3.3 幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

POWER FUNCTION 幂函数 一个由指数 α 掌控的函数家族 人教版 · 高中数学必修第一册 · 第三章 授课教师：___________ 班级：___________ 2026 年 ___ 月 ___ 日 CONTENTS 目录 四个环节， 从身边的式子出发， 走到能自己画图、自己判断。 Power Function 01 生活里的幂 正方形面积、正方体体积、开方求边长——三个身边的式子 02 什么是幂函数 定义的三个特征、六个式子的快速判断、一段关于"幂"字的历史 03 五个家族成员 分组作图，看清定点、单调与象限的三条规律 04 学会用它 求解析式、比较大小、辨析图象，三道例题各攻一类 01 CHAPTER 01 生活里的幂 先别急着下定义。 看看身边这三个式子，它们其实长得一模一样。 从身边三个式子说起 生活情境 · 唤醒旧知 边长是 a 的正方形 面积 棱长是 a 的正方体 体积 反过来，已知面积 S 求边长 边长 三种情境， 三个式子， 一个共同的骨架。 仔细看这三个式子： 底数都是那个会变的量，指数都是不变的常数， 而前面的系数都是 1。 这就是今天要研究的对象—— 形如 y = x^α 的一整族函数。 幂函数 · 高一数学 04 / 25 拆开看：它们共用一个骨架 抽象概括 · 从特殊到一般 底数 a 会变 指数 2 不变 底数 a 会变 指数 3 不变 底数 S 会变 指数 1/2 不变 抽掉具体情境，剩下的共同点只有三条： 只有一项 | 系数是 1 | 底数是变量，指数是常数 → 幂函数 · 高一数学 05 / 25 02 CHAPTER 02 什么是幂函数 一个定义，三个特征，六个式子的快速判断。 顺便说说"幂"这个字是怎么来的。 一般地，这样的函数叫做幂函数 概念定格 · 请把这句话抄在笔记本上 DEFINITION 其中 x 是自变量，α 是常数， 这样的函数称为幂函数。 自变量在 底数的位置 常数在 指数的位置 α 可以取 任意实数 幂函数 · 高一数学 07 / 25 定义里的三个"必须是" 易错辨析 · 少一条就不是幂函数 特征 01 系数必须是 1 x 的指数前面不允许再挂任何系数。写成 2x³、½x²，前面的数就破坏了幂函数的"纯"结构。 ✕ y = 2x³ ✓ y = x³ 特征 02 底数必须是 x 本身 底数只能是自变量 x，不能是 x−1、2x 这类整体。若底数被"加工"过，函数就已不是幂函数。 ✕ y = (x−1)³ ✓ y = x³ 特征 03 只能有一项 幂函数是"单项式"形态，后面不许跟常数项或别的幂次项。多一项，就不再是单一幂次。 ✕ y = x² + 1 ✓ y = x² 判断口诀 看系数、 看底数、 看项数——三条全过，才是幂函数。 幂函数 · 高一数学 08 / 25 小试牛刀：这些是幂函数吗？ 课堂互动 · 先举手，再揭晓 A B C D E F 提示 E、F 看着不像？先把它们改写成 x 的多少次方 再说。 ANSWER 是幂函数 A C E F 不是 B、D B：系数 3 破坏了"系数为 1" D：多了一个一次项 E 的 1/x 就是 x⁻¹，F 的 √x 就是 x^½ —— 换件衣服，它们还是幂函数。 幂函数 · 高一数学 09 / 25 "幂"这个字，原本是一条盖东西的布 数学史 · 一个字的旅行 幂 字 源 《说文解字》释"幂"为覆也，本义是覆盖物品的巾。 一块布盖在桌面上，恰好铺满一片平面——古人由此把"幂"引申为面积。 所以"幂"从一开始，就和"一个量自己乘自己"紧紧绑在一起。 " 凡广从相乘谓之幂。 —— 魏晋 · 刘徽《九章算术注》　（广：宽；从：长。宽乘长得面积，就叫做幂） 1637 年 笛卡尔在《几何学》中写下 x³ 这样的指数记号，幂的写法从此定型。 17 世纪以后 指数被推广到分数与负数，α 终于可以取遍实数——幂函数家族至此完整。 想一想：为什么古人用"布"来命名"面积"？ 幂函数 · 高一数学 10 / 25 03 CHAPTER 03 五个常见幂函数 五个小组，五张图，一个坐标系。 画完你就看懂了这个家族的全貌。 GROUP WORK 合作 探究 6 分钟完成作图 5 人一组， 每组只画一个函数， 画完派代表上台展示。 幂函数 · 高一数学 12 / 25 任务：把图象画准，把性质说清 列表 → 描点 → 连线，三步不能跳 1 先定定义域：x 能取哪些值？负数能不能代？ 2 再列表取值：至少取 5 个点，含 0 和 1 附近 3 最后光滑连线：别画成折线，注意端点有没有 各组任务分工 第 1 组 第 2 组 第 3 组 第 4 组 第 5 组 先看最熟悉的两条：y = x 与 y = x² 第 1、2 组汇报 看图要点 两条都过原点；但 y = x² 的图象全在 x 轴上方，永远不落到负半轴。 一次函数的"原型" 定义域 R（全体实数） 值域 R 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调性 在 R 上单调递增 二次函数的入门款 定义域 R 值域 [0, +∞)，最小值 0 奇偶性 偶函数，关于 y 轴对称 单调性 (-∞,0] 上减，[0,+∞) 上增 幂函数 · 高一数学 13 / 25 y = x³ 与 y = √x：一个很陡，一个只有半张脸 第 3、4 组汇报 奇函数 · 一三象限 定义域与值域都是 R；在 R 上单调递增。x 稍大一点，y 就冲得很快——指数越大，图象越"陡"。 非奇非偶 · 只有第一象限 定义域只有 [0,+∞)，所以图象只剩"半张脸"。它等于 √x，在 [0,+∞) 上单调递增，但越增越慢。 追问：为什么 y = √x 没有左半边？ 14 / 25 最特别的一个：y = 1/x 第 5 组汇报 · 指数为负会怎样 奇函数 定义域 x ≠ 0，中间断成两截 值域 y ≠ 0 单调性 在 (-∞,0) 上递减，在 (0,+∞) 上也递减 易错：千万不能说"在定义域上单调递减"。 x = −1 时 y = −1，x = 1 时 y = 1，它明明是变大了，所以必须分开两个区间说。 两支曲线无限靠近坐标轴，却永远不会碰到它——这就是指数为负的样子。 幂函数 · 高一数学 15 / 25 FAMILY PORTRAIT 五条曲线， 都挤过同一个点 除了 y = 1/x 不经过原点，其余四条都从原点出发； 而它们全部经过 (1, 1)。 01 哪些图象是上升的？哪些是下降的？ 02 上升时，是谁越跑越快，谁越跑越慢？ 03 为什么没有一条出现在第四象限？ 幂函数 · 高一数学 16 / 25 把五个成员装进一张表 性质总表 · 请对照自己画的图逐行核对 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点 y = x R R 奇函数 在 R 上递增 (1,1) y = x² R [0,+∞) 偶函数 (-∞,0] 减，[0,+∞) 增 (1,1) y = x³ R R 奇函数 在 R 上递增 (1,1) y = √x [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 在 [0,+∞) 上递增 (1,1) y = 1/x x ≠ 0 y ≠ 0 奇函数 (-∞,0) 和 (0,+∞) 上分别递减 (1,1) 横向看一遍 公共点那一列全是 (1,1)；y = 1/x 是全表唯一定义域被"挖掉一个点"、图象断成两支的成员。 幂函数 · 高一数学 17 / 25 三条规律，记住就不用死背 规律归纳 · 从图象走到结论 01 必过 (1, 1) 因为 1 的任何次幂都等于 1，所以不论 α 取什么，图象一定经过点 (1,1)。 推论：若与坐标轴相交，交点必是原点 02 正升负降 α > 0 时，在第一象限图象上升；α < 0 时下降，并无限贴近坐标轴却永不相交。 α 越大越陡，α 越小越缓 03 象限看奇偶 一定出现在第一象限，一定不出现在第四象限；其余象限由奇偶性决定。 奇 → 一三；偶 → 一二；非奇非偶 → 只有一 三种指数的形态 口诀 正升负降都过 (1,1)； 大于 1 陡，小于 1 缓。 幂函数 · 高一数学 18 / 25 04 CHAPTER 04 学会用它 会画图只是起点，会用它解题才算真懂。 三道例题，三种考法。 EXAMPLE 01 求解析式 幂函数只有一个参数 α， 所以一个点就够定住它。 幂函数 · 高一数学 20 / 25 题 目 已知幂函数 的图象经过点 (4, 2)。 ① 求 f(x) 的解析式；　② 若 f(m) = 3，求实数 m。 第 ① 问 把点 (4, 2) 代入解析式： 所以 第 ② 问 解析式已定，直接代入： 两边平方，得 所以 方法提炼 幂函数的形式唯一确定于 α，一个条件就能定式——这正是它比二次函数简单的地方。 例题 02：比较大小，先看定义域 易错点 · 直接套单调性会出错 QUESTION 若 求实数 a 的取值范围。 注意：底数里都带着 a， 不等式两边都不一定"有意义"。 最常见的错：一上来就用单调性，忘了根号里必须非负。 1 先保定义域 a + 1 ≥ 0 且 3 − 2a ≥ 0，解得 −1 ≤ a ≤ 3/2 2 再用单调性 y = √x 在 [0,+∞) 上递增，故 a + 1 < 3 − 2a，解得 a < 2/3 3 最后取交集 −1 ≤ a < 2/3 记牢这个顺序：定义域永远排在最前面，单调性只能在有效的区间里说话。 幂函数 · 高一数学 21 / 25 例题 03：三条曲线，谁大谁小 数形结合 · 一条辅助线解决问题 图中 ① ② ③ 分别对应 y = x^a、y = x^b、y = x^c 在第一象限的部分。 题 目 判断 a、b、c 的大小关系。 方法：画一条竖线 取 x = t（t > 1），作竖直线。它与三条曲线的交点，越高的那条，指数越大。 读图：② 在最上、③ 居中、① 在最下，而 ① 是下降的（指数为负）。 结论 b > c > a 幂函数 · 高一数学 22 / 25 这节课，我们走了四步 课堂小结 · 请合上笔记，自己复述一遍 01 定义 形如 y = x^α。系数为 1、底数是 x、只有一项——三条缺一不可。 概念 → 02 图象 五个成员画进同一坐标系。先定定义域，再列表描点，最后光滑连线。 作图 → 03 性质 定点 (1,1)、正升负降、象限看奇偶——三条规律串起全部性质。 归纳 → 04 应用 求解析式、比大小、辨图象。比大小记得：定义域永远排第一。 解题 METHODS 特殊到一般 · 数形结合 · 分类讨论 记住一句话：指数 α 一个人，决定了整条曲线的脾气。 幂函数 · 高一数学 23 / 25 HOMEWORK 分层 作业 基础题人人过关， 提升题量力而行， 拓展题留个念想。 幂函数 · 高一数学 24 / 25 A 基础 · 必做 完成教材本节配套练习；把五个幂函数的图象各画一遍，标出定义域与公共点。 B 提升 · 选做 若幂函数 y = x^α 在 (0,+∞) 上单调递减，求 α 的取值范围，并画出一个符合条件的图象。 C 拓展 · 挑战 查阅《九章算术》中"幂"的含义，写一段 100 字左右的数学随笔：古人为什么用"幂"来称呼面积？ 注：具体题号请按所授班级使用的教材版本替换。 感谢聆听 指数 α 只改了一个数， 曲线的脾气就全变了—— 这就是幂函数的魅力。 恳请各位老师批评指正 幂函数 · 高一数学 · 人教版必修第一册 25 / 25 $