专题01 变量与函数（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题01 变量与函数 1.探索简单实际情境中的数量关系与变化规律，识别问题中的常量、变量及其意义，形成函数概念。 2.能在简单实际情境中，理解函数值的意义，并会求函数值。 3.在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 4.能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值。 1.常量与变量： （1）常量：在一个变化过程中，数值 保持不变 的量叫作常量（constant）； （2）变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量叫作变量（variable）。 2.函数的概念： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的 每一个 确定的值y都有 唯一 的值与它对应，那么称y是x的函数（function），x是自变量。对于自变量x的每一个值，函数y的对应值称为函数值（function value）。 注意：自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 3.函数的表示方法： 表达式法 、 表格法 、 图象法 。 1）用表达式表示。如y=1-x， y=30t等，像这样用 自变量 和 常量 组成的表示函数的表达式叫作函数表达式(expression of function) 。 2）用表格表示。把自变量的取值写在 第一行 ，对应的函数值写在 第二行 。 3）用图象表示，把自变量的取值作为 横 坐标，对应的函数值作为 纵 坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象( graph of function)。 函数图象上的点与函数表达式的关系：函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 题型01 变量与常量的辨别 【典例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 【变式1】（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）小磊复印一批文件，他每分钟可复印40张，x分钟可以复印y张．下列说法错误的是（     ） A．40是常量，x是变量 B．x和y是变量 C．40和y是常量 D．40是常量，x，y是变量 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）半圆的面积公式中，常量是 ． 题型02 函数的概念辨析 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【变式4】（26-27九年级上·江西赣州·开学考试）下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 题型03 自变量与自变量的范围 【典例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·广东河源·期末）在火箭升空过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，上述过程中，自变量是（    ） A．火箭质量 B．燃料的体积 C．火箭 D．火箭飞行高度 【变式2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）函数中，自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 题型04 函数值与范围 【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【变式2】（25-26七年级上·山西大同·期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【变式3】（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型05 函数的表示-关系式法 【典例1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 题型06 函数的表示-列表法 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【变式1】（24-25八年级上·江苏·专项）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系： 0 1 2 3 4 … 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加 C．所挂物体为时，弹簧长度为 D．不挂重物时弹簧的长度为 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … (1)填空：_____，_____；(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ (3)用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？(2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 题型07 函数的表示-图象法 【典例1】（24-25八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A．B． C．D． 【变式3】（25-26八年级上·广西梧州·期中）乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C．D． 题型08 从函数图象获取信息 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知合肥到芜湖的距离为，现有一辆邮政车往返于这两个城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1h再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过，两车第一次相遇．两车之间的距离与行驶时间之间的部分函数关系如图所示．根据图象的信息，下列说法错误的是（   ） A．邮政车到达芜湖的时间为 B．邮政车的速度为 C．大巴车的速度为 D．当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到芜湖的距离为 【变式1】（24-25八年级上·浙江·期中）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小A和小I从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为，小A和小I行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为 C．小I比小A早到14秒 D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加，h的增加量相同 【变式4】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1.（25-26八年级下·山西朔州·阶段练习）已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 2.（25-26八年级下·河北沧州·期中）淇淇打算吃石家庄板面，石家庄板面的单价是10元/碗，淇淇购买石家庄板面的总钱数随着碗数的变化而变化，在这个过程中，常量是（   ） A．石家庄板面 B．石家庄板面的单价 C．石家庄板面的碗数 D．购买石家庄板面的总钱数 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 6．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A．B． C．D． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A．B．C．D． 10．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）南宁某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况．下列说法正确的是（     ） A．上午点时，该地气温最低 B．这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C．该地这天的最高与最低气温差大约是 D．该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 11．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 12．（25-26八年级下·吉林延边·期末）一桶纯净水原有水量36升，日常饮用每小时消耗3升． (1)写出桶内剩余水量Q（升）与饮用时间t（小时）的函数解析式，并求出自变量t的取值范围； (2)当连续饮用5小时后，桶中还剩多少升水？ 【强化训练】 1．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某蓄水池装满水后匀速放水，池内剩余水量和放水时间的关系如下表所示： 放水时间 0 1 2 3 4 … 池内剩余水量 50 48 46 44 42 … 下列说法中错误的是（     ） A．上表中池内剩余水量是因变量 B．该蓄水池的容积为 C．在一定范围内，放水时间每增加，池内剩余水量减少 D．根据表格中的规律可知：放水时间为时，池内剩余水量为 4．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，把一个长方体铁块嵌在透明圆柱形容器内，向容器内均匀注水，注满为止，那么容器内水面的高度h（单位：）与注水时间t（单位：s）之间的关系图象大致是（    ） A． B．C．D． 5．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．其中错误的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息，下列说法正确的个数为（     ） ①图1中长为；②图2中m的值为9，n的值为25；③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，则铁球的落地时间t为__________． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知一个长方形的长为，宽比长少，设长方形的面积为，则与的变量关系式为________． 9．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是________米，甲起飞________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若乙起飞后，两架无人机所在的高度相差米，请直接写出的值． 10．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）项目式学习 【项目主题】函数解析式及函数值问题探究． 【知识学习】以为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． (1)【知识运用】对于函数．① ；②计算：的值； (2)【项目拓展】已知函数，且．①求证：；②若，，求的值． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 变量与函数 1.探索简单实际情境中的数量关系与变化规律，识别问题中的常量、变量及其意义，形成函数概念。 2.能在简单实际情境中，理解函数值的意义，并会求函数值。 3.在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系。 4.能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值。 1.常量与变量： （1）常量：在一个变化过程中，数值 保持不变 的量叫作常量（constant）； （2）变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量叫作变量（variable）。 2.函数的概念： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的 每一个 确定的值y都有 唯一 的值与它对应，那么称y是x的函数（function），x是自变量。对于自变量x的每一个值，函数y的对应值称为函数值（function value）。 注意：自变量根据实际问题的需要，一般都有自己的取值范围。 3.函数的表示方法： 表达式法 、 表格法 、 图象法 。 1）用表达式表示。如y=1-x， y=30t等，像这样用 自变量 和 常量 组成的表示函数的表达式叫作函数表达式(expression of function) 。 2）用表格表示。把自变量的取值写在 第一行 ，对应的函数值写在 第二行 。 3）用图象表示，把自变量的取值作为 横 坐标，对应的函数值作为 纵 坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象( graph of function)。 函数图象上的点与函数表达式的关系：函数图象上的点的坐标一定满足函数表达式。满足函数表达式的有序实数对表示的点一定在该函数图象上。 题型01 变量与常量的辨别 【典例1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）把个苹果随意放入两个篮子中，第一个篮子中放入个，第二个篮子中放入个．下列说法正确的是（     ） A．是常量 B．是常量 C．，是变量 D．苹果的总数是变量 【答案】C 【详解】解：苹果总数为，是固定常量，故D错误．苹果随意放入两个篮子，的数值可以变化， 的数值也随之变化，即，是变量，、错误，正确． 【变式1】（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）小磊复印一批文件，他每分钟可复印40张，x分钟可以复印y张．下列说法错误的是（     ） A．40是常量，x是变量 B．x和y是变量 C．40和y是常量 D．40是常量，x，y是变量 【答案】C 【详解】解：由题意得：40是常量，x，y是变量．∴C选项是错误的． 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）嘉琪去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） 30金额/元 5数量/千克 6单价（元/千克） A．数量 B．单价 C．金额 D．数量和金额 【答案】D 【详解】解：根据题意，电子秤显示的数据包括金额30元、数量5千克、单价6元/千克．单价是固定值（6元/千克），属于常量； 当购买橙子的数量变化时，金额会随之改变（金额=单价×数量）．因此，变量是数量和金额，故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·期末）半圆的面积公式中，常量是 ． 【答案】 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是，故答案为：． 题型02 函数的概念辨析 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C、对于部分x的值，y都有两个值或三个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； D、对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数，符合题意；故选：D． 【变式1】（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列关系式中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意； B项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意； C项：当x取正数时，y会有两个值与之对应，则y不是x的函数，符合题意； D项：对于任意一个x，代入后都能得到唯一的y值，符合函数的定义，不符合题意． 【变式2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意； C、对于的每一个确定的值，有两个的值与其对应，所以不是的函数，此项符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数，此项不符题意．故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）函数的定义核心：每一个值都有且对应唯一的一个值．下列选项中不是的函数的是（   ） A． x 0 5 y 3 4 B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：表中数据符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故A不符合； 图中的点符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 是的函数，故B不符合； 图中的点符合“每一个值都有且对仅应唯一的一个值”， 是的函数，故C不符合； 图中的点不符合“每一个值都有且仅对应唯一的一个值”， 不是的函数，故D符合；故选：D． 【变式4】（26-27九年级上·江西赣州·开学考试）下列图象中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据函数的定义，对于 的每一个取值，都有唯一确定的 值与之对应， 在图象上，表现为作垂直于 轴的直线，与图象最多只有一个交点， 选项B、C、D中，均存在作垂直于 轴的直线与图象有两个交点的情况，即一个 对应两个 ，不符合函数定义； 选项A中，对于每一个 ，都有唯一的 值对应，符合函数定义． 题型03 自变量与自变量的范围 【典例1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数要有意义，则，解得：，故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·广东河源·期末）在火箭升空过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，上述过程中，自变量是（    ） A．火箭质量 B．燃料的体积 C．火箭 D．火箭飞行高度 【答案】D 【详解】解：变化过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少，可知火箭飞行高度为自变量． 【变式2】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）神舟二十三号飞船于北京时间2026年5月24日23时08分在酒泉卫星发射中心成功发射．在飞行过程中，飞船燃料的体积会随飞行高度的增加而减少．在这一过程中的自变量是（     ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【详解】解：由题意，燃料的体积随飞船飞行高度的增加而减少，即燃料体积随飞行高度的变化而变化．主动发生变化的量是飞船的飞行高度，即自变量是飞船的飞行高度． 【变式3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）函数中，自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：，解得，，故选：D． 【变式4】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如果等腰三角形的底边长为，腰长为，y与x之间的函数关系式为，那么自变量x的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， 将代入，得，解不等式组，得． 题型04 函数值与范围 【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】解：当时，，解得： 所以不合题意，舍去； 当时，，解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为．故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【答案】 【详解】解：依题意，，则当x增加1时，，此时， 即当x增加1时，y增加，故答案为：2 【变式2】（25-26七年级上·山西大同·期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将35℃转换为华氏度为（   ） A．95℉ B．86℉ C．77℉ D．90℉ 【答案】A 【详解】解：∵，∴ 35℃转换为华氏度为95°F．故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图所示：当时，或．故选：D． 题型05 函数的表示-关系式法 【典例1】（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为．故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得， ∴，即，故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期中）油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 油匀速流出，∴ 流出的油量，∴ 剩余油量． ∵ 流完需，∴ t的取值范围为．故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·江苏·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元，故，经验证，符合表格中数据，故选：C． 题型06 函数的表示-列表法 【典例1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表．以下说法错误的是（   ） 刹车时车速 … 刹车距离 … A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【详解】解：A：刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，正确，不符合题意； B：由表格数据可知，随的增大而增大，正确，不符合题意； C：从表格数据可知，每增加，增加，所以，当时，，错误，符合题意； D：当时，总刹车距离，正确，不符合题意；故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·专项）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系： 0 1 2 3 4 … 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加 C．所挂物体为时，弹簧长度为 D．不挂重物时弹簧的长度为 【答案】D 【详解】解：由表格可得：A．y随x的增大而增大，x是自变量，y是因变量，正确； B．物体质量每增加，弹簧长度y增加0.5cm，故正确； C．由B知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故正确； D．弹簧不挂重物时的长度为，故错误，本选项符合题意；故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）某工厂要加工600件毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 … 加工时间（小时） 10 12 20 … (1)填空：_____，_____；(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ (3)用表示每小时加工毛绒玩具的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)15，30(2)加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大） (3)，反比例关系 【详解】（1）解：∵这批毛绒玩具共 600 件， ∴，∴． （2）解：结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）． （3）解：∵工作总量不变，都是 600 件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是 600 ，即乘积不变， ， 故与成反比例关系． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】(1)150(2)航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大(3)反比例关系 【详解】（1）解：甲、乙两地相距，故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为，∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 题型07 函数的表示-图象法 【典例1】（24-25八年级下·重庆江津·期末）某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系；故选：C ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，∴符合题意的图象是B选项中的图象．故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·广西梧州·期中）乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：虚线一直增加且倾斜程度小于实线； 实线有三个阶段，1、跑了一段，增加；2、睡了一觉，不变，水平线；3、当它醒来时，跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点；只有D选项符合题意．故选：D． 题型08 从函数图象获取信息 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知合肥到芜湖的距离为，现有一辆邮政车往返于这两个城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1h再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过，两车第一次相遇．两车之间的距离与行驶时间之间的部分函数关系如图所示．根据图象的信息，下列说法错误的是（   ） A．邮政车到达芜湖的时间为 B．邮政车的速度为 C．大巴车的速度为 D．当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到芜湖的距离为 【答案】C 【详解】解：由图可知，邮政车用小时由合肥到芜湖， 邮政车的速度为（千米/小时），故A、B正确，不合题意； 设旅游大巴车速度为a千米/小时，根据题意得：， ， 旅游大巴车速度为40千米/小时，故C错误，符合题意； 又，相遇点到合肥的距离为千米． 相遇点到芜湖的距离为：（千米），故D正确，不合题意．故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江·期中）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则（   ） A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】C 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了，∴乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙，∴甲的速度为， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则：， 点可知，休息分钟，∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A错误，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B错误，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，符合题意； D．从图中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，不符合题意．故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小A和小I从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小A比小I先出发，小I出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小A行走的时间为，小A和小I行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．小A比小I先出发15秒 B．小I提速后的速度为 C．小I比小A早到14秒 D． 【答案】D 【详解】解：由图象可得，小I在第15秒时开始出发， ∴小A比小I先出发15秒，故选项A正确； ∵小I从走到了时，总共用了，故提速前的速度为， ∵小I提速后将速度提高到原来的倍， ∴小I提速后的速度为，故选项B正确； 由图象可得线段的过程中，小I从处行走到了， ∴小I在线段的过程中所用的时间为，∴的值为， 即小A从处行走到了时，用了，∴小A的速度为， ∴小A行走用的时间为，即，故选项D错误； ∴小I比小A早到，故选项C正确．故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加，h的增加量相同 【答案】D 【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意； B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶ C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶ D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意．故选：D． 【变式4】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即，解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为，∴，故D选项错误，不符合题意；故选：B． 【巩固训练】 1.（25-26八年级下·山西朔州·阶段练习）已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是（    ） A．函数 B．函数值 C．常量 D．自变量 【答案】D 【详解】解：正方形的周长随着边长的变化而变化，是自变量，故选：D． 2.（25-26八年级下·河北沧州·期中）淇淇打算吃石家庄板面，石家庄板面的单价是10元/碗，淇淇购买石家庄板面的总钱数随着碗数的变化而变化，在这个过程中，常量是（   ） A．石家庄板面 B．石家庄板面的单价 C．石家庄板面的碗数 D．购买石家庄板面的总钱数 【答案】B 【详解】解：根据题意，石家庄板面的单价始终为10元/碗，不随碗数的改变而变化，因此单价是常量．而购买的总钱数（总价单价碗数）和碗数之间存在直接关系，碗数变化时总钱数随之变化，故碗数和总钱数均为变量．故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（   ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【答案】D 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量．故选：D． 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期中）食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【答案】D 【详解】解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意；故选：． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）下列不一定是函数关系的是（   ） A．正方形周长和边长的关系 B．在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C．匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D．某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【详解】解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系；∴不一定是函数关系的是D．故选：D． 6．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意；故选：C． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列函数图象中，能表示函数图象的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【详解】解：A选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D符合题意，故选D． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度，即：。故选：A． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意．故选：B． 10．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）南宁某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天小时的气温变化情况．下列说法正确的是（     ） A．上午点时，该地气温最低 B．这一天早上点之后，该地气温一直在升高 C．该地这天的最高与最低气温差大约是 D．该地这天只有一个时刻的气温达到摄氏度 【答案】C 【详解】解：对于，时气温约为，时气温约为，时不是气温最低时刻，故错误． 对于，时至时气温随时间增加而降低，点之后气温不是一直在升高，故错误． 对于，最高气温约为，最低气温约为，温差约为，故正确． 对于，气温为的时刻有时以及时至时之间、时至时之间，不止一个时刻，故错误． 11．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数，当x的值为时，对应的函数值为___________． 【答案】 【详解】解：把代入，得， ∴当x的值为时，对应的函数值为． 12．（25-26八年级下·吉林延边·期末）一桶纯净水原有水量36升，日常饮用每小时消耗3升． (1)写出桶内剩余水量Q（升）与饮用时间t（小时）的函数解析式，并求出自变量t的取值范围； (2)当连续饮用5小时后，桶中还剩多少升水？ 【答案】(1)，(2)连续饮用5小时后，桶中还剩21升水 【详解】（1）解：∵剩余水量原有水量消耗水量∴函数解析式： ∵总用时：（小时），∴自变量取值范围： （2）解：将代入解析式：（升） 答：连续饮用5小时后，桶中还剩21升水． 【强化训练】 1．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（2026·江苏淮安·中考真题）在物理学中，导线的电阻与温度之间存在函数关系，下表记录了温度（单位：）与某种金属导体的电阻（单位：）的部分对应数据，则与之间的函数关系可能是（     ） 温度 5 10 20 35 电阻 101 102 104 107 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将分别代入四个选项，所得值均为101，与表格数据一致． 将代入各选项： A． ，排除． B． ，符合． C． ，排除． D． ，排除． 将代入B选项，得； 将代入B选项，得，均与表格数据一致． 因此，与之间的函数关系可能是． 3．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某蓄水池装满水后匀速放水，池内剩余水量和放水时间的关系如下表所示： 放水时间 0 1 2 3 4 … 池内剩余水量 50 48 46 44 42 … 下列说法中错误的是（     ） A．上表中池内剩余水量是因变量 B．该蓄水池的容积为 C．在一定范围内，放水时间每增加，池内剩余水量减少 D．根据表格中的规律可知：放水时间为时，池内剩余水量为 【答案】D 【详解】A、∵池内剩余水量随放水时间的变化而变化，∴池内剩余水量是因变量，A正确； B、∵放水时间为时水池装满水，此时剩余水量为，∴蓄水池容积为，B正确； C、对比表格中相邻两组数据，放水时间每增加，剩余水量减少，C正确； D、∵放水时间每增加，剩余水量减少， ∴当时，剩余水量，∴ D错误． 4．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，把一个长方体铁块嵌在透明圆柱形容器内，向容器内均匀注水，注满为止，那么容器内水面的高度h（单位：）与注水时间t（单位：s）之间的关系图象大致是（    ） A． B．C．D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水， 所以函数图象均为匀速上升， 由此可排除B，D选项， 刚开始时由于实心长方体在水槽里，注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是圆柱体的底面积，水面上升的速度较慢，故排除A选项，选项C符合题意． 5．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．其中错误的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①∵乙用秒跑完米∴乙的速度为米/秒；故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟，∴甲的速度为米/秒，∴乙追上甲所用时间为秒， ，秒，∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米；故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米时设时间为秒，，， 当乙到达终点停止运动后，，， 甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是；故③正确； ④乙到达终点时，甲距终点距离为：米，即甲距离终点还有米． 故④正确；错误的个数为1个． 6．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息，下列说法正确的个数为（     ） ①图1中长为；②图2中m的值为9，n的值为25；③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动， 当时，点P在上运动，∴，故①正确； 同理可得当上，点P在上运动，则，∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0，∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得，当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误；综上，只有①③正确． 7．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）曾在比萨斜塔上做自由落体实验，他将两个质量不同的铁球从相同的高度h处同时扔下，结果两个铁球的落地时间t几乎一样．已知h（单位：m）与t（单位：s）满足关系式，其中，，则铁球的落地时间t为__________． 【答案】 【详解】解：将，代入，得， ∴，∴，（舍去），∴铁球的落地时间t为． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知一个长方形的长为，宽比长少，设长方形的面积为，则与的变量关系式为________． 【答案】 【详解】解：长方形的长为，宽比长少，宽为，， 长方形的边长为正数，，即，与的变量关系式为． 9．（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是________米，甲起飞________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若乙起飞后，两架无人机所在的高度相差米，请直接写出的值． 【答案】(1)；(2)甲无人机的上升速度是米/秒(3)秒或秒 【详解】（1）解：由图象可知，甲在空中的停留高度为米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔秒，∴乙在甲起飞秒后开始起飞； （2）解：∵甲上升到米处，用时秒，∴甲上升的速度为：（米/秒）； ∴甲无人机的上升速度是米/秒； （3）解：乙起飞后，满足两架无人机所在高度相差米的值共分为种情况： 当时，由（2）可知，甲无人机的上升速度是米/秒， ∵乙上升到米处时，用时（秒），∴乙上升的速度为：（米/秒）， ∴此时用甲的上升高度减去乙的上升高度，可得，解得秒， 当时，用乙的上升高度减去甲的上升高度，可得，解得秒， 综上所述，满足条件的值有个：秒或秒． 10．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）项目式学习 【项目主题】函数解析式及函数值问题探究． 【知识学习】以为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． (1)【知识运用】对于函数．① ；②计算：的值； (2)【项目拓展】已知函数，且．①求证：；②若，，求的值． 【详解】（1）解：①∵，∴； ②； (2)①证明：，，； ②，，化简得， 取任意值等式成立，∴，，即， ，，，，． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $