广东东莞市常平中学2026-2027学年高二上学期第一次教学质量自查数学试题

2026~2027学年第一学期第一次教学质量自查 高二数学试题 命题人：王常武 一．选择题：（每小题5分，共40分） 1．已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 5．向量，夹角的余弦值为，则实数k为（　　） A． B． C．或 D．或 6．直线经过点，其方向向量，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 7．如图，二面角等于，是棱上两点，，， 且，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 8．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 二．多选题：（每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10．若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（     ） A． B． C． D． 11．在棱长为的正方体中，点满足（）， 点在底面内，且，则（     ） A．当时， B．当时， C．直线和平面所成角的余弦值为 D．线段长度的最小值为 三．填空题：（每小题5分，共15分） 12．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是。 13．若圆与直线相交于，且，则实数 的值为。 14．在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点， 则的取值范围是。 四．解答题： 15．（13分）已知直线：与直线：平行。 （1）求的值； （2）若直线到的距离与到的距离相等，求直线的方程。 16．（15分）已知圆。 （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆 所截得的弦长。 17．（15分）已知向量，，。 （1）若，求； （2）设，，，若四点共面，求实数的值。 18．（17分）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点。 （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为， 求到平面的距离。 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且。 （1）求平面与平面的夹角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角 最大时，求的值。 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D D B B A B AD BC BD 12．或 13． 14． 1．由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以。 2．点关于轴对称的点的坐标为。 3．设所求直线方程为，代入，解得，所以所求直线方程为。 4．线段的中点为，故圆心为．又，所以． 因此所求圆的标准方程为。 5．||，，故，解得：。 6．由题意，所以点到直线的距离为： 。 7．因为， 所以 ，所以，即. 8．因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角，所以； 9．根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 10．选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 11．以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，，，. 由得，即； 因为在上底面内，故设， 由得，化简得， 即的轨迹是上底面内以为圆心，半径的一段圆弧（如图所示）. 选项A：时，，，， 两向量不共线，故不平行于，A错误； 选项B：时，，，B正确； 选项C：直线与平面所成角为，其在平面内的射影为，，故，C错误； 选项D：的坐标均为，故长度为上底面中两点距离， 其中在线段上，在上底面内上（不含）， 圆心到线段的距离为，故， 当且仅当三点共线且时等号成立. 故最小值为，D正确. 12．当直线经过原点时，此时直线方程可设为，代入点，解得， 所以直线方程为，即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为，代入点，解得， 所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 13．因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 14．解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱，如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 15．解：（1）因为直线：与直线：平行， 则，解得，又，所以，当时，两直线平行； （2）由（1）知直线：，即， 因为直线到的距离与到的距离相等，所以直线与、平行， 设直线的方程为，所以，解得， 故直线的方程为，即． 16．解：（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 17．解：（1）由，得，解得，则，而， 因此，所以. （2）若四点共面，则向量共面，设， 即，因此，解得， 所以的值是. 18．(1)证明：连接，交于点，连接，  则为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）由题意（1）及几何知识得， 在直四棱柱中，， 两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.   设，则，， . 设异面直线与所成角为，则 ，解得：， 故， 则，设平面的一个法向量为， 到平面的距离为. 所以即取，得. 所以，即到平面的距离为. 19．解：（1）因为平面， 在菱形中，，所以，则为等边三角形， 取中点，所以，又，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 平面的一个法向量为， 得到，设平面的一个法向量， 所以，即， 取，则，所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． （2）由题意得而点在线段上运动， 得到， 且，， 设平面的一个法向量为，所以，即， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为，要使最大，即最大，所以 ， 因为函数在上单调递减，所以，则， 所以当时，取到最大值， 所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为。 学科网（北京）股份有限公司 $