第3章 代数式单元复习 （4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第3章 代数式 知识点1：代数式的概念与书写规范 1.代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：含有等号、不等号的式子不是代数式（如等式、不等式均不属于代数式）。 2.书写规范 字母与字母相乘、数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“”，数字需写在字母前面； 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数； 除法运算一般写成分数形式； 式子后带有单位时，若式子是和或差的形式，需把整个式子用括号括起来再标注单位。 知识点2：列代数式与代数式的意义 1.列代数式 将问题中描述数量关系的文字语言转化为代数式，核心是抓取关键词语，明确运算顺序与层级。 常见关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增加、减少、扩大、缩小等。 2.代数式的意义 将代数式用文字语言准确表述，需清晰体现运算种类与运算顺序；同一个代数式可以对应不同的实际情境意义。 知识点3：正比例关系与反比例关系 类型 核心定义 表达式 变化特征 正比例关系 两个相关联的量，比值（商）为定值 （为常数，） 两个量同增同减，比值始终不变 反比例关系 两个相关联的量，乘积为定值 （为常数，） 两个量一增一减，乘积始终不变 知识点4：代数式的值 1.定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2.常用求值方法 直接代入法：已知字母的取值，直接代入代数式按运算顺序计算； 整体代入法：不求解单个字母的值，将某一个代数式看作整体，通过变形后代入求值。 【基础必考题型】 【题型1】代数式的识别与书写规范判断 1.核心知识点: 代数式的定义 代数式的书写规范 2.解题方法技巧: 识别代数式：排除含等号、不等号的式子，单独的数或字母也属于代数式 规范判断牢记四点：数字在前、乘号省略、带分化假、除法写分 【例题1】.（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·期末）在，，，，，，中，代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式题1-2】.（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式题1-3】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】代数式的意义辨析 1.核心知识点: 代数式的文字表述方法 运算顺序的理解与判断 2.解题方法技巧: 先明确代数式中的运算类型与先后顺序，再用准确的文字描述数量关系 判断实际意义时，需验证描述的数量关系与代数式的运算逻辑是否匹配 【例题2】.（2026·河北衡水·模拟预测）下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【变式题2-1】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【题型3】生活情境下列代数式 1.核心知识点: 常见数量关系的代数转化 关键词语的列式规则 2.解题方法技巧: 抓住“的、和、差、倍、分”等关键词，先确定运算层级，再规范列式 百分比、折扣类问题先明确单位“1”，再根据增减比例列代数式 【例题3】.（26-27六年级·上海·小升初衔接）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 【变式题3-1】.（26-27六年级·上海·小升初衔接）比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·内蒙古通辽·二模）呼和浩特市某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 【变式题3-3】.（2026·河南三门峡·三模）近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 【题型4】正比例与反比例关系的识别 1.核心知识点: 正比例、反比例的定义 两个量的变化规律判断 2.解题方法技巧: 正比例看比值是否为定值，反比例看乘积是否为定值 “和一定”“差一定”均不属于正、反比例关系，注意区分排除 【例题4】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 【变式题4-1】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）一幅图的比例尺是，下面说法错误的是（     ） A．图上距离是实际距离的 B．图上表示实际距离 C．图上距离的200倍就是实际距离 D．这幅图中，图上距离与实际距离成正比例 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）、都不为0，如果，那么和成______比例；如果 ，那么和成______比例． 【变式题4-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【题型5】直接代入法求代数式的值 1.核心知识点: 代数式求值的基本步骤 有理数的混合运算规则 2.解题方法技巧: 代入时：负数、分数代入乘方运算必须加括号，避免符号与运算顺序错误 计算时：严格遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先算括号内 【例题5】.（2026·河北廊坊·二模）当时，代数式的值为__________． 【变式题5-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）若，且，则的值为___________． 【变式题5-2】.（2026·广西玉林·模拟预测）计算 (1)计算：； (2)当，，时，直接代入计算代数式的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 【培优高频题型】 【题型6】整体代入法求代数式的值 1.核心知识点: 代数式的恒等变形 整体思想的应用 2.解题方法技巧: 观察已知式与待求式的倍数、和差关系，对已知式或待求式进行定向变形 常见变形方向：扩倍、缩倍、取相反数、加减常数项，构造出与已知相同的整体 【例题6】.（2026·广东深圳·三模）已知实数x，y满足，则______． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）已知，则的值为______． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若，，求代数式的值． 【题型7】程序框图中的代数式求值 1.核心知识点: 代数式的运算 条件判断与循环逻辑 2.解题方法技巧: 单次运算类：严格按照程序步骤逐步代入计算，注意判断条件的对应分支 循环周期类：先计算前3-4次结果，找到循环周期，再用总次数除以周期推导结果 【例题7】.（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【变式题7-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【题型8】方案类实际问题的代数式应用 1.核心知识点: 实际问题中的代数式建模 代数式的大小比较 2.解题方法技巧: 分别梳理不同方案的计费规则，用代数式表示出总费用、总数量等结果 可代入具体数值比较优劣，也可通过代数式的结构分析适用范围 【例题8】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【变式题8-1】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）某公司销售一款打印机和配套的墨盒．打印机定价为元/台，墨盒定价为元/个．促销期间提供两种优惠方案． 方案一：买一台打印机送一个墨盒． 方案二：打印机和墨盒均按定价的付款． 现某客户购买打印机台，墨盒个． (1)分别写出方案一和方案二客户需付款的金额．（用含的代数式表示） (2)小乐同学说：“当时，先按方案一购买台打印机，再按方案二购买个墨盒更省钱．”小乐同学说得对吗？请说明理由． 【压轴素养题型】 【题型9】数式规律探究题 1.核心知识点: 从特殊到一般的归纳推理 用代数式表示通用规律 2.解题方法技巧: 先计算前3-4个特殊情况的结果，标注对应序号，寻找结果与序号的对应关系 得出通用代数式后，代入序号验证，确保规律适用于所有特殊情况 【例题9】.（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）小明按规律写了一串数：1，2，3，，5，6，7，，9，10，11，，…，他写的第90个数是( )，此时他已经写了( )个负数． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… (1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (3)由上面的举例，你能得出什么结论？ 【题型10】阅读材料代数式运算 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 代数式的混合运算 2.解题方法技巧: 精读定义，明确新运算的规则、运算顺序和限制条件，圈出关键信息 将新定义运算转化为常规的加减乘除、乘方运算，按法则逐步计算 【例题10】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）【阅读材料解答问题】 能被9整除的数的特征是：若一个数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个数就能被9整除．例如：486的三个数位的数字分别是4，8，6，且，则486能被9整除． (1)验证：判断5367，6975这两个数能否被9整除？ (2)证明：请你通过代数推理，说明一个三位数能被9整除的数学道理． 【变式题10-1】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·北京·期中）阅读材料． “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为___________． 小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5．参考小明的做法解决下列问题： (1)代数式的值为7，则代数式的值为___________； (2)代数式的值为15，则代数式的值为___________； (3)若，，求的值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·河南开封·期末）阅读材料，完成填空： 你能比较 和 的大小吗？ 为了解决问题，先把问题一般化，即比较 和 的大小（n大于或等于1，且n为正整数），然后从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． (1)通过计算，在横线上填“>”“<”或“=”． ①______；　　②______； ③______；　　④______； ⑤______；　　⑥______； ⑦______；　　　…… (2)由第（1）题的结果经过归纳，可以猜想和 的大小关系是______； (3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论，可以得到_____．（填“>”“<”或“=”） 易错点 1.书写格式不规范：带分数未化成假分数、除法未写成分数形式、和差形式带单位时漏加括号、数字写在字母后面。 2.列代数式运算顺序错误：对“差的平方”“平方的差”“和的几倍”等表述理解偏差，导致括号使用错误，运算层级混乱。 3.正反比例关系混淆：误将“和一定”“差一定”判定为反比例，或忽略“比值/乘积为定值”的核心判断标准。 4.代入求值符号错误：负数或分数代入乘方运算时漏加括号，造成符号错误或运算顺序错误。 重点 1.代数式的书写规范与列代数式，是后续整式运算、方程、函数学习的重要基础。 2.代数式求值的两种基本方法，尤其是整体代入法的灵活应用。 3.正比例、反比例关系的判断方法，以及在实际问题中的应用。 难点 1.数式规律探究，需要具备从特殊到一般的归纳推理能力，准确提炼通用表达式。 2.整体代入法中代数式的变形方向，以及复杂实际情境下的代数式建模。 3.分类讨论思想在代数式问题中的应用，做到分类标准清晰、不重不漏。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 2．某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 3．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 二、填空题 4．已知，那么代数式的值是 ___________． 5．如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 6．观察下列等式： ① ② ③ …… 据此规律计算：的值为________． 三、解答题 7．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 8．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 9．如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 10．威海市居民使用自来水实行阶梯水价，按户年用水量分为三档，具体收费标准如下： 户年用水量 单价 不超过 3.70元 超过但不超过 5.35元 超过 8.70元 (1)某用户一年的用水量是，求该用户本年度应缴纳的水费？ (2)设某户年用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含x的整式表示）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式 知识点1：代数式的概念与书写规范 1.代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：含有等号、不等号的式子不是代数式（如等式、不等式均不属于代数式）。 2.书写规范 字母与字母相乘、数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或写成“”，数字需写在字母前面； 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数； 除法运算一般写成分数形式； 式子后带有单位时，若式子是和或差的形式，需把整个式子用括号括起来再标注单位。 知识点2：列代数式与代数式的意义 1.列代数式 将问题中描述数量关系的文字语言转化为代数式，核心是抓取关键词语，明确运算顺序与层级。 常见关键词：和、差、积、商、倍、分、多、少、增加、减少、扩大、缩小等。 2.代数式的意义 将代数式用文字语言准确表述，需清晰体现运算种类与运算顺序；同一个代数式可以对应不同的实际情境意义。 知识点3：正比例关系与反比例关系 类型 核心定义 表达式 变化特征 正比例关系 两个相关联的量，比值（商）为定值 （为常数，） 两个量同增同减，比值始终不变 反比例关系 两个相关联的量，乘积为定值 （为常数，） 两个量一增一减，乘积始终不变 知识点4：代数式的值 1.定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2.常用求值方法 直接代入法：已知字母的取值，直接代入代数式按运算顺序计算； 整体代入法：不求解单个字母的值，将某一个代数式看作整体，通过变形后代入求值。 【基础必考题型】 【题型1】代数式的识别与书写规范判断 1.核心知识点: 代数式的定义 代数式的书写规范 2.解题方法技巧: 识别代数式：排除含等号、不等号的式子，单独的数或字母也属于代数式 规范判断牢记四点：数字在前、乘号省略、带分化假、除法写分 【例题1】.（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的概念，正确理解代数式的概念是关键．根据代数式的定义（由数字、字母和运算符号组成，不包含等号或不等号），判断每个式子是否为代数式即可． 【详解】解：① 1是数字，是代数式； ②是数字与字母的乘积，是代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④是除法运算，是代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； 代数式有①②④，共3个． 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·期末）在，，，，，，中，代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握“代数式是由数字、字母和运算符号组成，不含等号或不等号”是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐个判断所给式子是否符合代数式的特征，统计符合条件的数量，从而选出正确答案． 【详解】解：∵π是常数，属于代数式， ∵是方程，不是代数式， ∵是分式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∵是单项式，属于代数式， ∵是多项式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∴代数式有π、、、，共4个， 故选：D． 【变式题1-2】.（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 【题型2】代数式的意义辨析 1.核心知识点: 代数式的文字表述方法 运算顺序的理解与判断 2.解题方法技巧: 先明确代数式中的运算类型与先后顺序，再用准确的文字描述数量关系 判断实际意义时，需验证描述的数量关系与代数式的运算逻辑是否匹配 【例题2】.（2026·河北衡水·模拟预测）下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【答案】D 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 【题型3】生活情境下列代数式 1.核心知识点: 常见数量关系的代数转化 关键词语的列式规则 2.解题方法技巧: 抓住“的、和、差、倍、分”等关键词，先确定运算层级，再规范列式 百分比、折扣类问题先明确单位“1”，再根据增减比例列代数式 【例题3】.（26-27六年级·上海·小升初衔接）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，这个三位数是_____． 【答案】 【详解】解：一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为， ∴这个三位数是． 【变式题3-1】.（26-27六年级·上海·小升初衔接）比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倍为，比小的数为． 【变式题3-2】.（2026·内蒙古通辽·二模）呼和浩特市某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 【答案】 【分析】利用“总价单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用． 【详解】解：成人票单价30元，一共名成人， 成人门票费用：元； 儿童票单价18元，一共名儿童， 儿童门票费用：元； 总费用成人费用儿童费用， 应付门票费用总和为：元． 【变式题3-3】.（2026·河南三门峡·三模）近几年平板价格不断降低，某品牌平板原售价为元，现打八五折，再让利元，那么该平板现在的售价为______元． 【答案】 【分析】根据题意，先计算打八五折后的价格，再减去让利的元，即可得到该平板现在的售价． 【详解】解：原售价为元，打八五折即按原售价的出售， 故打八五折后的价格为元. 再让利元，即从打折后的价格中减去元， 故现在的售价为元． 【题型4】正比例与反比例关系的识别 1.核心知识点: 正比例、反比例的定义 两个量的变化规律判断 2.解题方法技巧: 正比例看比值是否为定值，反比例看乘积是否为定值 “和一定”“差一定”均不属于正、反比例关系，注意区分排除 【例题4】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随之变化，若对应两个数的乘积一定，则两种量成反比例关系；若比值一定，则成正比例关系．据此分析各选项的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：A、单价总价数量，当单价一定时，总价与数量的商一定，故二者成正比例，不符合题意； B、路程速度时间，当路程一定时，速度与时间的乘积一定，故二者成反比例，符合题意； C、身高与体重不成比例，不符合题意； D、正方形的周长边长，即周长与边长的商一定，故二者成正比例，不符合题意． 【变式题4-1】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）一幅图的比例尺是，下面说法错误的是（     ） A．图上距离是实际距离的 B．图上表示实际距离 C．图上距离的200倍就是实际距离 D．这幅图中，图上距离与实际距离成正比例 【答案】C 【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，两种相关联的量比值一定则成正比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，因为比例尺为，所以图上距离是实际距离的，A说法正确； B选项，图上对应实际距离，因此图上表示实际距离，B说法正确； C选项，因为比例尺为，所以图上距离的20000倍才是实际距离，不是200倍，C说法错误； 对D选项，比例尺等于图上距离与实际距离的比，故图上距离与实际距离的比值一定，则二者成正比例，D说法正确． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）、都不为0，如果，那么和成______比例；如果 ，那么和成______比例． 【答案】 正 反 【分析】根据正比例与反比例的定义，判断两个相关联的量的比值或乘积是否为定值．比值一定为正比例，乘积一定为反比例，据此求解即可． 【详解】解：两种相关联的量，若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例， 因为 ，，都不为，可得与的比值为定值，所以和成正比例； 因为 ，根据比例的基本性质，可得 ，，都不为，可得与的乘积为定值，所以和成反比例． 【变式题4-3】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 【题型5】直接代入法求代数式的值 1.核心知识点: 代数式求值的基本步骤 有理数的混合运算规则 2.解题方法技巧: 代入时：负数、分数代入乘方运算必须加括号，避免符号与运算顺序错误 计算时：严格遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先算括号内 【例题5】.（2026·河北廊坊·二模）当时，代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：当时，． 【变式题5-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）若，且，则的值为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分别计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； 的值为或． 【变式题5-2】.（2026·广西玉林·模拟预测）计算 (1)计算：； (2)当，，时，直接代入计算代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 【答案】0或 【分析】根据，，，求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 当时，， 当时，． 则代数式的值为0或． 【培优高频题型】 【题型6】整体代入法求代数式的值 1.核心知识点: 代数式的恒等变形 整体思想的应用 2.解题方法技巧: 观察已知式与待求式的倍数、和差关系，对已知式或待求式进行定向变形 常见变形方向：扩倍、缩倍、取相反数、加减常数项，构造出与已知相同的整体 【例题6】.（2026·广东深圳·三模）已知实数x，y满足，则______． 【答案】 【分析】对所求式子提取公因式变形，利用整体代入法将已知代入计算即可． 【详解】解：， ． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）已知，则的值为______． 【答案】2026 【分析】将变形为，再将变形为，再整体代入求解． 【详解】解： 则 ． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的化简与整体代入思想的应用．通过代数变形将原式转化为与已知条件相关的形式，避免了解方程的繁琐步骤，体现了代数运算中的技巧性与简洁性．关键在于合并同类项后识别出结构中的整体表达式． 【详解】解：原式= = =． 当时， 原式 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题思想中的一种重要思想，在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知代数式的值为7，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，则有， 所以， 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为5，求代数式的值． （2）若代数式的值为13，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （3）将所求代数式变形为，然后整体代入求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ； （3）， ． 【题型7】程序框图中的代数式求值 1.核心知识点: 代数式的运算 条件判断与循环逻辑 2.解题方法技巧: 单次运算类：严格按照程序步骤逐步代入计算，注意判断条件的对应分支 循环周期类：先计算前3-4次结果，找到循环周期，再用总次数除以周期推导结果 【例题7】.（25-26六年级下·山东泰安·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 【答案】D 【详解】解：由程序计算图可得：第一次输出结果为， 第二次输出结果为． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，这是一个对于正整数x的循环迭代的计算程序．根据该程序指令，若第一次输入x的值是5时，那么第一次输出的值是16；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是4；重复这个过程，则第2026次输出的值是（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意找出规律，进而解题． 【详解】解：第三次输入4，输出的数为； 第四次输入1，输出的数为； 第五次输入4，输出的数为； ...... ∴输出的数分别为， 即从第二次输出开始，偶数次输出的数为4， ∴第2026次输出的值是． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， ∵， 第2026次输出的结果是1． 【变式题7-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 【题型8】方案类实际问题的代数式应用 1.核心知识点: 实际问题中的代数式建模 代数式的大小比较 2.解题方法技巧: 分别梳理不同方案的计费规则，用代数式表示出总费用、总数量等结果 可代入具体数值比较优劣，也可通过代数式的结构分析适用范围 【例题8】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某公园的门票价格如下：成人20元，学生10元，满40人可以购买团体票（8折），设一个旅游团共有x人，其中学生有y人． (1)用含x，y的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费． (2)如果该旅游团有46个成人，12个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？ 【答案】(1)元 (2)他们购买团体票需付的门票费是832元 【分析】（1）根据（学生总门票费+成人总门票费）得出代数式； （2）代入相关数据求解，即可得出答案． 【详解】（1）解：成人门票费为元，学生门票费为元， 所以旅游团应付的总费用为元； （2）解：旅游团有46个成人，12个学生， 所以（元）． 答：他们购买团体票需付的门票费是832元． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）小明家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米），现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖．（房间内隔墙宽度忽略不计） 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 2折 8.5折 2000元 B 9折 8.5折 免收 (1)直接写出的值为_____； (2)请用含的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？ (3)按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A，B两种活动方案见表，已知卧室2的面积为21平方米，则小明家应选择哪种活动，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 【答案】(1)3 (2)木地板总面积：平方米；地砖面积：平方米 (3)选方案A更省钱 【分析】（1）观察图形直接计算即可． （2）准确计算不同区域的面积即可． （3）根据面积和单价计算费用，再比较不同方案的费用高低． 【详解】（1）解：由得，解得． （2）解：铺设地面需要木地板： 平方米， 铺设地面需要地砖：平方米． （3）解：因为卧室的面积为平方米，且卧室的长为米， ，解得， ∴铺设地面需要木地板：， 铺设地面需要地砖：， A种活动方案所需的费用：(元)， B种活动方案所需的费用：(元)， ， 所以小明家应选择A种活动方案，使铺设地面总费用(含材料费及安装费)更低． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【答案】(1) (2)草坪的面积是平方米 (3)购买草坪的总费用为6200元 【分析】（1）根据正方形面积公式进行计算即可； （2）根据草坪面积=长方形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简即可； （3）将，，代入（2），计算即可． 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）某公司销售一款打印机和配套的墨盒．打印机定价为元/台，墨盒定价为元/个．促销期间提供两种优惠方案． 方案一：买一台打印机送一个墨盒． 方案二：打印机和墨盒均按定价的付款． 现某客户购买打印机台，墨盒个． (1)分别写出方案一和方案二客户需付款的金额．（用含的代数式表示） (2)小乐同学说：“当时，先按方案一购买台打印机，再按方案二购买个墨盒更省钱．”小乐同学说得对吗？请说明理由． 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)小乐同学说得对，理由见解析 【分析】（1）方案一先计算打印机的固定费用，再计算超出赠送数量的墨盒费用，合并化简；方案二分别计算打印机和墨盒的折后费用，合并化简； （2）将分别代入两个方案的代数式，再计算小乐的组合方案费用，比较三者大小即可判断． 【详解】（1）解：方案一：元， 方案二：元； （2）解：小乐同学说得对，理由如下： 当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， 小乐同学的方案：（元）， 因为， 所以小乐同学说得对． 【压轴素养题型】 【题型9】数式规律探究题 1.核心知识点: 从特殊到一般的归纳推理 用代数式表示通用规律 2.解题方法技巧: 先计算前3-4个特殊情况的结果，标注对应序号，寻找结果与序号的对应关系 得出通用代数式后，代入序号验证，确保规律适用于所有特殊情况 【例题9】.（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，下列“品”字形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个“品”字形中y与n之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解． 【详解】解：第一个图中最上方的数据， 第二个图中最上方的数据， 第三个图中最上方的数据， … 第个图中最上方的数据， 故选：A． 【变式题9-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）小明按规律写了一串数：1，2，3，，5，6，7，，9，10，11，，…，他写的第90个数是( )，此时他已经写了( )个负数． 【答案】 90 22 【分析】由题意得到一般规律，然后问题可求解． 【详解】解：（组）（个）， 所以余数是2，表示是一组数里的第2个数， 所以第90个数是正数90； 每4个数为一组，每组里有1个负数，那么22组就有22个负数． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所有代数式都含字母，找出系数的变化规律，即可推出第个代数式． 【详解】解：∵第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， 第个代数式为，系数， ……， ∴以此类推，第个代数式的系数为，即第个代数式是． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程…例如，若三位数832，按以上规则进行运算依次可得到：832，766，669，999，999，… (1)若三位数123，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (2)若三位数205，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________；若输入三位数788，按以上规则进行运算，则第2026次运算的结果是___________； (3)由上面的举例，你能得出什么结论？ 【答案】(1)999 (2)000；551 (3)结论：任意三位数按照题干规则重复运算，最终都会进入固定状态：要么稳定为同一个数不再变化，要么按固定周期循环往复． 当三位数不含数字0，且三个数字中至少有一个是3、6、9时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为999，之后不再变化． 当三位数不含数字0，且三个数字都不是3、6、9时，最终会进入固定周期的循环，重复出现一组数字． 当三位数中含有数字0时，经过若干次运算后，结果最终会稳定为000，之后不再变化． 【分析】（1）按规则逐步计算123的每次运算结果，发现第3次后恒为999，故2026次运算结果直接取稳定值999； （2）分别对205和788按规则运算：205第2次后恒为000，直接得结果；788经过6次运算回到自身，周期为6，用2026除以6取余数4，对应第4次运算结果551； （3）综合以上例子可归纳：该运算最终会进入固定值或周期循环． 【详解】（1）解：三位数：123， 第1次：百位，十位，个位，得326， 第2次：百位，十位，个位，得963， 第3次：百位，十位，个位，得999， 第4次及以后：999运算后仍为999，不再变化． 因此第2026次运算结果为999． （2）解：三位数：205， 第1次：百位，十位，个位，得100， 第2次：百位，十位，个位，得000， 第3次及以后：000运算后仍为000，不再变化． 因此第2026次运算结果为000． 三位数：788， 第1次：百位，十位，个位，得221， 第2次：百位，十位，个位，得242， 第3次：百位，十位，个位，得488， 第4次：百位，十位，个位，得551， 第5次：百位，十位，个位，得575， 第6次：百位，十位，个位，得788， 周期为6．，余数4对应第4次结果， 故第2026次运算结果为551． （3）略 【题型10】阅读材料代数式运算 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移能力 代数式的混合运算 2.解题方法技巧: 精读定义，明确新运算的规则、运算顺序和限制条件，圈出关键信息 将新定义运算转化为常规的加减乘除、乘方运算，按法则逐步计算 【例题10】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）【阅读材料解答问题】 能被9整除的数的特征是：若一个数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个数就能被9整除．例如：486的三个数位的数字分别是4，8，6，且，则486能被9整除． (1)验证：判断5367，6975这两个数能否被9整除？ (2)证明：请你通过代数推理，说明一个三位数能被9整除的数学道理． 【答案】(1)5367不能被9整除；6975能被9整除 (2) 证明：对于三位数，若能被9整除，设， 则 ． 故能被9整除． 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）根据题意表示出，设，求解即可． 【详解】（1）解：对于5367：由于， ∵21不是9的倍数， ∴5367不能被9整除. 对于6975：由于， ∵， ∴6975能被9整除 （2）略 【变式题10-1】.（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)2 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·北京·期中）阅读材料． “整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为___________． 小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5．参考小明的做法解决下列问题： (1)代数式的值为7，则代数式的值为___________； (2)代数式的值为15，则代数式的值为___________； (3)若，，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9； （2）解：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴ ． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·河南开封·期末）阅读材料，完成填空： 你能比较 和 的大小吗？ 为了解决问题，先把问题一般化，即比较 和 的大小（n大于或等于1，且n为正整数），然后从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． (1)通过计算，在横线上填“>”“<”或“=”． ①______；　　②______； ③______；　　④______； ⑤______；　　⑥______； ⑦______；　　　…… (2)由第（1）题的结果经过归纳，可以猜想和 的大小关系是______； (3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论，可以得到_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)①<，②<，③>，④>，⑤>，⑥>，⑦> (2)当或2时，；当且n为正整数时， (3)> 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）先计算各数，再比较大小即可； （2）根据（1）归纳结论即可； （3）根据（2）中结论作答即可． 【详解】（1）解：①，，可知， ②，，可知， ③，，可知， ④，，可知， ⑤，，可知， ⑥，，可知， ⑦，，可知， 故答案为：①<，②<，③>，④>，⑤>，⑥>，⑦>； （2）解：由（1）的结果归纳可得，当或2时，；当且n为正整数时，， 故答案为：当或2时，；当且n为正整数时，； （3）解：因为且为正整数，根据（2）的结论，可得， 故答案为：>． 易错点 1.书写格式不规范：带分数未化成假分数、除法未写成分数形式、和差形式带单位时漏加括号、数字写在字母后面。 2.列代数式运算顺序错误：对“差的平方”“平方的差”“和的几倍”等表述理解偏差，导致括号使用错误，运算层级混乱。 3.正反比例关系混淆：误将“和一定”“差一定”判定为反比例，或忽略“比值/乘积为定值”的核心判断标准。 4.代入求值符号错误：负数或分数代入乘方运算时漏加括号，造成符号错误或运算顺序错误。 重点 1.代数式的书写规范与列代数式，是后续整式运算、方程、函数学习的重要基础。 2.代数式求值的两种基本方法，尤其是整体代入法的灵活应用。 3.正比例、反比例关系的判断方法，以及在实际问题中的应用。 难点 1.数式规律探究，需要具备从特殊到一般的归纳推理能力，准确提炼通用表达式。 2.整体代入法中代数式的变形方向，以及复杂实际情境下的代数式建模。 3.分类讨论思想在代数式问题中的应用，做到分类标准清晰、不重不漏。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 2．某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：总费用为元． 3．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 【答案】B 【分析】根据前三个图案中正方形个数的数值特征，归纳出第个图案的通项公式． 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为， 第个图案正方形个数为， 当时，． 二、填空题 4．已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 5．如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值是，则输出的y值为______． 【答案】 【详解】解：开始输入x的值是， 由，得． 6．观察下列等式： ① ② ③ …… 据此规律计算：的值为________． 【答案】 【分析】根据代数式的规律可得，结合题意得出，进行化简即可得出答案． 【详解】解：观察代数式可得， 当，时， 即， ∴． 三、解答题 7．把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．设其中一个正方形的边长为xcm，面积为，另一个正方形的面积为． (1)用含有x的代数式表示：_________，_________； (2)结合情境，观察式子，围绕和提一个问题，并给出解答或解答思路． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据正方形的面积公式，先由已知边长表示出一个正方形的面积；再利用绳子总长和正方形周长公式，求出另一个正方形的边长，进而表示出它的面积． （2）围绕和提出求代数式值的问题，将的具体值代入和的表达式中，计算出对应的面积值． 【详解】（1）解：， 另一段绳子的长度：，另一个正方形的边长：， ∴； （2）解：示例问题：当时，求的值． ∵，， ∴当时， ． 8．如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑道的周长等于两个半圆的弧长加上直道的长度； （2）阴影面积等于“铁饼投掷”项目的面积和“掷标枪”项目面积之和． 【详解】（1）解：跑道的周长为； （2）解：“铁饼投掷”项目的面积为，“掷标枪”项目的面积为， ． 9．如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积减小了 【分析】（1）根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可； （2）将代入计算即可； （3）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为， ∴． （2）解：当时，， 答：此时阴影部分的面积为． （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴阴影部分的面积减小了． 10．威海市居民使用自来水实行阶梯水价，按户年用水量分为三档，具体收费标准如下： 户年用水量 单价 不超过 3.70元 超过但不超过 5.35元 超过 8.70元 (1)某用户一年的用水量是，求该用户本年度应缴纳的水费？ (2)设某户年用水量为，当时，求该用户应缴纳的水费（用含x的整式表示）． 【答案】(1)该用户应缴纳的水费是1407.6元 (2)该用户应缴纳的水费是元 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出式子是解答的关键． （1）根据收费标准列算式求解即可； （2）根据收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解： （元）， 所以，该用户应缴纳的水费是1407.6元． （2）解：当时，则该用户应缴纳的水费为 元， 所以，该用户应缴纳的水费是元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $