05 专题五 函数的概念及其表示期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一上期中专项复习 · 专题五 函数的概念及其表示 全国各地市期中真题精选 · 12 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 解析式：待定系数与配凑 函数解析式（待定系数） · 函数解析式（配凑） 2026杭九中期中 4 题 解析式：换元与方程组法 函数解析式（换元与方程组） · 函数解析式（方程组） · 函数解析式（待定系数） 2025四川安岳中学期中 5 题 分段函数求值与解不等式 分段函数（作图） · 分段函数（作图与解不等式） · 分段函数（解不等式） 2025江阴成化中学期中 5 题 分段函数含参问题 分段函数（含参单调） · 分段函数（含参值域） · 分段函数（含参方程解） 2026西南大学附中期中 5 题 函数图象识别 函数图象识别 2026杭师大附中期中 4 题 图象变换与图象应用 图象应用（建模选图） · 图象应用（读图） 2026广州二中四元联考期中 4 题 函数概念与同一函数判断 同一函数 · 函数概念与定义域 · 函数三要素综合 2025广州育才中学期中 5 题 具体函数的定义域 函数概念与定义域 · 函数性质综合 2026沈阳五校协作体期中 5 题 抽象函数的定义域 函数概念与定义域 2026河南实验中学期中 4 题 值域：配方法与观察法 求值域 2026南师附中期中 4 题 值域：换元法与分离常数 求值域 · 对勾函数单调性与最值 · 对勾函数性质 · 函数最值 2026杭九中期中 5 题 值域：判别式法与分段值域 求值域 · 函数最值 · 分段函数值域 2025学军中学期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 函数定义：设 、 是非空实数集，对 ，按照确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，记作 ；核心是"任意一个 对应唯一 "，"一对多"的对应不是函数。 2. 函数三要素：定义域、对应法则、值域；值域是函数值集合 ，由定义域与对应法则共同确定，三要素中定义域与对应法则确定后值域随之确定。 3. 同一函数：当且仅当两函数的定义域相同且对应法则相同时才是同一函数，与自变量、因变量用什么字母表示无关；判定顺序是先查定义域、再化简对照应法则。 4. 复合函数 ：内层函数 的一切取值必须落在外层 的定义域内，这是求复合函数定义域的根本约束，也是 、 定义域问题的统一来源。 5. 分段函数：它是一个函数而不是几个函数；定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，各段的范围互不重叠且并起来是完整定义域。 6. 函数解析式：表示对应法则的代数式，求解析式必须连同适用范围一起写，例如由 换元得 后必须限定 。 7. 函数的图象：由点集 构成的曲线；竖直线检验——任意竖直线 与图象至多一个交点的曲线才能表示函数，判断图象题的图必须先过这一关。 8. 对勾函数：形如 的函数，图象呈"对勾"状且关于原点对称，在 上先减后增，在 处取得最小值 。 9. 区间与端点：用区间表示值域时，端点开闭由"这个值能否取到"决定；最值取不到（如渐近趋势、开区间端点）时值域端点必须写开。 10. 函数与方程不等式： 有解等价于两图象有交点，也等价于 的取值范围与 的取值范围有公共值；这是"任意存在型"问题的概念基础。 ▍二、法则与公式 1. 定义域约束清单：分母 需 ；偶次根式 需 ；零次幂 需 ；若涉及对数，真数必须大于零；实际问题还需符合实际意义。 2. 抽象函数定义域规则一：已知 的定义域为 ，则 的定义域是不等式 的解集，约束的永远是括号内整体。 3. 抽象函数定义域规则二：已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域（先由 的范围算出括号内的范围）。 4. 值域之观察法与配方法：能直接看出范围的（如由 得 ）用观察法；二次结构配方为 ，最值在顶点或区间端点处取得，先看开口再看对称轴与区间的位置关系。 5. 值域之换元法：对含 的函数令 并反解 ，必须同时写出新元 的取值范围（如 或由区间定出的范围），值域在新元范围内讨论。 6. 值域之分离常数： 型化为 ，再由 的范围确定倒数部分的范围；区间端点处必须逐一代入计算，不能凭感觉写开闭。 7. 值域之对勾函数： 在 上递减、在 上递增，最小值 ；由奇函数对称性得 侧最大值 ，值域为 。 8. 值域之判别式法：分子分母同次的分式函数 ，去分母整理成关于 的二次方程，由方程有实根得 解出 的范围；必须单独检验二次项系数为零的 值，并保证分母不为零。 9. 求解析式三法：知函数类型（如二次函数、一次函数）用待定系数法设出比较系数；知 的表达式用换元配凑法（令 并写出 的范围）；条件含 与 的线性组合（ 为 、、 等可对换形式）时用方程组法，替换 后联立消元。 10. 图象变换法则：平移遵循"左加右减、上加下减"（ 由 右移 个单位）； 保留 轴上方并把下方翻折上去； 保留 轴右侧并把左侧作其对称图形。 ▍三、方法技巧 1. 同一函数判断三步：先在化简之前查每个函数的定义域（分母、根式、零次幂），定义域不同立即判异；再分别化简对照应法则；仅字母不同、定义域与法则都相同的是同一函数。 2. 具体函数定义域三查：一查分母是否为零，二查偶次根号内是否非负，三查零次幂底数是否为零，列不等式组取交集；含参"定义域为 "转化为被开方数恒非负，按二次项系数是否为零分类讨论。 3. 抽象函数定义域两步：已知 的定义域时，解"内层整体落在 的定义域内"；再叠加新函数自身的分母、根式约束，所有条件取交集，结果写区间或集合。 4. 值域之观察与配方：先求定义域；一眼能看出取值范围的用观察法并写明端点取到与否；二次结构配方后按"开口方向＋对称轴与区间的位置"三类讨论：轴在区间内顶点取最值，轴在区间外比较两端点。 5. 值域之换元四步：定定义域、令根式为新元并写出新元范围、反解代入化为二次函数、在新元区间上配方求最值；最后把结论翻译回原变量，注意开区间端点取不到的最值。 6. 值域之分离常数与对勾：分式先分离常数化 后按区间算倒数范围；形如 的用对勾函数单调性，标注拐点 ，比较拐点值与两端点值后写值域。 7. 值域之判别式法三步：去分母整理成关于 的二次方程、令 解 范围、检验二次项系数为零与分母为零的特殊值后写值域；分子分母不同次时优先考虑分离常数或换元。 8. 分段函数值域三步：逐段求值域（每段严格用该段自变量的开闭区间），再取并集；含参分段值域问题（值域为 或指定区间）转化为"各段值域拼接无缝隙"，在衔接点处列不等式。 9. 任意存在型转化：， 使 等价于 在 上的值域是 在 上值域的子集；先分别求值域，再按包含关系列端点不等式。 10. 解析式、分段与图象题操作：求解析式按"知类型待定系数、知复合换元配凑、知组合方程组"选法并补定义域；分段求值由内向外逐层定位所在段；图象识别按"定义域—对称性—特殊值符号—变化趋势"逐项排除；图象变换严格按"先平移后翻折"的顺序执行。 ▍四、易错警示 1. 正确说法： 的定义域是其中 的取值范围，不是括号内整体的范围。 反例： 的定义域为 ，则 的定义域由 解得 ，答 即错。 2. 正确说法：换元或配凑后必须改写新元的取值范围，求出的解析式必须带上适用范围。 反例：求 的值域时令 须限定 ；由 得 后不写 即错。 3. 正确说法：定义域不同的两个函数一定不是同一函数，即使化简后表达式相同。 反例： 与 的定义域分别为 与 ，不是同一函数。 4. 正确说法：值域区间的端点开闭由能否取到决定，换元后原端点取不到时必须写开。 反例： 在 上换元后 取不到， 不是函数值，值域是 而与 无关。 5. 正确说法：分段函数各段定义域的端点取值不能被两段同时包含。 反例： 中 被两段同时包含， 出现两个值，与函数定义矛盾。 6. 正确说法：用判别式法求分式函数值域后，必须检验二次项系数为零的 值与分母为零的情形。 反例：对 去分母得 ， 时二次项消失且式子不成立，故 必须舍去。 7. 正确说法：单调区间必须分开写，不能用"∪"连接。 反例： 的单调递减区间是 和 ，写成 即错。 8. 正确说法：平移方向遵循"左加右减"，看的是 本身的变化。 反例： 的图象由 向右平移 个单位得到，误认为向左平移是常见错误。 9. 正确说法：解分段不等式时，每一段的解必须与该段自变量的范围取交。 反例：对 解 ，由 段解得 或 后必须舍去 。 10. 正确说法："任意 、存在 使 "转化为 的值域包含于 的值域，方向不能反。 反例：若 值域为 、 值域为 ，虽然 值域含于 值域，但 时找不到 ，条件不成立。 　解析式：待定系数与配凑 方法要领　知函数类型（如二次函数）就设 用待定系数法代入条件比较系数；见 的表达式，先把右边配凑成关于 的整体（或令 换元），必须同时写出 的取值范围作为定义域，漏范围即错。 【例】（2026杭九中期中 19）已知二次函数 满足 且 。 【答案】（1）； 【分析】（1）二次函数先用待定系数法设 ，代入 比较同次项系数；（2）先化简根式为绝对值，得分段函数后分段作图、分段求最值。 【详解】（1）设 （）， 则 ， 由 得 ，解得 ， 又 ，所以 。 （2）由（1）得 ，定义域为 ， 当 时，；当 时，， 即 ， 当 时， 单调递增，故 ； 当 时， 单调递减，故 ， 图象为经过点 、 的射线与经过点 、 的射线组成的折线， 综上， 的值域为 。 【练1】（2025三明二中期中 13）已知 ，则 =______。 【答案】 【分析】把 配凑成关于 的表达式得 的解析式，先求 ，再求 ；也可用赋值法直接令 取特殊值。 【详解】解法一（配凑法）：，令 ，得 ，即 ， 所以 ，。 解法二（赋值法）：令 ，得 ；再令 ，得 ， 所以 。 故答案为：。 【练2】（2026江苏天一中学期中 10）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B． 的定义域是 C． 是奇函数 D． 的图象关于直线 对称 【答案】ABD 【分析】先用换元（配凑）法求出 的解析式，同时由 确定 的定义域，再逐项判断。 【详解】令 ，因为 ，所以 ， 由 得 ， 即 。 A选项：，正确； B选项： 的定义域是 ，正确； C选项：，且定义域关于原点对称，所以 是偶函数不是奇函数，错误； D选项： 是偶函数，图象关于直线 对称， 将 的图象向右平移 个单位得到 的图象，对称轴随之平移为直线 ，正确。 故选：ABD。 【练3】（2026云南开远一中期中 5）已知函数 ，则函数 的解析式是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】把 配凑成关于整体 的表达式，同时注意 的取值范围就是 的定义域，这是本题易漏点。 【详解】因为 ， 令 ，由 得 ， 所以 （）， 即 。 故选：B。 　解析式：换元与方程组法 方法要领　见 令 反解后代入；条件是 与 的线性组合且 与 可对换（如 、、）时，用 替换 再构造一个方程，联立消元解出 ，注意换元后的新元范围与定义域。 【例】（2025四川安岳中学期中 19）已知函数 满足 ，函数 满足 。 （1）求函数 和 的解析式； （2）求函数 的值域。 【答案】（1），； 【分析】（1） 用换元法，令 反解出 再代入； 用 替换 构造第二个方程，联立消元；（2）化简后被开方数为 ，令 换元，在新区间上用配方法求二次函数的最值。 【详解】（1）令 ，则 ，所以 ，即 。 由 ①，用 替换 ① 中的 ，得 ②， ①×2-② 得 ，所以 ， 所以 。 （2），要使根式有意义，需 ，即 ， 令 ，则 ，且 ， 代入得 ， 因为 ，抛物线开口向下且对称轴为直线 ，所以 在 上单调递减， 当 （即 ）时取最大值 ，且 时 ， 所以所求值域为 。 【练1】（2025重庆南开中学期中 7）已知函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用 替换 构造第二个方程，联立两个方程消去 即可。 【详解】由 ①， 用 替换 ① 中的 ，得 ②， ②×3-① 得 ， 即 ，解得 。 故选：D。 【练2】（2026哈尔滨三中期中 16）已知函数 满足 。 （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在 上的单调性，并证明。 【答案】（1）； 【分析】（1）用 替换已知等式中的 得到第二个方程，两边同乘 后与原式相加消去 ；（2）用单调性定义，任取 作差、因式分解、判号。 【详解】（1）已知 ①， 用 替换 ① 中的 ，得 ②， ② 两边同乘 ，得 ③， ①+③ 得 ， 所以 （）。 （2） 在 上单调递减，证明如下： 设 ，则 ， 由 得 ，，故 ， 又 ，所以 ， 于是 ，即 ， 故 在 上单调递减。 【练3】（2026山东实验中学期中 16）函数 是 上的奇函数，且当 时，函数 满足 。 （1）求 的值； （2）求函数 的解析式。 【答案】（1）； 【分析】（1）在 时用 替换 构造方程组，消元解出 后求值；（2）设 ，则 ，利用奇函数关系 求该段解析式，并由 补齐分段点。 【详解】（1）当 时， ①， 用 替换 ① 中的 （ 时 ，仍在该式成立范围内）， 得 ②， ②×2-① 得 ， 即 ，所以 ， 故 。 （2）当 时，，由（1）得 ， 又 为奇函数，所以 ； 当 时，由奇函数性质 ，得 。 综上，。 【练4】（2026望城一中期中 18）已知函数 经过点 与 。 （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明； （3）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】（1）； 【分析】（1）把两点坐标代入解析式，列关于 的方程组求解；（2）用单调性定义，任取两个自变量作差、判号、下结论；（3）恒成立问题转化为 不小于 在给定区间上的最大值，再借助（2）的单调性求最值。 【详解】（1）由题意得 ，即 ； ，即 ， 联立 ，解得 ， 所以 。 （2） 在 上单调递减，证明如下： 任取 ，且 ， 则 ， 因为 ，所以 ，，于是 ，即 ， 所以 ，即 ， 故 在 上单调递减。 （3）由 对任意 恒成立，得 在该区间上的最大值， 由（2）知 在 上单调递减，而 ， 所以 在 上单调递减，最大值为 ， 所以 ，即实数 的取值范围为 。 　分段函数求值与解不等式 方法要领　求 由内向外逐层计算，每层先定位自变量落在哪一段；解不等式逐段讨论，每段解出的结果必须与该段自变量范围取交，最后取并集，画草图辅助可防漏段与端点开闭出错。 【例】（2025江阴成化中学期中 18）定义运算 ，函数 。 【答案】（1）； 【分析】（1）由新定义，解不等式 确定取 的 范围，其余范围取另一式；（2）分段取点描图，注意两段在 处的连接；（3）由图象读出单调区间，并确定最低点与最高点情况得值域。 【详解】（1）解 ，即 ，解得 ， 此时 ；当 或 时，，此时 ， 所以 。 （2）取点：，，，，， 图象由线段 与两段抛物线弧 （ 及 ）拼接而成， 两段在点 处相接。 （3）当 时，抛物线段 （）与线段 都随 增大而减小，故 在 上单调递减； 当 时， 单调递增，故增区间为 ； 最小值为 ，无最大值，所以值域为 。 【练1】（2025四川威远中学期中 15）已知函数 。 【答案】（1）图象见详解； 【分析】（1）分段描点作图：抛物线弧与线段，注意第二段左端点 取不到，画成空心点；（2）分段解不等式，每段的解必须与该段自变量的范围取交，最后取并集。 【详解】（1）当 时，，描点 、、、，图象为抛物线的一部分； 当 时，，描点 （空心，取不到）与 ，图象为一条线段。 （2）当 时，，即 ，解得 ， 与该段范围取交得 ； 当 时，，解得 ，与该段范围取交得 。 综上，不等式 的解集为 。 【练2】（2025四川威远中学期中 14）设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是______。 【答案】 【分析】先把内层 看作整体 ，分 的符号解不等式 ，得到 的下界，再分 的符号解 。 【详解】先解 ：当 时， 恒成立； 当 时，，即 ，解得 ，与 取交得 ， 综上， 当且仅当 。 所以 等价于 。 当 时， 恒成立，故一切 都满足； 当 时，，即 ，解得 。 综上，实数 的取值范围是 。 故答案为：。 【练3】（2026郧阳中学期中 5）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按 与 分别落入哪一段分类，写出两处的函数值后代入不等式求解，每类所得的解必须与该类前提取交。 【详解】当 时， 且 ，此时 ，不等式不成立； 当 时，，，则 ，， 不等式化为 ，即 ，解得 ，结合 得 ； 当 时，，，则 ，， 不等式化为 ，即 ，解得 ，结合 得 。 综上，解集为 。 故选：A。 【练4】（2025重庆一中期中 8）函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，。若对任意 ，都有 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系 逐段求出 、、 上的解析式与最值，找到 首次超过 的位置，由此确定 的上界。 【详解】当 时，； 当 时，，； 当 时，， ， 此段在 处取得最大值 ， 令 ，解得 ，即 或 ， 结合开口方向，本段 当且仅当 。 而 时 恒成立， 若对任意 都有 ，则 不能进入区间 ， 故 的最大值为 。 故选：D。 　分段函数含参问题 方法要领　单调型：两段各自单调，且分段点处左段趋近值与右段起点值要衔接（递增时前者 后者），列不等式组解参；值域/最值型：先算定值段的值域，再按参数讨论动段；方程解个数型：转化为图象与水平线的交点个数，按分段点与区间位置分类讨论。 【例】（2026西南大学附中期中 15）已知 。 （1）求函数 的解析式； （2）若函数 在 上单调，求 的取值范围。 【答案】（1）； 【分析】（1）令 ，把各段表达式中的 换为 ，并同步把段的范围换为 的范围；（2）分段函数在 上单调，需每段单调且分段点处衔接：按 、、 分类，先定两段各自的单调方向，再由对称轴位置与分段点函数值列不等式组。 【详解】（1）令 ，则 。 当 即 时，； 当 即 时，， 所以 。 （2）当 时， 段为常函数 ， 在 上不单调，不合题意； 当 时， 段 单调递增； 段为开口向上的二次函数，对称轴为直线 ，要使该段在 上递增，需 ； 分段点衔接：左段趋近值 不超过 ，在 时恒成立， 由 解得 ； 当 时， 段单调递减； 段开口向下，对称轴为直线 ， 要使该段在 上递减，需对称轴不超过分段点，即 ； 分段点衔接需 左段趋近值 ，即 ，解得 。 综上， 的取值范围为 。 【练1】（2025湛江三校联考期中 8）已知函数 满足：对任意 ，，当 时都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】差商恒正等价于 在 上单调递增，需满足：一次段斜率为正、二次段对称轴不超过分段点、分段点处左段趋近值不超过 。 【详解】对任意 都有 ，说明 是 上的增函数， 需满足：一次段 递增，则 ； 二次段 开口向上，对称轴为直线 ，要使它在 上递增，需 ； 分段点衔接：左段在 时的值 不超过 ，即 ， 联立 ，解得 ， 即 的取值范围是 。 故选：A。 【练2】（2025东北育才中学期中 12）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______。 【答案】 【分析】右段值域固定为 ，故整体值域为 当且仅当左段值域覆盖 ，即左段一次函数递增且其上确界不小于右段的最小值 。 【详解】当 时，，此段值域为 。 要使整体值域为 ，左段 必须单调递增（若不增，左段函数值无法向 方向取遍）， 则 ，且当 时 ， 即左段的值域为 。 由 ，需 ，即 ， 联立 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 。 故答案为：。 【练3】（2025鞍山一中期中 8）已知 ， 为常数，若存在互不相同的三个实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两段各自的形状与取值范围，得出能同时贡献三个交点的 的范围；左侧两根由二次函数对称性求和，右侧根的范围由不等式解出。 【详解】当 时，，图象开口向下，对称轴为直线 ，在 处取得最大值 ； 当 时，对任意 ，（因 ）， 故 在 上单调递增，最小值 。 要使方程 有三个不同的实数解，需右侧贡献一个根且左侧贡献两个根， 因 （当且仅当 取等），需 ；又左侧最大值为 ，故 。 设 ，则 ，由二次函数的对称性， 与 关于直线 对称，所以 。 由 ： 解 ，即 ，得 或 ，结合 得 ； 解 ，即 ，得 ，结合 得 ， 所以 ，。 故选：D。 【练4】（2026湖南长沙一中期中 14）若 ，存在实数 使得 在 上有三个实数解，则实数 的取值范围是______。 【答案】 【分析】方程解的个数等于图象 与水平直线 在 内的交点个数，按分段点 与区间的位置关系分类：两段图象分别是 形折线与开口向上的抛物线弧，逐类说明存在 使交点恰为三个的条件。 【详解】当 时，区间 内全部落在抛物线段（）， 在 上单调递减、在 上单调递增，任一水平直线至多与图象有 个交点，不满足； 当 时，区间内全部为 段，任一水平直线至多有 个交点，不满足； 当 时，取任意 ，在 段（）上仅 一个交点， 抛物线段上 满足 （因 ）且 ，共 个交点，合计 个解； 当 时，取任意 （非空，因 ）， 段上仅 一个交点（ 落入抛物线段）， 抛物线段上 均有效，合计 个解； 当 时，，取任意 ， 段上 两个交点均在 内， 抛物线段上 被排除，仅 一个交点，合计 个解。 综上，当且仅当 时存在这样的 ， 故 的取值范围是 。 故答案为：。 　函数图象识别 方法要领　按排除链走：先查定义域排除断点不合的图象，再看奇偶性定对称性排除一半，最后取特殊值看函数值符号、考察单调趋势（增减、增速快慢）定出唯一选项。 【例】（2026杭师大附中期中 5）函数 的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按图象识别排除链：先看定义域，再找图象与 轴交点的位置排除，最后考察各段单调性定出唯一选项。 【详解】定义域为 ，图象在 处断开且不过原点。 先找图象与 轴的交点，令 ： 当 时，，即 ，无实数解，故 轴右侧图象不与 轴相交； 当 时，，即 ，解得 （ 舍去）， 故图象过点 ，排除A、D； 当 时，，因为 与 在 上都单调递减，其和在该区间上单调递减， 对照图象知B正确，C错误。 故选：B。 【练1】（2025重庆一中期中 5）函数 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判奇偶性定对称性排除，再取特殊值看函数值符号排除。 【详解】定义域为 ，设 ， 则 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D； 取 ，，而B选项图象在 处函数值为负，排除B。 故选：A。 【练2】（2026之江中学期中 7）函数 的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先看定义域与奇偶性定对称性排除，再把 时的解析式化简，考察其单调性排除剩余选项。 【详解】定义域为 ， 因为 ， 所以 为偶函数，图象关于 轴对称，排除B、C； 当 时，， 因为 在 上单调递增， 在 上也单调递增， 所以 在 上单调递增，而A选项图象在 轴右侧不单调，排除A。 故选：D。 【练3】（2025海门实验学校期中 5）函数 的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去绝对值化为分段函数，考察 段的单调性排除，再取特殊值看函数值符号排除。 【详解】， 当 时， 单调递增， 也单调递增，所以 在 上单调递增，排除B、C； 取 ，，而A选项图象在 处函数值为正，排除A。 故选：D。 　图象变换与图象应用 方法要领　平移遵循左加右减、上加下减，翻折 保留 轴上方并把下方翻上去；读图应用先由实际情境分段写出解析式（面积、路程、注入量等），再对照图象的弯曲方向（增速变快或变慢）、折点与端点开闭选择或判断。 【例】（2026广州二中四元联考期中 6）如图， 为直角梯形，，，，，记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，则函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按 与 的大小分两段求面积： 时左侧为三角形， 时再加上一个矩形，得分段解析式后对照图象的形状选择。 【详解】由 ，，，，可设 ，，，， 斜腰 过点 与 ，其方程为 ，梯形总面积为 。 当 时，直线 左侧部分是顶点为 、、 的三角形， 面积 ； 当 时，左侧图形为上述整个三角形再加上宽 、高 的矩形， 面积 。 所以 ， 其图象在 上为开口向上的抛物线弧，在 上为上升的线段，在 处 连续衔接， 对照各选项，只有C符合。 故选：C。 【练1】（2025南京六校联考期中 5）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化的图象如下图所示，横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量。根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（　　） A．注入时间在 小时以内（含 小时），采用方案一 B．注入时间恰为 小时，不采用方案三 C．注入时间恰为 小时，采用方案二 D．注入时间恰为 小时，采用方案二 【答案】D 【分析】逐项对照图象：比较同一时刻三条图象的高低位置，位置最高者注入量最大，即为最优方案。 【详解】对A，由图可知注入时间在 小时以内（含 小时）时，方案一的图象始终位于其余两方案上方，即注入量最大，故采用方案一，说法正确； 对B，注入时间恰为 小时时，方案三的图象位于其余两方案下方，注入量最少，故不采用方案三，说法正确； 对C，注入时间恰为 小时时，方案二的图象位于最上方，注入量最大，故采用方案二，说法正确； 对D，当注入时间超过 小时后，方案三的图象位于最上方，注入量最大，故注入 小时应采用方案三而非方案二，说法错误。 故选：D。 【练2】（2025大连二十四中期中 5）设 为函数 图象上的动点，若此函数图象与 轴、直线 及直线 围成图形（如图阴影部分）的面积为 ，则 的图象可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按 与 两段计算阴影面积，得 的解析式，再由两段图象"增速变慢"与"增速变快"的特征对照选项。 【详解】当 时，阴影部分为直角梯形，两底长分别为 与 ，高为 ， 面积 ，随 增大而增大，且增速越来越慢； 当 时，面积为左侧三角形面积 再加上 上两直角边都是 的等腰直角三角形面积 ， 即 ，随 增大而增大，且增速越来越快。 所以 的图象整体上升，在 上为上凸弧、在 上为下凸弧，在 处 连续， 对照各选项为B。 故选：B。 【练3】（2026湖南长沙一中期中 6）学校宿舍与办公室相距 米。某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步 分钟来到办公室，停留 分钟，然后匀速步行 分钟返回宿舍。在这个过程中，这位同学行进的速度 和行走的路程 都是时间 （分钟）的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】按 、、 三段分别写出 与 的解析式，再对照图象特征选择。 【详解】匀速跑步的速度为 米/分，匀速步行的速度为 米/分。 速度函数：， 其图象为三段水平线段（停留一段落在 轴上），对应图①； 路程函数（累计行走的路程）：， 其图象为"上升—水平—上升（较缓）"的折线，对应图②。 所以速度函数和路程函数的示意图分别是①②。 故选：A。 　函数概念与同一函数判断 方法要领　判断同一函数先查定义域再化简对照应法则，两条件缺一不可；概念判断题紧扣『任意 对应唯一 』，取特殊值找同一自变量对应两个函数值的反例即可排除。 【例】（2025广州育才中学期中 11）给出以下四个判断，其中正确的是（　　）（多选） A． B．函数 与 不是同一函数 C．若 的定义域为 ，则 的定义域为 D．若函数 ，则 ， 【答案】BCD 【分析】A根据元素与集合的关系判断；B化简 后对照应法则；C由抽象函数定义域规则令 落在 内；D用配凑法并先求出 的值域。 【详解】A选项： 为自然数集，，故A错误； B选项：，与 的对应关系不同，不是同一函数，故B正确； C选项：由 的定义域为 ，对 需 ， 解得 ，所以定义域为 ，故C正确； D选项：因为 ， 令 ，由对勾函数的值域得 ， 所以 ，，故D正确。 故选：BCD。 【练1】（2026江苏天一中学期中 3）下列四组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】两函数表示同一个函数需定义域相同且对应法则相同，逐组先查定义域、再对照应法则。 【详解】A项： 和 的定义域均为 ，且 ，对应法则相同，所以 和 是同一个函数； B项： 的定义域为 ， 需被开方数非负且分母不为零，定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数； C项： 中 ，定义域为 ； 中 ，定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数； D项： 和 的定义域均为 ，但 ，而 ，对应法则不同，不是同一个函数。 故选：A。 【练2】（2026浙江镇海中学期中 10）存在函数 满足：对任意 都有（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】函数的定义要求同一个自变量只能对应唯一的函数值。逐项检验：把括号内的整体看作自变量，若同一个括号值对应的函数值唯一，则这样的 存在；若同一括号值对应两个不同函数值，则不存在。 【详解】A项：令 ，则任意 都对应唯一确定的 ， 且对每个 ，满足 的 唯一， 故 有唯一确定的值，符合函数定义； B项：令 ，则 ， 虽然 与 给出相同的 ，但对应的函数值都是唯一确定的 ，符合函数定义； C项：当 时，； 当 时，， 即同一个自变量 对应了 与 两个不同的值，与函数定义矛盾，不符合； D项：令 ，则 ， 故 ，函数值由 唯一确定，符合函数定义。 故选：ABD。 【练3】（2026广东深圳盟校期中 10）下列说法中正确的是（　　）（多选） A．命题"，"的否定是"，" B． 与 是同一个函数 C．函数 满足 ，若 ，则实数 D．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 【答案】ACD 【分析】A根据全称量词命题的否定形式判断；B分别求两个函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数；C用换元法求出 的表达式后解方程；D明确 的定义域是其中 的范围，再求括号内整体的范围。 【详解】A项：全称量词命题的否定需把量词改存在量词、结论否定， 故否定为"，"，A正确； B项： 需 ，定义域为 ， 需 ，定义域为 ， 两者定义域不同，不是同一个函数，B错误； C项：令 ，则 ， 则 ， 由 得 ，解得 ，C正确； D项： 的定义域为 ，即其中的 ， 则 ，所以 的定义域为 ，D正确。 故选：ACD。 【练4】（2026常州金坛一中期中 11）给出以下四个判断，其中正确的是（　　）（多选） A．函数 的值域为 B．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 C．函数 的定义域 ，值域为 ，则满足条件的 有 个 D．若 ，且 ，则实数 的值为 【答案】ABC 【分析】A用分离常数法化为 后按 求范围；B先由 的定义域求出 的定义域，再对 与根式列不等式组；C由 求出可能的定义域并按函数概念计数；D先配凑出 的解析式并注意 的取值范围。 【详解】A项： ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以 ， 所以 ，A正确； B项： 的定义域为 ，即 ，则 ， 所以 的定义域为 ； 对 ，需 ， 解得 ，即定义域为 ，B正确； C项：由 得 ， 要使值域恰为 ，定义域 可以是 ， 或 ，共 个，C正确； D项：因为 ， 当 时，（当且仅当 取等号）； 当 时，， 所以 ，其定义域为 ， 由 得 ，两个值都在定义域内， D只取 漏了 ，D错误。 故选：ABC。 　具体函数的定义域 方法要领　按『分母不为零、偶次根号内非负、零次幂底数不为零』列不等式组取交集，结果写区间或集合；含参『定义域为 』化为被开方数恒非负，按二次项系数是否为零分类讨论。 【例】（2026沈阳五校协作体期中 3）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】定义域为 等价于被开方数 对任意 恒成立，按 与 分类讨论。 【详解】由题意，函数定义域为 ，则 在 上恒成立。 若 ，则不等式化为 ，在 上恒成立，满足题意； 若 ，则需二次函数开口向上且与 轴无交点或只有一个交点， 即 ，解得 。 综上，。 故选：A。 【练1】（2026常州金坛一中期中 2）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分母不为零、被开方数非负，列不等式组可解。 【详解】要使原函数有意义，则 ， 即 （分母不为零），（被开方数非负）， 解得 且 ， 则函数的定义域为 。 故选：A。 【练2】（2026郑州一中期中 3）若函数 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由 的解析式求出 的定义域，得 中 的范围，再结合分母根式的约束列不等式组。 【详解】由 有意义，需 ，解得 ， 即 的括号内整体必须落在 中； 对 ，需 ，解得 ； 又分母含根式 ，需被开方数非负且分母不为零，即 ，得 ， 联立 ，解得 ， 所以所求定义域为 。 故选：A。 【练3】（2025东北育才中学期中 3）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】定义域为 等价于被开方数对任意实数恒非负，按二次项系数 与 分类讨论。 【详解】由题意，需 对任意 恒成立。 若 ，即 ，此时不等式化为 ， 仅当 时成立，不满足恒成立，舍去； 若 ，则需二次函数开口向上且与 轴至多一个交点， 即 ， 由 得 ，即 ，解得 ， 结合 ，仍得 。 综上，实数 的取值范围是 。 故选：B。 【练4】（2025重庆巴蜀中学期中 11）函数 的定义域为 ，值域为 ，区域 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D．存在无数个 ，使得不等式 对 恒成立 【答案】ACD 【分析】A即被开方数在 上恒非负，按 与 讨论；B配方后值域为 需开口向上且最小值不超过 ；C此时 ，定义域长用两根距离表示、值域长用顶点处的最大值表示，由正方形边长相等列方程；D配方可得 时不等式恒成立。 【详解】A项：若 ，则 在 上恒成立， 当 时，不等式即 ，恒成立； 当 时，需 ，解得 ， 综上 ，A正确； B项：因为 ， 若 ，则 的值域为 ， 需 ，解得 ， 而 时最小值恰为 ，满足题意，选项 漏了 ，B错误； C项：若 为正方形区域，则 为闭区间 ，故 且 ， 其中 是 的两根，定义域长度为 ； 又抛物线开口向下，顶点 处被开方数取最大值 ， 且 位于 内，故 ，值域长度为 ； 由正方形边长相等得 ， 两边平方得 ，即 ， 两边同乘 （）整理得 ，解得 或 （舍去）， 此时边长为 ，面积为 ，C正确； D项：当 时， ， 所以 对一切 恒成立， 而 中有无数个 ，D正确。 故选：ACD。 　抽象函数的定义域 方法要领　记两条规则：已知 定义域为 ，令 解 ；已知 定义域为 ，则 定义域是 在 上的值域，最后叠加分母、根式约束取交集。 【例】（2026河南实验中学期中 3）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 的定义域求出 的定义域，再由 的括号内整体落在 的定义域内且被开方数非负列不等式组求解。 【详解】因为 的定义域为 ，即 ， 则 ，所以函数 的定义域为 。 对于函数 ，要使解析式有意义， 需 （括号内整体落在 的定义域内，且根号内非负）， 解得 ， 所以函数 的定义域为 。 故选：D。 【练1】（2025杭师大附中期中 4）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 的定义域是其中 的范围，先求出括号内整体的取值范围即 的定义域，再解 中 的范围。 【详解】因为 的定义域为 ，即 ， 所以 ，即 的定义域为 ； 对 ，需 ，解得 ， 所以 的定义域为 。 故选：D。 【练2】（2026西南大学附中期中 5）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由 的定义域求出 的定义域，再对 的括号内整体与分母根式的被开方数列不等式组。 【详解】因为 的定义域为 ，即 ， 所以 ，即 的定义域为 ； 对 ，需 ， 即 ， 因为 ，所以解得 ， 所以所求定义域为 。 故选：B。 【练3】（2026之江中学期中 13）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______。 【答案】 【分析】先把 的定义域转化为 的定义域，再对 的括号内整体与根式被开方数列不等式组。 【详解】因为 的定义域为 ，即 ， 所以 ，即 的定义域为 ； 对 ，需 ， 解得 ， 所以 的定义域为 。 　值域：配方法与观察法 方法要领　先求定义域；能直接看出范围用观察法并写明端点取到与否，二次结构配方后按开口方向和对称轴与区间的位置关系定最值，开区间端点取不到时值域端点写开。 【例】（2026南师附中期中 13）已知 ，则 的值域为______。 【答案】 【分析】先求定义域，把 配凑成 的代数式，化为关于 的二次式后用配方法求最值。 【详解】函数 的定义域为 ，此时 。 由 ， 得 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的值域为 。 【练1】（2025重庆南开中学期中 6）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求定义域，观察结构： 在定义域上递增， 在定义域上递减，相减后函数递增，由端点值与变化趋势确定值域；也可令 化为二次式配方验证。 【详解】由 得定义域为 ， 在定义域内， 增大时 增大而 减小， 所以 随 增大而增大，即函数在定义域上单调递增， 所以当 时取得最大值 ； 当 时， 且 ，此时 ， 且递增函数可以取到 中的每一个值， 所以函数的值域为 。 故选：C。 【练2】（2026山东实验中学期中 6）函数 的定义域和值域分别为（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】B 【分析】先由被开方数非负求定义域；令 并写出 的范围，化为关于 的二次式后配方求最值。 【详解】由 得 ，所以定义域为 ； 令 ，则 ，且 ， 则 ， 配方得 ，故 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 而 ，等号可以取到， 所以值域为 。 故选：B。 【练3】（2026重庆八中期中 6）函数 ， 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，由 求出 ，化为二次函数后配方，结合对称轴与区间的位置关系求最值，并注意端点 取不到。 【详解】令 ，由 得 ，且 ， 则原函数化为 ， 配方得 ， 抛物线开口向下，对称轴 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时取得最大值 ； 最小值在离对称轴较远的端点 处取得，， 又 时 ，而 取不到，故 不是函数值，只起界内作用， 所以 的值域为 ，即原函数的值域为 。 故选：B。 　值域：换元法与分离常数 方法要领　含根号令根式为新元并必写新元范围，反解后代入化为二次；分式先分离常数化 ；对勾函数 抓住拐点 的增减性再与端点比较。 【例】（2026杭九中期中 4）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求定义域，令 换元（新元的范围必求），化为 ，，再由单调性求值域。 【详解】由题意得 （被开方数均非负）， 解得 ，即 的定义域为 。 令 ，则 ，且 ，， 则原函数转化为 ，。 因为 与 在 上均为单调递减函数， 所以 在 上单调递减， 所以 的最大值为 ，最小值为 ， 所以 的值域为 ，即原函数 的值域为 。 故选：C。 【练1】（2025云南师大附中期中 12）函数 ， 的值域为______。 【答案】 【分析】用分离常数法把函数化为 ，再由 的范围确定 的范围。 【详解】由 ， 当 时，， 所以 ，则 ， 所以 ， 即当 时 ，当 时 ， 所以函数在 上的值域为 。 【练2】（2026杭高三校区期中 13）函数 在 上的单调递增区间是______，最小值是______。 【答案】； 【分析】先用定义法（作差）验证 时的递增性，确定拐点位置；最小值用基本不等式求出并写明取等条件，两者互相印证。 【详解】设 ，则 ， 因为 ，，所以 ，则 ， 又 ，所以 ，即 ， 所以函数在 上单调递增，即单调递增区间是 ； 当 时，， 当且仅当 ，即 时取等号， 结合递增性可知最小值为 。 【练3】（2025大连经开区一中期中 4）已知函数 ，下面有关结论错误的有（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】C 【分析】逐一检验：定义域由分母不为零直接写出；由奇偶性与 时的最值得值域与对称性；注意单调区间不能用"∪"连接。 【详解】A项：由分母 得定义域为 ，A正确； B、D项：因为 ，且定义域关于原点对称， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，D正确； 当 时，，当且仅当 时取等号， 由奇函数的对称性，当 时 ，当且仅当 时取等号， 所以值域为 ，B正确； C项： 的单调递减区间是 和 ， 单调区间必须分开写，不能用"∪"连接，C错误。 故选：C。 【练4】（2026郑州外国语学校期中 14）如果对于任意的 ，总存在 ，使得 ，那么实数 的取值范围是______。 【答案】 【分析】由 两边同除 整理得 ，"任意 、存在 使等式成立"等价于左边函数的值域是右边函数值域的子集；分别用对勾函数性质与定义法求两侧的值域，再列包含关系解出 。 【详解】因为 ，原等式两边同除以 ，得 ， 整理得 ； 先求左边 在 上的值域： 由对勾函数的性质， 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 ，，， 因为 ，所以其值域为 ； 再求右边 在 上的值域： 设 ，则 ， 因为 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，即 在 上单调递增， 且 ，当 时 （取不到）， 所以其值域为 ； "对任意 ，总存在 使等式成立"等价于 ， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 。 　值域：判别式法与分段值域 方法要领　分子分母同次的分式去分母用 求 范围并检验二次项系数为零的值；分段值域逐段求再取并集，含参时在衔接点列不等式；『任意存在』型先转化为一个函数值域包含于另一个，再按包含列端点不等式。 【例】（2025学军中学期中 7）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数的值域是各段值域的并集；两段都令根式为新元（新元的范围必求），化为二次函数配方求各段值域，再取并集。 【详解】当 时，令 ，则 ，且 ， 则 ，即 ， 且 时 ，故此段的值域为 ； 当 时，令 ，则 ，且 ， 则 ，即 ， 且 时 ，故此段的值域也为 ； 所以函数 的值域为两段值域的并集，即 。 故选：A。 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 8）已知函数 ，，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】"每个 都能被某个 取到"等价于 在 上的值域是 在 上值域的子集；先按零点分段去绝对值求 的值域，再按 的符号讨论一次函数的值域，列包含关系求解。 【详解】先求 在 上的值域： 当 时，，单调递减，取值范围为 ； 当 时，，取值集合为 ； 当 时，，单调递增，取值范围为 ； 所以 在 上的值域为 ； 再考察 在 上的值域： 若 ，则 恒成立，值域为 ，不能包含 ，不合题意； 当 时， 在 上单调递增，值域为 ， 由 得 ， 解得 ； 当 时， 在 上单调递减，值域为 ， 由 得 ， 解得 ； 综上，实数 的取值范围是 。 故选：B。 【练2】（2026长沙望城一中期中 14）已知函数 （ 且 ）。若 的值域为 ，则 的一个取值为______；若 的值域为 ，则 的取值范围是______。 【答案】； 【分析】当 时第一段的值域为 ；值域为 时需第二段的函数值都不超过 ，按 时 递减列式；值域为 时需第二段补上 的一切值，按 时 递增且真数无上界列式。 【详解】当 时， 的值域为 ，其中 在 处取到； 又 时真数 ，对数恒有意义； 第一空：若 的值域为 ，则 段的一切函数值都不能超过 ， 当 时， 单调递减，而真数 随 增大而增大， 所以该段函数值随 增大而减小，其上确界是 时的 （取不到）， 只需 ， 由 时 递减，去对数得 ， 即 ，解得 ，结合 得 ， 故 的一个取值为 ； 第二空：若 的值域为 ，第一段已提供 ， 则 段必须能取到 中的一切值， 当 时， 单调递增且真数无上界， 该段函数值的范围是 （下界取不到）， 需 ， 由 时 递增，去对数得 ， 即 ，解得 或 ，结合 得 ， 所以 的取值范围是 。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026大连二十四中期中 2）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有意义须被开方数非负，解绝对值不等式即可。 【详解】要使函数 有意义，须满足 ， 即 ，所以 ， 解得 ， 所以函数的定义域为 。 故选：B。 2．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 4）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据相同函数的判定原则，从定义域和对应关系两方面逐组判断。 【详解】A选项： 的分母不为零，定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，不表示相同的函数，故A错误； B选项：零次幂的底数不为零， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，不表示相同的函数，故B错误； C选项：两函数的定义域均为 ，对应关系也相同（仅自变量所用的字母不同，不影响），表示相同的函数，故C正确； D选项： 需 ，定义域为 ； 需 ，定义域为 ，定义域不同，不表示相同的函数，故D错误。 故选：C。 3．（6分）（2026广西南宁市第三中学期中 5）函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性看图象的对称性排除两项，再由 时函数值的符号排除一项。 【详解】函数 的定义域为 ， 且 ， 所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B和C； 当 时，分子 ，分母 ，则 ，故排除A。 故选：D。 4．（6分）（2026湖南长沙雅礼中学期中 6）若函数 的值域是 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求 段的值域，再由整个函数值域为 分析 段必须补齐的部分，结合一次函数的方向与衔接处的取值列不等式组。 【详解】当 时， 开口向上，对称轴为 ，其值域为 。 由函数 的值域是 ， 则当 时， 的取值应包含 ， 所以 段必须是减函数，即 ，且衔接处不能产生空隙，即 ， 所以 ， 解得 ，故 的取值范围是 。 故选：C。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026哈尔滨三中期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．函数 的值域为 B．函数 （）的值域为 C．函数 的值域为 D．函数 的值域为 【答案】AC 【分析】A由 观察求解；B换元后用对勾函数性质；C令 换元后用配方法；D分类讨论并结合基本不等式。 【详解】A选项：由于 ，所以 ，值域为 ，故A正确； B选项：令 ，由 得 ，则 ， 由对勾函数性质， 在 上单调递增， 所以 ，值域为 ，故B不正确； C选项：令 （），则 ， 所以 ， 即值域为 ，故C正确； D选项：分母 恒成立，定义域为 ，且 时 ； 当 时，，由基本不等式 ， 得 ，当且仅当 时取等号； 当 时，同理 ，当且仅当 时取等号； 所以值域为 ， 可以取到，故D不正确。 故选：AC。 6．（6分）（2026湖南长沙长郡中学期中 11）已知定义在 上的函数 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．函数 的值域为 【答案】ABD 【分析】利用递推式 逐层求值判断A、B、C；对D先求 上第一段的值域，再逐段递推放大。 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， 而 ，所以 ，故C错误； 对于D，当 时，， 所以 ，即 ； 当 时，，则 ，故 ； 当 时，，同理 ； 依此类推，各段值域的并集为 ，故D正确。 故选：ABD。 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2025鞍山一中期中 13）函数 在区间 上的值域为______。 【答案】 【分析】令 换元，由 求出新元 的范围，化为二次函数后结合单调性求最值。 【详解】令 。由 得 ， 所以 ，且 ， 则 ，。 该二次函数开口向上，对称轴 在区间左侧， 所以 在 上单调递增， 所以 的最小值为 ，最大值为 ， 所以函数 在区间 上的值域为 。 8．（6分）（2026郑州十校联考期中 13）已知函数 满足 ，则 ______。 【答案】 【分析】用 替换 构造关于 与 的方程组，消元即可求解。 【详解】因为 ， 用 替换 ，得 ，即 ， 联立 ， 第二式的两边同乘 后减去第一式，消去 ，得 ， 所以 。 9．（6分）（2026云南师大附中期中 14）已知 ，。若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为______。 【答案】 【分析】先用分离常数与对勾函数求出 的值域，得 的范围，把条件化为该范围是 在 上值域的子集，再按对称轴 的位置分类讨论 的值域。 【详解】由 ， 当 时，对勾函数 在 上递减、在 上递增，其值域为 ， 所以 （负值，且 单调性使取值连续充满区间）， 从而 。 由对任意的 ，总存在 使 ， 得 是 在 上值域的子集。 开口向上，对称轴为 。 当 ，即 时， 在 上单调递增，值域为 ， 由 且 ，解得 ； 当 ，即 时，值域为 ， 由 得 ，与 矛盾，无解； 当 ，即 时，值域为 ， 由 得 ，与 矛盾，无解； 当 ，即 时， 在 上单调递减，值域为 ， 由 得 ，解得 ； 由 得 ，即 ， 所以 。 综上， 的取值范围为 。 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026杭四中吴山期中 16）已知函数 。 （1）请写出函数 的单调递增区间； （2）求 与 （其中 ）的值； （3）当 时，求 的取值范围。 【答案】（1）单调递增区间为 与 ； 【分析】（1）分段考虑各段解析式（二次函数、一次函数）的单调性；（2）先由自变量的范围选定对应段的解析式，由内向外逐层代入；（3）分 、、 三种情况解不等式，各段的解与该段范围取交后取并。 【详解】（1）当 时， 的图象开口向下、对称轴为 轴，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增， 故 的单调递增区间为 与 。 （2）因为 ，所以 ， 又 ，所以 ； 因为 ，所以 。 （3）当 时，由 得 ，即 ，解得 ； 当 时， 成立，故 满足题意； 当 时，由 得 ，解得 。 综上， 的取值范围为 或 。 11．（15分）（2025重庆第二外国语学校期中 16）已知 。 （1）求函数 的解析式； （2）设函数 ，不等式 在 上有解，求实数 的取值范围。 【答案】（1）； 【分析】（1）用配凑法，把 凑成关于 的代数式；（2）先化简 ，“在 上有解”转化为 大于 在 上的最小值，再用基本不等式求最小值。 【详解】（1）因为 ， 所以 。 （2）。 因为 ，所以 ， 由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即 （，等号可取）时取等号， 所以 在 上的最小值为 。 由 在 上有解，得 ， 所以实数 的取值范围是 。 期中专项复习 · 高一教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一上期中专项复习 · 专题五 函数的概念及其表示 全国各地市期中真题精选 · 12 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 解析式：待定系数与配凑 函数解析式（待定系数） · 函数解析式（配凑） 2026杭九中期中 4 题 解析式：换元与方程组法 函数解析式（换元与方程组） · 函数解析式（方程组） · 函数解析式（待定系数） 2025四川安岳中学期中 5 题 分段函数求值与解不等式 分段函数（作图） · 分段函数（作图与解不等式） · 分段函数（解不等式） 2025江阴成化中学期中 5 题 分段函数含参问题 分段函数（含参单调） · 分段函数（含参值域） · 分段函数（含参方程解） 2026西南大学附中期中 5 题 函数图象识别 函数图象识别 2026杭师大附中期中 4 题 图象变换与图象应用 图象应用（建模选图） · 图象应用（读图） 2026广州二中四元联考期中 4 题 函数概念与同一函数判断 同一函数 · 函数概念与定义域 · 函数三要素综合 2025广州育才中学期中 5 题 具体函数的定义域 函数概念与定义域 · 函数性质综合 2026沈阳五校协作体期中 5 题 抽象函数的定义域 函数概念与定义域 2026河南实验中学期中 4 题 值域：配方法与观察法 求值域 2026南师附中期中 4 题 值域：换元法与分离常数 求值域 · 对勾函数单调性与最值 · 对勾函数性质 · 函数最值 2026杭九中期中 5 题 值域：判别式法与分段值域 求值域 · 函数最值 · 分段函数值域 2025学军中学期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 函数定义：设 、 是非空实数集，对 ，按照确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，记作 ；核心是"任意一个 对应唯一 "，"一对多"的对应不是函数。 2. 函数三要素：定义域、对应法则、值域；值域是函数值集合 ，由定义域与对应法则共同确定，三要素中定义域与对应法则确定后值域随之确定。 3. 同一函数：当且仅当两函数的定义域相同且对应法则相同时才是同一函数，与自变量、因变量用什么字母表示无关；判定顺序是先查定义域、再化简对照应法则。 4. 复合函数 ：内层函数 的一切取值必须落在外层 的定义域内，这是求复合函数定义域的根本约束，也是 、 定义域问题的统一来源。 5. 分段函数：它是一个函数而不是几个函数；定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段函数值集合的并集，各段的范围互不重叠且并起来是完整定义域。 6. 函数解析式：表示对应法则的代数式，求解析式必须连同适用范围一起写，例如由 换元得 后必须限定 。 7. 函数的图象：由点集 构成的曲线；竖直线检验——任意竖直线 与图象至多一个交点的曲线才能表示函数，判断图象题的图必须先过这一关。 8. 对勾函数：形如 的函数，图象呈"对勾"状且关于原点对称，在 上先减后增，在 处取得最小值 。 9. 区间与端点：用区间表示值域时，端点开闭由"这个值能否取到"决定；最值取不到（如渐近趋势、开区间端点）时值域端点必须写开。 10. 函数与方程不等式： 有解等价于两图象有交点，也等价于 的取值范围与 的取值范围有公共值；这是"任意存在型"问题的概念基础。 ▍二、法则与公式 1. 定义域约束清单：分母 需 ；偶次根式 需 ；零次幂 需 ；若涉及对数，真数必须大于零；实际问题还需符合实际意义。 2. 抽象函数定义域规则一：已知 的定义域为 ，则 的定义域是不等式 的解集，约束的永远是括号内整体。 3. 抽象函数定义域规则二：已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 上的值域（先由 的范围算出括号内的范围）。 4. 值域之观察法与配方法：能直接看出范围的（如由 得 ）用观察法；二次结构配方为 ，最值在顶点或区间端点处取得，先看开口再看对称轴与区间的位置关系。 5. 值域之换元法：对含 的函数令 并反解 ，必须同时写出新元 的取值范围（如 或由区间定出的范围），值域在新元范围内讨论。 6. 值域之分离常数： 型化为 ，再由 的范围确定倒数部分的范围；区间端点处必须逐一代入计算，不能凭感觉写开闭。 7. 值域之对勾函数： 在 上递减、在 上递增，最小值 ；由奇函数对称性得 侧最大值 ，值域为 。 8. 值域之判别式法：分子分母同次的分式函数 ，去分母整理成关于 的二次方程，由方程有实根得 解出 的范围；必须单独检验二次项系数为零的 值，并保证分母不为零。 9. 求解析式三法：知函数类型（如二次函数、一次函数）用待定系数法设出比较系数；知 的表达式用换元配凑法（令 并写出 的范围）；条件含 与 的线性组合（ 为 、、 等可对换形式）时用方程组法，替换 后联立消元。 10. 图象变换法则：平移遵循"左加右减、上加下减"（ 由 右移 个单位）； 保留 轴上方并把下方翻折上去； 保留 轴右侧并把左侧作其对称图形。 ▍三、方法技巧 1. 同一函数判断三步：先在化简之前查每个函数的定义域（分母、根式、零次幂），定义域不同立即判异；再分别化简对照应法则；仅字母不同、定义域与法则都相同的是同一函数。 2. 具体函数定义域三查：一查分母是否为零，二查偶次根号内是否非负，三查零次幂底数是否为零，列不等式组取交集；含参"定义域为 "转化为被开方数恒非负，按二次项系数是否为零分类讨论。 3. 抽象函数定义域两步：已知 的定义域时，解"内层整体落在 的定义域内"；再叠加新函数自身的分母、根式约束，所有条件取交集，结果写区间或集合。 4. 值域之观察与配方：先求定义域；一眼能看出取值范围的用观察法并写明端点取到与否；二次结构配方后按"开口方向＋对称轴与区间的位置"三类讨论：轴在区间内顶点取最值，轴在区间外比较两端点。 5. 值域之换元四步：定定义域、令根式为新元并写出新元范围、反解代入化为二次函数、在新元区间上配方求最值；最后把结论翻译回原变量，注意开区间端点取不到的最值。 6. 值域之分离常数与对勾：分式先分离常数化 后按区间算倒数范围；形如 的用对勾函数单调性，标注拐点 ，比较拐点值与两端点值后写值域。 7. 值域之判别式法三步：去分母整理成关于 的二次方程、令 解 范围、检验二次项系数为零与分母为零的特殊值后写值域；分子分母不同次时优先考虑分离常数或换元。 8. 分段函数值域三步：逐段求值域（每段严格用该段自变量的开闭区间），再取并集；含参分段值域问题（值域为 或指定区间）转化为"各段值域拼接无缝隙"，在衔接点处列不等式。 9. 任意存在型转化：， 使 等价于 在 上的值域是 在 上值域的子集；先分别求值域，再按包含关系列端点不等式。 10. 解析式、分段与图象题操作：求解析式按"知类型待定系数、知复合换元配凑、知组合方程组"选法并补定义域；分段求值由内向外逐层定位所在段；图象识别按"定义域—对称性—特殊值符号—变化趋势"逐项排除；图象变换严格按"先平移后翻折"的顺序执行。 ▍四、易错警示 1. 正确说法： 的定义域是其中 的取值范围，不是括号内整体的范围。 反例： 的定义域为 ，则 的定义域由 解得 ，答 即错。 2. 正确说法：换元或配凑后必须改写新元的取值范围，求出的解析式必须带上适用范围。 反例：求 的值域时令 须限定 ；由 得 后不写 即错。 3. 正确说法：定义域不同的两个函数一定不是同一函数，即使化简后表达式相同。 反例： 与 的定义域分别为 与 ，不是同一函数。 4. 正确说法：值域区间的端点开闭由能否取到决定，换元后原端点取不到时必须写开。 反例： 在 上换元后 取不到， 不是函数值，值域是 而与 无关。 5. 正确说法：分段函数各段定义域的端点取值不能被两段同时包含。 反例： 中 被两段同时包含， 出现两个值，与函数定义矛盾。 6. 正确说法：用判别式法求分式函数值域后，必须检验二次项系数为零的 值与分母为零的情形。 反例：对 去分母得 ， 时二次项消失且式子不成立，故 必须舍去。 7. 正确说法：单调区间必须分开写，不能用"∪"连接。 反例： 的单调递减区间是 和 ，写成 即错。 8. 正确说法：平移方向遵循"左加右减"，看的是 本身的变化。 反例： 的图象由 向右平移 个单位得到，误认为向左平移是常见错误。 9. 正确说法：解分段不等式时，每一段的解必须与该段自变量的范围取交。 反例：对 解 ，由 段解得 或 后必须舍去 。 10. 正确说法："任意 、存在 使 "转化为 的值域包含于 的值域，方向不能反。 反例：若 值域为 、 值域为 ，虽然 值域含于 值域，但 时找不到 ，条件不成立。 　解析式：待定系数与配凑 方法要领　知函数类型（如二次函数）就设 用待定系数法代入条件比较系数；见 的表达式，先把右边配凑成关于 的整体（或令 换元），必须同时写出 的取值范围作为定义域，漏范围即错。 【例】（2026杭九中期中 19）已知二次函数 满足 且 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025三明二中期中 13）已知 ，则 =______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026江苏天一中学期中 10）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． B． 的定义域是 C． 是奇函数 D． 的图象关于直线 对称 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026云南开远一中期中 5）已知函数 ，则函数 的解析式是（　　） A．， B．， C．， D．， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　解析式：换元与方程组法 方法要领　见 令 反解后代入；条件是 与 的线性组合且 与 可对换（如 、、）时，用 替换 再构造一个方程，联立消元解出 ，注意换元后的新元范围与定义域。 【例】（2025四川安岳中学期中 19）已知函数 满足 ，函数 满足 。 （1）求函数 和 的解析式； （2）求函数 的值域。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025重庆南开中学期中 7）已知函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026哈尔滨三中期中 16）已知函数 满足 。 （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在 上的单调性，并证明。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026山东实验中学期中 16）函数 是 上的奇函数，且当 时，函数 满足 。 （1）求 的值； （2）求函数 的解析式。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026望城一中期中 18）已知函数 经过点 与 。 （1）求函数 的解析式； （2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明； （3）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　分段函数求值与解不等式 方法要领　求 由内向外逐层计算，每层先定位自变量落在哪一段；解不等式逐段讨论，每段解出的结果必须与该段自变量范围取交，最后取并集，画草图辅助可防漏段与端点开闭出错。 【例】（2025江阴成化中学期中 18）定义运算 ，函数 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025四川威远中学期中 15）已知函数 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025四川威远中学期中 14）设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026郧阳中学期中 5）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025重庆一中期中 8）函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，。若对任意 ，都有 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　分段函数含参问题 方法要领　单调型：两段各自单调，且分段点处左段趋近值与右段起点值要衔接（递增时前者 后者），列不等式组解参；值域/最值型：先算定值段的值域，再按参数讨论动段；方程解个数型：转化为图象与水平线的交点个数，按分段点与区间位置分类讨论。 【例】（2026西南大学附中期中 15）已知 。 （1）求函数 的解析式； （2）若函数 在 上单调，求 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025湛江三校联考期中 8）已知函数 满足：对任意 ，，当 时都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025东北育才中学期中 12）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025鞍山一中期中 8）已知 ， 为常数，若存在互不相同的三个实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026湖南长沙一中期中 14）若 ，存在实数 使得 在 上有三个实数解，则实数 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　函数图象识别 方法要领　按排除链走：先查定义域排除断点不合的图象，再看奇偶性定对称性排除一半，最后取特殊值看函数值符号、考察单调趋势（增减、增速快慢）定出唯一选项。 【例】（2026杭师大附中期中 5）函数 的大致图象是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025重庆一中期中 5）函数 的图象大致为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026之江中学期中 7）函数 的图象大致为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025海门实验学校期中 5）函数 的大致图象是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　图象变换与图象应用 方法要领　平移遵循左加右减、上加下减，翻折 保留 轴上方并把下方翻上去；读图应用先由实际情境分段写出解析式（面积、路程、注入量等），再对照图象的弯曲方向（增速变快或变慢）、折点与端点开闭选择或判断。 【例】（2026广州二中四元联考期中 6）如图， 为直角梯形，，，，，记梯形 位于直线 左侧的图形的面积为 ，则函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025南京六校联考期中 5）某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化的图象如下图所示，横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量。根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（　　） A．注入时间在 小时以内（含 小时），采用方案一 B．注入时间恰为 小时，不采用方案三 C．注入时间恰为 小时，采用方案二 D．注入时间恰为 小时，采用方案二 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025大连二十四中期中 5）设 为函数 图象上的动点，若此函数图象与 轴、直线 及直线 围成图形（如图阴影部分）的面积为 ，则 的图象可表示为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026湖南长沙一中期中 6）学校宿舍与办公室相距 米。某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步 分钟来到办公室，停留 分钟，然后匀速步行 分钟返回宿舍。在这个过程中，这位同学行进的速度 和行走的路程 都是时间 （分钟）的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　函数概念与同一函数判断 方法要领　判断同一函数先查定义域再化简对照应法则，两条件缺一不可；概念判断题紧扣『任意 对应唯一 』，取特殊值找同一自变量对应两个函数值的反例即可排除。 【例】（2025广州育才中学期中 11）给出以下四个判断，其中正确的是（　　）（多选） A． B．函数 与 不是同一函数 C．若 的定义域为 ，则 的定义域为 D．若函数 ，则 ， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026江苏天一中学期中 3）下列四组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026浙江镇海中学期中 10）存在函数 满足：对任意 都有（　　）（多选） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026广东深圳盟校期中 10）下列说法中正确的是（　　）（多选） A．命题"，"的否定是"，" B． 与 是同一个函数 C．函数 满足 ，若 ，则实数 D．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026常州金坛一中期中 11）给出以下四个判断，其中正确的是（　　）（多选） A．函数 的值域为 B．若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 C．函数 的定义域 ，值域为 ，则满足条件的 有 个 D．若 ，且 ，则实数 的值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　具体函数的定义域 方法要领　按『分母不为零、偶次根号内非负、零次幂底数不为零』列不等式组取交集，结果写区间或集合；含参『定义域为 』化为被开方数恒非负，按二次项系数是否为零分类讨论。 【例】（2026沈阳五校协作体期中 3）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026常州金坛一中期中 2）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026郑州一中期中 3）若函数 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025东北育才中学期中 3）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025重庆巴蜀中学期中 11）函数 的定义域为 ，值域为 ，区域 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D．存在无数个 ，使得不等式 对 恒成立 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　抽象函数的定义域 方法要领　记两条规则：已知 定义域为 ，令 解 ；已知 定义域为 ，则 定义域是 在 上的值域，最后叠加分母、根式约束取交集。 【例】（2026河南实验中学期中 3）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025杭师大附中期中 4）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026西南大学附中期中 5）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026之江中学期中 13）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　值域：配方法与观察法 方法要领　先求定义域；能直接看出范围用观察法并写明端点取到与否，二次结构配方后按开口方向和对称轴与区间的位置关系定最值，开区间端点取不到时值域端点写开。 【例】（2026南师附中期中 13）已知 ，则 的值域为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025重庆南开中学期中 6）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026山东实验中学期中 6）函数 的定义域和值域分别为（　　） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026重庆八中期中 6）函数 ， 的值域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　值域：换元法与分离常数 方法要领　含根号令根式为新元并必写新元范围，反解后代入化为二次；分式先分离常数化 ；对勾函数 抓住拐点 的增减性再与端点比较。 【例】（2026杭九中期中 4）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025云南师大附中期中 12）函数 ， 的值域为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026杭高三校区期中 13）函数 在 上的单调递增区间是______，最小值是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025大连经开区一中期中 4）已知函数 ，下面有关结论错误的有（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递减 D．图象关于原点对称 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026郑州外国语学校期中 14）如果对于任意的 ，总存在 ，使得 ，那么实数 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　值域：判别式法与分段值域 方法要领　分子分母同次的分式去分母用 求 范围并检验二次项系数为零的值；分段值域逐段求再取并集，含参时在衔接点列不等式；『任意存在』型先转化为一个函数值域包含于另一个，再按包含列端点不等式。 【例】（2025学军中学期中 7）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 8）已知函数 ，，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长沙望城一中期中 14）已知函数 （ 且 ）。若 的值域为 ，则 的一个取值为______；若 的值域为 ，则 的取值范围是______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分84分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026大连二十四中期中 2）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026武汉部分重点中学期中 4）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　） A．， B．， C．， D．， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026广西南宁市第三中学期中 5）函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026湖南长沙雅礼中学期中 6）若函数 的值域是 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026哈尔滨三中期中 10）下列说法正确的是（　　）（多选） A．函数 的值域为 B．函数 （）的值域为 C．函数 的值域为 D．函数 的值域为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026湖南长沙长郡中学期中 11）已知定义在 上的函数 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A． B． C． D．函数 的值域为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 7．（6分）（2025鞍山一中期中 13）函数 在区间 上的值域为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（6分）（2026郑州十校联考期中 13）已知函数 满足 ，则 ______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2026云南师大附中期中 14）已知 ，。若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为______。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 10．（15分）（2026杭四中吴山期中 16）已知函数 。 （1）请写出函数 的单调递增区间； （2）求 与 （其中 ）的值； （3）当 时，求 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（15分）（2025重庆第二外国语学校期中 16）已知 。 （1）求函数 的解析式； （2）设函数 ，不等式 在 上有解，求实数 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高一学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $