试说明：． 拓展应用（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为 【详解】（1）解：∵在中，为中线，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2）证明：由（1）可知：，， ，，，； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，，； （4）解：，， ，， 在和中，，，， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，，，， ，与的面积之和为． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务：(1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由．(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析(2)不能 【详解】（1）证明：在和中，，∴， ∴， 在和中，，∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，∴四边形四边形； （2）解：在和中，，∴，∴， ∵，∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 题型12 全等三角形中的探究问题-角度关系 【典例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．(1)求证：平分；(2)若，求四边形的面积；(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解(2)48(3) 【详解】（1）证明：∵在和中，， ∴，∴，∴平分； （2）∵，∴，∴，即， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∴四边形的面积； （3）∵，∴，又∵， ∴， ∵，∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见详解(2)，理由见详解 【详解】（1）解：全等，理由如下： ∵为的中线，，，， 在和中，，． （2）解：．理由：在 上截取 ，连接，如图， 在和中，，，， ∵，，∴， 在和中，，，， ∵，∴． 【变式2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上．(1)求证：；(2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴， 在与中， 又， （2），理由如下：，， 又， 又， 又， 题型13 全等三角形中的探究问题-线段关系 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 (3)或或 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是，故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ，，， 在与中，，， ，，，， ，，， 在与中，，，， ，； （3）解：或或，理由如下： ，如图③，在上截取，使，连接， ，，， 在与中，，， ，，，， ，，， 在与中，，，， ，； ，如图④，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得，； 由（1）、（2）可知，； 如图，点在延长线上，点在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上，线段、、之间的数量关系为：或或． 【变式1】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接． (1)发现问题：如图1，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____； ②求证：；(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时， ①中，，之间的数量关系式为_____．②并进行证明． 【答案】(1)①，；②见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴，即， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴； ②证明：由①可得：，∴； （2）解：①中，，之间的数量关系式为； ②证明如下：由题意可得：， ∴，即， 在和中，，∴，∴，∴． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设． (1)如图1，点在线段上运动．①求的度数（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析(2) 【详解】（1）解：①∵，∴， ∴，∴； ②，证明：在延长线上截取，连接， ∵，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴； （2）解： 在延长线上截取，连接，∵， ∵，∴， ∴， ∵∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】（1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】（2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）；（3），，见解析 【详解】（1）解：延长至点，使． 在和中，，，故答案为：； （2）证明：延长至，使， 是的中线，，且，， ，，，，， ，，即，且，， ．，，． （3）解：，，证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接，则， 是的中线，，，，， ，，，，， ，，， 又，，，，，． 题型14 添加辅助线构造全等 【典例1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，，(1)若的面积是，求的面积；(2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，，∴，∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴，即，∴． 【变式1】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长到点H，使，连接、，则， ∵，，， ∴，， 在和中，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，∴， ∴，∴， ∵，∴，故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】（3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴，故选：A； （2）∵，即，∴， ∵，∴，故答案为：； （3）延长，交于点，∵平分，∴， ∵，∴ 在和中，，∴.∴，. 在和中，，∴.∴， ∴，∵，∴． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，，≌，，， ，，， 在和中，，≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下：如图2，延长到点G，使，连接， ，，， 在和中，，≌，，， 在和中，，≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，，， 在和中，，≌，，， ，， 在和中，，≌，， ，， ，即， ，，， 【变式4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ，， ∵，，，， ，，……（补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)21 【详解】（1）解：，， ∵，，，， ，， ∵，，， ∴；， ∵，，∴； （2）解：结论：．理由如下：，， ，，， ，， ∵，，， ，； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，，， ，，∴， ，，， 延长，过点作于，如图所示： ，，，， 由平行线间的平行线段相等可得，．故答案为：21． 【巩固训练】 1.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，，，则的判定依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴ 故选：B 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在如图1中已知，，线段m，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴这样作图的依据是，故选：C． 4．（2025·江苏扬州·二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知：，∴（）， ∴，即故选：B． 5．（24-25·河北·平泉八年级期末）下列图形具有稳定性的是（       ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，图②③便具有稳定性，故选C． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， 当时，在和中 ，∴．故选：B 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意．故选：D． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列命题中，真命题的是（   ） A．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【详解】解：A、如图，， ，、是中线，且则．理由： 延长、，使，，则． ， ，，，，，同理可证，， 在和中，，，， ，，同理可证，， 又，，，是真命题；故该选项符合题意； B、两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 和的边，，第三边上的高都是，两个三角形不全等，是假命题，故该选项不符合题意； C、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，高，和不一定全等； D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也可以全等，如在直角三角形中运用，即可证明两个三角形全等，是假命题，故该选项不符合题意；故选：A． 9．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【详解】解：∵，∴，即， 在和中，，∴， ∴，∴．故答案为： 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：由图可知：，， ，，故答案为：． 11．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点E作垂直交于点G， ∵，∴ ∴，∴， 在与中，∴，∴，∵，∴， 在与中，∴，∴，∴点F是的中点． 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明：∵，∴， 在与中，∴． （2）解：∵，∴，∴，∴， ∵，∴． 13．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且．(1)试说明．(2)若，C是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：，， 又，，， 在中，， ∵，∴，， 又，，，； （2）解：由（1）得，，， 又点是的中点，，． 【强化训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图：∵，，∴， ∵，，∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图:同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴，， ∴，故①正确；∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，，同理可得，∴，， ∴，，故③④正确，符合题意； ∵点G不一定是的中点，∴不能得出，∴不能得出，故②错误，不合题意； 综上，正确的结论是①③④．故选：C． 4.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点, ,, ,,即, 在和中，, 平分,, 在和中,,,,故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（1）若，则 ；(用含的代数式表示（2）当点运动 s时，． 【答案】 α 2或5 【详解】解：（1）∵，∴， ∵为边上的高，∴，∴，∴， ∵，∴；故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时， ∵过点E作的垂线交直线于点F，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，，∴， ∵,∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动，∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，；故答案为：2或5． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 【答案】3 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵，，，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，∴．故答案为：3． 7．（24-25八年级上·山东临沂·期中）教科书第39页有下面一段文字： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析 【详解】（1）解：如图， 则即为所作； （2）证明：过作，垂足为，过作，垂足为， ∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴． 8.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【详解】解：（1）∵， ∴，且，∴， 在和中，，∴； （2）成立，证明如下：∵， ∴，且，∴， 在和中，，∴，， ∴，，∴． （3）同（2）可证，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，∴，， ∵，∴．∵，∴与的面积之和为8． 9．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)(2)成立，理由见解析 (3)或或； 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵，∴， 在 与 中， ，∴， ∴，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ∴ ， 在 与 中， ，∴，∴， ∵，∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中，∴ ∴，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ∴ ， 在 与 中， ，∴，∴， ∵，∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 10．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）【发现问题】（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中，，，， ，，，； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线，，又，，， ，，，，， 为中线，，，， 又，，，， ，∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点，，又，，， ，，，， 与互补，，， 又，，，，； （4），，，，， ，，， ，，，，，． 53 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的‌对应关系的理解：对应边相等、对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等；周长相等、面积相等；对全等三角形‌基本性质的灵活运用。 2.探索三角形全等条件的过程-‌SAS、‌ASA、‌AAS、‌SSS、‌HL公理； 3.灵活选择判定方法解决复杂问题，特别是实际图形中的对应关系识别。 4.会添加辅助线，利用分析法、综合法寻求解题思路； 5.深入理解‌SSA的不确定性及‌HL的适用范围。 1、全等图形：能够完全 重合 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形 。 3、对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 对应顶点 ，重合的边叫 对应边 ，重合的角叫 对应角 。 4、全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应边上的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 5、全等三角形判定1——“边角边”公理 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“ 边角边 ”或“ SAS ”）. 如图1，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△（SAS）. 图1 图2 图3 注意：有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形 不一定 全等。 如图2，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。 6、全等三角形判定2——“角边角”公理 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ 角边角 ”或“ ASA ”）. 如下图，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（ASA）. 7、全等三角形判定3——“角角边”公理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“ 角角边 ”或“ AAS ”）。 如图4，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，则△ABC ≌△（AAS）。 图4 图5 图6 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等，这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论。 注意：三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 如上图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等。 8、全等三角形判定4——“边边边”公理 三边分别相等的两个三角形全等。（简写成“ 边边边 ”或“ SSS ”）. 如图5，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△（SSS） 9、三角形的稳定性：三角形具有 稳定性 （三边长度确定，形状不会改变）。 10、直角三角形全等的判定——HL定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“ HL ”）。 如下图，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，则△ABC≌△（HL） 这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备。 题型01 全等三角形的概念与性质 【典例1】（25-26八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2】（25-26八年级上·江苏·校考期中）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　） A．两个等边三角形全等 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的对应高相等 题型02 运用全等三角形的性质求值（角度、长度、面积等） 【典例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 【典例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·校考期中）如图，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则 °． 【变式3】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【变式4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【变式5】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 题型03 利用“SAS”证明三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使．(1)求证：；(2)求证：． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 题型04 利用“ASA”证明三角形全等 【典例1】（2025·江苏无锡·三模）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且．(1)求证：；(2)已知，，求的长度．    【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是 【变式4】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，，求证：． 题型05 利用“AAS”证明三角形全等 【典例1】（2025·江苏镇江·二模）如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°；(2)若，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【变式2】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，．    (1)求证：；(2)若，，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 题型06 利用“SSS”证明三角形全等 【典例1】（24-25八年级上·河北·期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程． 已知：如图1，．求作：一个角，使它等于． 作法：如图2．①在的两边上分别任取点，；②以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点；③连接，，即为所求作的角． (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据． 证明：连接．在和中，（_____________）， （____________________）． 【变式1】（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）数学活动课上，嘉嘉与淇淇两名同学各用长为的3根木棒首尾相接拼成三角形． 嘉嘉说：“我不用测量，就知道这两个三角形的三个内角分别相等．” 淇淇说：“我不用画图，就知道两个三角形中长为的边上的中线相等．” 关于二人的说法，判断正确的是（   ） A．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 B．嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都错误 【变式3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 回答下列问题：(1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 题型07 利用“HL”证明三角形全等 【典例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，点D，A，E在直线l上，，于D点，于E点，且若，，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，于点，于点，，．求证：． 【变式3】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证：(1)．(2)． 题型08 添加条件使三角形全等 【典例1】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川成都·二模）如图，已知，，添加下列条件不能使的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【变式3】（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（   ） A．， B．，， C．， D．， 题型09 全等三角形中的尺规作图 【典例1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）嘉嘉先画出了，再利用尺规作图画出了，使．图1~图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，先以长为半径画弧，与边交于点D，再以长为半径画弧，与射线交于点E连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【变式3】（2025·湖北·模拟预测）如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 题型10 全等三角形的实际应用 【典例1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在处接住她后用力一堆，爸爸在处接住她．若点距离地面的高度为，点到的距离为，点距离地面的高度是，，则点到的距离为 米． 【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 题型11 全等三角形的判定与性质综合 【典例1】（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：．(2)如图2，若．①已知，求的度数．②点在上，若，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．则与的数量关系：___________，___________． (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，点在一条直线上，且，过点作垂足为点，且，则的长为___________． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知：如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求证：； （3）试说明：． 拓展应用（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·开学考试）阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务：(1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由．(2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 题型12 全等三角形中的探究问题-角度关系 【典例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接．(1)求证：平分；(2)若，求四边形的面积；(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，，，，，B，C，E三点在同一条直线上．(1)求证：；(2)探究与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 题型13 全等三角形中的探究问题-线段关系 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明 ；再证明 ；即可得出线段、、之间的数量关系是 ． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，分别是所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系，不用证明． 【变式1】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接． (1)发现问题：如图1，当点在边上时，①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____； ②求证：；(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时， ①中，，之间的数量关系式为_____．②并进行证明． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设． (1)如图1，点在线段上运动．①求的度数（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】（1）如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：____． 【问题应用】（2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图（3），是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 题型14 添加辅助线构造全等 【典例1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，已知，平分，，(1)若的面积是，求的面积；(2)求证：． 【变式1】（24-25八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】（3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【变式4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ，， ∵，，，， ，，……（补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【巩固训练】 1.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 2．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，，，则的判定依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在如图1中已知，，线段m，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏扬州·二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的（   ） A． B． C． D． 5．（24-25·河北·平泉八年级期末）下列图形具有稳定性的是（       ） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③ 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·上海闵行·期中）下列命题中，真命题的是（   ） A．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 9．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图所示，，，，，，则 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·北京·期中）如图，，，是上一点，，，连接交于点，求证：是的中点． 12．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长． 13．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且．(1)试说明．(2)若，C是的中点，求的长． 【强化训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，把长度确定的两根木棍，的一端固定在A处，和第三根木棍摆出固定，将木棍绕点A转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 B．有两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B．C． D． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 4.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ． 5．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（1）若，则 ；(用含的代数式表示（2）当点运动 s时，． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，平分，且，则与的面积和是 ． 7．（24-25八年级上·山东临沂·期中）教科书第39页有下面一段文字： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 8.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 9．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 10．（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）【发现问题】（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $