5.2一次函数的概念 第2课时 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“求一次函数表达式”核心知识点，以文具店促销情境导入，前承一次函数概念，后接图像性质与方程不等式关系，通过认知冲突构建从概念到应用的学习支架，突出待定系数法的桥梁作用。 此资料亮点在于情境化与结构化结合，如蚊香燃烧、弹簧长度实例引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过“设代解还原”步骤培养推理运算的数学思维，练习涵盖拖拉机油箱、蟋蟀鸣叫等实际问题发展模型意识，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学路径与丰富实例资源。

第五章 一次函数 5.2.2求一次函数表达式   一、教材分析 本节课《求一次函数表达式》是苏教版八年级上册第5章第二节内容，前承 “一次函数的概念”（理解的形式与意义），后接 “一次函数的图像与性质”“一次函数与方程、不等式的关系”，是一次函数知识体系的 “核心桥梁”—— 只有掌握函数表达式的求解，才能进一步分析图像、探究性质、解决与方程/不等式结合的综合问题.在 “一次函数” 章节中，本节是从 “概念认知” 到 “应用实践” 的关键转折点，通过待定系数法将 “抽象的函数概念” 转化为 “可计算、可应用的具体表达式”，为后续所有一次函数相关应用（如实际问题求解、图像分析）奠定基础.   二、学情分析 学生已学习 “变量与函数”“一次函数的概念”，明确一次函数的一般形式,掌握代入消元法、加减消元法求解二元一次方程组，而 “待定系数法求一次函数表达式” 的核心是通过两组对应值列方程组求k、b，这一技能是本节课的关键工具支撑学生虽分别掌握 “一次函数概念” 和 “二元一次方程组解法”，但尚未形成 “用方程组求函数系数” 的关联思维，易将两者割裂，不理解 “待定系数法的本质是通过方程求解未知系数”，需在教学中强化两者的内在联系，难以快速转化为一次函数表达式，存在 “局部变量关联” 到 “整体函数关系” 的转化障碍.   三、学习目标 1．学生能够通过已知条件，如实际问题中的数量关系等，运用代数推理推导一次函数表达式 2．学生在经历不同类型求一次函数表达式的过程后，能归纳出常见的求解方法，如待定系数法的一般步骤，设表达式、代条件、解方程（组）、写表达式等. 3．面对实际应用问题，通过建立模型解决实际问题，提升将实际情境转化为数学问题的思维能力，体会函数模型的实用价值.   四、教学重难点 重点：学生能够通过已知条件，如实际问题中的数量关系等，运用代数推理推导一次函数表达式 难点：面对实际应用问题，通过建立模型解决实际问题，提升将实际情境转化为数学问题的思维能力，体会函数模型的实用价值.   五、教学过程 · 情境导入 问题：学校周边文具店的“笔记本促销活动”海报：“购买笔记本，单价2元，另需支付5元运费（无论购买数量）”. 问题：你能算出表格中x=1、2、3、4时对应的y值吗？ 预设答案：当，；当，；以此类推 问题：总费用y和购买数量x之间是什么函数关系？ 预设答案：一次函数 问题：如果我们不知道 “单价 2 元” 和 “运费 5 元”，只知道 “买 3 本总费用 11 元，买 5 本总费用 15 元”，还能确定 y 与 x 的函数表达式吗？ 一起来探究吧！ 师生活动：学生回答问题，教师总结． 设计意图：从学生熟悉的购物场景切入，先唤醒 “一次函数形式 ” 的旧知，再通过 “已知两个具体对应值求表达式” 的问题，制造认知冲突，让学生意识到 “需要通过已知条件推导 k 和 b”，自然引出本节课核心 —— 求一次函数表达式。 · 探究新知 活动一：探究一次函数表达式 问题：一盘蚊香长105 cm，点燃后，每小时缩短10 cm． (1)写出蚊香点燃后的长度y cm关于蚊香燃烧时间t h的函数表达式； (2)该盘蚊香可燃烧多长时间？ 分析：点燃后的长度＝原来的长度－燃烧的长度？ 预设答案：所以y关于t的函数表达式为． 将代入，得 　　　， 解这个方程，得 ． 所以该盘蚊香可燃烧． 问题：在弹性限度内，弹簧长度y cm是所挂物体质量x g的一次函数．已知一根弹簧挂10 g物体时的长度为11 cm，挂30 g物体时的长度为15 cm，求y关于x的函数表达式． 分析：当已知函数关系为一次函数关系时，从数与式的角度可以怎样理解？ 预设答案：设函数表达式为 ． 　　当时，，得． 　　当时，，得． 解方程组 ，得， 所求函数表达式为． 先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法． 一般来说，表达式中有几个需要待定的系数，相应就需要几组x，y的对应值建立方程（方程组）求解. 师生活动：学生讨论得出，教师总结写出步骤． 设计意图：通过实例分析归纳待定系数法的定义，明确 “设系数 — 列方程 — 求系数” 的核心逻辑，帮助学生从具体到抽象建构方法体系. 活动二：求一次函数表达式的步骤 问题：用待定系数法求一次函数表达式的步骤有哪些？ 预设答案：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤： (1)设：设函数表达式为(或). (2)代：根据已知条件，代入x，y的值，列出关于k，b的方程(组). (3)解：解方程(组). (4)还原：把求出的k，b值代回到表达式中即可. 师生活动：学生讨论，教师总结． 设计意图：通过小组讨论梳理步骤，强化学生对待定系数法 “设、代、解、还原” 四步流程的系统性认知 · 应用新知 例1 已知与x成正比例，且当时，.试求y关于x的函数表达式，并判断y是不是x的一次函数.若是，请求出k和b的值． 解：设函数表达式为． 当x＝2时，y＝－4，，解得． ，即． y是x的一次函数，，． 例2 某种存款的月利率是，存入10000元本金后，写出本息和y(元)关于所存月数x的函数表达式，并判断是否为一次函数.（利息=本金月利率月数） 解：是一次函数，． 师生活动：学生回顾所学独立思考，教师适当提醒易错点． 设计意图：作为待定系数法的基础应用载体，帮助学生快速巩固刚学的方法步骤，检验对核心知识的初步掌握程度.为后续课堂练习的梯度拓展奠定基础，实现 “学 — 练” 衔接. · 课堂练习 【教材习题】 1. 已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1) 求这个一次函数的表达式． (2) 当时，求y 的值． (3) 当时，求x 的值． 2. 某拖拉机的油箱加满油开始工作后，油箱中的剩余油量Q L与工作时间t h之间为一次函数关系．已知工作2h，6h时，油箱剩余油量分别为30L，10L． (1) 求Q关于t 的函数表达式； (2) 一箱油可供该拖拉机工作多长时间？ 【自选习题】 3. 实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次． (1) 求y与x之间的函数表达式； (2) 当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？ 4. 某产品每件的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表，若日销售量y(件)是每件的销售价x(元)的一次函数． (1) 求日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围)； (2) 若该产品每件的成本是10元，当每件的销售价定为30元时，求每日的销售利润. 5. y1与成正比例，y2与成正比例，，当时，；当时，．求y与x的函数表达式． 【答案】 1．答案：： (1) 设函数表达式为． 当时，；得 ． 当时，得 ． 解方程组得： 所以这个一次函数的表达式为． (2)把带入，得． 当时，y的值是－7． (3)把代入，得． 当时，x的值是 ． 2．(1) 设函数表达式为． 当时，，得． 当时，，得． 解方程组，得． 所求函数表达式为． ： (2) 当时，，解得． 答：一箱油可供该拖拉机工作8h． 3. (1) 设y与x之间的函数表达式为． 将，和，分别代入， 得 ，解得 答：y与x之间的函数表达式为． (2) 将代入，得 ，解得． 答：该地当时的温度约是20℃． 4. (1) 设日销售量y(件)与每件 销售价x(元)之间的函数表达式为． 根据题意的，得 答：日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为． (2) 因为该产品每件的成本是10元， 每件的销售价为30元， 所以每件的利润为30－10＝20(元)，日销售量为－x＋40＝－30＋40＝10件． 所以每日的销售利润为10×20＝200(元)． 答：每日的销售利润为200元． 5. 与成正比例，设． 与成正比例，设． ，． 当，当时，， ，解得 y与x的函数表达式为，即． 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：从不同角度、不同知识融合方式出发，全面提升学生对求一次函数表达式的理解，培养学生的逻辑思维、知识迁移、等多种数学能力，切实提高学生的数学核心素养. 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $