第3章 3.2.2 第1课时 函数的奇偶性-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，通过观察具体函数图像特征，结合符号语言描述，搭建从直观感知到抽象定义的学习支架，衔接函数概念与性质的前后知识脉络。 其亮点在于以问题链引导探究，通过图像观察、定义辨析、典例变式培养数学抽象与逻辑推理，利用定义法、图像法等提升数学运算能力，如判断函数奇偶性及求值实例，助力学生深化理解，为教师提供系统教学与评价资源。

3.2.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 　 第三章 函数的概念与性质 单元学习七 函数的基本性质 任务一　函数的奇偶性 1 任务二　奇、偶函数的图象特征及应用 2 任务三　利用函数的奇偶性求值 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义，培养数 学抽象的核心素养． 2.能判断函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决简单的求值 问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 任务一　函数的奇偶性 返回 问题导思 (阅读教材P82－85，完成探究问题1、2) 问题1.(1)观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2－|x|的图象，如图所示，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：这两个函数的图象都关于y轴对称． (2)如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况． 提示：可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．实际上，任意x∈R，f(－x)＝f(x)． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 问题2.(1)观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，如图所示，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：两个函数的图象都关于原点成中心对称图形． (2)如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于原点成中心对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … g(x)＝ … － － －1   1 … 提示：可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数，实际上，任意x∈R，f(－x)＝－f(x)． 新知构建 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称 f(－x)＝－f(x) 原点 f(－x)＝f(x) y轴 微思考 1.奇、偶函数的定义域有什么特点？ 提示：定义域关于原点对称． 2.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？ 提示：f(0)＝0. 3.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？ 提示：不是偶函数，只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数． 微提醒 (1)定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要条件．(2)函数的奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有 f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)．(3)既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 典例 1 (链教材P84例6)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝－|x|； 解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)f(x)＝＋； 解：函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0. 又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)＝； 解：函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)＝x－． 解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}， 且f(－x)＝－x－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 规律方法 判断函数奇偶性的两种方法 1.定义法 规律方法 2.图象法 注意　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式． 对点练1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； 解：因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数． (2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； 解：函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)， 所以函数f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数． (3)(一题多解)f(x)＝ 解：法一：作出函数f(x)的图象如图． 此函数的图象关于y轴对称， 所以函数f(x)是偶函数． 法二：f(x)的定义域是(－∞，0)⋃(0，＋∞)， 对∀x∈(－∞，0)⋃(0，＋∞)，都有－x∈(－∞，0)⋃(0，＋∞)． 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1＝f(x)． 综上可知，对于∀x∈(－∞，0)⋃(0，＋∞)， 都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数． 返回 任务二　奇、偶函数的图象特征及应用 返回 (链教材P85思考)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤ 0时，f(x)＝x2＋2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图． (1)请补出函数y＝f(x)的图象； 解：由题意作出函数图象如图所示． 典例 2 (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； 解：据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)根据图象写出不等式f(x)＜0的解集． 解：根据图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2，0)⋃(0，2)． 变式探究 (变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示： (2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)． (3)不等式f(x)＜0的解集为(－2，0)⋃(2，＋∞)． 规律方法 利用奇偶性作函数的图象的步骤 第一步：确定函数的奇偶性； 第二步：根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在 (－∞，0］或［0，＋∞)上的图象． 注意　利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． 对点练2.已知奇函数f(x)的定义域为［－5，5］，且在区间［0，5］上的图象如图所示． (1)补全函数f(x)的图象； 解：函数f(x)的图象如图所示． (2)写出使f(x)＜0的x的取值集合； 解：由图象可得使f(x)＜0的x的取值集合为{x|－2＜x＜0，或2＜x＜5}． (3)写出函数f(x)的最值． 解：由图象可知f(x)的最大值为2，最小值为－2. 返回 任务三　利用函数的奇偶性求值 返回 (1)若函数f(x)＝x2＋ax＋1是定义在(－b，2b－2)上的偶函数，则f＝ A． B． C． D．2 典例 3 √ 根据题意，函数f(x)＝x2＋ax＋1是定义在(－b，2b－2)上的偶函数，所以则所以f(x)＝x2＋1，则f＝f(1)＝12＋1＝2.故选D. (2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x，则f(－1)＝ ______． － 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－. (3)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝____． 7 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2.又f(－3)＝－3，所以g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2， 所以f(3)＝5＋2＝7. 规律方法 利用奇偶性求值的常见类型及其解题策略 1.求参数值：(1)若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解． (2)若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． 2.求函数值：(1)若自变量的取值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值(区间)转化为已知的值(区间)． (2)f(a)与f(－a)的互求，需构造奇函数或偶函数便于求值． √ 对点练3.(1)(一题多解)设函数f(x)＝为奇函数，则实数a等于 A．－1 B．1 C．0 D．－2 法一：根据题意，知函数f(x)＝为奇函数，则有f(x)＋f(－x)＝0，即＋＝0，变形可得(a＋1)x＝0，则有a＝－1.故选A. 法二：因为f(x)＝是奇函数，且y＝x是奇函数，所以y＝x2＋(a＋1)x＋a是偶函数，则a＋1＝0，故a＝－1.故选A． (2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝ 3f(－1)，则m＝______． － 因为x＞0时，f(x)＝x2＋mx＋1，所以f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m．又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，所以5＋2m＝3(－2－m)，解得m＝－． 课堂小结 返回 任务再现 (1)函数奇偶性的概念．(2)函数奇偶性的判断．(3)奇函数、偶函数的图象特征．(4)利用函数的奇偶性求值 方法提炼 定义法、特值法、数形结合法、整体构造法 易错警示 忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称 随堂评价 返回 √ 1.函数f(x)＝－2x2＋2 026是 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 因为f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－2(－x)2＋2 026＝－2x2＋2 026＝f(x)，所以f(x)是偶函数．故选B． √ 2.(概念辨析)(多选)下列叙述正确的是 A．偶函数的图象一定与y轴相交 B．奇函数的图象一定通过原点 C．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0 D．若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|) √ 函数f(x)＝是偶函数，但与y轴不相交，故A不正确；函数f(x)＝是奇函数，但图象不过原点，故B不正确；由奇偶性的定义知C、D正确．故选CD． 3.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为______． －2 f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－＝－2. 4.已知f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则实数a的值为___． 1 法一：由题意知f(－x)＝f(x)，即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)恒成立，即x(a－1)＝0恒成立，所以a＝1. 法二：由f(－1)＝f(1)得a＝1.经检验，符合题意． 法三：由已知f(x)＝(x＋1)(x－a)，得f(x)＝x2＋(1－a)x－a．因为f(x)是偶函数，所以1－a＝0，解得a＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.已知f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则f(x)的图象是 √ 由偶函数的图象关于y轴对称可得D选项中的图象符合．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若函数f(x)＝则f(x) A．是偶函数 B．是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数f(x)的图象，如图所示．可以看出该图象关于原点对称，故f(x)为奇函数．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在［a－1，2a］上的偶函数，那么a＋b的值是 A．－ B． C．－ D． √ 由题意得f(－x)＝f(x)，所以b＝0.因为a－1＝－2a，所以a＝．所以a＋b＝．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－，若f(2)＋f(0)＝1，则f(－3)等于 A．－4 B．－3 C．－2 D．1 √ 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(2)＋f(0)＝1，所以f(2)＝4－＝1，解得a＝6，所以f(x)＝2x－(x＞0)，所以f(－3)＝－f(3)＝－＝－4.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列函数中，是奇函数的有 A．f(x)＝x2－2x＋2 B．f(x)＝x3＋2x C．f(x)＝x－ D．f(x)＝|x|＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对于f(x)＝x3＋2x，有f(－x)＝－x3－2x＝－(x3＋2x)＝－f(x)，则函数是奇函数，故B正确；对于f(x)＝x－，其定义域为{x｜x≠0}，f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，则函数是奇函数，故C正确；对于f(x)＝|x|＋，其定义域为{x｜x≠0}，f(－x)＝｜－x｜＋＝f(x)，则函数是偶函数，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有 A．f(0)＝0 B．f(－1)＝f(1) C．若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在(－∞，0)上有最大值3 D．若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－0)＝－f(0)，则f(0)＝0，故A正确；对于B，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－1)＝－f(1)，故B错误；对于C，奇函数f(x)的图象关于原点中心对称，故若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在(－∞，0)上有最大值3，故C正确；对于D，奇函数f(x)＝－x在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上也单调递减，故D错误．故选AC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知f(x)＝ax3＋bx－2 026，其中a，b为常数，若f(－1)＝2，则f(1)＝________． －4 054 根据题意，因为f(x)＝ax3＋bx－2 026，所以f(－x)＝－ax3－bx－2 026.则有f(－x)＋f(x)＝－4 052.若f(－1)＝2，则f(1)＝－4 052－f(－1)＝ －4 054. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝_____． －2 由于函数f(x)＝为奇函数，则f(－x)＝－f(x).所以＝－，变形可得(a＋2)x＝0，必有a＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为_________________． (－3，0)⋃(0，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在定义域上的简图．数形结合可得不等式f(x)＜0的解集为(－3，0)⋃(0，3)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知函数f(x)＝． (1)求f(x)的定义域； 解：由1－x2≠0得x2≠1，即x≠±1， 即函数的定义域是{x|x≠±1}． (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由． 解：由(1)可知，函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)关于函数f(x)＝x|x|＋x，下列结论正确的是 A．图象关于y轴对称 B．图象关于原点对称 C．在(－∞，＋∞)上单调递增 D．f(x)恒大于0 √ √ 易知f(－x)＝－x|x|－x＝－f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；当x≥0时，f(x)＝x2＋x为增函数，且f(x)≥0；当x＜0时，f(x)＝－x2＋x为增函数，且f(x)＜0.综上可知，f(x)为增函数，故C正确，D错误．故选BC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有 A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|＋g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 √ √ 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故A、D错误，C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得B正确．故选BC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是____． 0 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知f(x)＝ax2＋，其中a为实数． (1)当a＝2时，证明：函数f(x)在［1，2］上单调递增； 解：证明：当a＝2时，f(x)＝2x2＋． ∀x1，x2∈［1，2］，且x1＜x2， 则f(x2)－f(x1)＝2＋－2－＝2(－)＋ ＝2(x2－x1)(x2＋x1)＋ ＝(x2－x1)． 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由x1，x2∈[1，2]可得，4＜2(x2＋x1)＜8，＜＜1，所以2(x2＋x1)－＞0， 所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)． 所以函数f(x)在［1，2］上单调递增． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由． 解：函数f(x)＝ax2＋的定义域是(－∞，0)⋃(0，＋∞)，关于原点对称， 当a＝0时，函数f(x)＝，f(－x)＝－＝－f(x)，此时函数f(x)为奇函数； 当a≠0时，f(－x)＝a(－x)2＋＝ax2－， 此时f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)， 所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a＝0时，函数f(x)为奇函数；当a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝____． 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； 解：证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)． 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函数． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)． 解：由(1)知f(x)为奇函数． 所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a． 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 函 数 的 概 念 与 性 质 返回 $