广东东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考高二数学试题

东莞实验中学2026-2027学年第一学期第一次段考 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A． B． C． D． 4．已知三条直线，，交于一点，则实数（ ） A． B． C． D． 5．已知四面体的所有棱长都等于，棱，的中点分别是，，则（ ） A． B． C． D． 6．直线倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 8．长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点，若平面平面，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则（ ） A．； B．与同向的单位向量为； C．； D．． 10．已知中，点、和，则下列说法正确的是（ ） A．； B．边所在直线的方程为； C．是钝角三角形； D．的面积为3． 11．下列命题正确的有（ ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若、、是不共线的三个点，存在点，使，则在平面内； D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，两点，当面积为12，则直线的方程为______________________________． 13．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若直线与平面相交，则实数的取值范围________________． 14．在正方体中，过对角线作正方体的截面，点在上，点在上，四边形面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）已知，． （1）若，求实数，的值； （2）若，且，求实数，的值． 16．（本题满分15分）已知点，，直线经过点． （1）若与直线平行，求的斜截式方程； （2）若与直线垂直，求的一般式方程； （3）若与线段的延长线有交点，求斜率的取值范围． 17．（本题满分15分）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， （1）用向量，，表示与； （2）求证：平面； （3）求异面直线与夹角的余弦． 18．（本题满分17分）如图，直三棱柱中，，，点为线段的中点，线段与的交点为，若点在线段上运动，的长度为． （1）求点到平面的距离； （2）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 19．（本题满分17分）如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于，两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《东莞实验中学2026-2027学年度第一学期第一次段考高二数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A A C B D B D ABD ACD ACD 12． 13． 14． 15．解：（1）由可得，存在实数使， 即， 3分 解得，，， 6分 （2）若，则①， 8分 由，则②， 11分 两式联立解得或． 13分 16．解：（1）由题， 2分 因为与直线平行，所以， 3分 所以的方程为． 5分 （2）因为与直线垂直，所以， 7分 所以的方程为，即． 10分 （3）依题意，， 11分 若与线段延长线有公共点，如图，则的斜率的取值范围是， 15分 17．解：（1） 2分 4分 （2）由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 5分 由题意可得，， 6分 所以，， 7分 所以，同理可证， 因为，因此，平面 9分 （3）由（1）得 11分 12分 14分 所以，异面直线与夹角的余弦为 15分 18．【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴四边形为矩形，为中点， 1分 以为坐标原点，，，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， 2分 ，，， 3分 设平面的法向量， ， 4分 令，解得：，，， 5分 ∴点到平面的距离． 7分 （2）设存在点，使得二面角的余弦值为， 8分 设平面的法向量， ，， 9分 令，解得：，，， 12分 ，解得：或， 15分 当时，与重合，此时二面角为锐二面角，不合题意； 当时，二面角为钝二面角，符合题意； 综上所述：存在点，使得二面角的余弦值为，此时． 17分 19．【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 2分 令，得，即；令，得，即． 则线段的中点坐标为， 3分 又直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为， 6分 即； 7分 （2）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点重合，设，因为，所以， 于是有，解得，此时满足题意； 10分 如图2，当时，由，，知四边形为正方形， 设，则，， 于是有，解得，此时满足题意； 13分 如图3，当时，由，，得，即， 设，则，， 显然直线斜率为，则直线斜率必为1， 即，解得，此时满足题意． 16分 综上，轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $