2026-2027年浙教版数学七年级上册期中专题复习： 绝对值问题

2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：绝对值问题 【知识导图】 【知识梳理】 【一阶练习】 1.如图数轴上点，，，分别对应实数，，，．则下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 2.﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 3.有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 4.有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6.如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7.下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ） A. B. C. 1 D. 8.在，5，0，这四个数中，绝对值最大的数是（　　） A. B. 5 C. 0 D. 9.代数式的最小值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10.若，，且m，n异号，则的值为（ ） A．7或3 B．3或－3 C．3 D．7 【二阶练习】 1.用“”、“”、“”填空： _____． 2.已知，则的最大值是_____． 3.已知：数，，在数轴上的对应点如图所示，化简______． 4.是的绝对值，是的相反数，则__________． 5.绝对值大于2且小于5的负整数有 　　 ． 6.若，，且，则的值为　 　． 7.若，其中均是整数，则_____． 8.若，则__________，__________． 9.已知表示数a在数轴上所对应的点到原点的距离。数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，-3，2在数轴上所对应的两点之间的距离为。 （1）的最小值为________； （2）的最小值为________。 10.已知，则的值是______． 11.绝对值不大于3的所有正整数的积等于 _____． 12.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【三阶练习】 1.在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类： 当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． （1）当时，则_____；当时，则_____． （2）当时，则_____；当时，则_____． （3）你可以再找些数字代入，通过计算找到规律(不用写出规律)，并解决下列问题：已知，是有理数，当时，试求值． 2.“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ 3.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； （3）若x表示一个有理数，且，则__________； 4.【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）若，则的值为多少？ （2）当取最小值时，可以取正整数 　 　；最大值为 　　； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 5.【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． （1）【尝试应用】 ①数轴上表示和3的两点之间的距离是______（写出最后结果）； ②若，则______； （2）【动手探究】 伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合． ①表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是______，表示的数是______； ③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是______； （3）【拓展延伸】 当时，的最小值是_____． 6.结合数轴与绝对值的知识，回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于，数轴上表示和的两点之间的距离是______；如果表示数和的两点之间的距离是3，那么______． （2）若数轴上表示的点位于和3之间，求的值． （3）当为______时，最小，最小值为______． （4）若，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：绝对值问题 【知识导图】 【知识梳理】 【一阶练习】 1.如图数轴上点，，，分别对应实数，，，．则下列各数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，结合数轴可以得出四个数的绝对值的大小，进而判断即可，熟知离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，点D离原点距离最远，其次是点A，再次是点C，B点离原点距离最近， ∴， ∴其中值最大的是， 故选：D． 2.﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 3.有理数m、n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴确定代数式的正负、取绝对值等知识点，掌握根据数轴确定代数式的正负成为解题的关键． 由数轴可知，可得，然后据此取绝对值即可解答． 【详解】解：由数轴可知，则， 则，即A、B选项不正确； ，即C选项错误，D选项正确． 故选D． 4.有理数的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，根据绝对值意义和有理数加减运算法则逐一判断，得出正确答案． 【详解】解：由题意中的图像可知， A．表示两个负数和一个正数相加，两个负数之和的绝对值比正数大，结果取负值，即结果小于0，A选项不符合题意； B．从图像观察，两个负数之和的绝对值比正数大，，B选项不符合题意； C．表示和之间的距离，也表示和之间的距离，C选项符合题意； D．表示和之间的距离，表示和之间的距离，和之间的距离大于和之间的距离，D选项不符合题意； 故选：C． 5.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，有理数加法计算，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，则，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6.如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，利用绝对值相等的点关于原点对称得出原点的位置是解题关键．根据表示的数的绝对值相等，可得原点的位置，根据原点的位置，可得点表示的数． 【详解】解：如图： 由点表示的数的绝对值相等，得原点的位置 点表示的数是． 故选：B． 7.下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 8.在，5，0，这四个数中，绝对值最大的数是（　　） A. B. 5 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出四个数的绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴四个数中，绝对值最大的数是， 故选A． 9.代数式的最小值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 10.若，，且m，n异号，则的值为（ ） A．7或3 B．3或－3 C．3 D．7 【答案】D 【二阶练习】 1.用“”、“”、“”填空： _____． 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小、绝对值等知识点，掌握正数大于负数成为解题的关键． 由，，然后根据正数大于负数即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 2.已知，则的最大值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 3.已知：数，，在数轴上的对应点如图所示，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断实数大小及去绝对值符号的能力．根据数据判断出、、的大小，判断出和的符号，从而成功将绝对值符号去掉进行化简，则可解决此题． 【详解】解：由图示可知，， ，， ，， 原式． 故答案为：． 4.是的绝对值，是的相反数，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数的定义，理解绝对值、相反数的定义成为解题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则． 故答案为：0． 5.绝对值大于2且小于5的负整数有 　，　． 【分析】根据绝对值的意义，可得答案． 【解答】解：绝对值大于2且小于5的负整数是，， 故答案为：，． 6.若，，且，则的值为　1或9　． 【分析】由题意可得，，再结合条件进行求解即可． 【解答】解：，， ，， ， ， ，， 当时，时，， 当时，，， 或9． 故答案为：1或9． 7.若，其中均是整数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 8.若，则__________，__________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 9.已知表示数a在数轴上所对应的点到原点的距离。数a，b在数轴上所对应的两点之间的距离为，例如，-3，2在数轴上所对应的两点之间的距离为。 （1）的最小值为________； （2）的最小值为________。 【答案】（1）3 （2）6 10.已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，有理数的加法运算，由，得，，求出的值，然后代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11.绝对值不大于3的所有正整数的积等于 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法法则同，绝对值．先找出绝对值不大于3的所有正整数有：1，2，3，然后再求解即可． 【详解】解：绝对值不大于3的所有正整数有：1，2，3， ∴它们的积为． 故答案为：6． 12.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，根据数轴确定的大小，进而判断的符号，即可去绝对值进行化简，根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，， ∴ ， ， ， 故答案为：． 【三阶练习】 1.在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类： 当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． （1）当时，则_____；当时，则_____． （2）当时，则_____；当时，则_____． （3）你可以再找些数字代入，通过计算找到规律(不用写出规律)，并解决下列问题：已知，是有理数，当时，试求值． 【答案】（1）1， （2）1， （3）2或 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的四则混合运算等知识点，掌握分类讨论并正确求解是解答的关键． （1）直接将、代入求出答案； （2）直接将、代入求出答案； （3）分a、b同为正和同为负两种情况，分别化简绝对值求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则；当时，则． 故答案为1，． 【小问2详解】 解：当时，则；当时，则． 故答案为1，． 【小问3详解】 解：由知，分两种情况： 当时，； 当时，． ∴当时，的值为2或． 2.“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向江平大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？ （2）若汽车每千米耗油0.4升，则汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）沈师傅距离第一批乘客出发地的东面5千米； （2）汽车共耗油升． 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加法和乘法的实际应用，注意审清题意在不同情况下用不同的计算方法． （1）计算沈师傅行驶路程的代数和即可得解； （2）计算出每段行驶路程的绝对值的和，再乘以0.4即为沈师傅运载十批客人共耗油量． 【小问1详解】 解：根据题意得：（千米）， ∴沈师傅距离第一批乘客出发地的东面5千米； 【小问2详解】 解：（千米）， （升） ∴汽车共耗油升． 3.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 __________； 数轴上表示2和的两点之间的距离是 __________； 数轴上表示和的两点之间的距离是__________； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 __________； （3）若x表示一个有理数，且，则__________； 【答案】（1）2，7，6 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （2）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可； （3）根据两点间距离的计算方法分别列式计算即可． 【小问1详解】 解：数轴上表示1和3两点之间的距离是； 数轴上表示2和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是 故答案为：2；7；6； 【小问2详解】 解：因为在数轴上、两点之间的距离 所以数轴上表示和的两点之间的距离表示为．； 故答案为：； 【小问3详解】 解：表示数x表示的点到数2和表示点的距离之和， ∵， ∴． 故答案为：6． 4.【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： （1）若，则的值为多少？ （2）当取最小值时，可以取正整数 　1或2　；最大值为 　　； （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和超市，居民区、、分别位于超市左侧，右侧，右侧．为了提升消费者体验，超市现需要在该公路上建造同城快送驿站，用于运送这3个小区的快递，需送3千份快递至小区，1千份快递至小区，2千份快递至小区．若快递的运输成本为每千米1元千份，该驿站建在某处时能使总运输成本最低，则该最低成本为 　　元． 【分析】（1）由解得或； （2）表示到表示，2的点的距离的和，故时，取最小值，知可以取正整数为1或2；分三种情况去绝对值可得最大值为8； （3）设驿站建在表示的点处，根据题意总运输成本为，分四种情况去绝对值可得最低成本为33元． 【解答】解：（1）由得： 或， 或； （2）表示到表示，2的点的距离的和， 时，取最小值， 可以取正整数为1或2； 当时，， 当时，， ， ，即； 当时，； 最大值为8； 故答案为：1或2；8； （3）设驿站建在表示的点处，根据题意总运输成本为， 当时，， ， ，即； 当时，； 当时，， ， ，即； 当时，， ， ； 综上所述，的最小值为33． 最低成本为33元； 故答案为：33． 5.【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． （1）【尝试应用】 ①数轴上表示和3的两点之间的距离是______（写出最后结果）； ②若，则______； （2）【动手探究】 伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合． ①表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是______，表示的数是______； ③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是______； （3）【拓展延伸】 当时，的最小值是_____． 【答案】（1）①；②或 （2）①；②，；③ （3） 【解析】 【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据题意可得方程或，解方程即可得到答案； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，再根据两点距离计算公式求解即可；②根据题意点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离都为，再由折叠点在A、B之间结合数轴上两点距离公式求解即可；③根据点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离相等，结合数轴上两点距离公式得到，据此可得结论； （3）根据绝对值的意义推出当时，有最小值5，同理可得，当时，有最小值6，再由，推出，，则当时，有最小值，最小值为． 小问1详解】 解；解：①， 故答案为：； ②，即， 或， 解得或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①由于折叠纸面，表示的点和表示的点重合， ∴折叠点所表示的数为， 设表示的点与表示的点重合，则有：， 解得， 故答案为：； ②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为，且A，B两点经过折叠后重合， ∴点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离都为， ∴点所表示的数为，点所表示的数为， 故答案为：，； ③∵点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经过折叠后重合， ∴点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值5， 同理可得，当时，有最小值6， ∴， ∵， ∴和必须同时取值最小值， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 6.结合数轴与绝对值的知识，回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示和2的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于，数轴上表示和的两点之间的距离是______；如果表示数和的两点之间的距离是3，那么______． （2）若数轴上表示的点位于和3之间，求的值． （3）当为______时，最小，最小值为______． （4）若，请直接写出的值． 【答案】（1），，，或； （2）8 （3），； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点之间的距离计算即可； （2）由题意得，进而得到，，再去绝对值符号计算即可； （3）分四种情况讨论，分别去绝对值符号计算，求最小值比较即可； （4）分三种情况讨论，分别去绝对值符号解方程，即可求出的值． 【小问1详解】 解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是， 如果表示数和的两点之间的距离是3，则， 那么或， 故答案为：，，，或； 【小问2详解】 解：数轴上表示的点位于和3之间， ， ，， ； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 即当为时，最小，最小值为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：当时，， 解得：； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得：， 综上可知，的值为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $