第二章 一元二次函数、方程和不等式期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一数学第一学期期中章节复习资料 筑基蓄力：高一上数学期中复盘 2026- -2027学年 章节专项复习资料 |夯实基础|梳理考点|章节过关|期中冲刺| 第二章 一元二次函数、方程和不等式（阶段复习资料） 编写依据：普通高中教科书《数学（必修第一册）》（人民教育出版社 A 版， 年版）第二章「一元二次函数、方程和不等式」，涵盖 等式性质与不等式性质、 基本不等式、 二次函数与一元二次方程、不等式。 【复习导航】 . 等式性质与不等式性质：实数大小比较（作差法），不等式的八条基本性质及其应用； . 基本不等式：（，）及其变形，利用基本不等式求最值（一正、二定、三相等）； . 二次函数与一元二次方程、不等式：三个二次的关系，一元二次不等式的解法，分式不等式的转化，恒成立问题； . 实际应用：利用基本不等式与二次函数模型解决最优化问题； . 分层梯度题型精练：单选 、多选 、填空 、解答 ，共 题，附详细解析。 【复习目标导航】 一、知识目标 . 掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的方法，熟记不等式的八条基本性质，能判断相关命题的真假； . 掌握基本不等式 及其常见变形，能利用它求最值，理解「一正、二定、三相等」； . 熟练求解一元二次不等式，理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者的联系； . 能解简单的分式不等式与含参数的一元二次不等式，掌握恒成立问题的基本处理方式； . 能将实际最优化问题抽象为基本不等式或二次函数模型求解。 二、能力目标 . 经历「观察—猜想—证明」的基本不等式推导过程，发展代数推理能力； . 能对含参数的不等式按开口方向、判别式、根的大小进行分类讨论，养成严谨的分类意识； . 能把实际情境抽象为数学模型，发展数学建模与数学运算素养； . 能灵活运用数形结合（图象法）处理一元二次不等式与恒成立问题。 三、素养目标 . 数学抽象：从大小比较与最优化情境中抽象出不等关系与不等式模型； . 逻辑推理：通过作差证明与等价转化，发展严谨的逻辑推理素养； . 数学运算：熟练进行配方、因式分解、判别式计算与代数变形； . 直观想象：借助二次函数图象理解不等式解集，实现数形结合。 【复习重点】 . 作差法比较大小与不等式基本性质的应用； . 利用基本不等式求最值（一正、二定、三相等）； . 一元二次不等式的解法及三个二次的联系。 【复习难点】 . 不等式性质中可乘性与倒数关系的成立条件（正负号讨论）； . 基本不等式使用条件的检验（尤其是等号能否取到）与配凑技巧（ 的代换）； . 含参数一元二次不等式的分类讨论（按 与 的大小、判别式符号、根的大小三个层次）； . 恒成立问题中参数分离与最值的转化。 【知识框架】 第二章 一元二次函数、方程和不等式 . 不等式性质：作差法（） 八条基本性质（对称、传递、可加、可乘、同向可加、同向同正可乘、乘方、开方）； . 基本不等式：（，，当且仅当 取等） 变形式 、、 ； 3. 三个二次：二次函数 （）的图象 一元二次方程 的根（判别式 ） 一元二次不等式的解集； . 应用主线：比较大小 求最值（配凑、 的代换） 解不等式（含分式、含参数） 恒成立与实际最优化。 【复习过程】 一、知识要点 . 等式性质与不等式性质 比较大小（作差法）：对任意实数 、，有 ；；。 等式的基本性质：若 ，则 （对称性）；若 ，，则 （传递性）；；，。 不等式的基本性质： 序号 性质 成立条件 无 ， 无 无 ，；， 的符号 ， 同向 ， 同向且为正 （，） 同正 （，） 同正 补充 ， 同号 易错警示： 推不出 （如 但 ）； 推不出 （须先定同号）； ， 推不出 （须同正）。 . 基本不等式 若 ，，则 当且仅当 时等号成立。 其中 叫做正数 、 的算术平均数， 叫做 、 的几何平均数。 常用变形（，）： 变形式 结论 使用场景 和定，积有最大值 积定求和最小、和定求积最大 积定，和有最小值 同上 平方和有下界 对任意实数成立 商型结构 正数倒数的和 求最值三条件：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。三者缺一不可。 . 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数 （）、一元二次方程 与一元二次不等式 （或 ）三者通过图象与根紧密相连： 判别式 方程的根 的解集 的解集 ，（） 无实根 图 三个二次的关系（抛物线与 x 轴的三种位置） 求解程序：化为标准形式（二次项系数化正） 算判别式 求根 画图象 写解集。 口诀：大于取两边，小于取中间；开口向下先乘 再定号。 图 一元二次不等式求解程序框图 分式不等式：统一移项、通分，化为 （或 ）型，再转化为整式不等式： ； 且 。注意分母不为零。 . 恒成立问题的基本结论 . 对任意 恒成立 且 （或 ，）； . 对任意 恒成立 且 （或 ，）； . 对 恒成立 （）； 恒成立 （）。 二、公式推导 . 基本不等式的证明 代数证明：当 ， 时，作差： 当且仅当 ，即 时等号成立，故 。 几何证明（半圆模型）：以线段 为直径作半圆， 是 上一点且 ，，过 作 的垂线交半圆于 ，连接 。由射影定理（相似三角形），，即 ；而 是半径 。由 （垂线段最短）即得 ，等号当且仅当 与圆心 重合（即 ）时成立。 图 基本不等式的几何解释（半圆模型） . 重要不等式 的推导 对任意 ，，作差： 当且仅当 时等号成立。若 ，，用 、 替换 、， 即得基本不等式 ——基本不等式是重要不等式的特例。 . 一元二次不等式解集的推导（， 情形） 设 （，）的两根为 、（），由求根公式 ，且 当 或 时， 与 同号，乘积为正，再乘 仍为正，故不等式 的解集为 ；当 时两因式异号，函数值小于 ，对应 的解集。这就是「大于取两边，小于取中间」的依据。 . 恒成立条件的推导（分离参数） 设不等式 对 恒成立。将左边分离出参数 后等价转化为 对 恒成立，即 不超过 在 上的每一个函数值，故 （ 在 上存在最小值时）；同理 恒成立 。这一转化把「任意性」化为「最值」，是处理恒成立问题的核心手段。 三、例题讲解 例 .（中等题型） 已知 ，，比较 与 的大小。 例 .（提高题型） 已知 ，，且 ，求 的最小值。 例 .（提高题型） 解关于 的不等式 （）。 例 .（高考题型··上海春季高考） 已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（　） A．　　 B． C．　　 D． 例 .（高考题型··新课标Ⅱ卷·） 不等式 的解集是（　） A．　　 B． C．　　 D． 例 .（创新题型） 甲、乙两人购买同一商品两次，两次价格分别为 元/kg、 元/kg（，，）。甲每次购买 kg；乙每次购买 元的商品。问两人的平均购买价谁更低？并证明你的结论。 四、方法分析 . 作差比较法四步：作差 变形（因式分解、配方、通分） 定号 结论（例 ）。变形的目标是把差化为「若干非负项之和加正常数」或「若干因式之积」； . 基本不等式求最值：先验证「一正、二定、三相等」；和定求积最大、积定求和最小；乘积结构直接用，分式结构先通分分离（例 ）； . 的代换：约束条件为 型时，把目标式乘以 （即乘以约束左端），展开后用基本不等式（例 ）； . 含参一元二次不等式：按三个层次分类——开口（ 与 比较）、判别式、两根大小；能因式分解的先求根再比较根的大小（例 ）； . 分式不等式：移项通分化为 型，切勿直接交叉相乘（分母符号不定）；端点处分母取不到、分子可取到（例 ）； . 恒成立问题：分离参数化为最值，或按二次项系数与判别式分类（变式 ）。 五、变式练习（含答案解析） 变式 .（提高题型） 已知 ，，且 ，求 的最小值。 变式 .（提高题型） 解关于 的不等式 （）。 变式 .（提高题型） 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 变式 .（高考题型·同源考法，仿 ·新课标Ⅱ卷· 考法） 解不等式 。 变式 .（高考题型·同源考法，仿 ·上海春季高考考法） 已知 ，，试判断 与 的大小，并证明。 六、本节知识总结 考点 核心方法 易错点 不等式性质 作差法（变形定号）；性质逐条检验 可乘性、倒数关系须先定符号； 推不出 基本不等式 一正二定三相等； 的代换；配凑 忽略等号取到的条件；负数或变号时错用 一元二次不等式 标准化 判别式 求根 图象 解集 开口向下先乘 ； 时的解集（大于取 ，小于取空集） 分式不等式 移项通分，不得直接去分母 忘记分母不等于 ，端点取舍出错 恒成立 分离参数求最值；或判别式法 二次项系数含参时漏讨论 一条主线：不等式是「比较」的语言——比较大小（作差）、比较最值（基本不等式）、比较图象高低（三个二次），三种工具殊途同归。 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一数学第一学期期中章节复习资料 筑基蓄力：高一上数学期中复盘 2026- -2027学年 章节专项复习资料 |夯实基础|梳理考点|章节过关|期中冲刺| 第二章 一元二次函数、方程和不等式（阶段复习资料） 编写依据：普通高中教科书《数学（必修第一册）》（人民教育出版社 A 版， 年版）第二章「一元二次函数、方程和不等式」，涵盖 等式性质与不等式性质、 基本不等式、 二次函数与一元二次方程、不等式。 【复习导航】 . 等式性质与不等式性质：实数大小比较（作差法），不等式的八条基本性质及其应用； . 基本不等式：（，）及其变形，利用基本不等式求最值（一正、二定、三相等）； . 二次函数与一元二次方程、不等式：三个二次的关系，一元二次不等式的解法，分式不等式的转化，恒成立问题； . 实际应用：利用基本不等式与二次函数模型解决最优化问题； . 分层梯度题型精练：单选 、多选 、填空 、解答 ，共 题，附详细解析。 【复习目标导航】 一、知识目标 . 掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的方法，熟记不等式的八条基本性质，能判断相关命题的真假； . 掌握基本不等式 及其常见变形，能利用它求最值，理解「一正、二定、三相等」； . 熟练求解一元二次不等式，理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者的联系； . 能解简单的分式不等式与含参数的一元二次不等式，掌握恒成立问题的基本处理方式； . 能将实际最优化问题抽象为基本不等式或二次函数模型求解。 二、能力目标 . 经历「观察—猜想—证明」的基本不等式推导过程，发展代数推理能力； . 能对含参数的不等式按开口方向、判别式、根的大小进行分类讨论，养成严谨的分类意识； . 能把实际情境抽象为数学模型，发展数学建模与数学运算素养； . 能灵活运用数形结合（图象法）处理一元二次不等式与恒成立问题。 三、素养目标 . 数学抽象：从大小比较与最优化情境中抽象出不等关系与不等式模型； . 逻辑推理：通过作差证明与等价转化，发展严谨的逻辑推理素养； . 数学运算：熟练进行配方、因式分解、判别式计算与代数变形； . 直观想象：借助二次函数图象理解不等式解集，实现数形结合。 【复习重点】 . 作差法比较大小与不等式基本性质的应用； . 利用基本不等式求最值（一正、二定、三相等）； . 一元二次不等式的解法及三个二次的联系。 【复习难点】 . 不等式性质中可乘性与倒数关系的成立条件（正负号讨论）； . 基本不等式使用条件的检验（尤其是等号能否取到）与配凑技巧（ 的代换）； . 含参数一元二次不等式的分类讨论（按 与 的大小、判别式符号、根的大小三个层次）； . 恒成立问题中参数分离与最值的转化。 【知识框架】 第二章 一元二次函数、方程和不等式 . 不等式性质：作差法（） 八条基本性质（对称、传递、可加、可乘、同向可加、同向同正可乘、乘方、开方）； . 基本不等式：（，，当且仅当 取等） 变形式 、、 ； 3. 三个二次：二次函数 （）的图象 一元二次方程 的根（判别式 ） 一元二次不等式的解集； . 应用主线：比较大小 求最值（配凑、 的代换） 解不等式（含分式、含参数） 恒成立与实际最优化。 【复习过程】 一、知识要点 . 等式性质与不等式性质 比较大小（作差法）：对任意实数 、，有 ；；。 等式的基本性质：若 ，则 （对称性）；若 ，，则 （传递性）；；，。 不等式的基本性质： 序号 性质 成立条件 无 ， 无 无 ，；， 的符号 ， 同向 ， 同向且为正 （，） 同正 （，） 同正 补充 ， 同号 易错警示： 推不出 （如 但 ）； 推不出 （须先定同号）； ， 推不出 （须同正）。 . 基本不等式 若 ，，则 当且仅当 时等号成立。 其中 叫做正数 、 的算术平均数， 叫做 、 的几何平均数。 常用变形（，）： 变形式 结论 使用场景 和定，积有最大值 积定求和最小、和定求积最大 积定，和有最小值 同上 平方和有下界 对任意实数成立 商型结构 正数倒数的和 求最值三条件：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）。三者缺一不可。 . 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数 （）、一元二次方程 与一元二次不等式 （或 ）三者通过图象与根紧密相连： 判别式 方程的根 的解集 的解集 ，（） 无实根 图 三个二次的关系（抛物线与 x 轴的三种位置） 求解程序：化为标准形式（二次项系数化正） 算判别式 求根 画图象 写解集。 口诀：大于取两边，小于取中间；开口向下先乘 再定号。 图 一元二次不等式求解程序框图 分式不等式：统一移项、通分，化为 （或 ）型，再转化为整式不等式： ； 且 。注意分母不为零。 . 恒成立问题的基本结论 . 对任意 恒成立 且 （或 ，）； . 对任意 恒成立 且 （或 ，）； . 对 恒成立 （）； 恒成立 （）。 二、公式推导 . 基本不等式的证明 代数证明：当 ， 时，作差： 当且仅当 ，即 时等号成立，故 。 几何证明（半圆模型）：以线段 为直径作半圆， 是 上一点且 ，，过 作 的垂线交半圆于 ，连接 。由射影定理（相似三角形），，即 ；而 是半径 。由 （垂线段最短）即得 ，等号当且仅当 与圆心 重合（即 ）时成立。 图 基本不等式的几何解释（半圆模型） . 重要不等式 的推导 对任意 ，，作差： 当且仅当 时等号成立。若 ，，用 、 替换 、， 即得基本不等式 ——基本不等式是重要不等式的特例。 . 一元二次不等式解集的推导（， 情形） 设 （，）的两根为 、（），由求根公式 ，且 当 或 时， 与 同号，乘积为正，再乘 仍为正，故不等式 的解集为 ；当 时两因式异号，函数值小于 ，对应 的解集。这就是「大于取两边，小于取中间」的依据。 . 恒成立条件的推导（分离参数） 设不等式 对 恒成立。将左边分离出参数 后等价转化为 对 恒成立，即 不超过 在 上的每一个函数值，故 （ 在 上存在最小值时）；同理 恒成立 。这一转化把「任意性」化为「最值」，是处理恒成立问题的核心手段。 三、例题讲解 例 .（中等题型） 已知 ，，比较 与 的大小。 解析：作差： 因为 ，，所以 。 故 。 例 .（提高题型） 已知 ，，且 ，求 的最小值。 解析：利用「 的代换」： 由基本不等式，。 当且仅当 ，即 时取等号；代入约束 得 ，解得 ，。 故 的最小值为 。 例 .（提高题型） 解关于 的不等式 （）。 解析：方程 可分解为 。按 分类： （）当 时，不等式为 ，解集为 ； （）当 时，两根为 与 ，且 ，抛物线开口向下， 的解集为 ； （）当 时，，开口向上，小于 取两根之间，解集为 ； （）当 时，不等式为 ，解集为 ； （）当 时，，解集为 。 例 .（高考题型··上海春季高考） 已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（　） A．　　 B． C．　　 D． 解析：对 A： 推不出 （如 ，，则 ），错误； 对 B：由 及性质 得 ，一定成立； 对 C： 与 的大小不定，且 的符号不定，错误； 对 D：取 ，则 ，错误。 故选 B。 例 .（高考题型··新课标Ⅱ卷·） 不等式 的解集是（　） A．　　 B． C．　　 D． 解析：移项通分：，即 ，即 。 转化为 ，等价于 且 ，解得 。 故解集为 。 故选 C。 例 .（创新题型） 甲、乙两人购买同一商品两次，两次价格分别为 元/kg、 元/kg（，，）。甲每次购买 kg；乙每次购买 元的商品。问两人的平均购买价谁更低？并证明你的结论。 解析：甲的平均价格 元/kg；乙共花 元，第一次买 kg，第二次买 kg，故平均价格 元/kg。作商（或作差）比较：由 ，，， （因 ），故 。 即乙的平均购买价更低。 结论：按金额固定购买更经济——每次购买金额相同，平均价等于调和平均数，小于算术平均数。 四、方法分析 . 作差比较法四步：作差 变形（因式分解、配方、通分） 定号 结论（例 ）。变形的目标是把差化为「若干非负项之和加正常数」或「若干因式之积」； . 基本不等式求最值：先验证「一正、二定、三相等」；和定求积最大、积定求和最小；乘积结构直接用，分式结构先通分分离（例 ）； . 的代换：约束条件为 型时，把目标式乘以 （即乘以约束左端），展开后用基本不等式（例 ）； . 含参一元二次不等式：按三个层次分类——开口（ 与 比较）、判别式、两根大小；能因式分解的先求根再比较根的大小（例 ）； . 分式不等式：移项通分化为 型，切勿直接交叉相乘（分母符号不定）；端点处分母取不到、分子可取到（例 ）； . 恒成立问题：分离参数化为最值，或按二次项系数与判别式分类（变式 ）。 五、变式练习（含答案解析） 变式 .（提高题型） 已知 ，，且 ，求 的最小值。 解析：， 当且仅当 即 时取等号； 代入 得 ，。 故最小值为 。 变式 .（提高题型） 解关于 的不等式 （）。 解析：左边分解为 ，方程两根为 与 。 （）当 时，解集为 ； （）当 时，不等式为 ，解集为 ； （）当 时，解集为 。 变式 .（提高题型） 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 解析：原不等式即 对任意 恒成立。 二次项系数为 ， 故只需判别式 ， 即 ，解得 。 变式 .（高考题型·同源考法，仿 ·新课标Ⅱ卷· 考法） 解不等式 。 解析：移项：，即 。因 ，等价于 ，解得 。 故解集为 。 变式 .（高考题型·同源考法，仿 ·上海春季高考考法） 已知 ，，试判断 与 的大小，并证明。 解析：。证明：由 得 ；又 ， 由同向同正可乘性得 ，即 ，两边同乘 变号， 得 。 六、本节知识总结 考点 核心方法 易错点 不等式性质 作差法（变形定号）；性质逐条检验 可乘性、倒数关系须先定符号； 推不出 基本不等式 一正二定三相等； 的代换；配凑 忽略等号取到的条件；负数或变号时错用 一元二次不等式 标准化 判别式 求根 图象 解集 开口向下先乘 ； 时的解集（大于取 ，小于取空集） 分式不等式 移项通分，不得直接去分母 忘记分母不等于 ，端点取舍出错 恒成立 分离参数求最值；或判别式法 二次项系数含参时漏讨论 一条主线：不等式是「比较」的语言——比较大小（作差）、比较最值（基本不等式）、比较图象高低（三个二次），三种工具殊途同归。 分层梯度题型精练（课时练习） 一、单项选择题 .（中等题型） 不等式 的解集是（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】 即 ，两根为 、，小于 取中间，解集为 。 故选 A。 .（中等题型） 不等式 的解集是（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】 等价于 ，两根为 、，解集为 。 故选 A。 .（提高题型） 已知 ，则 的最小值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】 ，由基本不等式，，当且仅当 即 时取等号。 故选 B。 .（提高题型） 已知 ，，且 ，则 的最小值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】 ，当且仅当 即 时取等号。 故选 B。 .（提高题型） 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　） A．　　 B． C． 或 　　 D． 【答案】B 【解析】（）当 时，不等式为 ，恒成立； （）当 时，需 且判别式 ，解得 。综上，。 故选 B。 .（高考题型··新课标Ⅰ卷·） 已知集合 ，，则 （　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】 解 ，即 ，得 。 中元素逐一检验，只有 ，故 。 故选 C。 .（高考题型·同源考法，仿 ·上海春季高考考法） 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】 对 A： 推不出 （如 ）； 对 B：、 符号不定，倒数关系不成立（如 ，）； 对 C：，由性质 得 ，一定成立； 对 D： 的符号不定，错误。 故选 C。 .（创新题型） 对正数 、，记调和平均数 ，几何平均数 ，算术平均数 ，则 、、 的大小关系是（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】 由基本不等式 （ 时严格大于）； 又 ，。 故 ，即 。 故选 A。 二、多项选择题 .（高考题型·同源考法，仿 ·新高考Ⅱ卷· 考法） 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　） A． B． C．对任意 ，都有 D． 【答案】ABD 【解析】 对 A：，成立； 对 B：，两边取倒数变号，成立； 对 C：取 ，则 ，不成立； 对 D：，成立。 故选 ABD。 .（高考题型·同源考法） 已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 对 A：，当且仅当 时取等号，成立； 对 B：，故 ，成立； 对 C：，成立； 对 D：， 当 时取等号，故 不一定成立。 故选 ABC。 三、填空题 .（中等题型） 不等式 的解集是 。 【答案】 【解析】 即 ，两根为 、，大于等于 取两边（含端点）， 解集为 。 .（提高题型） 已知 ，，且 ，则 的最大值为 。 【答案】 【解析】 由 且 ，，得 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 故 的最大值为 。 四、解答题 .（中等题型） 解下列不等式： （）； （）。 【解析】（），判别式 ，两根为 ，即 ，。 开口向上，小于等于 取中间（含端点）， 解集为 ； （） 等价于 且 ，解得 或 。 解集为 （注意 处分母为零，取不到）。 .（中等题型） 已知 ，求函数 的最小值，并求取最小值时 的值。 【解析】 因为 ，所以 。 当且仅当 ，即 ，结合 得 时取等号。 故 的最小值为 ，此时 。 .（高考题型·同源考法，仿 ·新课标Ⅱ卷· 考法） 解不等式 。 【解析】 移项： 即 ，等价于 解 得 ，去掉分母零点 ，得 。 故解集为 。 .（高考题型·同源考法） 已知 ，，且 。求证： （）； （）； （）。 【解析】 （）由基本不等式，，当且仅当 时取等号，故 ； （）。由（）知 ，且 ，，故 ，即 ， 当且仅当 时取等号； （）展开：。 由 得 ， 故 当且仅当 时取等号，得证。 17. （创新题型） 某网店销售一种商品，进价为 元/件。当售价为 元/件时，每月可卖出 件；市场调查发现：售价每上涨 元，月销量减少 件。为稳定客源，规定售价不低于 元/件且不超过 元/件。问售价定为多少时，该商品每月的利润最大？最大利润是多少？ 【解析】 设售价为 元/件（），月销量为 （件） 每月利润 该二次函数开口向下，对称轴为 ，且 ，故当 时， 取最大值 。 检验： 时月销量为 件，符合实际。 结论：售价定为 元/件时，每月利润最大，最大利润为 元。 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $