第4章 整式的加减 单元复习（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版七年级数学上册

第4章 整式的加减 知识点1：单项式 　　1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。 　　2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 　　3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数；对于一个非零的数，规定它的次数为0。 　　1.系数包括前面的符号，如的系数是。 　　2.当系数是1或-1时，"1"通常省略不写，如a、-ab。 　　3.次数是"所有字母的指数和"，与数字因数无关，单独的数（非零）次数为0。 知识点2：多项式 　　1.定义：几个单项式的和叫作多项式。 　　2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项；一个多项式含有几项，就叫几项式。 　　3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 　　1.多项式的每一项都包含它前面的符号，如的项是、、1。 　　2.多项式的次数看次数最高的项，不是所有项次数之和。 　　3.常数项的次数为0。 知识点3：整式 　　1.定义：单项式与多项式统称整式。 　　2.整式、单项式、多项式的关系：整式包含单项式和多项式；单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；多项式是几个单项式的和。 　　3.判断方法：（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；（2）多项式是几个单项式的和，不包含单项式；（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的（如）都不是整式。 　　1.分母中不含字母、根号内不含字母的代数式才可能是整式。 　　2.含分母且分母含字母的代数式是分式（非整式）。 知识点4：同类项与合并同类项 　　1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项；几个常数项也是同类项。 　　2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项；合并后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 　　3.合并同类项的步骤：一找（找出同类项）、二移（连同符号把同类项移到一起）、三合（把同类项的系数相加，字母及指数不变）。 　　1.判断同类项只看"所含字母相同"且"相同字母的指数也相同"，与系数、字母顺序无关。 　　2.合并时系数相加，字母部分不变，不要漏项。 　　3.互为相反数的同类项合并后为0。 知识点5：去括号（添括号） 　　1.去括号方法：用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来相同；如果是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来相反。 　　2.依据：乘法分配律。 　　3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 括号前符号 去括号法则 示例 括号前是"+" 去括号后，括号内各项符号不变 括号前是"-" 去括号后，括号内各项符号都变 括号前有数字因数 用这个数乘括号内每一项，再相加 　　1.去括号时，括号前是"-"号，去掉括号和"-"号后，括号内每一项的符号都要改变。 　　2.添括号法则与去括号法则相反：添括号后括号前是"-"号，括到括号里的各项都要变号。 知识点6：整式的加减 　　1.运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 　　2.化简求值步骤：一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为"一化、二代、三计算"。 　　1.整式加减的结果仍是整式。 　　2.去括号与合并同类项要按运算顺序进行，先去小括号再去中括号、大括号。 　　3.求值时先化简再代入，可简化计算。 【基础必考题型】 【题型1】单项式的相关概念 1.核心知识点 　　单项式的定义、系数、次数。 2.解题方法技巧 　　（1）判断单项式：是数或字母的积，单独的数或字母也是单项式； 　　（2）求系数：找数字因数（含符号），系数为1或-1时省略； （3）求次数：所有字母的指数和，非零常数项的次数为0。 【例题1】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数与字母的积叫做单项式．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是单项式，本选项不符合题意； B.，是单项式，本选项符合题意； C.的分母中含字母，不是整式，故不是单项式，本选项不符合题意； D.，不是单项式，本选项不符合题意． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式 【答案】A 【分析】由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：是单项式，属于整式，它的系数为，次数为，故A正确，B、C、D错误． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列整式中有a个单项式，b个多项式，则______． 【答案】8 【分析】根据单项式和多项式的定义，分别数出单项式的个数和多项式的个数，再计算的值即可． 【详解】解：单项式有，，，，共个，即， 多项式有，，共个，即， ∴． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．代数式是整式 B．单项式的系数是5，次数是2 C．是单项式 D．式子的系数是3，次数是2 【答案】B 【详解】解：与的分母均含字母，不是整式，故A、D错误； 的系数为5，次数为，故B正确； 是多项式，不是单项式，故C错误． 【题型2】多项式的相关概念 1.核心知识点 　　多项式的定义、项、常数项、次数、几项式。 2.解题方法技巧 　　（1）判断多项式：几个单项式的和，含加减运算； 　　（2）找项：每一项含前面的符号，不含字母的项是常数项； （3）求次数：次数最高的项的次数。 【例题2】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是  （    ） A．是多项式 B．的次数是 C．的常数项为 D．的系数是 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式与单项式，根据多项式、单项式的次数、常数项、系数的定义，逐一分析各选项的正误，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、，是两个单项式的和，符合多项式的定义，故该选项正确，符合题意； 、由单项式的次数是所有字母指数的和，中字母的指数为，的指数为，次数为，故该选项错误，不符合题意； 、多项式的常数项是不含字母的项，即，故该选项错误，不符合题意； 、单项式的系数是数字因数，即，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·周测）如果是一次多项式，那么________． 【答案】/0.5 【分析】因为该多项式是一次多项式，所以最高次项的次数等于1，由此建立关于a的方程．求解上述方程得到a的值． 【详解】∵是一次多项式， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知是关于的二次三项式，那么_____． 【答案】 【分析】根据二次三项式的定义，多项式最高次数为，且共有项，据此确定和的值再计算． 【详解】解：∵是关于的二次三项式， ∴多项式中不能存在三次项，且最高次项的次数为， ∴，， 解得， 将，代入得：． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山东德州·期末）若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故答案为：2． 【题型3】整式的相关概念 1.核心知识点 　　整式、单项式、多项式的区别与联系；降幂（升幂）排列。 2.解题方法技巧 　　（1）整式包括单项式和多项式，分母含字母的不是整式； 　　（2）按某一字母降幂（升幂）排列时，按该字母的次数从高到低（低到高）排列各项； （3）不含字母的常数项次数为0。 【例题3】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·辽宁辽阳·期中）在、、、、、、这些代数式中，整式的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的判断．整式是单项式和多项式的统称，分母中不能含有字母． 据此判断每个代数式是否为整式． 【详解】解：∵ 整式的分母中不能含有字母， ∴ 是常数，是整式； 是单项式，是整式； 是多项式，是整式； 分母含，不是整式； 分母π是常数，是整式； 是多项式，是整式； 分母含字母，不是整式． ∴ 整式有、、、、共5个． 故选：D． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）对下列的代数式进行分类（填序号） ①②③④⑤⑥⑦⑧． 单项式：____________________________； 多项式：____________________________； 整式：____________________________． 【答案】单项式：①③⑤； 多项式：②⑥⑧； 整式：①②③⑤⑥⑧． 【分析】由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母．根据单项式，多项式，整式的定义分类，需要注意是常数，分母含有字母的代数式不属于整式． 【详解】解：①是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的和，是多项式，属于整式； ③可写成，是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ④分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑤中是常数，属于单独的数，因此是单项式，属于整式； ⑥是三个单项式的和，是多项式，属于整式； ⑦分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑧可写成，是两个单项式的和，是多项式，属于整式； 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）有下列式子：，，2027，，m，，，． (1)哪些是单项式？哪些是多项式？ (2)哪个多项式的次数最高？并写出该多项式的项． 【答案】(1)单项式：；多项式：，， (2)多项式的次数最高，该多项式的项为和 【分析】（1）根据单项式、多项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，即可解答． （2）分别算出每一个多项式的最高次数，对比选出次数最高的多项式，再写出它包含的各项． 【详解】（1）解：根据单项式定义：单独数字、字母，数与字母乘积，分母不含字母的式子为单项式． 单项式：，2027，，，． 几个单项式的和是多项式， 多项式：，，． （2）解：，最高次是次； ，最高项次数：次； ，最高项次数：次． 所以次数最高的多项式是． 该多项式的项为和． 【题型4】同类项与合并同类项 1.核心知识点 　　同类项的判断；合并同类项的法则。 2.解题方法技巧 　　（1）判断同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同，与系数、字母顺序无关； 　　（2）合并同类项：系数相加，字母和指数不变； （3）互为相反数的同类项合并后为0。 【例题4】.（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·周测）若单项式与可合并，则的值是____________． 【答案】3 【详解】解：∵单项式与可合并， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·期中）如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由题意得，与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题4-3】.（2026六年级上·上海·专题练习）合并同类项： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】去括号与添括号 1.核心知识点 　　去括号、添括号法则。 2.解题方法技巧 　　（1）括号前是"-"号，去括号后各项都变号； 　　（2）括号前有数字因数，用该数乘括号内每一项； 　　（3）添括号后括号前是"-"号，括入的各项都变号。 【例题5】.（26-27七年级上·全国·课后作业）不改变的值，把式子中括号前的符号变为“”，则代数式将变为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 不改变代数式的值，将括号前的“”改为“”时，括号内各项需变号． 又∵ 原括号内为， ∴ 变号后括号内为，即代数式变为． 【变式题5-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·山东滨州·阶段检测）已知，化简______． 【答案】 【分析】根据给出的，先判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号化简． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得： ． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【答案】(1)添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 (2) 【分析】（1）注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可； （2）将所求式子添加括号变形为含有和的形式，然后再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵， ∴ ． 【题型6】按某一字母升幂或降幂排列 1.核心知识点 　　多项式的升幂、降幂排列。 2.解题方法技巧 　　（1）确定排列对象（某一字母）与方向（升/降幂）； 　　（2）把各项按该字母次数从高到低或从低到高排列，注意带符号移动； （3）不含该字母的项视为该字母的0次项。 【例题6】.（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按升幂排列：______． 【答案】 【分析】按升幂排列即把多项式各项按的指数从小到大排列，确定各项的次数后排序即可． 【详解】解：先列出原多项式的所有项：，，，， 确定各项中的次数：中的次数为，中的次数为，中的次数为，中的次数为， 按的指数从小到大排列各项，得到结果为． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）将整式按字母y降幂排列得到________． 【答案】 【详解】解：整式按的指数降幂排列得． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）把多项式按降幂排列：____________________． 【答案】 【详解】解：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）已知多项式是关于的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查单项式、多项式，掌握单项式、多项式的系数、次数、项数的定义是正确解答的关键． （1）根据单项式、单项式的次数，项数的定义即可求出m的值； （2）确定多项式的各项，再按照x的降幂排列即可． 【详解】（1）解：因为多项式是关于x，y的五次四项式， 所以． 所以． （2）解：由（1）得， 所以这个多项式为． 所以把这个多项式按x的降幂排列为． 【培优高频题型】 【题型7】去括号与合并同类项综合化简求值 1.核心知识点 　　化简求值："一化、二代、三计算"。 2.解题方法技巧 　　（1）先去括号、合并同类项化简； 　　（2）由条件（如绝对值、平方非负）求字母值； （3）代入化简结果求值。 【例题7】.（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】先按照整式的加减运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式 ． 【变式题7-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 【答案】化简结果：;  值： 【分析】先去括号、合并同类项把式子化为最简形式，再代入数值计算．注意先化简再代入可避免复杂计算；代入负数或分数时要加括号，按运算顺序计算． 【详解】解：先合并同类项：． 去括号并合并： 代入、： 当，时： 【变式题7-3】.（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中a是最大的负整数，b与互为相反数． 【答案】； 【详解】解： ． 因为是最大的负整数，与互为相反数， 所以，． 把，代入，原式． 【题型8】整式加减中的错看问题 1.核心知识点 　　由错误运算结果反推原多项式，再求正确结果。 2.解题方法技巧 　　（1）根据错误运算与结果，反解出被错看的整式A； 　　（2）用正确的运算重新计算； （3）再代入字母的值求值。 【例题8】.（25-26七年级上·四川资阳·期中）小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是根据错误的运算列出等式，再通过移项求出多项式． 根据小明看错符号后的错误运算，列出关于的等式，再通过去括号、合并同类项计算出． 【详解】解：由题意，小明错误计算了， 因此 ． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河北张家口·期中）琪琪把错写成，这两个式子相比较，计算结果相差（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式题8-2】.（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】 解： ； ∵化简结果中不含x项， ∴小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确； 又∵化简结果中是“”，“1”、“”的平方是一样的， ∴小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的． 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先把原式去括号，合并同类项得，根据结果进行说明即可． 【详解】略 【变式题8-3】.（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据错误的运算式，结合的表达式，反向计算求出； （2）将和求出的代入，进行整式的加减运算； 【详解】（1）解：∵小嘉将“”错看成“”，得到的结果是， ∴ ； （2）解： ． 【题型9】化简后结果与某字母无关/不含某项 1.核心知识点 　　结果与某字母无关/不含某项，则该字母的系数为0。 2.解题方法技巧 　　（1）先化简，合并含该字母的项； 　　（2）令该字母的系数（合并后）为0，列方程； （3）解出参数，再求值。 【例题9】.（26-27七年级上·安徽亳州·期中）多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【答案】B 【分析】对多项式去括号、合并同类项化简，根据化简结果判断与字母取值的关系． 【详解】解： ． ∵ 化简结果含字母,，不含字母， ∴ 多项式的值与,的大小有关，与的大小无关． 【变式题9-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先合并同类项化简，再将、代入即可解答； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出、的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于，的多项式， ∴， ∵，， ∴． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，，解得，， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于a，b的多项式中不含项，则m值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，先根据整式的加减运算法则展开并化简多项式，令项的系数为零，解方程求m即可． 【详解】解：原式 ， ∵该多项式中不含项， ∴， ∴． 故选：C． 【变式题9-3】.（2026七年级上·江苏·专题练习）定义：若，则称与是关于数的平均数．比如与是关于的平均数，与是关于的平均数． (1)填空：与 是关于的平均数， 与是关于的平均数． (2)若与是关于的平均数，与是关于的平均数，与是关于的平均数，求 (3)现有与（为常数），且与始终是关于数的平均数，与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用题干的关系式逆向计算即可； （2）根据题意表示出、与的值，将所求代数式重新组合，再代入求值即可； （3）先计算出，由取值与无关可知，含的项的系数为，从而求出的值，再求出的值，最后由定义求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平均数， ∵， ∴与是关于2的平均数； （2）解：由题意得：，，， ∴ ； （3）解：， ∵与始终是关于数的平均数，与的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型10】整式加减中的大小比较及应用 1.核心知识点 　　作差法比较两个多项式的大小。 2.解题方法技巧 　　（1）作差：； 　　（2）化简，判断差与0的大小关系； （3）若差大于0，则M>N；差等于0则相等；差小于0则M<N。 【例题10】.（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知关于x的多项式：． (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握其运算规则是解题的关键． （1）把代入，然后去括号合并同类项，即可作答． （2）用作差法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-1】.（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)设，，请比较A与B的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当 时，；当时， 【分析】本题考查比较代数式的大小，整式的加减运算，熟练掌握作差法是解题的关键： （1）利用作差法比较大小即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∴； 故答案为：； （2）， ∴当时，；当 时，；当时，． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干信息得出答案即可； （2）分别计算，，即可得出结论； （3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 计算得： ， ∵， ∴， ∴， 计算得： ， ∵ ∴， ∴， 综上可得； （3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川资阳·期中）小新家新买了一套住房，其建筑平面图如图所示，其中（单位：）． (1)这套住房的建筑总面积是________；（用含的代数式表示） (2)当，时，求出小新家这套住房的总面积； (3)地面装修要铺设地砖或地板，小新家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同．甲公司：客厅地面每平方米元，书房和卧室地面每平方米元，厨房地面每平方米元，卫生间地面每平方米元；乙公司：全屋地面每平方米元，请帮助小新家测算一下，选择哪家公司比较合算，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：选择乙公司比较合算，理由如下： 甲公司的总费用： 元， 乙公司的总费用：元， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴选择乙公司比较合算． 【分析】（）根据图形列出代数式表示出建筑总面积即可； （）把的值代入（）所得代数式计算即可； （）分别求出两家公司的总费用，比较即可求解； 本题考查了列代数式，代数式求值，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，这套住房的建筑总面积是， 故答案为：； （2）解：当，时， ； （3）略 【压轴素养题型】 【题型11】整式加减的实际应用 1.核心知识点 　　用整式表示实际问题中的数量关系，并求值。 2.解题方法技巧 　　（1）读懂题意，用字母表示未知量，列整式； 　　（2）化简整式（去括号、合并同类项）； （3）代入具体数值求值，或列方程求解。 【例题11】.（26-27七年级上·全国·单元复习）某飞行大会门票种类及价格如下．二中七年级某研学小组的10名同学（身高均在以上）相约于周末去观看飞行大会．已知他们中有x名同学抢到了早鸟票，其余同学自行购买了标准票． 早鸟票：79元/人； 标准票：99元/人； 免票政策：残疾人、70岁以上老人、军人凭证免票，以下儿童免票（需成人陪同）． (1)求该研学小组此次购买飞行大会门票的总费用；（用含x的代数式表示） (2)若有5人抢到早鸟票，求该研学小组购买飞行大会门票的总费用． 【答案】(1)该研学小组购买飞行大会门票的总费用是元 (2)该研学小组购买飞行大会门票的总费用为890元 【分析】（1）根据总费用等于早鸟票费用与标准票费用的总和列代数式，然后再运用整式的加减运算法则化简即可； （2）将代入（1）所得的代数式求值即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：该研学小组购买飞行大会门票的总费用是元． （2）解：当时，（元）． 答：该研学小组购买飞行大会门票的总费用为890元． 【变式题11-1】.（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）； (2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） ②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由． 【答案】(1) (2)① 方案一花费元，方案二花费元； ② 最省钱的购买方案为：用方案二购买100个乒乓球（获赠1副乒乓球拍），用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），总花费610元． 【分析】（1）总费用=球拍费用+球的费用，分别用售价乘以数量即可． （2）①方案一：买15副球拍送30个球，还需另买90个球；方案二：买120个球送副球拍，还需另买14副球拍，据此进行计算即可； ②将，分别代入①中的两个式子，根据规则设计最省钱方案：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），计算所设计方案的费用并比较即可得． 【详解】（1）解：该乒乓球队共需花费： （元）． （2）①解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个）， 所需费用： （元）． 方案二： 每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副）， 所需费用： （元）． ②解：当，时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）． 设计最省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球）， 总费用为：（元）， ， 选择方案三一更省钱，需花费610元． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·全国·单元复习）秋风起，桂花飘香也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季．小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只50元，至尊公蟹每只30元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的八折销售； 方案②：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元；按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元．（用含a的式子表示） (2)当时，通过计算说明此时按上述哪种方案购买较合算． 【答案】(1)； (2)按方案②购买较合算 【分析】（1）分别根据优惠方案列代数式计算即可； （2）将代入（1）中两代数式计算，进而比较即可． 【详解】（1）解：方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的八折销售， 则按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元； 方案②：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹， 按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元． （2）解：当时，按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款（元）， 按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款（元）． 因为， 所以按方案②购买较合算． 【变式题11-3】.（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【答案】(1)8 (2)元 (3)当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元；当时，共缴纳水费元 【详解】（1）解：某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费元． （2）解：若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费（元）； （3）解：设4月份用水x立方米，则月份用水立方米， ∵5月份用水量多于4月份， ∴， 解得， 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）； 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）； 当时，，该户居民4、5月份共缴纳水费（元）． 【题型12】整式整除的综合探究 1.核心知识点 　　整式整除性综合探究。 2.解题方法技巧 　　（1）整除性问题：把数拆成"10的幂×各位数字"的和，用整式表示，判断整除； 　　（2）综合探究题按"理解情境—列整式—化简—求解/验证"的步骤推进。 【例题12】.（25-26七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当一个三位数满足可以被9整除，则该三位数就能被9整除．理由如下： ， 因为和都能被9整除，所以能被9整除； 因此，如果可以被9整除，那么就能被9整除 (3) 解：这个三位数能被3整除，理由如下， 设这个百位数字为，为小于的正整数，则十位数字为，个位数字为， 这个三位数为， 为正整数， 这个三位数能被3整除． 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解； （2）仿照题干材料分解整式即可； （3）将三位数表示出来，再分成一个整式即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知三位数为百位数字十位数字个位数字， 设这个三位数百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则； （2）略 （3）略 【变式题12-1】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 揭秘“能被整除”的奥秘 在小学我只知道像，，，这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．但我不知道其中的道理是什么． 今天通过数学活动课上的探究，我知道了其中的奥秘． 先看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则这个数可记为，于是．这里能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 用类似的方法表示三位数、四位数、五位数等也可以说明前面结论的道理． 任务： 请你根据小宇同学的日记用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 【答案】解：设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为，，，该三位数记为， 则， ∵和都能被整除， ∴若能被整除，则能被整除，即能被整除， 故对于三位数，若其所有数位上的数字之和能被整除，那么这个三位数就能被整除． 【分析】将三位数拆成能被整除的部分与各位数字之和，采用与题目类似的方法论证即可． 【详解】略 【变式题12-2】.（25-26七年级上·河北唐山·期末）【问题背景】 阅读材料，了解代数推理．并解决如下问题： 设是一个四位数，如果可以被9整除，那么这个数可以被9整除．解答如下： 解： ． 因为是整数，所以可以被9整除． 因此，如果能被9整除，那么能被9整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_________； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【应用】若四位数能被9整除，则m与n的和是_________． 【答案】（1） （2）证明： ∵是整数 ∴能被3整除 又∵能被3整除 ∴能被3整除； 应用：5或14 【分析】本题考查了数的整除，整式加减的应用，列代数式． （1）依据三位数的数位计数规则写出代数式； （2）参照问题背景的代数推理思路，将三位数拆分为含3的倍数的部分与各位数字和的部分，结合整除的性质完成验证； 应用部分：根据四位数能被9整除的判定规则（各位数字之和能被9整除），结合数字的取值范围确定m与n的和的可能值． 【详解】（1）解： （2）略 应用： 解：∵四位数能被9整除 ∴能被9整除 设（k为正整数） ∵m、n是0到9的整数 ∴或 当时，； 当时， 答：m与n的和是5或14． 【变式题12-3】.（2026·广东佛山·一模）【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 【答案】(1) (2) 解：∵， ， ∵是的倍数， ∴是的倍数时，那么就能被7整除， 即是的倍数时，那么就能被7整除； (3)①；②是的倍数，且是的倍数 【分析】（1）利用表格中的规律得出可以被7整除，那么就能被7整除； （2）根据规律得到，分解式子得到，即可求解； （3）①设前面的数字为，即，整理得到，即是的倍数时，能被整除，求出即可；②由被整除的规律和被整除的规律列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一个三位数，如果可以被7整除，那么就能被7整除； （2）略 （3）解：①设中前面的数字为，则可表示为， ∵， ∴当是的倍数时，能被整除， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②：∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； ∵能被整除， ∴ ∴是的倍数； 综上所述，当是的倍数，且是的倍数时，四位数，既能被整除，也能被整除． 易错点 1、误把"带字母的代数式"都当整式，忽略分母中不能含字母（分式非整式）。 2、单项式系数漏带符号，或把系数、次数搞混。 3、合并同类项时，漏掉字母和指数，或把不同字母的项错误合并。 4、去括号时，括号前是"-"号，只改变括号内第一项的符号而漏变其余项。 5、多项式次数误算成所有项次数之和，或把常数项次数误记为1。 重点 1、掌握单项式、多项式、整式、同类项的概念，会判断并求系数、次数。 2、掌握合并同类项与去括号法则，会进行整式的加减运算与化简求值。 3、会解决整式加减中的无关项、不含某项、大小比较等典型问题。 难点 1、整体代入、错看还原、多项式恒等条件下求未知量等综合求值。 2、从数字或图形变化中探索并表达规律，用整式表示数量关系。 3、整式加减与周长、面积、整除性等实际与跨学科问题的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法错误的是（     ）． A．的系数是 B．是单项式 C．与是同类项 D．的次数是6 【答案】D 【分析】根据单项式的系数，次数的定义，同类项的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】A．的系数是，原说法正确，故该选项不符合题意； B．单独一个数字或字母也是单项式，所以是单项式，原说法正确，故该选项不符合题意； C．与是同类项，原说法正确，故该选项不符合题意； D．的次数是4，原说法错误，故该选项符合题意． 2．若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 3．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，，根据有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且 . 、，， ，原选项说法错误，不符合题意； 、，，， ，原选项说法错误，不符合题意； 、， ，原选项说法错误，不符合题意； 、，， ，原选项说法正确，符合题意． 故选： ． 二、填空题 4．多项式的次数与常数项分别是_______、______． 【答案】 3 【详解】解：该多项式的最高次项的次数是3，即该多项式的次数为3，常数项是． 5．将多项式按的降幂排列为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式按某个字母的降幂排列，掌握多项式的项的定义是解题的关键．按的降幂排列，即根据的指数从大到小排列各项即可． 【详解】解：多项式 中，各项的指数分别为：的指数为，的指数为，的指数为，的指数为， 按的降幂排列为． 故答案为：． 6．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：设中间一个数为，则上面的数为，下面的数为， ∴这三个数的和为． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．计算： (1)已知，求，并求当时的值； (2)已知，试比较A与B的大小． 【答案】(1)，34 (2) 【分析】（1）先把A、B、C代入式子，再根据整式加减的运算法则进行化简，最后代入a的值计算即可； （2）利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时，． （2）解：∵，其中， ∴，即， ． 9．在学习完“有理数”后，小淇同学对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，他定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，理由如下： 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以，不满足交换律． 【分析】（1）根据题中所给新定义运算进行求解即可； （2）根据题中所给新定义运算可得，，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）略 10．如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，其中窗框将A型窗框分成了两个小长方形，窗框将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B型窗框的长都是x米，宽都是y米．（制作窗框时，均要用材料，接缝处忽略不计） (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当，，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米的材料？ 【答案】(1)A需要材料米，B需要材料米 (2)这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． （1）由长方形图形特征，列代数式表示图形中线段长即可求解； （2）由（1）知共需材料的长度为米，再将，，代入求值即可． 【详解】（1）解：制作A种造型的窗框一个，需要材料米， 制作B种造型的窗框一个，需要材料米； （2）解：由（1）得则制作这两种造型的窗框各1个， 共需要米的材料； 当，时， 米， 则这两种造型的窗框各1个，共需要25米的材料． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 整式的加减 知识点1：单项式 　　1.定义：如果一个代数式是数或字母的积，那么这个代数式叫作单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。 　　2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 　　3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数；对于一个非零的数，规定它的次数为0。 　　1.系数包括前面的符号，如的系数是。 　　2.当系数是1或-1时，"1"通常省略不写，如a、-ab。 　　3.次数是"所有字母的指数和"，与数字因数无关，单独的数（非零）次数为0。 知识点2：多项式 　　1.定义：几个单项式的和叫作多项式。 　　2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项；一个多项式含有几项，就叫几项式。 　　3.多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 　　1.多项式的每一项都包含它前面的符号，如的项是、、1。 　　2.多项式的次数看次数最高的项，不是所有项次数之和。 　　3.常数项的次数为0。 知识点3：整式 　　1.定义：单项式与多项式统称整式。 　　2.整式、单项式、多项式的关系：整式包含单项式和多项式；单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；多项式是几个单项式的和。 　　3.判断方法：（1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算；（2）多项式是几个单项式的和，不包含单项式；（3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的（如）都不是整式。 　　1.分母中不含字母、根号内不含字母的代数式才可能是整式。 　　2.含分母且分母含字母的代数式是分式（非整式）。 知识点4：同类项与合并同类项 　　1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项；几个常数项也是同类项。 　　2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项；合并后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 　　3.合并同类项的步骤：一找（找出同类项）、二移（连同符号把同类项移到一起）、三合（把同类项的系数相加，字母及指数不变）。 　　1.判断同类项只看"所含字母相同"且"相同字母的指数也相同"，与系数、字母顺序无关。 　　2.合并时系数相加，字母部分不变，不要漏项。 　　3.互为相反数的同类项合并后为0。 知识点5：去括号（添括号） 　　1.去括号方法：用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。如果括号外的乘数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来相同；如果是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来相反。 　　2.依据：乘法分配律。 　　3.多层括号的去法：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 括号前符号 去括号法则 示例 括号前是"+" 去括号后，括号内各项符号不变 括号前是"-" 去括号后，括号内各项符号都变 括号前有数字因数 用这个数乘括号内每一项，再相加 　　1.去括号时，括号前是"-"号，去掉括号和"-"号后，括号内每一项的符号都要改变。 　　2.添括号法则与去括号法则相反：添括号后括号前是"-"号，括到括号里的各项都要变号。 知识点6：整式的加减 　　1.运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 　　2.化简求值步骤：一般先去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，简记为"一化、二代、三计算"。 　　1.整式加减的结果仍是整式。 　　2.去括号与合并同类项要按运算顺序进行，先去小括号再去中括号、大括号。 　　3.求值时先化简再代入，可简化计算。 【基础必考题型】 【题型1】单项式的相关概念 1.核心知识点 　　单项式的定义、系数、次数。 2.解题方法技巧 　　（1）判断单项式：是数或字母的积，单独的数或字母也是单项式； 　　（2）求系数：找数字因数（含符号），系数为1或-1时省略； （3）求次数：所有字母的指数和，非零常数项的次数为0。 【例题1】.（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的次数是4 B．它的系数是3 C．它是多项式 D．它不是整式 【变式题1-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列整式中有a个单项式，b个多项式，则______． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．代数式是整式 B．单项式的系数是5，次数是2 C．是单项式 D．式子的系数是3，次数是2 【题型2】多项式的相关概念 1.核心知识点 　　多项式的定义、项、常数项、次数、几项式。 2.解题方法技巧 　　（1）判断多项式：几个单项式的和，含加减运算； 　　（2）找项：每一项含前面的符号，不含字母的项是常数项； （3）求次数：次数最高的项的次数。 【例题2】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是  （    ） A．是多项式 B．的次数是 C．的常数项为 D．的系数是 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·周测）如果是一次多项式，那么________． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知是关于的二次三项式，那么_____． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·山东德州·期末）若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【题型3】整式的相关概念 1.核心知识点 　　整式、单项式、多项式的区别与联系；降幂（升幂）排列。 2.解题方法技巧 　　（1）整式包括单项式和多项式，分母含字母的不是整式； 　　（2）按某一字母降幂（升幂）排列时，按该字母的次数从高到低（低到高）排列各项； （3）不含字母的常数项次数为0。 【例题3】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·辽宁辽阳·期中）在、、、、、、这些代数式中，整式的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题3-2】.（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）对下列的代数式进行分类（填序号） ①②③④⑤⑥⑦⑧． 单项式：____________________________； 多项式：____________________________； 整式：____________________________． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）有下列式子：，，2027，，m，，，． (1)哪些是单项式？哪些是多项式？ (2)哪个多项式的次数最高？并写出该多项式的项． 【题型4】同类项与合并同类项 1.核心知识点 　　同类项的判断；合并同类项的法则。 2.解题方法技巧 　　（1）判断同类项：所含字母相同且相同字母的指数也相同，与系数、字母顺序无关； 　　（2）合并同类项：系数相加，字母和指数不变； （3）互为相反数的同类项合并后为0。 【例题4】.（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·周测）若单项式与可合并，则的值是____________． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·全国·期中）如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【变式题4-3】.（2026六年级上·上海·专题练习）合并同类项： (1) ； (2) ． 【题型5】去括号与添括号 1.核心知识点 　　去括号、添括号法则。 2.解题方法技巧 　　（1）括号前是"-"号，去括号后各项都变号； 　　（2）括号前有数字因数，用该数乘括号内每一项； 　　（3）添括号后括号前是"-"号，括入的各项都变号。 【例题5】.（26-27七年级上·全国·课后作业）不改变的值，把式子中括号前的符号变为“”，则代数式将变为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·山东滨州·阶段检测）已知，化简______． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【题型6】按某一字母升幂或降幂排列 1.核心知识点 　　多项式的升幂、降幂排列。 2.解题方法技巧 　　（1）确定排列对象（某一字母）与方向（升/降幂）； 　　（2）把各项按该字母次数从高到低或从低到高排列，注意带符号移动； （3）不含该字母的项视为该字母的0次项。 【例题6】.（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按升幂排列：______． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）将整式按字母y降幂排列得到________． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）把多项式按降幂排列：____________________． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）已知多项式是关于的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【培优高频题型】 【题型7】去括号与合并同类项综合化简求值 1.核心知识点 　　化简求值："一化、二代、三计算"。 2.解题方法技巧 　　（1）先去括号、合并同类项化简； 　　（2）由条件（如绝对值、平方非负）求字母值； （3）代入化简结果求值。 【例题7】.（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【变式题7-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： ，其中，． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中a是最大的负整数，b与互为相反数． 【题型8】整式加减中的错看问题 1.核心知识点 　　由错误运算结果反推原多项式，再求正确结果。 2.解题方法技巧 　　（1）根据错误运算与结果，反解出被错看的整式A； 　　（2）用正确的运算重新计算； （3）再代入字母的值求值。 【例题8】.（25-26七年级上·四川资阳·期中）小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河北张家口·期中）琪琪把错写成，这两个式子相比较，计算结果相差（    ） A．0 B． C． D． 【变式题8-2】.（24-25六年级上·山东烟台·期末）有这样一道计算题∶“计算的值，其中．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小颖同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）在整式的加减练习课中，小嘉将“”错看成“”，得到的结果是，已知． (1)求整式； (2)求的正确结果． 【题型9】化简后结果与某字母无关/不含某项 1.核心知识点 　　结果与某字母无关/不含某项，则该字母的系数为0。 2.解题方法技巧 　　（1）先化简，合并含该字母的项； 　　（2）令该字母的系数（合并后）为0，列方程； （3）解出参数，再求值。 【例题9】.（26-27七年级上·安徽亳州·期中）多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【变式题9-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于a，b的多项式中不含项，则m值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式题9-3】.（2026七年级上·江苏·专题练习）定义：若，则称与是关于数的平均数．比如与是关于的平均数，与是关于的平均数． (1)填空：与 是关于的平均数， 与是关于的平均数． (2)若与是关于的平均数，与是关于的平均数，与是关于的平均数，求 (3)现有与（为常数），且与始终是关于数的平均数，与的取值无关，求的值． 【题型10】整式加减中的大小比较及应用 1.核心知识点 　　作差法比较两个多项式的大小。 2.解题方法技巧 　　（1）作差：； 　　（2）化简，判断差与0的大小关系； （3）若差大于0，则M>N；差等于0则相等；差小于0则M<N。 【例题10】.（25-26七年级上·福建龙岩·期中）已知关于x的多项式：． (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 【变式题10-1】.（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)设，，请比较A与B的大小． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题． 材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么 反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”． (1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”） (2)【运用】若，证明 (3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案． 方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板． 方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川资阳·期中）小新家新买了一套住房，其建筑平面图如图所示，其中（单位：）． (1)这套住房的建筑总面积是________；（用含的代数式表示） (2)当，时，求出小新家这套住房的总面积； (3)地面装修要铺设地砖或地板，小新家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同．甲公司：客厅地面每平方米元，书房和卧室地面每平方米元，厨房地面每平方米元，卫生间地面每平方米元；乙公司：全屋地面每平方米元，请帮助小新家测算一下，选择哪家公司比较合算，并说明理由． 【压轴素养题型】 【题型11】整式加减的实际应用 1.核心知识点 　　用整式表示实际问题中的数量关系，并求值。 2.解题方法技巧 　　（1）读懂题意，用字母表示未知量，列整式； 　　（2）化简整式（去括号、合并同类项）； （3）代入具体数值求值，或列方程求解。 【例题11】.（26-27七年级上·全国·单元复习）某飞行大会门票种类及价格如下．二中七年级某研学小组的10名同学（身高均在以上）相约于周末去观看飞行大会．已知他们中有x名同学抢到了早鸟票，其余同学自行购买了标准票． 早鸟票：79元/人； 标准票：99元/人； 免票政策：残疾人、70岁以上老人、军人凭证免票，以下儿童免票（需成人陪同）． (1)求该研学小组此次购买飞行大会门票的总费用；（用含x的代数式表示） (2)若有5人抢到早鸟票，求该研学小组购买飞行大会门票的总费用． 【变式题11-1】.（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）； (2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） ②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·全国·单元复习）秋风起，桂花飘香也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季．小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只50元，至尊公蟹每只30元．商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案①：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的八折销售； 方案②：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． (1)按方案①购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元；按方案②购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款______元．（用含a的式子表示） (2)当时，通过计算说明此时按上述哪种方案购买较合算． 【变式题11-3】.（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超过6立方米的部分 2元/立方米 超过6立方米但不超过10立方米的部分 4元/立方米 超过10立方米的部分 8元/立方米 (1)若某户居民2月份用水4立方米，则应缴纳水费 元． (2)若某户居民3月份用水a（）立方米，则该用户3月份应缴纳水费多少元（用含a的代数式表示，并化成最简形式）？ (3)若某户居民4、5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5月份共缴纳水费多少元．（用含x的代数式表示，并化成最简形式） 【题型12】整式整除的综合探究 1.核心知识点 　　整式整除性综合探究。 2.解题方法技巧 　　（1）整除性问题：把数拆成"10的幂×各位数字"的和，用整式表示，判断整除； 　　（2）综合探究题按"理解情境—列整式—化简—求解/验证"的步骤推进。 【例题12】.（25-26七年级上·河北沧州·期末）阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是．显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数； (2)猜想一个三位数满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)已知一个三位数的十位数上的数字比百位数上的数字的2倍大3，个位上的数字是百位上数字的3倍，这个数能被3整除吗？请说明理由． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 揭秘“能被整除”的奥秘 在小学我只知道像，，，这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除．但我不知道其中的道理是什么． 今天通过数学活动课上的探究，我知道了其中的奥秘． 先看两位数的情形．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则这个数可记为，于是．这里能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 用类似的方法表示三位数、四位数、五位数等也可以说明前面结论的道理． 任务： 请你根据小宇同学的日记用类似的方法表示三位数，并说明前面结论的道理． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·河北唐山·期末）【问题背景】 阅读材料，了解代数推理．并解决如下问题： 设是一个四位数，如果可以被9整除，那么这个数可以被9整除．解答如下： 解： ． 因为是整数，所以可以被9整除． 因此，如果能被9整除，那么能被9整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_________； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【应用】若四位数能被9整除，则m与n的和是_________． 【变式题12-3】.（2026·广东佛山·一模）【问题提出】 如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除． 【问题探究】 以四位数为例，设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 这个结论的论证过程表述如下： ．显然能被3整除，因此，若能被3整除，则就能被3整除． 【类比探究】 判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征： 三位数 能否被7整除 特征 133 能 ，7能被7整除 224 能 ，14能被7整除 294 能 ，21能被7整除 148 不能 ，不能被7整除 (1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果________可以被7整除，那么就能被7整除； (2)证明这个猜想的正确性． 【拓展应用】 结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是的倍数时，原数能被整除； (3)①若一个正数能被整除，的最后三位数为，求的最小值． ②四位数，既能被整除，也能被整除，直接写出与之间满足的关系． 易错点 1、误把"带字母的代数式"都当整式，忽略分母中不能含字母（分式非整式）。 2、单项式系数漏带符号，或把系数、次数搞混。 3、合并同类项时，漏掉字母和指数，或把不同字母的项错误合并。 4、去括号时，括号前是"-"号，只改变括号内第一项的符号而漏变其余项。 5、多项式次数误算成所有项次数之和，或把常数项次数误记为1。 重点 1、掌握单项式、多项式、整式、同类项的概念，会判断并求系数、次数。 2、掌握合并同类项与去括号法则，会进行整式的加减运算与化简求值。 3、会解决整式加减中的无关项、不含某项、大小比较等典型问题。 难点 1、整体代入、错看还原、多项式恒等条件下求未知量等综合求值。 2、从数字或图形变化中探索并表达规律，用整式表示数量关系。 3、整式加减与周长、面积、整除性等实际与跨学科问题的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法错误的是（     ）． A．的系数是 B．是单项式 C．与是同类项 D．的次数是6 2．若与是同类项，那么（     ） A．0 B．1 C． D． 3．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．多项式的次数与常数项分别是_______、______． 5．将多项式按的降幂排列为______． 6．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为_______（用含的代数式表示）． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)已知，求，并求当时的值； (2)已知，试比较A与B的大小． 9．在学习完“有理数”后，小淇同学对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，他定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 10．如图是用相同材料做成的A，B两种造型的长方形窗框，其中窗框将A型窗框分成了两个小长方形，窗框将B型窗框分成了两个小长方形，已知A型、B型窗框的长都是x米，宽都是y米．（制作窗框时，均要用材料，接缝处忽略不计） (1)制作这两种造型的窗框，每种各需要多少米的材料？ (2)当，，若一位用户要定做A型窗框和B型窗框各1个，则该用户定做的窗框总共需要多少米的材料？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $