专题01 变量与函数重难点题型专训（4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦变量与函数核心知识点，系统梳理变量常量定义、函数概念、自变量取值范围、函数值及列表法、解析法、图像法三种表示方法，构建从基础概念到表示应用的递进式学习支架。 资料通过12大题型覆盖函数概念、图像识别等重难点，3大拓展训练提升综合应用能力，结合即时训练与经典例题，培养抽象能力和几何直观，课中辅助教师系统教学，课后助力学生自我检测与查漏补缺。

专题01 变量与函数重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 函数图象识别 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数的三种表示方法 题型七 用表格表示变量间的关系 题型八 用关系式表示变量间的关系 题型九 用图象表示变量间的关系 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 拓展训练一 函数相关多结论问题 拓展训练二 动态函数图象综合 拓展训练三 利用图象中的信息解决问题 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键．将 代入关系式直接计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查求函数值，将代入关系式计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：7． 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为，对于函数，要使函数为分式形式，分母不能为零，因此自变量需满足分母． 【详解】解：∵分母 ∴． 故选：A． 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围， 根据代数式的分母不等于0，可知，即可得出答案. 【详解】解：函数中，， 解得. 所以函数的自变量的取值范围是. 故答案为：. 知识点三：函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）下列图象中，y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，得出y是x的函数，故B符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故D不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 【答案】 时间和路程 路程 时间 时间 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于在取值范围内，x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【详解】解：一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中，变量有时间和路程，我们可以把路程看成是时间的函数，时间叫做自变量． 故答案为：时间和路程，路程，时间，时间． 知识点四：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：A．当时，，即图象与y轴的交点坐标为，故选项A说法正确，不符合题意； B．因为，所以，即图象与x轴没有交点，故选项B说法错误，符合题意； C．因为，所以图象不经过第三、四象限，故选项C说法正确，不符合题意； D．函数图象关于y轴对称，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的表示方法，设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟，由表格数据可得t与x的关系式，将代入计算，即可得出答案； 【详解】解：设鸭的质量为时，烤制时间为t分钟， 由表格得，鸭的质量x每增加千克，烤制时间t增加分钟， ∴， 即：， 当时， ， 故答案为：． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，下列图象中，能表示是的函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：如图，下列图象中，能表示是的函数的有， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解本题的关键．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数．根据函数的定义判断即可． 【详解】根据函数的定义可知，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之对应，选项A，B，D均满足函数的定义，不符合题意； 选项C中，存在对于的某个确定的x值，y可能出现两个值与其对应，所以选项C中的曲线，y与x不是函数关系，符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值与它 ，那么称y是x的函数，x是 ，对x的每一个取值，函数y的对应值称为 ． 【答案】 每一个确定 唯一 对应 自变量 函数值 【分析】本题需要明确函数定义的内容，准确填写每个空； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量，对x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值． 故答案为：①每一个确定；②唯一；③对应；④自变量；⑤函数值． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）清明假期期间，小金一家去郊外自驾游，如图是他们加油时加油机上的数据显示牌，则数据中的因变量是 ．    【答案】金额 【分析】根据变量、常量、自变量、因变量的意义结合具体的问题情境进行解答即可． 【详解】解：在这个变化过程中，金额随着加油量的变化而变化，因此加油量是自变量，金额是因变量， 故答案为：金额． 【点睛】本题考查变量与常量，理解自变量、因变量的定义是正确解答问题的关键． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，梯形的上底长是，下底长是15，高是8．    (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)用表格表示与的关系，完成表格中（   ）的相应值． 上底长 … 10 （   ） 18 20 … 梯形面积 … 100 120 （   ） 140 … (3)如何随的变化而变化？ (4)当时，等于什么？此时它表示的图形是什么？ 【答案】(1) (2)15，132 (3)当每增加1时，增加4； (4)当时，；此时它表示的图形是三角形． 【分析】本题考查了函数的有关概念，利用梯形的面积公式得出函数关系式是解题关键． （1）根据梯形的面积公式，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案； （3）根据函数的性质，可得答案； （4）根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）梯形面积与上底长之间的关系式是． （2）当时，，解得． 当时，． 填表如下： 上底长 … 10 15 18 20 … 梯形面积 … 100 120 132 140 … （3）由表格可得，当增加5时，增加20；当增加3时，增加12；当增加2时，增加8； 当每增加1时，增加4． （4）当时，．此时它表示的图形是三角形． 【经典例题二 函数解析式】 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数表达式的判断，观察收入y与质量x之间的关系，进而可以得到答案． 【详解】解：表格整理为： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 由表格可知，质量每增加1千克，收入就增加2.1元， 故，经验证，符合表格中数据， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式，弄清量之间的关系是解题的关键． 根据等腰三角形的周长公式求出底边长，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为x， ∴底边长为， ∵， ∴ ∴底边y与腰长x的函数关系式是． 故答案为: 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为 ．（无需写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系式及图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形．．．以此类推即可解答． 【详解】解：由图形可知： 第1个图形中有个三角形， 第2个图形中有个三角形， 第3个图形中有个三角形， ．．．， 第n个图案有个三角形， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 燃烧时间 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度 … (1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量． (2)写出这根香可燃烧部分的长度与燃烧时间的函数关系式． (3)求这根香可燃烧的时间． 【答案】(1)自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度； (2) (3) 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系以及函数解析式的知识点，读懂表格数据是解题关键． （1）香可燃烧部分的长度随着时间的变化而变化，据此即可求解； （2）由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少，求出当时，这根香的长度为：；即可求解； （3）由（2）即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：自变量是燃烧时间，因变量是香可燃烧部分的长度； （2）解：由表格数据可知：燃烧时间每增加，这根香可燃烧部分的长度减少， ∴当时，这根香的长度为：； ∴这根香燃尽所需的时间为：； ∴； （3）解：由（2）可得：这根香可燃烧的时间为； 【经典例题三 函数图象识别】 【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）下列曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数的概念，对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：若y是x的函数，那么当x取一个值时，y有唯一的一个值与x对应，选项A、B、D都符合； C选项图象中，在x轴上取一点（图象与x轴交点除外），即确定一个x的值，这个x对应图象上两个点，即一个x的值有两个y值与之对应，故此图象不是y与x的函数图象． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，应首先看清横轴和纵轴表示的意义，以及图象的变化趋势，然后根据实际情况作出选择即可． 【详解】解：a：运动员推出去的铅球的高度与时间的关系，因为铅球的高度是在运动员的身高的基础上变化的，且变化趋势为先变大在变小，故为第一个图象； b：小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地，因此小车的路程应从零开始，且小车行驶的路程会随时间的变化越来越大，故为第四个图象； c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加，弹簧的长度会随着所挂重物的质量的增加而变长，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，故是第二个图象； d：小明从A地到B地这一过程，小明离A地的距离会随着时间的增长而增加；在“停留一段时间”这个过程中，小明离A地的距离不会变化；在“原速度原路返回”的过程中，小明离A地的距离会随着时间的增长而减小，一直到回到原地，故是第三个图象． 综上，正确的顺序是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的定义，理解并掌握函数的定义是关键． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就把称为自变量，把称为因变量，是的函数，根据定义，结合图形分析即可． 【详解】解：图（1）中，任意一个确定的值，都有唯一确定的值对应，故是的函数，符合题意； 图（2）中，任意一个确定的值，值不唯一，故不是的函数，不符合题意； 故答案为：（1） ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为 ．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 4．（2025·江苏镇江·三模）在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1) (2) (3)乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； （3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 【经典例题四 求自变量的取值范围】 【例4】（2025八年级上·江苏徐州·专题练习）在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 【答案】A 【分析】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：根据题意． 故选． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围，根据求解即可． 【详解】解：， ∴， 故函数的自变量的取值范围是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域，熟知定义域的概念是解题的关键．根据根式的被开方数非负、零次幂的底数不为零以及分母不为零，求定义域即可． 【详解】解：要使函数 有意义，需满足以下条件： 1. 根式的被开方数，解得． 2. 零次幂 的底数，解得． 3. 分母．当 时，，此时分母为，因此 ，即． 综上，定义域为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是 （写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，要围建一个长方形的养鸡场，其中一边靠墙，墙长为，另外三边用的竹篱笆围成，求养鸡场平行于墙的一边长与垂直于墙的一边长之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，审清题意、准确列出关系式或通过计算得到关系式，关注自变量的取值范围是解题关键． 根据篱笆围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可． 【详解】解：根据题意，得：，即， 由题意，得：， ，解得：． 养鸡场平行于墙的一边长与垂直于墙的一边长之间的函数表达式为 ． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例5】（25-26八年级上·江苏常州·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值或函数值，根据自变量x与函数y的关系图，得，再分析当x增加1时，，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则当x增加1时，， 此时， 即当x增加1时，y增加， 故答案为：2 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的求值，熟练掌握函数值的代入计算方法是解题的关键．根据已知的函数关系式，将自变量代入，进而求出对应的函数值． 【详解】已知函数关系式，将代入可得毫米． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 k ①______． ②若为该函数图像上不同的两点，则_______． (2)描点并画出该函数的图像． (3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________． ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质：________． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)①；②该函数的图像是轴对称图形；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了函数的图像及性质，从函数图像获取信息是解题的关键． （1）①已知，将的值代入即可求得的值；②，为该函数图像上不同的两点，则将代入解析式即可求解； （2）描点连线画图即可； （3）①观察图像可得；②观察图像可得． 【详解】（1）解：①当时，， 故答案为：； ②，为该函数图像上不同的两点，即， 解得（舍去）或， 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：①由图像可得当，该函数的最大值为1， 故答案为：； ②观察图像可得：该函数的图像是轴对称图形；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【经典例题六 函数的三种表示方法】 【例6】（24-25八年级上·江苏淮安·月考）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数，每一个都只有一个与之对应，表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度总长度燃烧的长度， 即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中表示时间，表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个关于的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围） 【答案】． 【分析】从表格看，t=0时，y=3，而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2，即可求解． 【详解】从表格看，t=0时，y=3， 而每半个小时增加0.1米，即每个小时增加0.2， 故函数的表达式为：y=t+3， 故答案为y=t+3． 【点睛】本题考查的是函数的关系式，此类题目通常按照找规律的方法，列出函数表达式． 4．（24-25八年级上·江苏常州·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时，解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 【经典例题七 用表格表示变量间的关系】 【例7】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 1．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（ ） … … A．与都是变量； B．弹簧不挂物体的长度为 C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大 D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加 【答案】B 【分析】本题考查了用列表法表示变量之间的关系，以及在实际问题中自变量，因变量的识别，观察表格，寻找变量之间的关系是解题关键． 根据表格以及弹簧长度与所挂物体之间的线性关系逐项判断即可． 【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，正确，故该选项不符合题意； B．当时，，即弹簧不挂物体的长度为 ，故该选项符合题意； C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大，正确，故该选项不符合题意； D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知：， ∴当时，， 故答案为：． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小王用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 1 2 3 … … 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于中心对称； ③当时，该函数图象有最低点，当时，该函数图象有最高点； ④该函数图象可由函数经过平移得到； ⑤若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了函数的图象和性质，根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在该函数图象上，故①正确； 设点在函数的图象上，即， 把点关于中心对称的点代入得到， 则， ∴也在函数的图象上， ∴该函数图象关于中心对称；故②正确； ∵， ∴， 当时，， 即， 即当时，函数的图象有最高点， 当时，， 即， 即当时，函数的图象有最低点， 故③正确； ∵， ∴函数的图象无法由函数经过平移得到； ⑤由得到，， ∵关于的方程有两个实数根， ∴也有两个实数根， ∴， 即， ∴或， 故⑤错误， ∴正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】(1)150 (2)航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大 (3)反比例关系 【分析】本题考查变量之间的关系，掌握反比例关系的特点是解题的关键． （1）用任意一组数据中的速度乘以时间即可； （2）根据所给数据变化趋势可得答案； （3）根据可得答案． 【详解】（1）解：甲、乙两地相距， 故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为， ∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 【经典例题八 用关系式表示变量间的关系】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．三角形面积公式中，，，是变量 B．圆的面积公式中是常量 C．变量和常量是相对的，在一定条件下可以相互转化 D．如果，那么，都是常量 【答案】D 【分析】根据常量与变量的定义，正确理解自变量，因变量，常量，解答即可． 本题考查了常量与变量的定义，正确理解变量，常量是解题的关键． 【详解】A. 三角形面积公式中，，，是变量，正确，不符合题意； B. 圆的面积公式中是常量，正确，不符合题意； C. 变量和常量是相对的，在一定条件下可以相互转化，正确，不符合题意； D. 如果，那么，都是常量，错误，符合题意； 故选D． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，，即． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)3000米 (2)所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了列式计算、函数的表示、反比例等知识点，理解表格是解题的关键． （1）直接列式计算即可； （2）分析表格即可解答； （3）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式判断与成什么比例关系即可． 【详解】（1）解：（米）． 答：这项工程所挖管道共有3000米． （2）解：由表格可知：所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少． （3）解：由题意可得：， 所以与成反比例关系． 【经典例题九 用图象表示变量间的关系】 【例9】（24-25八年级上·全国·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，熟练掌握用图象表示变量之间的关系是解题关键．运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面，由此即可得． 【详解】解：因为运动员掷铅球时，铅球先沿着一条曲线上升，上升到最高处后，再沿着一条曲线落回到地面， 所以铅球的高度先随着水平距离的增大而增大，在取得最大值后，再随着水平距离的增大而减小， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③面积为10的等腰三角形，底边上的高y与底边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，判断①即可；根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，判断②即可；根据三角形的面积公式，判断③即可． 【详解】解：①车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，符合题意，选项正确； ②水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，符合题意，选项正确； ③面积为10的等腰三角形，底边上的高y与底边长x， ， ，为反比例函数，不符合题意，选项错误， 变量y与变量x之间的函数关系可符合图象的是①②， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，正确理解函数图像表示的意义，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 【详解】解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）周末，小明坐公交车到公园游玩，他从家出发小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是______因变量是______； (2)小明从家出发到达公园的平均速度为______； (3)图中的点表示______； (4)爸爸驾车经过多久追上小明？ 【答案】(1)小明离家的时间，他们离家的路程； (2)； (3)爸爸出发小时后到达公园，或小明离家小时时，爸爸到达公园，或爸爸离家的路程为； (4)爸爸驾车经过小时追上小明． 【分析】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义． （）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量、路程； （）根据图象中数据进行计算，即可得到时间、速度； （）根据自变量、因变量表示的意义以及点坐标即可得到点坐标表示的意义； （）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追击问题关系式即可解答． 【详解】（1）解：由图象可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程； 故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程； （2）解：由图象可得，小明从家出发到达公园的平均速度为：， 故答案为：； （3）解：由图象可得，点坐标为，表示爸爸出发（小时）后到达公园，或小明离家小时时，爸爸到达公园，或爸爸离家的路程为， 故答案为：爸爸出发小时后到达公园，或小明离家小时时，爸爸到达公园，或爸爸离家的路程为； （4）解：由图象可得，小明从书城到公园的平均速度为，小明爸爸驾车的平均速度为， ∴爸爸驾车经过追上小明， 答：爸爸驾车经过小时追上小明． 【经典例题十 从函数的图象获取信息】 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，图象（折线）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（    ） A．第3分钟时汽车的速度是40千米/时 B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时 C．从第6分钟到第9分钟，汽车行驶了180千米 D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 【答案】C 【分析】本题考查函数图象与行程问题． 根据函数图象中的信息，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．第3分时汽车的速度是40千米/时，原说法正确，不符合题意； B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时，原说法正确，不符合题意； C．从第6分钟到第9分钟，平均速度小于60千米/时，汽车行驶的路程小于180千米，原说法错误，符合题意； D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【答案】C 【分析】本题考查路程—时间图象的识别，根据图象，按照路程速度时间即可逐项判断． 【详解】解：A：由题图知，时，物体通过的路程为说法正确，不符合题意． B：整个时间内，物体通过的路程为，则物体的平均速度，B说法正确，不符合题意． C：由图可知，物体通过的总路程为，故C说法错误，符合题意； D：内物体速度， 内物体速度， 故物体在内的速度比内的速度大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故； ②③过第二、四象限，故，； ②比③更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 【答案】 180 3.75 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米，根据交点的意义可得，求解，即可求解，两地之间的距离； （2）先求出甲车3时走的路程，则即可求解甲车的速度，继而求解甲车到达中点时的时间． 【详解】（1）设相遇时甲车走了千米，则乙车走了千米， 因为交点的坐标为， 所以出发3时，两车相遇，此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米， 所以， 解得， 所以， 所以，两地之间的距离为180千米， 故答案为：； （2）因为甲车3小时走了72（千米）， 所以甲车的速度为（千米/时）， 所以甲车到达中点时的时间：（时），即的值为3.75． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行驶的路程s与他所用的时间t之间的关系． 请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了多少千米时，自行车出现故障？修车用了几分钟？ (2)小明共用了多少时间到学校的？ (3)小明修车前、后的行驶速度各是多少？ (4)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟（精确到0.1）？ 【答案】(1)小明行了3千米时，自行车出现故障；修车用了5分钟 (2)30分钟 (3)小明修车前的行驶速度是0.3千米/分，小明修车后的行驶速度是千米/分 (4)他比实际情况早到3.3分钟 【分析】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是正确理解题意、从图象获取必须的信息． （1）根据自行车出现故障后路程s不变解答；修车的时间等于路程不变的时间； （2）路程等于8千米时对应的横轴的时间即为用的时间； （3）根据速度等于路程除以时间求解即可； （4）求出未出故障需用的时间，然后与实际情况的时间比较即可进行判断． 【详解】（1）解：小明行了3千米时，自行车出现故障；修车（分钟）； （2）解：由图象可知：小明共用了30分钟到学校； （3）解：小明修车前的行驶速度为千米/分， 小明修车后的行驶速度为千米/分； （4）解：，（分钟）， 他比实际情况早到3.3分钟． 【经典例题十一 用描点法画函数图象】 【例11】（2025·江苏南京·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中排名情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 你选择的理由是 . 【答案】 甲 数学 丙这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学. 【分析】(1)根据图1分析甲乙两人所在的位置的横坐标即可确定总成绩名次 (2)根据图2分析丙所在位置的横坐标,确定丙的总成绩年级名次是倒数第5,在图1中找出从右数第5个点即为丙的位置,观察图1和图2中丙的纵坐标即可得出答案 【详解】(1)由图1可知甲的位置在乙的左侧,所以在甲、乙两人中,总成绩名次靠前的学生是甲； (2)由初三年级261位学生参加期末考试,某班35位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从图2看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在图1中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 【点睛】此题考查函数图象，解题关键在于从图中获取数据. 3．（2025·江苏宿迁·二模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … (1)________， ________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时， 当时， 故答案为：，； （2）解：如图所示： （3）解：由图可知，当时，函数的图象与直线有3个交点． 【经典例题十二 动点问题的函数图象】 【例12】（2025·江苏常州·一模）如图所示，一只小虫在折扇上沿路径爬行，能大致描述小虫距出发点的距离与时间之间的函数图象是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图形问题，解决有关动点问题的函数图象类习题时，不一定要通过求解析式来解决，注意分析因变量随自变量的变化而变化的趋势． 由于这只小虫行走的路线正好是一个扇形，从圆心出发，经过半径、弧和半径回到圆心，然后根据扇形的性质求解即可． 【详解】解：这只小虫在折扇上沿路径爬行时， 在上运动时，随的增大而增大，成正比例； 在弧上运动时，是定值为半径； 在上运动时，随的增大而减小，是一条直线． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（    ）    A．12 B．14 C．24 D．28 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象，当点P从A运动到B时，y随x的增大而增大，从B运动到C时，y保持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：由图可知，，， 长方形的面积是， 故选：D． 2．（2026·江苏·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解． 【详解】解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 3．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 【答案】3 【分析】本题考查用图象表示变量的关系，读懂图象获取有效信息是解题的关键．根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变，即当点P运动到点A时，的面积即a的值，再根据点P沿运动到D时的路程为，求得b的值即可． 【详解】解：根据题意可知，当点P在上运动时，的面积不变， ∴当点P运动到点A时，， ∵在长方形中，，， ∴， 由图可知，当点P运动到点D时，此时点P的运动路程为， 即， ∴， ∴． 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从D出发，沿折线运动，速度为每秒2个单位长度．当两点到选点O时同时停止运动．设运动时间为x秒，P，Q两点间的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出一条该函数的性质； (3)结合函数图像，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，函数值均为6 (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是分段写出函数解析式． （1）分两种情况求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，并写出函数的性质； （3）根据图象写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， ， ，的速度为每秒2个单位长度， 当时，在线段上，点在线段上，且，， ， 当时，在线段上，点在线段上，且， ， ， 关于的函数关系式为； （2）解：根据题函数解析式，画出函数图象，如图： 性质：当时，函数值均为6（答案不唯一）； （3）解：当时，即， 解得， 当时，的取值范围为． 【拓展训练一 函数相关多结论问题】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最小值，；增大 (4) 【分析】本题考查了描点法画函数图象，函数图象以及性质，数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得关于直线对称，根据，为该函数图象上不同的两点，关于直线对称，故，解答即可． （2）根据描点法作图即可； （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可； （4）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得关于直线对称， 又，为该函数图象上不同的两点，是对称点， 故， 解得， 故答案为：． （2）解：根据题意，下图为所求： ． （3）解：根据图象，得到： 结论1：该函数有最小值，这个值是， 故答案为：最小值，； 结论2：当时，随增大而增大， 故答案为：增大； （4）解：根据图象，当时，与有唯一交点， 当时，与无交点， 那么关于的方程无解时，， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目，在素质项目中，女子800m的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 时间 分值 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 表1 在女子800m的考试现场，A，B两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：）时，A同学跑步的路程为（单位：），B同学跑步的路程为（单位：）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间r（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（m） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（m） 0 12.5 50 112.5 200 450 550 600 650 a 800 表2 (1)a的值为______． (2)请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． (3)根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面： ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同： 上述结论中，所有正确结论的序号是______． (4)假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 【答案】(1)700 (2)见详解 (3)①③ (4) 【分析】（1）从表中可知在这一时间段内呈现匀速变化，先算出这一时间段的速度，再根据的间隔，结合已求出的速度算出这段时间增加的路程，最后加上时的路程，即可求出的值； （2）在平面直角坐标系中准确找出这些点的位置，然后按照顺序用平滑的曲线将这些点连接起来，就可以完成图像的补全； （3）①对于判断同学位置关系，我们只需在这个时间段内，对比和每个时刻对应的路程大小判断即可；②判断同学跑得分，需要先从表格中找出同学跑对应的时间，再对照评分标准确定相应的分值判断即可；③判断同学匀速跑步阶段速度是否相同，我们分别计算出同学在各自匀速跑步阶段的路程和时间，然后根据速度公式算出速度，最后比较两个速度是否相等即可； （4）利用已知的跑这一条件，通过比例关系求出跑所用的时间，再依据评分标准确定同学的得分即可． 本题考查了数据的分析与解读和应用能力，函数的图像与描点以及对评分标准的理解，对数据表的解读是解本题的关键． 【详解】（1）解：观察的数据规律，发现从到，路程从增加到， 根据匀速部分的规律，从到，时间经过了，路程增加了，则每秒跑了， 到经过，增加的路程是， 故， 故答案为：700； （2）根据表2中的的时间和路程数据，在平面直角坐标系中依次找出对应点，然后用平滑的曲线连接起来，如图所示， （3）当时，同学的路程始终大于同学的路程，从表中还可以看出同学在每个时间点的路程都超过同学的路程，因此①正确； 同学完成的时间为，即4分20秒；根据评分标准，4分25秒对应6分，4分16秒对应6.5分，因此4分20秒对应6分，结论②错误； 同学在匀速阶段阶段的速度为：从到，跑了，速度为；同学在匀速阶段的速度为：从到，跑了，速度为； 因此，两名同学在匀速跑阶段速度相同，结论③正确； 故答案为：①③； （4）同学在时跑了，匀速速度为，剩余的路程为，以匀速速度完成需要， 因此同学完成的总时间 为4分0秒， 根据评分标准，4分秒对应分； 综上分析，同学可以得到7.5分， 故答案为： 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）们把一只手掌的大拇指与小拇指尽量张开．两指间的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的指距和身高成某种关系．数学综合与实践小组从函数角度对指距与身高的关系进行了如下探究： 【观察测量】数学综合与实践小组通过观察测量，得到下表： 指距 19 20 21 22 23 身高 151 160 169 178 187 【探究发现】 （1）小组建立了如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距，纵轴表示身高，描出以表格中所有数据为坐标的各点； （2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是_____（填写函数类型），该函数的表达式为_____； 【结论应用】 （3）应用上述发现的规律推测：李老师的身高为173.5cm，则他的指距约为_____cm． 【答案】（1）见解析；（2）一次函数，；（3）21.5 【分析】本题考查了平面直角坐标系描点和一次函数图象及性质，解题关键是根据描点确定该函数为一次函数，求出解析式即可解决问题； （1）根据坐标描出各点即可； （2）根据各点在同一直线上，可确定为一次函数，利用待定系数法求出解析式即可； （3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】解：（1）各点如图所示： （2）这些点大致位于同一条直线上，则这个函数最有可能是一次函数； 设函数关系式为， 把，代入得，， 解得，把代入，等式成立， 所以该函数的表达式为； 故答案为：是一次函数； （3）把代入得， ， 解得， 故答案为：21.5． 【拓展训练二 动态函数图象综合】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在长方形ABCD中，当点P在边AD（不包括A，D两点）上移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些发生了变化． (1)试分别写出长度发生变化的线段与面积发生变化的三角形． (2)假设长方形的长AD为，宽AB为，线段AP的长为，分别写出线段PD的长度y（单位：），的面积S（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 【答案】(1)长度发生变化的线段有AP，PD，BP，PC；面积发生变化的三角形有，． (2)（） 【分析】（1）根据点在运动，可知长度发生变化的线段和面积发生变化的三角形，即可解决问题； （2）表示出的长，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：长度发生变化的线段有AP，PD，BP，PC；面积发生变化的三角形有，． （2）解：根据题意可知，． ∵， ∴，其中， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，动点问题，函数的解析式，三角形的面积等知识，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： (1)点P在上运动的时间为 s； (2)当t为 时，三角形的面积为． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题考查了一次函数和几何综合，动点问题的函数图象等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解； （2）通过图象可知，的面积为．即，分别在和上代入即可求得答案． 【详解】（1）由图象可知，点P在上运动的时间为， 故答案为：6； （2）当P在上运动，即时，速度为，则， ， 的面积为，即时， ∴， ∴， 当P在上运动，的面积为，不符合题意， 当P在上运动，即时， 在上运动的速度为， ∴， ∴， ∵的面积为，即时， ∴， ∴， ∴当t为或时，的面积为． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以的速度沿图①的边框按的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图②所示．若，请回答下列问题： (1)图①中的长是 ；图②中， ， ； (2)求图①的面积． 【答案】(1)8；24；17 (2) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；同（1）可求出的长，又由，可以计算出的面积，计算可得a的值；根据图象求出和、的长，计算的长度，计算可得b的值； （4）分析图形可得，图形面积等于，代入数据计算可得答案； 【详解】（1）动点P在上运动时，对应的时间为：0～4秒，即， 得：； 故的长是； 由（1）可得，，a的值是当点P运动到点C时的面积，则： ， 即图象中a 的值是24； 由图可得：，，，则：． 根据题意，动点P共运动了， ∵其速度是，则， ∴图象中的b是17． 故答案为：8，24，17； （2）由（1）可知，，， 又∵由 ， ∴图①的面积为； 【拓展训练三 利用图象中的信息解决问题】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是__________． (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式． (3)当乙壶中加热时间为时，求此时乙壶中的水温． 【答案】(1)20 (2) (3)65 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象，并熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据时，即可得； （2）先判断出乙壶对应的函数图象经过点，再利用待定系数法即可得； （3）将代入乙壶中与的函数解析式即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 故答案为：20． （2）解：因为甲壶比乙壶加热速度快， 所以乙壶对应的函数图象经过点， 设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为， 自变量x的取值范围是． （3）解：将代入得：， 即乙壶中加热时间为时，乙壶中水温是． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某超市销售甲、乙两种水果，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲种水果每千克的销售价______元； (2)当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______，当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______； (3)销售量为多少千克时，两种水果的销售额相差150元？ 【答案】(1)20 (2)， (3)当销售量分别为或时销售额相差150元 【分析】本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元； （2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可． （3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分情况计算即可． 【详解】（1）解：根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元， 故单价为元； 故答案为：20． （2）当时，是正比例函数， 设解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故解析式为； 当时，是一次函数， 设解析式为， 把点，代入解析式，得， 解得， 故解析式为． （3）根据题意得：甲的解析式为． ①当时，，解得； ②当时，，解得． 答：当销售量分别为或时销售额相差150元． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小明同学运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究． 【初步感知】 （1）作出函数图象： ①列表填空： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ______ 1 ______ ______ 0 ．．． ②在图中的平面直角坐标系内描点，并画出函数的图象； 【深入探究】 （2）根据（1）②中你作出的函数图象，写出函数的两条性质； 【类比应用】 （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ 【答案】（1）①2，0，；②见解析；（2）当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；函数图象关于直线对称；（答案不唯一）；（3）函数有最大值；当时，函数有最大值，最大值为3 【分析】（1）①分别将对应的自变量的值代入函数解析式即可求解；②描点，连线，即可作图； （2）可从函数的增减性、对称性以及最值等方面入手； （3）由图象可知，函数的图象有最低点；根据可得有最大值； 【详解】解：（1）①当时，；当时，；当时，； 故答案为：2，0，； ②描点，连线，画出函数图象如下： （2）由图象可知： 增减性：当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小； 对称性：函数图象关于直线对称； （3）由图象可知：函数有最小值；且当时，函数有最小值，最小值为； ∵， ∴函数有最大值；当时，函数有最大值，最大值为3 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由图象判定函数．熟练掌握函数定义，是解题的关键．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，则y是x的函数． 根据函数定义逐一判断即得． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， ∴只有选项D满足条件． 故选 D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 【详解】解：∵王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园， ∴图形第一段应是和连线的线段， ∵与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中， ∴图形第二段是水平线段经过分钟， ， ∴第三段是第二段末尾和连线的线段， ∴图形表示符合的是D， 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）如图所示，长为2宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形；设穿过的时间为t，正方形除去矩形面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，分三个阶段分析，得出解析式，进而结合选项中的函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意，①矩形向右未完全穿入大正方形，减小； ②矩形穿入大正方形但未穿出大正方形，不变； ③矩形穿出大正方形，增大． ④完全与大正方形没重合时，不变； 分析选项可得，A符合． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把，，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴ ， 即在点燃后的时，离地面的高度为． 故选：A 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x与氢原子数y的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式． 先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的原子数）与原子数）对应值：甲烷、乙烷、丙烷、丁烷；再将对应值代入各选项，或根据“每增1个C原子增2个H原子”的规律，推导x与y的关系式，进而判断正确选项． 【详解】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系： 甲烷：时，； 乙烷：时，； 丙烷：时，； 丁烷：时，． A、若，当时，，此选项不符合题意； B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意； C、若，当时，，此选项不符合题意； D、若，当时，，此选项不符合题意． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 【答案】 y 【分析】本题考查了函数的概念及列函数解析式，理解每升高米降低是解题的关键．根据每升高降低，则上升的高度，下降，据此即可求得函数解析式，再根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由题意，山脚温度为，每升高降低，上升高度为，温度为， 则y与x的函数解析式为，其中x是自变量，y是x的函数． 故答案为：，x，y，x． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用关系式表示变量之间的关系，整式的加减运算，由图可知，将m张这样的白纸粘合后的总长度张白纸的总长个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式． 【详解】解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间（分）之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据距离学校的路程等于总路程减去已走路程，列出函数关系式即可． 【详解】解：前半程路程为600米，速度为40米/分，用时分钟． 当时，后半程行走时间为分钟，速度为50米/分，已走路程为米； 故； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②． 【详解】解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误． 故答案为：①． 10．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 【答案】或3 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，几何图形与函数图象的关联信息，正确理解几何图形与函数图象的关联信息是解题的关键； 根据动点P所在的位置与图象的关系求出，，然后根据动点P在边和上分析即可． 【详解】解：根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴， 由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， 当时，设点P运动的时间为x秒，有两种情况： 当动点P在边上时，由得 ； 当动点P在边上时，由得 ， 综上，当时，秒或3秒， 故答案为：或3． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)为任意实数 (2) (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量取值范围的计算方法是关键． （1）根据整式的定义解答； （2）根据分式的分母不为零得到答案； （3）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：函数表达式右边是整式，所以的取值范围为任意实数； （2）解：根据分式有意义的条件，分母不为0，故的取值范围为； （3）解：由得，的取值范围为． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 【答案】(1) (2)6或 【分析】本题考查了分段函数． （1）由将代入计算即可； （2）根据平方的非负性可知输入的x的取值范围不可能为，将代入其他两段函数计算即可． 【详解】（1）把代入，得； （2）∵输出值为， ∴输入的x的取值范围不可能为， ∴对于，当时，； 对于，当时，． ∴输入的x的值是6或． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (2)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1) (2)长方形的面积从变到 【分析】本题考查函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题干求关系式的方法． （1）根据长方形的面积=长×宽求解； （2）分别代入两值求解即可． 【详解】（1）解：因为长方形的面积，，为，长方形的面积 ； （2）解：当时，， 当时，， 所以当长从变到时，长方形的面积从变到． 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)在兄的登山过程中自变量是 ，因变量是______； (2)求弟登山上升的速度及b的值； (3)兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； (4)当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 【答案】(1)登山时间；距地面的高度 (2)弟登山上升的速度为15米/分， (3)12，280 (4)当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合 【分析】本题主要考查函数的图象，考查学生从坐标系中提取信息的能力，掌握数形结合的方法是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）结合图象，根据“速度=路程÷时间”列式计算即可求解； （3）根据两条线段的交点坐标的意义解答即可； （4）根据“时间=路程÷速度”求出兄到达高度为400米时所需要的时间即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，在兄的登山过程中自变量是登山时间，因变量是距地面的高度． 故答案为：登山时间；距地面的高度； （2）由题意可得，弟登山上升的速度为：（米/分）， ； （3）由图象可知，兄出发12分钟后追上弟，此时距地面的高度为280米； 故答案为：12，280； （4）兄出发2分钟后的速度为：（米/分）； 兄到达高度为400米时所需要的时间为：（分钟），（分钟）， 答：当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合． 15．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 【答案】(1)图表见解析 (2)②③ (3) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据解析式计算即可填表；再利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象判断三个性质即可； （3）根据图象直线经过点时，与函数的图象只有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：补充表格： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 0 1 2 2 2 2 … 画出函数图象如图所示： （2）解：由图象可知， ①函数图像关于y轴不对称，故①错误； ②此函数无最小值，正确； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变．正确． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③； （3）解：直线与函数的图象只有一个交点， 根据图象可知，直线经过点， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 变量与函数重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 函数图象识别 题型四 求自变量的取值范围 题型五 求自变量的值或函数值 题型六 函数的三种表示方法 题型七 用表格表示变量间的关系 题型八 用关系式表示变量间的关系 题型九 用图象表示变量间的关系 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 用描点法画函数图象 题型十二 动点问题的函数图象 拓展训练一 函数相关多结论问题 拓展训练二 动态函数图象综合 拓展训练三 利用图象中的信息解决问题 知识点一：变量与函数 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． （3）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 知识点二：函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是 ． 知识点三：函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）下列图象中，y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）一列动车从盐城出发去徐州，每小时行驶，在这一过程中， 是变量，我们可以把 看成是 的函数， 叫自变量． 知识点四：函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 【即时训练】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像与轴的交点坐标为 C．图像不经过第三、四象限 D．函数图像关于轴对称 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量 1 2 3 4 烤制时间 若鸭的质量为时，烤制时间为 ． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，下列图象中，能表示是的函数的有（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有 的值与它 ，那么称y是x的函数，x是 ，对x的每一个取值，函数y的对应值称为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）清明假期期间，小金一家去郊外自驾游，如图是他们加油时加油机上的数据显示牌，则数据中的因变量是 ．    4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，梯形的上底长是，下底长是15，高是8．    (1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？ (2)用表格表示与的关系，完成表格中（   ）的相应值． 上底长 … 10 （   ） 18 20 … 梯形面积 … 100 120 （   ） 140 … (3)如何随的变化而变化？ (4)当时，等于什么？此时它表示的图形是什么？ 【经典例题二 函数解析式】 【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）某人购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量（千克）与收入（元）的关系如下表： 质量千克 1 2 3 4 5 … 收入元 … 则收入（元）与卖出的苹果质量（千克）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为 ．（无需写出自变量的取值范围） 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： 燃烧时间 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度 … (1)该表格反映了两个变量之间的关系，写出自变量，因变量． (2)写出这根香可燃烧部分的长度与燃烧时间的函数关系式． (3)求这根香可燃烧的时间． 【经典例题三 函数图象识别】 【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）下列曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序． a.运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； b.小车从甲地出发，沿直线匀速驶往乙地（小车行驶路程与时间的关系）； c.一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； d.小明从地到地后，停留一段时间，然后按原来的速度原路返回（小明离地的距离与时间的关系）． 正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为 ．    4．（2025·江苏镇江·三模）在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【经典例题四 求自变量的取值范围】 【例4】（2025八年级上·江苏徐州·专题练习）在反比例函数中，自变量x的取值范围为（  ） A． B． C． D．全体实数 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）函数的定义域为 ． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是 （写出自变量的取值范围） 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，要围建一个长方形的养鸡场，其中一边靠墙，墙长为，另外三边用的竹篱笆围成，求养鸡场平行于墙的一边长与垂直于墙的一边长之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【经典例题五 求自变量的值或函数值】 【例5】（25-26八年级上·江苏常州·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，某种杆秤在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，为刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡，与的关系式为，当克时，的长度是 毫米． 4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 k ①______． ②若为该函数图像上不同的两点，则_______． (2)描点并画出该函数的图像． (3)①根据函数图像可得：该函数的最大值为________． ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质：________． 【经典例题六 函数的三种表示方法】 【例6】（24-25八年级上·江苏淮安·月考）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一个水库的水位在最近的10小时内将持续上涨．表二记录了3小时内5个时间点对应的水位高度，其中表示时间，表示对应的水位高度．根据表中的数据，请写出一个关于的函数解析式合理预估水位的变化规律．该函数解析式是： ．（不写自变量取值范围） 4．（24-25八年级上·江苏常州·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【经典例题七 用表格表示变量间的关系】 【例7】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 1．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）之间有下表所示的关系，下列不正确的说法是（ ） … … A．与都是变量； B．弹簧不挂物体的长度为 C．在弹性限度内，随着所挂物体的质量的增加，弹簧长度逐渐变大 D．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是 ． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小王用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 1 2 3 … … 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于中心对称； ③当时，该函数图象有最低点，当时，该函数图象有最高点； ④该函数图象可由函数经过平移得到； ⑤若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【经典例题八 用关系式表示变量间的关系】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．三角形面积公式中，，，是变量 B．圆的面积公式中是常量 C．变量和常量是相对的，在一定条件下可以相互转化 D．如果，那么，都是常量 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）某市出租车的收费标准如表∶ 里程数 收费元 以下(含) 8.00 以上每增加 1.80 则收费y(元)与出租车行驶里程数之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【经典例题九 用图象表示变量间的关系】 【例9】（24-25八年级上·全国·单元测试）运动员掷铅球时，下列图象能近似地刻画铅球的高度与水平距离的关系的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③面积为10的等腰三角形，底边上的高y与底边长x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是 km． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）周末，小明坐公交车到公园游玩，他从家出发小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是______因变量是______； (2)小明从家出发到达公园的平均速度为______； (3)图中的点表示______； (4)爸爸驾车经过多久追上小明？ 【经典例题十 从函数的图象获取信息】 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，图象（折线）描述了汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（    ） A．第3分钟时汽车的速度是40千米/时 B．从第3分钟到第6分钟，汽车匀速行驶，速度是40千米/时 C．从第6分钟到第9分钟，汽车行驶了180千米 D．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离，两地中点的路程（千米）与甲车出发时间（时）的关系图象如图所示.解答下列问题： （1），两地之间的距离为 千米； （2）的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学途中，自行车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他增加速度骑车到校．我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行驶的路程s与他所用的时间t之间的关系． 请根据图象，解答下列问题： (1)小明行了多少千米时，自行车出现故障？修车用了几分钟？ (2)小明共用了多少时间到学校的？ (3)小明修车前、后的行驶速度各是多少？ (4)如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到多少分钟（精确到0.1）？ 【经典例题十一 用描点法画函数图象】 【例11】（2025·江苏南京·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）初三年级261位学生参加期末考试，某班35位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中排名情况如图1和图2所示，甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 . 你选择的理由是 . 3．（2025·江苏宿迁·二模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是 （填写序号）． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … (1)________， ________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 【经典例题十二 动点问题的函数图象】 【例12】（2025·江苏常州·一模）如图所示，一只小虫在折扇上沿路径爬行，能大致描述小虫距出发点的距离与时间之间的函数图象是 （ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（    ）    A．12 B．14 C．24 D．28 2．（2026·江苏·模拟预测）如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒2个单位长度，动点Q从D出发，沿折线运动，速度为每秒2个单位长度．当两点到选点O时同时停止运动．设运动时间为x秒，P，Q两点间的距离为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y的函数图象，并写出一条该函数的性质； (3)结合函数图像，直接写出当时x的取值范围． 【拓展训练一 函数相关多结论问题】 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： (1)列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； (4)关于的方程无解，则的取值范围是______． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）体育中考现场考试包括两个项目：素质项目和运动能力项目，在素质项目中，女子800m的评分标准如表1所示： 时间 分值 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 时间 分值 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 表1 在女子800m的考试现场，A，B两名同学被分到同一个小组．她们同时出发，当跑步的时间为t（单位：）时，A同学跑步的路程为（单位：），B同学跑步的路程为（单位：）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略，A同学的策略是先加速跑再匀速跑，最后加速冲刺；B同学的策略是先加速跑再匀速跑．A，B两名同学现场考试的部分数据如表2所示： 时间r（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 260 路程（m） 0 25 100 225 400 500 600 650 800 路程（m） 0 12.5 50 112.5 200 450 550 600 650 a 800 表2 (1)a的值为______． (2)请根据表2中的数据在下面的平面直角坐标系中补全的图象． (3)根据以上信息，给出下面三个结论： ①当时，A同学一直在B同学的前面： ②B同学可以得到分； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同： 上述结论中，所有正确结论的序号是______． (4)假如B同学的匀速跑速度不变，且在时恰好跑了，则B同学可以得到______分． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）们把一只手掌的大拇指与小拇指尽量张开．两指间的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的指距和身高成某种关系．数学综合与实践小组从函数角度对指距与身高的关系进行了如下探究： 【观察测量】数学综合与实践小组通过观察测量，得到下表： 指距 19 20 21 22 23 身高 151 160 169 178 187 【探究发现】 （1）小组建立了如图所示的平面直角坐标系，横轴表示指距，纵轴表示身高，描出以表格中所有数据为坐标的各点； （2）观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是_____（填写函数类型），该函数的表达式为_____； 【结论应用】 （3）应用上述发现的规律推测：李老师的身高为173.5cm，则他的指距约为_____cm． 【拓展训练二 动态函数图象综合】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在长方形ABCD中，当点P在边AD（不包括A，D两点）上移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些发生了变化． (1)试分别写出长度发生变化的线段与面积发生变化的三角形． (2)假设长方形的长AD为，宽AB为，线段AP的长为，分别写出线段PD的长度y（单位：），的面积S（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： (1)点P在上运动的时间为 s； (2)当t为 时，三角形的面积为． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图①是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以的速度沿图①的边框按的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图②所示．若，请回答下列问题： (1)图①中的长是 ；图②中， ， ； (2)求图①的面积． 【拓展训练三 利用图象中的信息解决问题】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下： (1)加热前水温是__________． (2)求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式． (3)当乙壶中加热时间为时，求此时乙壶中的水温． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某超市销售甲、乙两种水果，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲种水果每千克的销售价______元； (2)当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______，当时，乙种水果销售额y与销售量x之间的函数解析式为______； (3)销售量为多少千克时，两种水果的销售额相差150元？ 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小明同学运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究． 【初步感知】 （1）作出函数图象： ①列表填空： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ______ 1 ______ ______ 0 ．．． ②在图中的平面直角坐标系内描点，并画出函数的图象； 【深入探究】 （2）根据（1）②中你作出的函数图象，写出函数的两条性质； 【类比应用】 （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）王大爷饭后出去散步，从家中走分钟到离家米的公园，与朋友聊天分钟后，用分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家距离（米）与离家时间（分）之间的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）如图所示，长为2宽为1的矩形和边长为3的正方形在同一水平线上，矩形沿该水平线从左向右匀速穿过正方形；设穿过的时间为t，正方形除去矩形面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式             A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为 ． 8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间（分）之间的函数关系式为 ． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是 ．（填序号） 10．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，当时，则 秒． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列函数中自变量的取值范围： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，根据程序计算函数值． (1)当输入的x的值是时，输出的结果y是多少？ (2)当输入的x的值是多少时，输出的结果y是？ 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (2)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 14．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)在兄的登山过程中自变量是 ，因变量是______； (2)求弟登山上升的速度及b的值； (3)兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； (4)当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 15．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小红列出了如下表格，请同学们把下列表格补充完整，并在所给平面直角坐标系中（网格中的小正方形边长是1）画出该函数的图象： x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … ______ ______ 1 2 ______ 2 ______ … (2)根据函数图象，以下关于该函数性质的说法中，正确的有__________（填正确答案的序号） ①函数图像关于y轴对称； ②此函数无最小值； ③当时，y随x的增大而增大；当时，y的值不变． (3)若直线与函数的图象只有一个交点，求b的值． 学科网（北京）股份有限公司 $